Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

BLAISE PASCAL

Lyliane Irène Rajaonarison & Toussaint Joseph Rabeherimanana

Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Volume 19, n^o1 (2012), p. 271-296.

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Nouveaux résultats sur les petites perturbations d’équations d’évolutions aléatoires

Lyliane Irène Rajaonarison Toussaint Joseph Rabeherimanana

Résumé

Dans cet article, nous étudions les résultats de grandes déviations associés au couple (X^ε, ν^ε), solution de l’E.D.S. interprétée au sens d’Itô :

dX_t^ε=√

εσν^ε(t)(X_t^ε)dWt+bν^ε(t)(X_t^ε)dt; X₀^ε=x∈R^d

avec des conditions assez générales sur les coefficients et dans les deux cas suivants : Premier cas : ν^ε est indépendant du mouvement brownien W et satisfait à un principe de grandes déviations ;

Deuxième cas:ν^εest un processus markovien avec un nombre fini d’états{1, ..., n}

vérifiant

P{ν^ε(t+ ∆) =j/ν^ε(t) =i, X^ε(t) =x}=dij(x)∆ +o(∆) uniformément dansR^dpourvu que ∆↓0, 16i, j6n, i6=j.

Ces résultats sont des extensions de ceux de Bezuidenhout [2] et d’Eizenberg &

Freidlin [7] au cas oùσest quelconque.

Small random perturbations of random evolution equations

Abstract

In this paper, we study a large deviations principle associated to the couple (X^ε, ν^ε), solution of Itô integral:

dXt^ε=√

εσν^ε(t)(Xt^ε)dWt+bν^ε(t)(Xt^ε)dt; X0^ε=x∈R^d under general conditions on the coefficients, in the two following cases:

First case:ν^εis independant of the brownian motionW and obeys a large devia- tions principle;

Second case: ν^ε is a markovian process with finite states {1, ..., n} such that P{ν^ε(t+ ∆) = j/ν^ε(t) = i, X^ε(t) = x} = dij(x)∆ +o(∆) uniformely in R^d, provided ∆↓0, 16i, j6n, i6=j.

Our results extend those of Bezuidenhout [2] and Eizenberg & Freidlin [7], to generalσ.

Mots-clés : Principe de grandes déviations, équations d’évolutions aléatoires, sys- tèmes d’E.D.P., goulots de sortie.

Classification math. :60F17, 60F10.

Dans cet article, nous nous proposons d’étudier la vitesse de convergence du processus X^ε, solution de l’équation différentielle stochatsique (EDS) interprétée au sens d’Itô :

dX_t^ε=√

εσ_ν^ε_(t)(X_t^ε)dW_t+b_ν^ε_(t)(X_t^ε)dt; X₀^ε=x∈R^d (1.1) vers le processus aléatoire X⁰, solution de (1.2)

dX_t⁰=b_ν0(t)(X_t⁰)dt; X₀⁰=x∈R^d. (1.2) Nous étudions le principe de grandes déviations (PGD) avec des conditions assez générales sur les coefficients, dans les deux cas suivants :

Premier cas :

(ν_t^ε)_t∈[0,1] indépendant du mouvement brownienW = (W_t)_t∈[0,1]

et satisfait à un principe de grandes déviations; (1.3) Deuxième cas :

ν^ε est un processus markovien avec un nombre fini d’états{1, . . . , n}

vérifiant

P{ν^ε(t+ ∆) =j/ν^ε(t) =i, X^ε(t) =x}=d_ij(x)∆ +o(∆)

uniformément dans R^dpourvu que ∆↓0, 16i, j 6n, i6=j. (1.4) Signalons le fait que d’une part, Bezuidenhout [2] avait étudié le PGD associé à (1.1) sous la condition (1.3) dans le cas où σ est identité et d’autre part, Eizenberg & Freidlin [7] considéraient le même problème sous la condition (1.4) dans le cas où σ est l’ identité et avaient montré que le problème est fortement lié au comportement asymptotique d’un cer- tain système d’équations aux dérivées partielles (EDP). Plus précisément, considérons le problème de Dirichlet pour le système d’E.D.P.







L^ε_ku^ε_k(x) +^Pn_j=1d_kj(x)u^ε_j(x)−u^ε_k(x)= 0, x∈D⊂R^d u^ε_k/∂D= Ψ_k, u^ε_k∈ C²(D)∩ C(D), k= 1, . . . , n

(1.5) où D est un domaine connexe borné avec un bord ∂D de classe C², voir [7], [5] et [6].

Les opérateursL^ε_k sont donnés par L^ε_ku= ε

2

d

X

i,j=1

a^ij_k(x) ∂²u

∂xⁱ∂x^j +

d

X

j=1

bⁱ_k(x)∂u

∂xⁱ (1.6)

pour tout u∈ C²(D), Ψ∈ C(∂D) ; pour chaquek= 1, . . . , n, l’application a_k:R^d→R^d⊗R^dest de classeC_b² ; (1.7) bk:R^d→R^d est de classeC_b¹ ; (1.8) d:R^d→Rⁿ⊗Rⁿ est de classeC_b¹ (1.9) avec dkj(x)>0 pour tous k, j ∈ {1, . . . , n}.

Suivant les idées d’Eizenberg & Freidlin [7],{u^ε₁(x), . . . , u^ε_n(x)}, solution de (1.5), est représentée par :

u^ε_k(x) =Ex,k

Ψ_νε(τ^ε)(X_τ^εε), (1.10) oùτ^ε= inf{t, X^ε(t)∈∂D} (1.11) le couple (X^ε, ν^ε) est tel que la première composante est solution de (1.1) avec σ_k:R^d→R^d⊗R^r est de classeC_b² etb_k:R^d→R^d est de classeC_b¹,

σk(x)σ_k^∗(x) =ak(x), (1.12) b_k(x) =b¹_k(x), . . . , b^d_k(x) (1.13) et la deuxième composante vérifie (1.4).

Le but de cet article est d’étendre dans le cas σy(x) quelconque les résultats de [2], [7] cas où la matrice σ_y(x) est égale à l’identité et [8], cas où la matrice σy(x) est indépendante dey. Signalons qu’il existe d’autres traitements de (1.1), cf Hu [17], Mellouk [9] et nous mêmes ([13],[14]).

Dans tout cet article, nous supposons que l’hypothèse suivante est vé- rifiée :

H. 1.

– L’application b:R^l×R^d→R^d qui à (y, x) associe b_y(x) est lipschit- zienne et bornée i.e. il existe une constanteC telle que

|b_y(x)−b_y⁰(x⁰)|6C(|y−y⁰|+|x−x⁰|) ;|b_y(x)|6C, pour tout (x, x⁰, y, y⁰)∈(R^d)²×(R^l)².

– De même, l’application σ:R^l×R^d → R^d⊗R^r qui à (y, x) associe σy(x) est lipschitzienne et bornée.

– W est un (Ω,G,G_t,P)-mouvement brownien à valeurs dans R^r véri- fiant les conditions habituelles.

Dans tout cet article, C(R^d) désignera l’espace des fonctions continues de [0,1] dans R^d, muni de la norme uniforme kfk_C(Rd) = sup_t∈[0,1]|f(t)|. De même, nous notons C_x(R^d) le même espace constitué des fonctions issues de x en t= 0.

Nous notons H(R^d) le sous-espace de Cameron-Martin surR^d H(R^l) =

( f: [0,1]−→R^d, f absolument continue telle que f(0) = 0 et ^R₀¹|f˙s|²ds <+∞

) .

H(R^d) est un espace d’Hilbert muni du produit scalaire défini par hf, gi_H(Rd)=

Z 1 0

f˙s.g˙sds.

Cet article comporte trois sections.

Dans la section 2, sous l’hypothèseH.1, nous énonçons d’une part, dans le théorème 2.1, le PGD relatif à X^ε, solution de (1.1) lorsque ν^εsatisfait (1.3), et d’autre part, dans le théorème 2.7, le PGD relatif à X^ε lorsque ν^εsatisfait (1.4) et dans le théorème 2.11, le comportement asymptotique du couple (X_τ^εε, ν_τ^εε) où τ^ε est le temps de sortie deX^ε hors du domaine D. La sections 3 est consacrée à la preuve théorème 2.1 et la section 4 aux preuves des théorème 2.7 théorème 2.11.

Remerciements. Nous tenons à exprimer toute notre reconnaissance au referee pour ses précieuses remarques.

2. Principaux résultats

2.1. PGD pour X lorsque ν satisfait à un PGD Nous introduisons l’hypothèse suivante

H. 2. ν^εest un processus indépendant du brownien √

εW à valeurs dans R^l satisfaisant un PGD avec une bonne fonctionnelle d’action I.

Théorème 2.1. Sous les hypothèsesH.1 etH.2, notonsP^ε la loi deX^ε, solution de (1.1) considérée comme une v.a. à valeurs dans C_x(R^d). Alors

P^ε satisfait à un PGD avec la fonctionnelle d’action λ définie par λ(g) = inf

(φ,f){S(f) +I(φ)/ g=F_{x, φ}(f)}, (inf{∅}= +∞) (2.1) où F est définie par

g=F_x,φ(f)⇐⇒dgt=^hσ_φ(t)(gt) ˙ft+b_φ(t)(gt)ⁱdt; g(0) =x, I est donnée dans H.2, et

S(f) = ( ₁

2kfk²

H(R^r),sif ∈H(R^r)

+∞ sinon. (2.2)

Remarque 2.2. Signalons le fait que notre situation contient le cas où ν^ε(t) =ε

[t/ε]

X

i=1

X_i; t∈[0,1]

avec X_i une suite de variables indépendantes,(cf.Mogulskii [10] et Dembo

& Zeitouni [3]). Signalons aussi le fait que si ν^ε = √

εW^f où Wf_t est un mouvement brownien indépendant de W, le résulat est trivial. En effet, ceci résulte tout simplement de la théorie de Wentzell & Freidllin [16] et du principe classique des contractions, [3].

2.2. Petites perturbations des équations d’évolutions aléa- toires

2.2.1. Énoncé du résultat du PGD de X

Dans toute la suite, nous supposons vérifiée l’hypothèseH.1. Nous éten- dons au cas oùσ_kest quelconque, les résulats de Freidllin & Eizemberg [7].

A cet effet, nous faisons un changement de probabilités comme dans [7] et étudions les résultats de grandes déviations associés au processus (Z^ε, ν) où ν(t) est un processus de Markov discret à valeurs dans {1, . . . , n}avec les probabilités de transition :

P{ν(t+ ∆) =k/ν(t) =i}= ∆ +o(∆), (2.3)

∆&₀ ∀i6=k eti, k∈ {1, . . . , n} et le processus Z^ε est solution de dZ_t^ε=√

εσ_ν(t)(Z_t^ε)dW_t+b_ν(t)(Z_t^ε)dt; Z₀^ε=x∈R^d. (2.4)

Notre méthode est basée sur les idées d’Azencott [1] voir aussi [4] et [11] en étudiant la propriété de quasi-continuité de l’application

F:H(R^r)× F −→ C_x(R^d)

définie par ϕ=F_x(g, f) si et seulement si ϕ_t est solution de

dϕt=^hσ_f(t)(ϕt) ˙gt+b_f(t)(ϕt)ⁱdt; ϕ(0) =x, (2.5) où F désigne l’espace des fonctions continues à droite

ν: [0,1]→ {1, . . . , n}, telle que ν(0) = 1,

avec la métrique définie par laL¹-topologie (ou la topologie de Skorohod) notée ρF ou de la norme | |_F.

Considérons les processus définis par (2.4) et (1.1) et ν^εvérifiant (1.4).

Il est connu (Eizenberg & Freidlin [7]) que la mesure µ^ε₁ loi de (X^ε, ν^ε) définie par (1.1) et (1.4) est absolument continue par rapport à µ^ε₂, loi de (Z^ε, ν) solution de (2.4) et la densité est donnée par

p^ε₁(Z^ε(.), ν(.)) = dµ^ε₁

dµ^ε₂(Z^ε(.), ν(.))

=

n(1)−1

Y

i=0

d_{ν(ηi),ν(ηi+1)}(Z^ε(η_i+1)) (2.6)

×exp



−

n(1)

X

i=0

Z ηi+1∧1 ηi

d_ν(ηi)(Z^ε(s)−n+ 1)ds



, où

d_k(x) =

n

X

i=1, i6=k

d_ki(x) (2.7)

et η_i est une suite de temps d’arrêt définie par :

η₀ = 0; η_i+1 = inf{s > η_i:ν(s)6=ν(η_i)} (2.8)

n(1) = max{i/η_i61}. (2.9)

Si n(1) = 0, alors

p^ε₁(Z^ε(.), ν(.)) = exp

− Z 1

0

d_ν(0)(Z^ε(s)−n+ 1)ds

. (2.10)

De la même manière qu’Eizenberg & Freidlin [7], nous déduisons des ré- sultats de grandes déviations de (Z^ε, ν) ceux de (X^ε, ν^ε) en utilisant (2.6) à (2.10).

Pour chaque ϕ∈Cx(R^d) etf ∈ F, nous définissonsSf(ϕ) par

Sf(ϕ) = inf{S(ψ), lorsqueFx(ψ, f) =ϕ}, (2.11) où S est définie dans (2.2) etFx dans (2.5).

Considérons σ une matrice d×r et Q la forme quadratique sur R^d définie parQ(v) =< v, σσ^∗v >; on définit la forme quadratique conjuguée Q^∗ par

Q^∗(v) = inf{|w|²; w tel queσv=w}

⇐⇒Q^∗(v) = sup{2ht, vi −Q(t); t∈R^d} (2.12) Remarquons que Q^∗(v)> _||σ||^|v|22, que siσσ^∗ est inversible alorsQ^∗(v) = hv,(σσ^∗)⁻¹vi et que siσ est d×dinversible,

Q^∗(v) =|σ⁻¹(v)|². (2.13) Pour chaque f ∈ F, prenonsσ=σ_f(x), nous obtenons alors

Qx,f(v) =|σ_f(x).v|² (2.14) et on noteQ^∗_x,f(v) la forme quadratique conjuguée qui, vu (2.12) est s.c.i.

en (x, v) et convexe env. Notons queQ^∗_x,f(v)> ^|v|_C². Si l’on pose

Θ_f(x, v) =Q^∗_x,f(v−b_f(x)), (2.15) Θ_f(x, v) a la même propriété, et de plus :

Θ_f(x, v)> 1

2C²|v|²−1. (2.16)

Pour chaque f ∈ F et ϕ∈ C_x(R^d), nous avons alors S_f(ϕ) =

(₁

2

R1

0 Θ_f(t)(ϕ(t),ϕ(t))dt˙ si ϕ∈Hx(R^d)

+∞ sinon. (2.17)

Par (2.16),S_f(ϕ)6a=⇒^R₀¹|ϕ˙_t|²dt6(2+4a)C²d’où l’on peut déduire que {S_f 6a}est un compact de C_x(R^d).

Proposition 2.3. La fonctionnelle S_f définie dans (2.17) est s.c.i. sur C_x(R^d) et les ensembles de niveaux sont compacts. De plus, pour tout ϕ∈ C_x(R^d) vérifiant S_f(ϕ)6+∞ l’inf est atteint. Enfin,

Fx{{S 6a} × {f}}={S_f 6a}.

Remarque 2.4. Siσ_f est-d×dinversible, S_f(ϕ) =

(₁

2

R1

0 |σ⁻¹_f(t)(ϕt).( ˙ϕt−b_f(t)(ϕt))|²dt siϕ∈Hx(R^d)

+∞ sinon. (2.18)

Fixons f ∈ F. Notons T^ε(f, dν) la loi de Z^ε,f = (Z_t^ε,f)_t∈[0,1], solution de

dZ_t^ε,f =√

ε σ_f(t)(Z_t^ε,f)dW_t+b_f(t)(Z_t^ε,f)dt; Z₀^ε,f =x∈R^d. (2.19) AlorsT^ε(. , dw) est une version particulière de la loi conditionnelle de Z^ε sachant ν. Nous obtenons alors

Théorème 2.5. Sous l’hypothèseH.1, la famille T^ε(f,·) comme une v.a.

à valeurs dans C_x(R^d) satisfait à un PGD de fonctionnelle d’action S_f. Preuve. On déduit ce théorème du théorème 4.1.

Nous introduisons l’hypothèse générale suivante, que nous allons vérifier dans la démonstration voir la section 4.

H. 3. Supposons qu’il existe une suite de boréliens (F_k) F_k⊆ F, F_k⊆ F_k+1, k>1 telle que ∀k, α >0, f₀ ∈ F_k

m{f⁰ ∈ F_k; |f⁰−f0|_F < α}>δ(k, α)>0, (2.20) où δ(k, α) est indépendant de f₀. De plus, pour tous δ, s > 0, il existe k=k(δ, s) tel que pour tousf ∈ F_k, ϕ∈ C_x(R^d) on a

||ϕ−ϕ||˜ _C

x(R^d)6δ, Sf˜( ˜ϕ)6S_f(ϕ) +δ. (2.21) Posons ˜S(ϕ) = inf_f∈FS_f(ϕ). La fonction ˜S n’est pas nécessairement semi-continue (voir Bezuidenhout [2]). Considérons la variante s.c.i. S^∗ definie par

S^∗(ϕ) = lim

ϕ⁰→ϕ.inf ˜S(ϕ⁰)∧S(ϕ).˜

Posons Φ^∗(s) ={ϕ:S^∗(ϕ)6s}et Φ^∗_x(s) = Φ^∗(s)∩ C_x(R^d).

Théorème 2.6. Sous l’hypothèseH.1, on a

a) ∀s, γ, δ >0, ∃ ε0(s, γ, δ)>0 et M =M(s, γ, δ)>0 P(Z_x^ε ∈Bδ(ϕ) et f ∈ F_M)>exp

−S^∗(ϕ) +γ ε

, (2.22) pourvu que ϕ∈Φ^∗_x(s), x∈R^d etε6ε₀.

b) Soit C un fermé de C_x(R^d), alors ∀γ >0,∃ ε⁰₀ >0 tel que ∀ε6ε⁰₀ P(Z_x^ε∈C)6exp

−S^∗(C)−γ ε

et S^∗(C) = inf

ϕ∈C{S^∗(ϕ)}. (2.23) De la même façon qu’Eizenberg & Freidlin [7], choisissons

F_k ={v(.)∈ F;n(1, v(.))6k}

oùn(1, v(.)) est défini dans (2.8) et (2.9). Comme nous l’avons mentionné, les formules (2.6) à (2.10) et le théorème 2.6 impliquent les résultats de grandes déviations associés au processus (X^ε, ν^ε). Plus précisément, on a Théorème 2.7. On notePx,i pourPquand X(0) =x et ν(0) =i. Sous l’hypothèse H.1, on a

a) L’ensembleΦ^∗_x(s) ={S^∗6s} ∩ C_x(R^d)est compact ∀s >0 et∀x∈R^d. b) ∀s, γ, δ >0,∃ε₁(s, γ, δ)>0 et M =M(s, γ, δ)>0

Px,i(X^ε∈B_δ(ϕ) et n(1)˜ 6M(s, γ, δ))>exp

−S^∗(ϕ) +γ ε

(2.24) pourvu que ϕ∈Φ^∗_x(s), x∈R^d,16i6n etε6ε1.

c) Soit C un fermé de Cx(R^d), alors ∀γ >0,∃ε₁>0 tel que∀ε6ε1

Px,i(X^ε∈C)6exp

−S^∗(C)−γ ε

et S^∗(C) = inf{S^∗(ϕ), ϕ∈C}.

(2.25) Remarque 2.8. Le fait que ces estimations sont uniformes par rapport à i∈ {1, . . . , n}est trivial (cf. Wentzell & Freidlin [16]).

Remarque 2.9. Les résultats du théorème 2.6 restent valables si l’on consi- dère le processus X^ε= (X_t^ε)_t∈[0,1], solution de

dX_t^ε =√

εσ_ν^ε_(t)(X_t^ε)dWt+b_µ^ε_(t)(X_t^ε)dt; X₀^ε=x∈R^d, En effet, on pose v^ε(t) = (ν^ε(t), µ^ε(t)). Donc X^ε =F(√

ε W, v^ε) avec F mesurable. On suppose que supp v^ε est compact. Alors les théorèmes 4.1 et 4.2 sont valables qui impliqueront à leur tour les résultats de grandes déviations.

Remarque 2.10. Les résultats du théorème 2.6 sont encore valables sibest à croissance linéaire en x i.e. il existe une constanteC telle que

|b_y(x)|6C(1 +|x|).

A cet effet, on pourra modifier une variante de la méthode d’Azencott, cf. Stroock [15] page 86 par exemple.

2.3. Goulot de sortie

Maintenant, nous allons donner le comportement asymptotique de {u^ε₁(x), . . . , u^ε_n(x)},

solution de (1.5) lorsque ε tend vers 0. Ici, τ⁰ désigne le temps de sortie de X⁰, solution de (1.2) hors deD. Pour chaque x, y∈D, définissons

V(x, y) = inf

ϕ S^∗(ϕ) (2.26)

où l’infinimum est pris sur tous les ϕ∈ C_x([0,1],R^d),ϕ(0) =x,ϕ(1) =y.

H. 4. I) ∀k ∈ {1, . . . , n}, les matrices ak(x) = σ_k^∗(x)σk(x) sont inver- sibles en tout point x∈R^d.

II) Il existe un compact X₀ ⊂ D contenant tous les point-limite des systèmes dynamiques

dS_i^tx

dt =bi(S^t_ix); S_i⁰x=x, i∈ {1, . . . , n}, (2.27) tel que

V(x, y) =V(y, x) = 0,∀x, y∈ X₀. (2.28) III) hn(x), b(x)i<0 pour x∈∂D, i∈ {1, . . . , n}, où n(x) est la normale

extérieure en x∈∂D.

IV) Il existe x₀ ∈ ∂D tel que V(X₀, x₀) < V(X₀, x), ∀x ∈ ∂D, où V(X₀, y) =V(z, y),∀z∈ X₀.

H. 5. Il existe i₀ ∈ {1, . . . , n} tel que

g_i0(x₀)< g_i(x) pour tout i∈ {1, . . . , n};i6=i₀, (2.29) où x₀ est défini dansH.4 IV)etg_i(x) =−hn(x), b_i(x)i>0 pourx∈∂D, i∈ {1, . . . , n}.

Théorème 2.11.

i) Sous l’hypothèse H.4, on a pour tous δ >0, k∈ {1, . . . , n}

limε↓0 Px,k(|X^ε(τ^ε)−x0|> δ) = 0 (2.30) uniformément sur tous les compacts X ⊂D.

ii) Si en plus l’hypothèseH.5est satisfaite, alors on a pourk∈ {1, . . . , n}

limε↓0Px,k(ν^ε(τ^ε) =i0) = 1 (2.31) uniformément sur tous les compacts X ⊂D.

Nous avons aussi le résultat suivant

Corollaire 2.12. Sous l’hypothèse H.4 et l’hypothèse H.5, on a pour k∈ {1, . . . , n}

lim

ε↓0u^ε_k=ψ_i0(x₀) (2.41) uniformément sur tous les compacts X ⊂D.

3. Preuve du Théorème 2.1

Pour chaque z ∈ R^d, ν ∈ Suppν^{ε def}= F, muni d’une distance ρF ou d’une norme | |_F etf ∈H(R^r), définissons une application

g=Fz,ν(f)⇐⇒dgt=^hσ_ν(t)(gt) ˙ft+b_ν(t)(gt)ⁱdt; g(0) =z. (3.1) Posons

X^ε=F_ν^ε √

ε W etX_ν^ε,fε =F_ν^ε(f). (3.2) Le théorème 2.1 va résulter du théorème 3.1

Théorème 3.1. ∀A, R, ρ > 0, ∃ ε₀ > 0, α, r > 0 tels que si ε 6 ε₀, R1

0 |f˙_s|²ds6A, |z−x|< r, on a εlogP

|ν^ε−ν|_F+||√

εW −f||_C0(Rr)< α;

||X^ε−Fz,ν(f)||_C(

R^d) > ρ6−R. (3.3)

Preuve. Du fait que n||X^ε−g||_C(

R^d)> ρ; ||√

ε W−f||_C0(Rr)+|ν^ε−ν|_F < α^o

⊂

k|X^ε−X_ν^fε||_C(

R^d)> ρ 2; ||√

ε W −f||_C0(Rr)< α

[

||g−X_ν^fε||_C(

R^d)> ρ

2;|ν^ε−ν|_F < α

=I∪II, nous devons estimer P(I) et P(II).

Lemme 3.2. ∀A, ρ >0, ∃α, r >0tels que si^R₀¹|f˙s|²ds6A, |z−x|< r, on a

P

||g−X_ν^fε||_C(

R^d)> ρ

2; |ν^ε−ν|_F <2

= 0. (3.4)

Preuve.

|X_ν^fε(t)−g_t|_C(

R^d)6|x−z|+

Z t 0

σ_ν^ε_(s)(X_ν^fε(s)(s))−σ_ν(s)(g_s)f˙_sds +

Z t 0

b_ν^ε_(s)X_ν^fε(s)(s)−b_ν(s)(gs)ds . Grâce à l’hypothèse H.1 et grâce au lemme de Gronwall, il existe une constante C telle que

||g−X_ν^fε||_C(

R^d)6|x−z|+C(A^1/2+ 1)|ν^ε−ν|_Fe^C(A1/2+1). Si

|x−z|< ρ

8 e^−C(A1/2+1) etα < ρ

4C(A^1/2+ 1)e^−C(A1/2+1),

alors P(II) = 0.

Pour l’estimation de P(I), on utilise

Lemme 3.3. ∀A, R, ρ >0, ∃ ε₀>0, α, r >0 tels que si ε6ε₀, R1

0 |f˙_s|²ds6A, |z−x|< r, on a εlogP

||√

ε W −f||_C0(Rr)< α; ||X^ε−X_ν^fε||_C(

R^d)> ρ 2

6−R. (3.5) Preuve. Pour la preuve de ce lemme, nous renvoyons le lecteur à Azencott [1], Priouret [11], Doss & Priouret [4] et nous-même [12], [13] et [14].

Ceci termine la preuve du théorème 3.1.

Proposition 3.4. L’application deR^d×{I 6a1}×{S6a2}dansC_x(R^d), associantg=F_z,ν(f)définie dans (3.1) est continue, où{I 6a₁}est muni d’une certaine topologie et{S6a2}muni de la topologie de la convergence uniforme.

Avant de démontrer le théorème 2.1, nous allons rappeller sous forme de proposition les résultats de Bezuidenhout [2], voir aussi Dembo & Zeitouni [3] concernant le couple (ν^ε,√

ε W).

Proposition 3.5. SousH.2, la famille(ν^ε,√

ε W)considérée comme une v.a. à valeurs dans E =L^∞(R^d)× C_x([0,1],R^d) satisfait à un PGD avec la fonctionnelle d’action

˜λ(h) = inf{I(ϕ) +S(f) lorsqueh= (ϕ, f)} (3.6) où S est définie dans (2.2) et I est donnée dans H.2.

3.1. Preuve du théorème 2.1

Du fait que {λ6a}=Fx{I+S 6a}, la compacité des ensembles de niveaux résulte des propositions 3.4 et 3.5.

Minoration. La minoration se déduit de la proposition 3.6 suivante : Proposition 3.6. Soit g∈ C(R^d) telle que λ(g)<+∞. Alors∀η, ρ >0,

∃ ε0 >0 et r >0 tels que siε6ε0 et|z−x|< r, on a εlogP

||X_x^ε−g||_C(

R^d)< ρ>−λ(g)−η.

Démonstration. Soit (ϕ, f) tel que F_z,ϕ(f) = g et λ(g) = inf{I(ϕ) + S(f)/Fz,ϕ(f) =g} et soitR=λ(g) +η, alors

P

||X_x^ε−g||_C(Rd)< ρ>P

h|ν^ε−ϕ|F+||√

εW −f||_C0(Rr) < αⁱ

−P

n||X_x^ε−g||_C(

R^d) >ρ;|ν^ε−ϕ|_F +||√

εW −f||_C0(Rr)< α^o

>P

h|ν^ε−ϕ|_F +||√

εW −f||_C0(Rr)< αⁱ−exp

−R ε

si α est bien choisi et si |z−x| < r (voir le théorème 3.1). Mais par la proposition 3.4, si ε6ε₁

−λ(g)−η

2 =−˜λ(ϕ, f)− η 2 6εlogP

h|ν^ε−ϕ|_F+||√

εW −f||_C0(Rr)6αⁱ 6εlog 2 + Max−R, εlogP ||X_x^ε−g||_C(

R^d)< ρ mais étant donné le choix de R, ce maximum ne peut-être −R, d’où le

résultat.

Majoration. Soit F un fermé. Si λ(F) = 0, il n’y a rien à montrer.

Sinon soit a > 0 tel que a < λ(F) et soit R > a. Si K_a = {λ 6 a} et Ca={I+S 6a}, alorsKa=Fx{I+S 6a}.

Soit (ϕ, f) ∈Ca, g=Fx,ϕ(f) donc λ(g)6a < λ(F), d’oùg∈F^c et il existe ρz >0 tel que Bx(g, ρz) ⊂F^c, Z^e = (ϕ, f). Par le théorème 3.1, il existeαz >0, εz >0 tels que siε < εz, on ait en posantZe^ε= (ν^ε,√

ε W) P{||X^ε−F_z(Z)||e _C(

R^d)>ρ_z;||Ze^ε−Z||e _{F ×C0(R}r)< α_z}6exp

−R ε

,

où l’on a posé Fz(Z) =e Fz,ϕ(f) siZe = (ϕ, f) et

||Ze^ε−Z||e _{F ×C0(R}r)=|ν^ε−ϕ|_F +||√

εW −f||_C0(Rr). Comme Ca ⊂ ^S

Z∈e CaB(Z, α^e

Ze), on peut trouver Ze₁, . . . ,Z^en ∈ Ca telles que, notant α_k,ε_k,ρ_k,g_kpour α

Ze_k,ε

Ze_k,ρ

Ze_k,F_x(Ze_k),C_a⊂^Sn₁B(Z^e_k, α_k) ouvert et F ⊂B^c(g_k, ρ_k). On a alors

(Ze^ε ∈U)∩(X^ε∈F) =

n

[

1

n||Ze^ε−Ze_k||_{F ×C0(R}r)< α_k, X^ε∈F^o

⊂

n

[

1

n||Ze^ε−Zek||_{F ×C0(R}r)< αk, ||X^ε−gk||_C(Rd)> ρk

o

et donc si ε6ε1∧ · · · ∧εn,on aP(Ze^ε∈U, X^ε∈F)6nexp−^R_ε. Finalement, du fait que

P(X^ε∈F)6P(Ze^ε∈U, X^ε∈F) +P(Ze^ε∈U^C)

on déduit, du fait que U^c⊂C_a^c, lim

ε↓0 .supεlogP(X^ε∈F)6Max (−R,−λ(U˜ ^c))6−a.

4. Preuve du Théorème 2.7

Nous commençons par la preuve du théorème 2.5.

4.1. Preuve du théorème 2.5

La preuve du théorème 2.5 se déduit du théorème 4.1

Théorème 4.1. ∀ s, R, ρ > 0, ∃ ε₀ > 0, α, r > 0 tels que si ε 6 ε₀, R1

0 |ψ˙u|²du < s,|z−x|< r, on a P ||√

ε W−ψ||_C0(Rr)< α;||Z_f^ε−F_z(ψ, f)||_C(

R^d)> ρ6exp

−R ε

. (4.1) Preuve. Pour la preuve de ce théorème, nous renvoyons le lecteur à Azen-

cott [1] et Rabeherimanana [12], [13] et [14].

De la même façon, nous avons :

Théorème 4.2. ∀ s, R, ρ >0, ∃ ε₀ >0, α, r >0 tels que si ε6ε₀, R1

0 |ψ˙_u|²du < s, |z−x|< r, on a εlogP

||√

ε W −ψ||_C0(Rr)< α,|ν−f|_F < α;

||Z^ε−Fz(ψ, f)||_Cx(Rd) > ρ6−R. (4.2) Vérification de l’hypothèse H3. Pour (2.20), (cf. Eizenberg & Freidlin [7]). Pour simplifier, nous démontrons (2.21) dans le cas où σ_f(x) est partout inversible.

Soient donc (ϕ, f) ∈ C_x(R^d)× F et s > 0 tels que Sf(ϕ) < s. Alors (2.17) implique que ϕest höldérienne de puissance 1/2.

|ϕ(t₁)−ϕ(t2)|6(2 + 4s)^1/2C.|t₁−t2|¹² (4.3) Soit m >0, divisons [0,1] enm segments de longueur _m¹. Nous avons :

S_f(ϕ)− 1 2

m−1

X

j=0

Z ^j+1

m j m

σ⁻¹_f(t)ϕ^j

m

ϕ˙_t−b_f(t)(ϕ^j

m

)²dt

= 1

2

m−1

X

j=0

Z ^j+1

m j m

D hσ⁻¹_f(t)(ϕ_t) +σ⁻¹_f(t)ϕj m

i ( ˙ϕ_t)

−σ⁻¹_f(t)(ϕ_t)^hb_f(t)(ϕ_t)−b_f(t)ϕj m

i

−^hσ⁻¹_f(t)(ϕt) +σ_f⁻¹_(t)ϕ^j

m

i b_f(t)ϕ^j

m

,^hσ_f⁻¹_(t)(ϕt)−σ_f⁻¹_(t)ϕ^j

m

i( ˙ϕt)

−σ⁻¹_f(t)(ϕ_t)^hb_f(t)(ϕ_t) +b_f(t)ϕj m

i

+^hσ⁻¹_f(t)ϕj m

−σ_f⁻¹_(t)(ϕ_t)ⁱ b_f(t)ϕj m

Edt

≤ 1 2

9

X

j=1

I_j, (4.4)

où par (4.3), I₁= 2 max

i∈[1,n]

x∈R^d

|σ⁻¹_i (x)|.max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Oσ_i⁻¹(x)|.m⁻¹²(2 + 4s)^1/2C Z 1

0

|ϕ˙_t|²dt

I₂ = 2(max

i∈[1,n]

x∈R^d

|σ⁻¹_i (x)|)².max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Ob_i(x)|.m⁻¹²(2 + 4s)^1/2C Z 1

0

|ϕ˙_t|dt

I₃ = 2 max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Ob_i(x)| max

i∈[1,n]

x∈R^d

|σ⁻¹_i (x)|.max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Oσ_i⁻¹(x)|

m⁻¹²(2 + 4s)^1/2C Z 1

0

|ϕ˙t|dt I4 = max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Obi(x)| max

i∈[1,n]

x∈R^d

|σ⁻¹_i (x)|.max

i∈[1,n]

x∈R^d

|Oσ_i⁻¹(x)|

m⁻¹(2 + 4s)^1/2C Z 1

0

|ϕ˙_t|dt