Outils mathématiques Fonctions

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2018/2019 TSI2, Lycée Jules Ferry 1

Outils mathématiques

Fonctions d’une seule variable

Considérons une fonction f dépendant d’une variable t que l’on note ^{f t}

 

. Dérivée de f par rapport à t est :

     

lim0 dt

f t dt f t df t

dt ^ dt

   

  

  Simplification : df

 

^{f t dt}

 

^{f t}

 

dt t dt

 

 Différentielle de f en t : ^{df t}

 

^ ^{f t dt}



^

  

^ ^{f t}

Soit une fonction f qui dépend d’une variable x, elle-même étant une fonction d’une variable t, ^{f x t}

   

^.

Dérivée d’une fonction composée : df df dx dt dx dt

  

     

Fonctions de plusieurs variables

Dérivée partielle par rapport à x d’une fonction ^{f x y z t}



^{, , ,}



:

       

, ,

, , , , , , , , , , , ,

y z t

f x y z t f x y z t f x dx y z t f x y z t

x x dx

     

  

   

Différentielle d’une fonction ^{f x y z t}



^{, , ,}



:

, , x, , x,y, , ,

y z t z t t x y z

f f f f

df dx dy dz dt

x y z t

 

   

     

        Intégrale simple par rapport à x :



f x y z t dx



^{, , ,}



Intégrale double de la fonction ^{f x y z}



^{, ,}



par rapport à x et y:



f x y z dxdy



^{, ,}



Intégrale triple de la fonction ^{f x y z}



^{, ,}



par rapport à x,y et z:



f x y z dxdydz



^{, ,}



Développements limités

Approximation linéaire : développement limité à l’ordre 1 en physique (|𝑥 − 𝑥₀| ≪ 1), ce qui donne :

    

0 0

  

0

f x f x x x df x

   dx Développements limités usuels en 0 :

           

 

   

     

 

       

2

2 1

2 2

2 1

2 2

1 ... 1

1 1 1 ...

2! !

1 1 ...

1

1 1 ... 1

1

ln 1 ... 1

2

1 ...

!

cos 1 ... 1

2! 2 !

sin ... 1

2 1 !

a n n

n n

n n n

x n n

n n n

a a a n

x ax a a x x o x

n

x x x o x

x

x x x o x

x

x x

x x o x

n

e x x o x

n

x x

x o x

n

x x x o x

n





 

  

       

     



      



      

    

     

    



     

   

2 4 1 4 2 1 2

tan ...

2 !

n n

n n n

x x B x o x

n

  

   

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2018/2019 TSI2, Lycée Jules Ferry 2

Systèmes de coordonnées

A un référentiel d’étude s’associe un repère de centre O servant à définir ce référentiel. La position d’un point M est définie à un instant t par le vecteur position : 𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.

Coordonnées cartésiennes

Dans le repère ℜ(𝑂, 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗), on utilise les coordonnées cartésiennes _𝑧



^{x y z}^{, ,}



^.

Vecteur position 𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑢_𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑢𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑧

𝑥 𝑦 𝑧 )

ℜ

Déplacement élémentaire du point M 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑥𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝑦𝑢_𝑥 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑑𝑧𝑢_𝑦 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑧

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 )

ℜ

Coordonnées cylindriques

Dans le repère ℜ_𝑐𝑦𝑙(𝑂, 𝑢⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢_𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗), on utilise les coordonnées cylindriques _𝑧



^r^{, ,}^ ^z



^.

Vecteur position 𝑟⃗ = 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑧

𝑟 0 𝑧 )

ℜ_𝑐𝑦𝑙

Déplacement élémentaire du point M 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑑𝑟𝑢⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑟𝑑𝜃𝑢_𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑢_𝜃 ⃗⃗⃗⃗⃗ = (_𝑧

𝑑𝑟 𝑟𝑑𝜃

𝑑𝑧 )

ℜ_𝑐𝑦𝑙

Surfaces et volumes élémentaires

Coordonnées cartésiennes Surface élémentaire

x cte dS dydz y cte dS dxdz z cte dS dxdy

 

  

  



Volume élémentaire dVdxdydz

Coordonnées cylindriques

Surface élémentaire r cte dS rd dz cte dS drdz z cte dS rdrd



 

  

  



Volume élémentaire dV rdrd dz 