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(1)

Statistiques www.mathGM.fr Les savoir-faire Moyenne Ecart-type

Quartile et écart interquartile

Statistiques

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Lycée Louise Michel (Gisors)

(2)

Les savoir-faire

090. Calculer et utiliser une moyenne et un écart-type.

091. Calculer et utiliser une médiane et un écart interquartile.

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Moyenne et moyenne pondérée

Définition

Soit la série statistique discrète définie par le tableau : Valeurs x¹ x² . . . . xp

Effectifs n1 n2 . . . . np

Fréquences f1 f2 . . . . fp

SoitN=n1+n2+· · ·+np l’effectif total.

Lamoyennexest le nombre réel défini par : x=

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Moyenne et moyenne pondérée

Définition

Lamoyennexest le nombre réel défini par : x=n1×x1+n2×x2+ ... +np×xp

N

=f1×x1+f2×x2+ ... +fp×xp

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Moyenne et moyenne pondérée

Définition

Lamoyennexest le nombre réel défini par : x=n1×x1+n2×x2+ ... +np×xp

N

=f1×x1+f2×x2+ ... +fp×xp

La moyenne d’une série statistique à caractère quantitatif est la valeur que prendraient les valeurs de cette série si elles étaient toutes égales.

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Exemple

• Notes de Léa : 13 - 18 - 14 - 11 - 16

• Notes de Théo : COEF 1 4 2

NOTE 20 11 12

Calculer la moyenne de chaque élève. Vidéo

(7)

Linéarité de la moyenne

Propriétés

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Linéarité de la moyenne

Propriétés

Si toutes les valeurs d’une série sont multipliées par une même valeura, alors la moyenne de cette nouvelle série est aussi multipliée para.

(9)

Linéarité de la moyenne

Propriétés

Si toutes les valeurs d’une série sont multipliées par une même valeura, alors la moyenne de cette nouvelle série est aussi multipliée para.

Si l’on ajoute une même valeurbà toutes les valeurs d’une série, alors la moyenne de cette nouvelle série est augmentée deb.

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Définition

Définition : écart-type

L’écart-type s d’une série statistique est un indicateur de dispersion de cette série autour de la moyenne. Concrète- ment :

(11)

Définition

plus l’écart-type est petit, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la moyenne, donc la série est homogène ;

(12)

Définition

plus l’écart-type est grand, plus les valeurs de la série sont éloignées de la moyenne, donc la série est hétérogène ;

(13)

Définition

plus l’écart-type est grand, plus les valeurs de la série sont éloignées de la moyenne, donc la série est hétérogène ;

Le calcul de l’écart-type de la série définie par Valeurs x1 x2 . . . . xp

avec n=n1+n2+....+np est donné par : s=

…n1(x1−m)²+n2(x2−m)²+...+np(xp−m)² n

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Exemple

Nombre de buts par match marqués durant la coupe du monde 2010.

Nombres de buts 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de matchs 7 17 13 14 8 6 0 1

Déterminer l’écart-type de cette série. Vidéo

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Médiane

Définition : médiane

Unemédianed’une série statistique est un nombre, noté M e, tel que :

•50%au moins des individus ont une valeur du caractère inférieure ou égale àM e;

•50%au moins des individus ont une valeur du caractère supérieure ou égale àM e.

Valeur minimale

toutesles valeurs rangées dans l’ordre croissant

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Valeur maximale

←−−−−−−−−→

Au moins50%

M e ←−−−−−−−→

Au moins 50%

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Exemple

Voici les notes de deux élèves :

CHARLOTTE : 15 - 9 - 14 - 13 - 10 - 12 - 12 - 11 - 10 LEO : 13 - 13 - 12 - 10 - 12 - 3 - 14 - 12 - 14 - 15 Pour chacun, déterminer la médiane. Vidéo

(17)

Moyenne/médiane

La différence entre moyenne et médiane apparaît clairement par exemple dans certaines statistiques de population des communes. Dans la région Alsace sur les 946 communes, la population moyenne par commune est de 2044 habitants et la population médiane est de 778 habitants....

La moyenne est très supérieure à la médiane, car la plu- part des communes sont faiblement peuplées, mais les villes comme Strasbourg, Mulhouse, Colmar et Haguenau contiennent près de 25 % de la population d’Alsace et rendent la moyenne plus importante.

(18)

Quartiles

Définition : quartiles

Si la liste des valeurs du caractère est rangée dans l’ordre croissant.

•Le premier quartilenoté Q1, est la plus petite valeur de la liste telle qu’au moins un quart des valeurs de la liste sontinférieures ou égalesàQ1.

• Le troisième quartile noté Q3, est la plus petite valeur de la liste telle qu’au moins les trois quartsdes valeurs de la liste sontinférieures ou égalesàQ³.

Valeur minimale

toutesles valeurs rangées dans l’ordre croissant

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ Valeur maximale

←−−−−−−−→

Au moins25% Q1 ←−−−−−−−→

Au moins50% Q3 ←−−−−−−−→

Au moins25%

L’écart interquartileest le nombreQ3−Q1. Plus l’écart interquartile est petit, plus les valeurs

"centrales" de la série (celles de l’intervalle[Q1;Q3]) sont proches les unes des autres.

(19)

Exemples

Exemple

1.Voici les notes obtenues par une élèves :

14 - 17 - 10 - 14 - 18 - 20 - 13 Déterminer les quartiles de la série de notes. Vidéo

2. Voici les tailles en cm d’un groupe d’athlètes : 177 - 180 - 175 - 182 - 190 - 169 - 185 - 191 - 193 Déterminer les quartiles de la série. Vidéo

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Exemples

Exemple

1.Voici les notes obtenues par une élèves :

14 - 17 - 10 - 14 - 18 - 20 - 13 Déterminer les quartiles de la série de notes. Vidéo

2. Voici les tailles en cm d’un groupe d’athlètes : 177 - 180 - 175 - 182 - 190 - 169 - 185 - 191 - 193 Déterminer les quartiles de la série. Vidéo

Exemple

Nombre de buts par match marqués durant la coupe du monde 2010.

Nombres de buts 0 1 2 3 4 5 6 7

Nombre de matchs 7 17 13 14 8 6 0 1

Déterminer l’écart interquartile de cette série. Vidéo