Inéquations www.mathGM.fr Les savoir-faire Inégalités
Valeur absolue et intervalles Inéquations
Signe d’une fonction affine Fonctions de référence
Inéquations
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Lycée Louise Michel (Gisors)
Valeur absolue et intervalles Inéquations
Signe d’une fonction affine Fonctions de référence
060. Utiliser la notion d’inégalités.
061. Caractériser l’intervalle [ a − r ; a + r ] avec une valeur absolue.
062. Résoudre une inéquation du premier degré.
063. Modéliser un problème par une inéquation.
064. Déterminer le tableau de signes d’une fonction affine.
065. Dresser le tableau de signes d’un produit ou d’un quotient.
066. Résoudre une inéquation produit ou quotient.
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Les inégalités
Règles : Manipulation des inégalités
a , b , c et k sont des nombres réels.
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Valeur absolue et intervalles Inéquations
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Les inégalités
Règles : Manipulation des inégalités a , b , c et k sont des nombres réels.
Si a < b alors a + c < b + c et a − c < b − c Si k > 0 et a < b alors ka < kb et a
k < b
k
Valeur absolue et intervalles Inéquations
Signe d’une fonction affine Fonctions de référence
Si k > 0 et a < b alors ka < kb et a k < b
k
Si k < 0 et a < b alors ka > kb et a k > b
k .
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Les inégalités
Règles : Manipulation des inégalités a , b , c et k sont des nombres réels.
Si a < b alors a + c < b + c et a − c < b − c Si k > 0 et a < b alors ka < kb et a
k < b k
Si k < 0 et a < b alors ka > kb et a k > b
k .
Règles : Inégalité et somme
a , b , c et d sont des nombres réels tels que a < b et c < d alors :
a + c < b + d
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Signe d’une fonction affine Fonctions de référence
Si k > 0 et a < b alors ka < kb et a k < b
k
Si k < 0 et a < b alors ka > kb et a k > b
k .
Règles : Inégalité et somme
a , b , c et d sont des nombres réels tels que a < b et c < d alors :
a + c < b + d
Exemples
1. Si x < 3, que peut-on dire de 3 x − 4 ?
2. Si x > 1, que peut-on dire de 4 − 2 x ? Vidéo
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Valeur absolue et distance
Définition : distance entre deux points
Soit A et B les points d’abscisses a et b sur une droite munie d’une origine et d’une graduation.
On appelle distance entre les réels a et b , la distance AB . AB = | a − b |
× B
× A
b × I a
× O
Si a > b alors AB = a − b . Si a < b , alors AB = b − a .
Ainsi, la distance AB est égale à | a − b |.
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Signe d’une fonction affine Fonctions de référence
x ∈ [ a − r ; a + r ] si et seulement si | x − a | 6 r Dans ce cas, le nombre a est appelé centre de l’intervalle et le nombre r rayon de l’intervalle.
r r
+ + + +
O
a A + I
1 a − r a + r
0
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Intervalle et valeur absolue
Propriété : intervalle et valeur absolue
x ∈ [ a − r ; a + r ] si et seulement si | x − a | 6 r Dans ce cas, le nombre a est appelé centre de l’intervalle et le nombre r rayon de l’intervalle.
r r
+ + + +
O
a A + I
1 a − r a + r
0
Exemple : résoudre une inéquation
Représenter sur une droite graduée l’ensemble des réels tels que :
| x − 5| 6 2. Vidéo
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Définition : inéquation
Une inéquation est une inégalité dans laquelle est présente une (ou des) inconnue(s).
Résoudre une inéquation revient à déterminer l’ensemble de
toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
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Inéquations
Définition : inéquation
Une inéquation est une inégalité dans laquelle est présente une (ou des) inconnue(s).
Résoudre une inéquation revient à déterminer l’ensemble de toutes les valeurs de l’inconnue qui vérifient l’inégalité.
Exemple : résoudre une inéquation
Résoudre l’inéquation et donner le résultat sous la forme d’un
intervalle : 2 x − 3 < 4. Vidéo
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Signe d’une fonction affine
Fonctions de référence
0
+
− p m
++ +
−− −
−
b
0 − − − −
+ + +
b
− p m
Les valeurs de la fonction évoluent
donc du positif au négatif.
x Signe
de f(x)
−∞
− p m + ∞ + 0 −
Les valeurs de la fonction évoluent
donc du négatif au positif.
x Signe
de f (x)
−∞
− p m + ∞
− 0 +
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Exemples
Exemple
1. Dresser une tableau de signes de l’expression (3 x − 9)(1 − 2 x ) Vidéo
2. Résoudre l’inéquation :(3 − 6 x )( x + 2) > 0 Vidéo 3. Résoudre l’inéquation : 2 − 6 x
3x − 2 6 0 Vidéo
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