Chapitre III : LES GRAPHES ORIENTÉS, ÉTIQUETÉS, PONDÉRÉS
I- Graphes orientés 1) Définitions
Définition 1 : Un graphe est orienté si ses arêtes ne peuvent être parcourues que dans un sens.
L’orientation des arêtes est indiquée par des flèches sur les arêtes.
Une arête orientée est aussi appelée un arc.
Une boucle est un arc dont l’origine et l’extrémité coïncident.
Un chemin est une succession d’arcs telle que l’extrémité de chacun (sauf le dernier) est l’origine du suivant.
Le nombre d’arcs qui composent un chemin est appelé la longueur du chemin.
Un chemin fermé est un chemin dont l’origine et l’extrémité coïncident.
Un circuit est un chemin fermé dont les arcs sont tous distincts.
Remarque :
Le chemin du graphe orienté correspond à la chaîne du graphe non orienté et le circuit correspond au cycle.
Exemple : On considère le graphe G ci-dessous :
Le graphe G est orienté d’ordre 5. Il y a une boucle sur les sommets B et E.
A – B – B – C – D est un chemin de longueur 4.
A – D – E – A est un circuit de longueur 3.
A – D – E – E – A est un chemin fermé de longueur 4 mais n’est pas un circuit.
A – B – C – D – E – A est un circuit de longueur 5.
Tableau des degrés des sommets du graphe :
Sommet A B C D E
Degré
Remarque :
Une boucle compte deux fois pour le calcul du degré d’un sommet (une fois pour l’origine et une autre fois pour l’extrémité).
On retrouve la propriété des graphes non orientés : la somme des degrés des sommets dans un graphe est égale au double du nombre d’arêtes.
2) Matrice d’adjacence d’un graphe orienté
Définition 2 : Soit G un graphe non orienté d’ordre ݊.
On numérote les sommets de G de 1 à ݊.
On appelle matrice d’adjacence associée à G la matrice A dont chaque terme ܽ est égal au nombre d’arêtes orientées (arcs) allant du sommet ݅ vers le sommet ݆ (pour tout 1 ≤ ݅ ≤ ݊ et 1 ≤ ݆ ≤ ݊).
Exemple :
La matrice d’adjacence associée au graphe de l’exemple précédent est, en supposant les sommets classée dans l’ordre alphabétique :
ܣ = ۉ ۈۇ
0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 0 0 01 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 1ی
ۋۊ
Remarque :
1) Dans le cas d’un graphe orienté, une telle matrice n’est pas nécessairement symétrique.
2) Les éléments de la diagonale correspondent aux boucles.
3) Le degré d’un sommet se retrouve en additionnant les coefficients de la ligne et de la colonne lui correspondant.
Exemple :
La somme des coefficients de la 2ème ligne et de la 2ème colonne donne 4 et le degré de B est 4.
Remarque :
On admet que les propriétés de ܣ vues pour les graphes non orientés restent valables pour les graphes orientés
II- Graphes étiquetés, graphes pondérés
Définition 3 :
Un graphe étiqueté est un graphe (orienté ou non) dont les liaisons entre les sommets (arcs ou arêtes) sont affectées d’étiquettes (mot, lettre, nombre, symbole,…).
Un graphe pondéré est un graphe étiqueté dont toutes les étiquettes sont des nombres réels positifs ou nuls. Ces nombres sont les poids des liaisons (arcs ou arêtes) entre les sommets.
Le poids d’une chaîne (resp. d’un chemin) est la somme des poids des arêtes (resp. des arcs) qui constituent la chaîne (resp. le chemin).
Une plus courte chaîne (resp. un plus court chemin) entre deux sommets est, parmi les chaînes qui les relient (resp. les chemins qui les relient) celle (celui) qui a le poids minimum.
Exemple : Le graphe ci-dessous est pondéré et non orienté :
Les deux graphes ci-dessous sont étiquetés et orientés :
Remarque : Les sommets des deux graphes étiquetés ci-dessus ne sont pas nommés (à part le premier et le dernier), les lettres A, B, C et E représentent les étiquettes.
III- Chaîne ou chemin de poids minimum
Certains problèmes consistent à déterminer entre deux points donnés le parcours dont le poids (durée, coût, distance,…) est minimal.
On recherche ainsi la chaîne ou le chemin de poids minimal.
L’algorithme de Moore-Dijkstra ci-dessous répond au problème dans les graphes pondérés connexes (orientés ou non) :
Exemple (d’après bac 2009) :
Le graphe ci-contre représente le plan d’une ville.
Le sommet A représente l’emplacement des services techniques.
Les sommets B, C, D, E, F et G désignent les emplacements des jardins publics de la ville.
Une arête représente l’avenue reliant deux
emplacements : elle est pondérée par le nombre de feux tricolores situés sur le trajet.
Proposer un trajet reliant A à G comportant un minimum de feux tricolores.
Résolution :
Tableau complet obtenu :
A B C D E F G
0 2(A) 1(A) ∞ ∞ ∞ ∞
3(C) 5(C) 4(C) 6(C) ∞
2(A) 5(C) 4(C) 6(C) ∞ 3(B) 5(B) 6(C) ∞ 3(B) 4(C) 6(C) ∞ 6(D) 9(D) 8(D) 4(C) 6(C) 8(D) 5(E) 8(D) 7(F)
Conclusion : La chaîne de poids minimum est A – C – E – F – G (son poids est 7) : le parcours de A à G empruntant le minimum de feux tricolores est A – C – E – F – G et il emprunte 7 feux.
(On part de G est on fait le chemin inverse …)
