Transferts d’énergie par conduction

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Transferts d’énergie par conduction

par Guillaume Legros

Maître de Conférences à l’Université Paris VI

Université Pierre et Marie Curie – Paris6

Institut Jean le Rond d’Alembert (CNRS UMR 7190) email: guillaume.legros@upmc.fr

tél: 01 30 85 48 84

Licence de Mécanique – 2^ndeannée Jussieu, année 2008/2009

Rappel

Le transfert d’énergie par conduction se produitdans tout référentiel.

Il est aisément identifiable dans le référentiel lié à un élément matériel, dès lors qu’il existe un gradient de température.

Ce transfert représente l’effet globaldu transport d’énergie par les porteurs élémentaires(molécules, électrons, …).

INTRODUCTION

Introduction Flux conductifs

Flux conducto- convectifs Conditions limites

Equation de la chaleur

Analogie électrique Conclusions

(2)

Cas particulier 1: cas d’un fluide

Les porteurs élémentaires (molécules, atomes, ions, …) sont caractérisés par des énergies de translation, éventuellement de vibration/rotation et des énergies électroniques.

Le formalisme d’Enskog permet d’accéder avec une bonne précision aux propriétés de transport à partir de considérations au niveau élémentaire.

INTRODUCTION

Flux conducto- convectifs

Conditions limites

Cas particulier 2: cas d’un solide

Les atomes sont liés entre eux au sein d’un réseau cristallin plus ou moins parfait.

Les agents de thermalisation sont appelés phonons, résultant de la transmission de proche en proche des quanta de vibration du réseau.

Ces porteurs élémentaires sont éventuellement aidés par les électrons libres.

N.B.: conduction thermique ~ conduction électrique

INTRODUCTION

(3)

Milieu homogène et isotrope

La loi de Fourierpermet d’exprimer le vecteur flux surfacique conduit au sein d’un tel milieu:

où λ(T) est appeléeconductivité thermique[W/m/K]

T est la température

N.B.: Le signe–rend compte du 2^ndprincipe de la thermodynamique.

( ) T grad T q r ^cd = − λ

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTIFS

Analogies

La loi de Fourierest une approximation de la réponse au 1^er ordredu milieu à une perturbation thermique.

En cela, elle estl’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion.

Ex 1: loi d’Ohmsous forme locale

où est le vecteur densité de courant σ la conductivité électrique du milieu

le champ électrique V le potentiel électrique

gradT T

q r

^cd

= − λ ( )

gradV E

j = σ r = − σ r

rj Er

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

FLUX CONDUCTIFS

(4)

Analogies

La loi de Fourierest une approximation de la réponse au 1^er ordredu milieu à une perturbation thermique.

En cela, elle estl’analogue de lois régissant des phénomènes similaires de diffusion.

Ex 2: loi de Fick

où est le vecteur flux surfacique de masse de l’espèce S [kg/m²/s]

D_S la diffusivité de l’espèce S [m²/s]

C_S la concentration massique en S [kg/m³]

gradT T

q r

^cd

= − λ ( )

S S

m

S

D grad C

q r = −

m

qrS Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTIFS

Limitations

La loi de Fourierprésuppose l’instantanéitéen tout point du milieu de la réponseà une perturbation thermique survenue en 1 point M.

Validité: cette hypothèse est valide dans le cas général où les échelles de temps considérées sont grandes en regard du temps de relaxationcaractérisant le transfert par collision entre porteurs élémentaires.

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

FLUX CONDUCTIFS

(5)

Limitations

La loi de Fourierprésuppose sur sa forme basique l’isotropie du matériau.

la loi de Fourier peut se généraliser en traduisant les conductivitéssous forme de tenseur

conductivité du graphite pyrolithique:

a/ parallèlement au plan de clivage b/ perpendiculairement

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTIFS

Ordre de grandeur

La gamme de conductivité thermiques’étend sur une échelle relative de 1 à 5.10⁴.

N.B.: échelle de conductivité électrique = 1 à 10²⁵ bons conducteurs

mauvais conducteurs

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

FLUX CONDUCTIFS

(6)

Application: isolation par lame gazeuse (à condition de réduire la dimension caractéristique du volume dédié au gaz) ex: laine de verre

bons conducteurs

mauvais conducteurs

Introduction

Flux conductifs Loi de Fourier Analogies Limitations Ordre de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTIFS

Phénomène de convection

Rappel: La convection thermiqueest un transfert d’énergie par rapport à un repère donné, consécutif à un transport

macroscopique de massedans ce repère.

n r v r

M O dS

x z

y

tube de champ

dS n v m

d & = ρ r • r

Débit-masse à travers dS:

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Introduction Flux conductifs

Flux conducto- convectifs

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites

Equation de la chaleur Conclusions

(7)

Phénomène de convection

dS h n v h m d

d Φ

^cv

= & = ρ r • r

Débit d’enthalpie associé:

h v q r

^cv

= ρ r

Vecteur flux surfacique associé:

h n

cv

= ρ v r • r ϕ

Flux surfacique associé:

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur

Conditions limites

Types de convection

• Convection forcée (ex: radiateur de voiture)

• Convection naturelle (ex: chauffage par la sol)

• Convection mixte

L’efficacité de chacun de ces types de convection est intimement liée à l’écoulement(laminaire/turbulent) qui lui donne naissance.

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites

(8)

Physique du phénomène

O l

y

x

( ) r v r r

T₁

O

l T

T₁ T

T₂

profil purement conductif profil réel

T_m

profil approché T₂

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation

Problème: le flux conduit en proche paroi résulte ducouplage entre phénomènes conductifs (transverse à l’écoulement) et phénomènes convectif (parallèle à l’écoulement).

En toute rigueur, il fautrésoudre une formulation thermo- mécaniquedu problème…

O

l T

T₁ T

T₂

T_m

profil approché

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

(9)

Formulation

Approximation: on discrétise le profil de température en 3 parties linéaires.

O

l T

T₁ T

T₂

T_m

profil approché

(

_m

)

m f y

f y f

cc

T T h T T

y

T ⎟⎟ ⎠ = −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

−

∂ ≈

− ∂

=

+ +

= = 1

1 0

0

λ λ ξ

ϕ

ξ

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Formulation Approximation:

hest appelécoefficient de transfert convectifà la paroi.

hdépend uniquement des propriétés thermophysiques du fluide et de la nature de l’écoulement(donc de la rugosité).

(

_m

)

y

cc ₊

= h T − T

=0 1

ϕ

Définitions Physique Formulation Ordres de grandeur Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

(10)

cas purement conductif

cas convectif

En général

efficacité des transferts convectifs l

T T

y f

cd 2 1

0

− −

=

= +

λ

ϕ

λ ξ

ϕ

¹

0

T T_m

y f

cc = + =− −

1

~

0

0 >>

+ +

=

ξ ϕ

ϕ

_l

y cd

y cc Introduction

Flux conductifs

Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur

Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

Type de transfert Fluide h (W/m2/K)

gaz 5 - 30

eau 100 - 1000

gaz 10 - 300

eau 300 - 1200

huile 50 - 1700

métal liquide 6000 - 110000 ébullition 3000 - 60000 condensation 5000 - 110000 convection naturelle

convection forcée

changement de phase (eau)

Définitions Physique Formulation Ordre de grandeur Conditions limites

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

(11)

Généralités

De façon classique, la température T est supposée continue aux limites du domaine d’étude.

De même, le flux surfacique d’énergie (au sens large) y est supposé continu.

Contre-exemples: contact thermique imparfait interface entre 2 phases

Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 1: milieu opaque et milieu transparent

Continuité du flux surfacique suivant (Ox):

avec

cd

ϕ

S

ϕ

R

ϕ

cc

0 x

Fluide transparent Solide opaque

λ_S, T_S λ_f, T_f h

[

_S

( ) ]

^R

x S

S

h T T

x

T ϕ

λ = − +

∂

− ∂

=

0 0

0

T₀

a e

R

ϕ ϕ

ϕ = −

Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

(12)

C.L. 2: 2 milieux opaques

Continuité du flux surfacique suivant (Ox):

cd

ϕ

S

=0

ϕ

R

ϕ

cc

0 x

Liquide opaque Solide opaque

[ ( )

₀

]

0

0 T T

x h T

S x

S

= −

∂

− ∂

=

λ

T₀

Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

C.L. 3: milieu semi-transparent et milieu transparent

Continuité du flux surfacique radiatif (pas d’absorption surfacique):

Continuité du flux surfacique conductif:

cd

ϕ

S

ϕ

cc

0 x

Fluide transparent Solide semi

transparent

( ) ⁰

⁻

⁼

^R

( ) ⁰

⁺

R

ϕ

T₀

( )

⁰⁻

ϕ

R

( )

⁰⁺

ϕ

R

[ ( )

₀

]

0

0 T T

x h T

S x

S

= −

∂

− ∂

=

λ

Conditions limites Généralités cas 1 cas 2 cas 3

FLUX CONDUCTO-CONVECTIFS

(13)

Formulation intégrale

On réalise le bilan sous forme intégrale:

où

P: puissance volumique engendrée en un point M du système (ex: effet Joule)

(V)

dS

n r

S

Système indéformable fixe

continu matériel

∫∫∫

∫∫

− • +

∂ =

∂

=V V

S

q n

ext

dS P dV

t

r ε r

R

cd

q

q q r = r + r

Equation de la chaleur

Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Formulation locale

Pour un régime stationnaire:

Avec le théorême de la divergence:

(V)

dS

n r

S

continu matériel

= 0 +

• −

∂ =

∂

∫∫S=∂V

q n

ext

dS

∫∫∫V

P dV t

r ε r

∫∫∫

∫∫_S

q r • n r

_ext

dS =

_V

div q r dV

Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

(14)

soit sous forme locale:

(V)

dS

n r

S

continu matériel

( − + ) = 0

∫∫∫_V

div q r P dV

= 0 +

− div q r P

Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

avec lesconditions aux limitesabordées précédemment, cette équation conduit à unproblème mathématique clos, à solution unique.

(V)

dS

n r

S

continu matériel

= 0 +

− div q r P

Forme intégrale Forme locale Conclusions

EQUATION DE LA CHALEUR

Transferts d’énergie par conduction