7 : Systèmes d’équations différentielles : résolution et approximation numérique des solutions.

Université Pierre-et-Marie-Curie Licence de Mathématiques LM383

Equations différentielles. Méthodes de résolution numérique.

Travaux dirigés Année universitaire 2006-2007

TD n

7 : Systèmes d’équations différentielles : résolution et approximation numérique des solutions.

Exercice 1

Calculer la résolvante associée à la matriceA(t) =

µ a(t) −b(t) b(t) a(t)

¶ .

Exercice 2

Résoudre le système linéaire (

x⁰(t) = 1 tx+ty

y⁰(t) = y et en déduire la formule donnant la résol- vanteR(t, t₀). Montrer que dans ce cas R(t, t₀)6= exp³R_t

t0 A(u)du

´ .

Exercice 3

L’évolution d’une population composée de moutons (m) et de loups (l) est décrite par le système d’équations différentielleslinéairessuivant :

½ m⁰ = 4m−2l l⁰=m+l

Décrire l’évolution de la population en fonction du temps à partir d’un effectif donné. Calculer l’état de la population pour un temps infini.

Exercice 4

On considère le système différentielnon linéaire, défini pour t≥0par :

½u⁰+u³ =v v⁰+v³ =u avec les conditions initialesu(0) =u₀ etv(0) =v₀.

1. Montrer que le système admet une unique solution locale quels que soientu₀ etv₀. 2. Déterminer une fonction de Liapounov généralisée associée au système et en déduire que

le système admet une unique solution, définie sur [0,∞[.

Exercice 5

Soit le système différentiel dansR² défini par

½ x⁰ = 2(x−ty) y⁰ = 2y

1. Déterminer la courbe intégrale qui passe par le point(x₀, y₀)au temps t= 0.

2. On utilise la méthode d’Euler avec pas constant h, démarrant au temps t₀ = 0. Soit (x_n, y_n) le point atteint au tempst_n=nh (n∈N)

(a) Ecrire la relation qui lie (x_n+1, y_n+1) à(x_n, y_n).

(b) Calculer explicitement(x_n, y_n) en fonction den,h,x₀,y₀.

(c) Sans utiliser les théorèmes généraux du cours, vérifier que la solution approchée qui interpole linéairement les points (x_n, y_n) converge surR₊ vers la solution exacte du système.

Exercice 6

On considère l’équation linéaire du troisième ordre

(E) y⁰⁰⁰+y⁰⁰+y⁰+y = cost oùy est une fonction de la variable t≥0.

1. Déterminer la solution générale de l’équation sans second membre associée à(E).

2. Déterminer la solution générale de(E) par la méthode de variation des constantes.

3. Montrer que(E)admet une unique solution de la formeAtcost+Btsint. La déterminer explicitement.

Exercice 7

Résoudre l’équation différentielle du deuxième ordrey⁰⁰+ 4y= tantpour t∈]−π/2, π/2[.

Exercice 8

On considère l’équation différentielle du second ordre avec conditions initiales (E) y⁰⁰(t) =f(t, y(t)), ∀t∈[0, T], y(0) =y₀, y⁰(0) =y₀⁰ oùf ∈C²([0, T]×R;R),y₀, y₀⁰ ∈R. On discrétise l’équation par le schéma

y_n+1−2y_n+y_n−1 =h²f(t_n, y_n), n≥1

oùt_n=nh,h=T /N. Majorer l’erreur de consistance η(y, h) = sup

h≤t≤T−h

|f(t, y)− y(t+h)−2y(t) +y(t−h)

h² |.

Exercice 9

Soit le problème de Cauchy y⁰ = f(t, y), y(0) = y₀, avec f : [0, T]×R → R globalement Lipschitzienne par rapport à y, uniformément en t. Etudier la consistance et la stabilité de la méthode de Heun

y_n+1 =y_n+h

·1

2f(t_n, y_n) +1

2f(t_n+1, y_n+hf(t_n, y_n)

¸

, où t_n=nh, h=T /N.

Exercice 10

On considère le système différentiel suivant :

½ u⁰₁(t) + 2u₁(t)−u₂(t) +u₁(t)e^u1(t) = 0

u⁰₂(t)−u₁(t) + 2u₂(t) +u₂(t)e^u2(t) = 0 t >0, avec la condition initialeu₁(0) =u₂(0) = 1. Dans la suite, on poseu(t) =¡_u1(t)

u2(t)

¢.

1. Démontrer que si u(t) est solution du problème alors la fonction g définie par g(t) = ku(t)k² est décroissante.

2. Sih >0est le pas de temps et sit_n=nh,n= 0,1,2, . . ., écrire le schéma d’Euler implicite qui permettra de calculer les approximationsuⁿde u(t_n) pourn= 0,1,2. . ..

3. Démontrer que siuⁿest solution du schéma d’Euler implicite, alors la suite(g_n)_n∈Ndéfinie parg_n=kuⁿk² est décroissante.

4. Expliciter la méthode de Newton qui permettra de calculeruⁿ⁺¹ à partir deuⁿ. Effectuer un pas de cette méthode pour calculer u¹ à partir deu⁰.