Examen LM390, deuxi`eme session de l’ann´ee 2007–2008, le 16 Juin 2008.
(1) I(Dans les questions (1), (2), et (3) vous n’ˆetes pas oblig´e de terminer le calcul. Un quotient avec des produits de nombres ou de factoriels corrects suffit.) Dans une lot´erie 3 num´eros sont gagnants parmi 1000 num´eros diff´erents. Un joueur a achet´e 5 num´eros diff´erents.
Quelle est la probabilit´e qu’il n’ait aucun num´ero gagnant ?
(2) Quelle est la probabilit´e qu’il ait exactement deux num´eros gagnants ?
(3) II Une maladie rare arrive `a un nouveau-n´e sur 4000 naissances. Trois quarts de nouveaux-n´es malades sont gar¸cons. On admettra que la probabilit´e de naissance d’un gar¸con est 0,53 et celle d’une fille – 0,47. Quelle la probabilit´e conditionnelle pour un nouveau-n´e d’ˆetre malade sachant que c’est une fille ?
IIISoient X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi, d’esp´erance 0 et de variance 1. Z = X+Y. On suppose que la variableZ est de loi Gaussienne.
(4) Donner l’esp´erance, la variance deZ et ensuite sa fonction caract´eristique.
(5) Exprimer la fonction caract´eristqiue deZ en terme de fonctions caract´eristiquesφX(t) deX et φY(t) deY. En d´eduireφX(t) et la loi de la variableX.
IV SoientX1, . . . Xn, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi de densit´e par rapport `a la mesure de Lebesgue fX1(x) = 3x−41{x>1}. On consid`ere la suite Yn = n−sXn, n = 1,2, . . . o`u s ∈ [0,∞[ est in param`etre.
(6) Donner le domaine de param`etre s dans [0,∞[ tel que la suite (Yn)n≥0 converge en probabilit´e. Que vaut la limite ?
(7) Donner le domaine de param`etre s dans [0,∞[ tel que la suite (Yn)n≥0 converge p.s. vers une limite qu’on determinera.
(8) Donner le domaine de param`etresdans [0,∞[ tel que la s´erieP
n≥1Yn converge dansL2. Quelles autres modes de convergence pour la s´erie P
n≥1Yn peut-on en d´eduire imm´ediatement ?
Soient Z1, . . . , Zn, . . . des variables al´eatoires ind´ependantes et ind´ependantes deX1, . . . , Xn. . .. P(Zn = 1) = 1−n−α,P(Zn = 2) =n−α, le param`etreα >0. SoitVn= (n−2Xn)1{Zn=1}+ 1{Zn=2}.
(9) Donner le domaine de param`etreαdans [0,∞[ o`uP(S
N≥1
T
n≥N{Vn=n−2Xn}) = 1. Que peut-on dire sur la convergence p.s. de la s´erie P
n≥1Vn dans ce domaine ? (10) Donner le domaine de param`etre α dans [0,∞[ o`u P(T
N≥1
S
n≥N{Vn = 1}) = 1. Que peut-on dire sur la convergence p.s. de la s´erie P
n≥1Vn dans ce domaine ?
VOn consid`ere une suite de variables al´eatoiresX1, . . . , Xn, . . .ind´ependantes de mˆeme loi uniforme sur [0; 1].
On poseSn= sup(X1, . . . , Xn),In= inf(X1, . . . , Xn).
(11) Evaluer pour tout couple de r´eels aet b P
a≤In ≤Sn ≤b
. En d´eduire que la loi du couple (In, Sn) admet une densit´e not´eef(In,Sn)telle que
f(In,Sn)(x, y) =n(n−1)(y−x)n−21{x∈[0,1],y∈[0,1],y−x∈[0,1]}.
(12) D´eterminer la densit´e f(Sn−In,In)(z, t) du couple (Sn −In, In). (Attention au terme 1{·,·,·} ! N’oubliez pas d’exprimer toutes les trois contraintes sur x, y en coordonn´ees z, t.) Les variables Sn −In et In, sont-elles ind´ependantes ?
(13) En d´eduire la densit´e deSn−In.
(14) En d´eduire la fonction de r´epartition deSn−In. En d´eduire queP(n(1−Sn+In)≤x) vaut 1−(1−x/n)n−x(1−x/n)n−1 pour toutx∈[0, n].
(15) Montrer que la suite n(1−Sn +In) converge en loi. Donner la fonction de r´epartition et le densit´e de la loi limite.
(16) Que vaut alors limn→∞Eexp(−n(1−Sn+In)) ?
Etudier la convergence en loi denλ(1−Sn+In) pourλ6= 1.
1
VI
(17) Formulez le Th´eor`eme de la limite central vectoriel dansR2.
(18) Soient (Yn, Zn)n≥1 une suite de variables al´eatoires `a valeurs dans R2 v´erifiant les hypoth`eses du Thm de la limite centrale vectoriel. On noteEY1=a,EZ1=b, VarY12=σy2, VarZ12=σz2, cov(Y1, Z1) =cyz. On note
V~n=Y1+· · ·+Yn−na
n ,Z1+· · ·+Zn−nb n
un vecteur dansR2. On consid`ere la norme standard dansR2k(x, y)k=p
x2+y2. Est-ce que la suite (√
nkV~nk)n≥1 converge en loi ?
Exprimer limn→∞Ecos(nkV~nk2) en terme d’une int´egrale double dansR2d’une fonction d´ependant de param`etres σ2y, σz2, cyz qu’on determinera.
(19) SoientG:R2→Rune fonction d´erivable au point (a, b).
Ecrire son developpement de Taylor dans ce point.
Exprimer alors G(Y1+···Yn n,Z1+···Zn n) en terme deG(a, b), ∂G(a,b)∂y , ∂G(a,b)∂z , des composantes du vecteurV~n ainsi que du resteo(kV~nk).
Que signifie ce resteo(kV~nk) ? La suite√
n×o(kV~nk), converge -t-elle en loi ? Si oui, donner sa limite et argumenter votre r´esultat.
(20) D´eduire la limite en loi de√ n
GY
1+···Yn
n ,Z1+···Zn n
−G(a, b)
. Donner la variance de la loi limite.
(21) Soient X1, . . . , Xn les variables al´eatoires ind´ependantes, de mˆeme loi, EX1 = m1, EX12 = m2, EX13 = m3, EX14=m4. Donner la limite de
X1+· · ·Xn X12+· · ·Xn2 quandn→ ∞dans tous les sens que vous pouvez.
(22) En appliquant le r´esultat de (20) d´eduire la limite en loi de√ n
X1+···+Xn
X12+···+X2n−mm1
2
.
2
