Solution de deux des problèmes de géométrie, proposés à la page 304 du XIII.e volume des Annales

Solution de deux des problèmes de géométrie, proposés à la page 304 du XIII.e volume des Annales

Annales de Mathématiques pures et appliquées, tome 14 (1823-1824), p. 24-27

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Solution de deux des problèmes ^de géométrie, proposés

à la page 304 ^{du XIII.e volume des Annales ;}

Par M. C. G. (*).

PROBLÈME

^{I. Deux}

_angles

mobiles donnés étant

assujettis à

tourner sur un

plan

^{autour de leurs sommets}

^fixes,

^{de telle sorte}

qu’un

^{côeé de l’un et un côté} de l’autre se

coupent

constamment sur une droite

donnée, quelle

^{est la} courbe que ^{ddcrira sur ce}

plan

l’intersection mobile des deux autres côtés de ^ces

angles?

Solution. ^Soit

prise

pour ^{axe des x la} droite indéfinie ^sur la-

quelle

^{doivent se couper} constamment deux côtés de ces

angles en prenant

^{pour axe des} y ^une

perpendiculaire quelconque

^{à cette}

droite. Soient alors

(a, b)

^et

(a’,b’)

^{les deux sommets}

fixes,

^{m et ml les}

_tangentes

tabulaires des

angles correspondans ,

^et

enfin ^t la distance variable de

l’origine

^au

point

^{de l’axe des, x}

où

deux

côtés de ces

angles

^{doivent se} couper.

Représentons

^les

équations

^des côtés des deux

angles

^ainsi

qu’il

suit

(*) ^{M. C. G. nous a}

aussi adressé une

démonstration du théorème énoncé

àja _page ^2I2 du tome, XIIIe, mais , comme elle est en tout semblable

àcelle qu’a

^donne

M. Querret

^{à la} page

32I

du même

volume,

^{il nous}

suffira ^{de la} mentionner ici.

J D. G.

y-b

RÉSOLUES. 25

les

équations

de la dernière

ligne

^{étant celles des côtés}

qui ^doivent

se couper ^sur l’axe

des x,

^{à une} distance t de

l’origine.

^Nous

aurons

mais,

^{en mettant t} pour x ^{et o} pour y dans les

équations

^de

la dernière

ligne,

^elles

^doivent

^être

satisfaites ;

d’où il suit

qu’on

doit avoir ^-

Substituant donc les valeurs de N et

N’,

^{tirées de ces deux}

équations

^{dans les}

expressions

^{de m et}

^m’,

^celles-ci deviendront

ce qui donne

équations

^entre

lesquelles

éliminant t, ^il viendra

Tom. XIV.

4

pour les valeurs données par les

équations

^{de la}

première ligne,

^{et chassant les}

dénominateurs ,

nous aurons, pour

l’équation

de la courbe

demandée ,

cette. courbe ^est donc une

ligne

^{du second}

^{ordre ,}

^{et on voit de}

plus qu’elle

passe par les ^sommets des deux

angles.

Il est aisé de voir que ^{cette courbe} peut ^{être une}

quelconque

des sections

coniques.

^{011 trouve , en}

particulier , qu’elle

^{est un}

cercle,

^{si l’on a}

PROBLÈME

II.

Quelle

^{est la courbe}

plane

^de

^chacun des points

^de

laquelle

^{menant des droites à deux}

points fixes

^{de son}

plan, ^ces

^droites

intercepteut

^{entre elles des}

portions égales

^dune

droite

indéfinie

^{donnée sur le même}

plan ?

Solution. Soient

prises

pour ^axe

des

^x la droite indéfinie

donnée,

et pour ^axe

des y

^une

perpendiculaire quelconque à

^{cette droite.}

Soient

(a, b)

^et

(al, b’)

^{les deux}

points ^{fixes donnés,}

^{t et tl les}

distances variables de

l’origine

^{aux deux}

points

^{où l’axe des x est}

coupé

par les droites

qui ,

partant ^{d’un même}

point

^{de la}

^courbe, passent

par les deux

points ^{fixes ;}

^{et soit enfin k la}

portion

^{de l’axe}

des x qui

^{doit être}

interceptée

par ^ces deux droites.

En

prenant

^pour

équations respectives

^{des droites mobiles}

il faudra d’abord

exprimer quelles

^sont satisfaites en y ^{mettant t}

et t’ ^pour

^{x et}

^zéro pour y,

^ce

qui ^donnera

RÉSOLUES.

27

M

mais on doit avoir

donc

^en

substituant,

Substituant enfin dans cette dernière

équation,

^pour

^M

^{et MI les}

valeurs données par les

équations

^{des deux}

^droites,

^il

^{viendra ,}

^en

chassant

^les

dénominateurs ,

pour

l’équation

^{de la courbe}

^{cherchée ,}

équation qui appartient

essentiellement à ^une

hyperbole passant

par les deux

points

^donnés.

Il est clair que , pour chacun de .ces deux

points,

^{l’une des droites}

qui

^devront

intercepter

^la

longueur

^donnée

^sur

^{l’axe des x sera la.}

droite

passant

par l’une ^et

l’autre,

^tandis _que ^{l’autre sera la}

tangente

au

point

^{dont il}

s’agit , laquelle conséquemment

doit couper l’axe des x à ^une distance k du

point

^{où il est}

coupé

par la

droite qui

contient les deux

points

^fixes.

.

Quelle

que soit la

longueur k,

^on peut

toujours

par les

points

fixes conduire deux droites

parallèles

^{entre elles}

qui interceptent

^cette

même

longueur

^{sur l’axe des x ; ces}

parallèles indiqueront

^évidem-

ment la direction de l’une des

asymptotes qui

^{sera la}

parallèle à

ces droites

également

^{distante de}

^{l’une et}

^de

^{l’autre ; quant}

^{à l’autre}

asymptote ,

^{ce sera}

toujours

^{l’axe des x. On voit par là} que si ^la dis-

tance a2013a’ entre

les projections

^des

points

^{fixes sur l’axe des z.}

était

égale

^à

^{k ,} l’hyperbole

^serait

équilatère.

Si les deux

points

^{fixes étaient sur une}

parallèle à

^{la droite}

donnée;

c’est-à-dire,

si l’on avait

b=b’, l’hyperbole

^se

changerait

^{en deux}

parallèles

^{à l’axe}

dex x;

^ce

qu’il

^est d’ailleurs facile de vérifier par des

considérations géométriques