CHAPI TRE VII.

, j z TlIEOR.lE LIBTHÉ\L\TIQUE

'1 l'excès de la chaleur extérieure sur la chaleur intérieure qui (ra- 'Te~'O;;'-'pendantcet instant la pOl.'lion extérieure de la surface de B, moins l'excès de la chaleur qui passe de B en .B' sur celle qui l'a .lc B' en TI pendant ce même instant dt, àtravers la portion de sur- facecommuneàB et If. Relativement à B', on aura de même

1

1

DE LA CHALEUR.

CHAPI TRE VII.

1;:;5

cl en ajautant ces deux équations, il vient

,r r IÎ d.;u

^dtrlxdrdz

+ rr(~·~u'

^dtd.x:dydz

, . - {fi ./

J

^oJ at

,. . =

fp(r

-u)dtds

+ fP' (' -

d)dids,

éq"ation évidente en elle-même, comme l'équation sernhlable 'lue .;"ün a trou ....réedans le ^1).°89_

Si le corps A [~tait formé de trois ou d'un plus grand nombre de parties différenteH, on ohlie~drail sans difficult~ des équations sem- blahlcs aux précédentes, qUI sont COmmunes a tous les corp:i de l'01'il1eet de nature quelconques ,et dont on fera le même usage dan', tous les problème,..

Digression sur la maniere d'exprimer les jonctions arbitraires par des séries de quantités périodiques.

ùp)· D'apre, laformed'une fonction donnée X, si l'on voitqu'elle peut se développer en une série de sinus des multiples de lavariable

,X', on fera

X=A,sin.:e+A,sin 2x+As sin5x+ . . . +A"sinnx +€t<:; (1) A" A., A3 , etc., étant des coefficiens indépendans de x. En diffé- rcntiant cette équation par rapport à x¹ une ou plusieurs fois, et combinant entre elles les équationsquien résulteront, on parviendra quclquefuis à éliminer la fonction X; on obtiendra de cette manière une équation dont les deux membres seront ordollnés suivant les sinus

Oules cosinus des multiples de ,x; ct en égalant de part et d'autre les coefliciens des termes semblables, on formera une série d'équations qui servirontàdéterminer successivement tous les coefficiensA" "\"

A3 , etc., à l'exception de la première ou de plusieurs des première, deces inconnues qui resteront indéterminées, et dont il faudra trouver les valeurs pal'le développement direct de X. Mais on pOUl'l'a auss-i exprimer immédiatement le coefficient général A" en fonction de l'indice^li et au moyen d'une intégrale définie.

Pour cela, j'observe que l'on a

fa"

^{sin lIXsin n'«: dx}

⁼

^0,

tant que les nombres entiers ^liet ni sont inégaux, et

li)~ THI~orUE MATHÉi\fATIQUE

dans le cas de Il'

=

^{n, C'est,}en c1Tct, ce qu'il est facile de vérifier ..

Cela étant, je multiplie les deux membres de l'équation (J) par sinn.xdx , puis je les înlégr'c depuis x

=

o jusqu'à."1-'

===

'i1";tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui qui répond

UII coemcient An; et 1'011 en conclut

2f"X'

^d

J\,=- ~ ^SIUnxX.

'h 0

De même, si l'on sait, d'après la forme de cette fonction donnée X, qu'elle est développable en une série de cosinus des multiples de .r , on fera

x =

B,

+

^B,cosX

+

^{B. cos2X}

^{+, ,.+B.}

^cosnx

+

^{etc.; (2)}

B_o' B" B., etc., éta-it des coefficicns iuddpcndnns de x, que J'on

POUTr:l quelquefois déterminer par I'éliruination de la fonction.X, ainsi qu'il a été dit plus haut, Maisli et ni étant des nombres entiers diffél'cns, on a aussi

f

^{n COS IlX} cos n'o: dx _ 0;

"

dansle cas de ni

=

^{n, on a}

j,"

^{cos'na: dx}

^{= i}

^'71",

excepté 5J ti

=

o , auquel cas la valeur de cette dernière intégrale est double et égale il'7l;de laon conclut

1 1

DE LA CHALEUR,

les so nuucs 2:: s'étendant à toutes les valeurs du nomhre n , depuis nzzz:1 jusqu'" n=CJ::;,

Ces sél'Î..:s (r) et (2) ont l'avantage d'être toujours convergentes, En cffct , "Il intégl'unt deux fois de suite par partie, on a

I"X ' i ^f X . ¹dX ' 1

[d'X ,

• S1l1nxûx

= -

_11. ^cosnx

+ -- ...

_n'da: ^{smnx - --}_{n'l, dx~}^{- smnxda:}_~,

f x

_cosIIXr.Xl

_{= ;:;.'}

1 X '_{SHl n.x:}

_{+ ;;,;}

1 as._{dxcos u.x: - ;;}l

[d'X

_{<lx' cos nxd:c.}

Or, l'équation(1)suppose que X est zéro aux deux limites x

=

0 ct x

=

^'71"; en différentiant l'équation (2), on voit qu'elle suppose que

d X " , ' 1

;r;

s evanoun pour ces memes va eurs de x; à ces deux limites les terme, compris hors du signe

f

seront donc nuls, et l'ou aura sim- plemeut

J'", "

^{{) X,SInIlxdx=- -,n1 ~}

^("d'X,

^{0 dx?-r-c-sm nxdx}

t>

cosnxdx=--^{1 ("d'X}-~cosnied».

o n'2^OJ c dx:

"Jais si l'on appelle II b. plus grande valeur de

~:~

^{depuisx = 0 jus-}

qu'à x

=

7J', Y compris ces limites, on aura éviùemment

rz-

^{" d---;x sm nxdx}

^<

^:>rH,

("d'X

Jo

^dx'cosrucda:

< 7TH,

., (" l

Iln =.:.:. XCOSl1XéX,

r. 0

n,

= ~f"Xdx,

W" ·0

abstraction faite du signe. D'après les expressions de A. et B., ou aura donc aussi , en grandeur absolue,

En employant x' et XI au lieu de^:J' et X, dans les valeurs de A",

Ho,BQ' les séries (i) et (:.) pourront s'écrire sous cette forme A_n

<.::

_n~'^H B.

<

":Il·_{n' ,}

x = ;.

^2:

(J:

^X'sinnx1dx')sin na: ,

t

OK

= ;. f:

^X'Jx'

^{+ ;, :s} (f:

^{XIcosnx'd:x:')cos/lX;}

^J

^{(~~\'. ,}

en sorte que les coefficiens des termes successifs des séries(1)et(2) décroîtront plus rapidement que

;Î;

i ce qui suffit pour que ces sé- ries soient convergentes; car on sait que la série

et, par conséquent,

=

¹

+

p

+

^?"

+

p'

+

etc.

1-1'

J.(1 - Pcos«J

,

1 - ,)]J(.OSc;:;

+

^pZ

DE LA CHALEUR.

1_pc"-V-'

+

Ii17 prernie» une foi-mulepropre ilexprimer, dans une étenduelimitée, un e {onction :ll'hill'aine par unesérie de quantité" péliodiqnes; deux choses distinctes rune de l'autre, commenous venons de le dire, <et dontl:J~"collclc va nOLIs occuper cxelusivcment.

En désigna"l P:d' e la base des logarithmes népériens, par a et l' un angle et une(Jll"llt'té que1cO"''lUC5, on a

Enmettallt successivement pe"V-I et pe-aV_=;à laplace de p, et faisant la somme des résultais, on aura donc, d'après l'équation pré- cédente,

I-pCO~"

=

^{1 + Pcos«}

+

p' COS21Z

+

^p' eos5a+etc., , - 7pros '"

+

]1'

comme on le voit en réduisant au même dénominateur, ct ayant égard il l'expression decosCl.en exponentiellesim8ginaires.Si

p

est moi udre que l'unité, ahstraction faite du signe, 011 a aussi, ensérie couver- gente,

____ I_=_P",--_

=

^t +?pCOS CI

+

2p'Cos2a.

+

^2p'cos5a

+

^etc,

1 - -2p^CO.5a -t-^pZ

L'angle01. étant réel,il sera nécessaire et il suffira pour 'lue cette série soit converycute , et que J'on puisse en faire usage, que l'on ait P

<

^{l ,} abstraction faite du signe, ainsi qu'on l'a supposé.

Cela posé, soit

Jx

la fonction arbitraire que l'on veut exprimer par une série de quantités périodiques, clans l'étendue des valeurs de x, eom prises depuis x

= -

^{ljm'lu'à X}

=

1,en désignant par l

. . d ' J ,.-(x --:cf) '1 . l

une quanlIte positive et onnes. e mets l li a place ue CL

dans l'équation précédente; je multiplie ses deux membres par

~;

^fx', et j'intègre depuisx'

= -

^{ljusqu'à x'}

⁼

^1;il en résulte

.24..

1 1

1

r- ("

^{r!X'. «.t:»}

'Z ,. X' ('05nx'd.c'

= -

^-1',SlnnXao: '

1 " , 0 _. . . . . , . ' - ,_ t l c.;c

en lntéf.p'dlll par partie, on a aUSSI

THÉOlUEMATHÉMATIQUE

X, ^{XI J'} l dX d'X'

r

"U 1110\,en de ('liai et en mettant CtJ- aul1CU Cc-I~ ct -1-" equa-

a "',,- ) - , (:1.' lX'

tian 1)l'écécîcntB sech~L}ge dans la prcmiere éqll~tioll (3).

j

=\I~iutenant, si

Ix

est une fonction arhitraire, elle_pOllrr~encore ètre C"Pl'iIIH31-:, corume on le verl'ii tonl b l'heure, par les formules (5) dans Iosquclles on meltl'a./x' au li~ucL

!'-',

^cl p~lr beaLIco~p d'~lltr~s

fOl'lllulcsde la l"nèn1e nature ,mais seulement U~Wi une etendue Ii- mitée des valeurs de ,X;tandis que les ci(!u~lions (5) ont lieu pour toutes les valeurs de x, relativementilcertainesfonctiOllSX, Deplus, Ü est irnportant d'observer que ces diverses expressions de

Ix

^dépen-

dent d'une analvso diŒérente de celle qui nousil conduits aux équa- tions(5)~ ^{cal' la'} ûétr.;nninatioil des ccetficiens des séries (1) ct (2) iudépeuclamment les uns des antres,suppose essentiellement quel'on sache, d'après laforme des Jonctions X, qu'elles sont développa-- bles suivant les sinus 011 les cosinus des multiples <le X; Cil sort«

quele procédé del'intégl'alio,ll.ne soitplus [ju'un, moyen aJwér.:é POUl;

trouver directement un coefficient quelconque. DAlemberta el1lploye le prcrnim' ce procédé pour déterminer les coefficiens du dévelop- pernent d'une fonction donnée; et c'est Lagrange qui a donné le

+'-

i

+ '-

9

+

2,lb

+ ... +

~^/1 +dL,

Il 1 l' · . J • , 71"',' dOliC

convergeconlm uc emeut VC1'SUneV[, "'111' llllceteg~ e a G

toute série dont lcs termes décroissent plus rapi.lerncnt que suivant la raison inverse des carres des norn hrcs naiur(;1.s~conYergcaussi,

~ pIns {()l'leraison, vers une valeur iiu ic. Par le pro('~(l~"de 1',int1;- gra\ion }1i1l' partie: on p:~ljt ^;:tltSSl 11101.111'C1' c(ue la ln:t~nHlTo ^cqua....

tian r':i) r6sullc de la sccoude ; en cîii1'ercntiant celle-Cl pal' rapport à .:C, on a daborrl

1 ri > , , . l

[.1

^{l ni>r.:ç~:c') -Ôr}

l

[»

= 21 j

^-1jx dx

+

^l:::::

j _.'

^{COS . 1 jxd,x:/}~)

Cl)

Dom'des valeurs infinies de l'exposantli,laqur.ntitép'pOl1J'ra dît1ërer del'unit/ci; mais en intégrant

ra;'

partic , comme dans le:,0rrr;o;ùcn1., on yerre que l'intégl'ale qui multipliel'" sons le signe

::s,

s'évnnouit qu;{nd t:

==

^{Cl:; ; en sorte} (~UCrDt: P,';U1T;trcir.pl arerp'l parl'unité , dans tons les termes de cette somme =::-.P~1r consérruelJl, nous aur-ons

ji.-

r

^{{Idz

J

g'l"

+,,'z"

Or, cette intégl';]le relative àz étant infiniment petite à cause cieIl.

po~r lOU~Cvn]eur de z 'lui ne l'est pns, il s'ensuit qu'on peut, ma;' crall1t~ d erreur, l'étendre maintenant depuisz= - CJ:Jjusqu'à z= co:

ce qUI(~Onnel':'1. l'unité ponr sa valeur , et

fx

pourlavaleur qu'LI s'a- gIsSaJt Il obtenir-.

(g4)· D'apré, cette démcltlstralJonde 1'é,]ualion (5), eIJe subsistera

pOUl' Ioules le,,> valeur. de n:

> -

^1et

<

l ; mnis elle u'aurn lieu pourle'; va leurs extrêmes x

= ±

1,que quand on auraj(- l ) 11;

et^j en général, SOnsecond membre sera égal à ;

[fl+ J(

-1)J quand on y ferax

=

^-1- l.

En clfet , si nous faisons x = l dans le premier membre de l'é-

, (,1,) 1 ' , r o ( l - x ' , ,

quatlOn '.+ , a quantrre cos --1--' sera mfiniment peu différente de l'uni lé , pour ^Cl."

=

^{l -z et pOUl' sc'}

= -

^l

+

z; la _v~riahle ;:

étant infiniment petite el pusilive , afin crue o:' ne sorte pas dB'; !l-

'te -LI 1 J" t' t' l' l' 1

rrut S _~. ue .10egra ^IOnj (OU on eonc ut que dans le ^C:lS de p

=

^{l - g,} ce premier membre se composera de deux partiesqui

re-

pondront à ces valeurs de

x',

et dontlasomme sera

[ft + f (- l)J/g"f!;:,z"

en observant qu'on a cosn'1l'=(_r)D et sin Il'1l'

=

o. Donc, en com- parant l'équation (5) à cette dernière, on voit que l'équation (5)

tien à

DE LA CIIALEUPl.

On pourra étendre cette intégrale depuis z

=

o jusqu'à z

=

':û;cllf' sera alors égalc il ~; et comme on serail parvenu au même résultat, si l'on eût fait x = - l , au lieu de x = l, il s'ensuit (IU'àlaIirnite

p =

t , et pOUl' les valeurs particulières x

= +

l,l'équation (4)de-

viendra (~)

THÉORIE MA THÉ!'.! ATIQUE

r

^I ( l - j l ' ) , { l d X ' . - . 1 J,1

j'.'

1 "

-[.-.----'7'!:r~:L-')~--J-' -;1 _/ x ex

.~ -1Û , -~pco"-'-1--

+

^l'

-

₊

_T1 _2:p'

[fi

_1 cos'

^"'7'

( x - x ' ) .' - 1 - -

j'L'

'1c^J::

'J

^;

pour l'espression demandée de

Je.

PC/m' faire voirque dans lc casdep= ; - g,l'iLllégrale'luiforme ]e premier membre de l'équatiou (4)est cgall.)à

Ix,

tantque la quan- tité a:' es! comprise entre - / et

+

l , j'ohserve qne le coctlicicnt de dx' ^l'OLIS Je signe

f

deviendra infiniment petit en mème lemps que g, excepté pOUl'les valeurs de ^,'1:" qui rendent son dénomina- teur infiniment petit; c'est-à-dire pour lesvaleurs de x' qui ren- dent cosr. (:"

'F

^x/; iulinirncnt peu différent de l'unité; mais la variable x'étantcomprise aussi hien quexentre-1el

+

l, ces valeurs de.r/ se réduisent~lcelles quidiffèrent infinimentpeudex,enplusou en moins;

si donc on [a.ilx'=x +z;il faudra considél'cr cette nouvelle variablez comme infiniment petite ,ainsique la constanteg;ce qui réduira le dé- nominateur du coefficient de dx'il

g'+ ";z.' ,

et l'intégrale en ques-

'1 ~(ant un nombre enlier et positif, cllasomme 2: s'étendantil toutes les valeurs de n , depuis ^II

=

r jUS(lu'à ^IL= CJ:J, Or, si^1'01l désignc pargune quantité positive ci infiniment petite, on pourra prendre jJ

=

^{1 -} b; ct alors

Ix

sera la valeur de l'intégrale indiquée dans le premier mcrnbre , comme on va Je prouver tout il l'lieure. De pins. pOUl'toutes les valeurs finies de n., on aura

DELA CIIALEIJH..

TnÉ,ORŒ MATllt:dATIQlJE

. ] l • l , moins cJue l'on

Ilaura pa~ hl~ll po ur ces ya cm:s ex renies cie^:L, ~, u'ait

fi =

^j'(-1).

On r~eonn,iÎ[r~ iml1lùF~tcmènt la nécessité de celte restriction que J'on doit apportel'" J"éf[ualiot! ,en prenant ^pOUl' exen:l~le (x= x""-', et sn pposnul 'jUC i goit un nombre entier et positif:

tousles termes du 'ccund membre de l'é(JUalion (5)seront nuls ^pOUl'

o 1 ' , , f-+1)"""

x':=::

+

l , ttilH.lis Cfu:.,- son prcr..11Cl' ^111C111rrc ,~:era egal a \ _ , cc qui mettra cctt.: éqli,.tion en défant; mais au contr~!r~, I'cqua-

~'IO')1. 1_ (6' \ se yéL'iiicl"" d'clle-mème ,\..J / _ _ puisque_ ... sou pl'enller membre

Z:!il!---',·l .J.... ( r"'i-,--r scrn 7,él'Ocomme le second.

Si

i·o~] d~lll1;1it ~l ~C

^{r clans} l'riql1l1tioll , une valeur ({el. tombât en del.ors des Iimitcs-+l , 5011 p,'cl11icl' membre seraitzérodans le 'CDS de p

==

^{1 - g;} "'Oll ilrésulterait , h_~alirnite u , r ,une[~rnll:lc distincte des équations (5)ct (6), ct qUI sera comprIsü pal'ml cel,es

. l' 1 1 ' ' ,

que nOllSnIlousécrire. ObservonsdUSSI que ang~c ~devant elfereet

~GUl' ^llllCla série dont 110115sommes partis soit convergente et qu'on

, . . . ,,(:c-/)

en puis<;e luire u5:Jge, et cet :n^1g1eayant ete remplace par--1-"

GII 110 dey]'" donner que de<; valeurs réellesi, x, dans J'équation (5) et dans celles que nous allons eu déduire.

r)1':) \ La (onetinn jx est entièremcu t al'hi traire; elle n'est point

1...(~)-

assujettie à la loi de continuité, etl'on pouna toujours c:llcu~er^ral' les quadl'atill'esl,~siHtég,'alesindiquées dans les termes successifs (les séric,; (5) ct (6); ces sér-ies seront toujours convergentes, commeon l'a vu plus h aut, et comme on peut aussi s'en assurer en considé- rant les aires cJ,!S courhes dont le; ordonnées corresporulantes àune ahsciss» quelconque .x;', sont sin

n:x:'Jx'

ouC05ntc'[x',

On l'OUITe, pal' exemple, supposer quefx ai,t des _va~eurs quel- conque,; dans nue portion de l'étendue cornpnse depuis x

= -

¹

jmqlùl.czxzl ,et que cette fonction soit nulle ~a~s!e reste de cet intervalle. Ainsiloi ';tOl1t>JI,etces deuxquanhtes etant

<

^{l, "hs-}

lractton L,Île du signe, cette fonction aura, 5irOllveut, des valenrs données al'bilrail'ement depuis x

=

^{Àjusqu'àx=/of, et seralllùle,}

soit<lepuisx = - ljusqu'àx = )" soit depuisx

=

J,'jusqu'àx=l.

Alors, -il suffira de prendre les intégrales relatives à

x',

depuis x'

=

^À jusqu'il x'

=

^{J-/; la} formule (5) reproduira, dans cet inter-

valle, les val Cil rs que lconquc., defy;;ct onlatrouvera égale~Zél'OpourID' les valeurs dex corrrprisc-, , soit entre x' et 1,soitentre --L el. /\.

Mais il est important d'observer que pour les valeurs mêmes;c=;- et x = -"i,cette formule nedonnera que la moitié des vaJeurs cor- respondantesdefx.

En.effet,.Iorxquetl~l[!Sla rlémonstrntinn du11'"95, on fait.1'/="x+ z , ct queJ'ou cOl1SiLlùr(' Zcomme uuevari;,hlc iniinimcut pdite, posi.-, live ou négative, si l'on donneif,'1'lavaleur pal,ticulièl'c c'1'=)'" la

!ouction

./x/

sera nu IlepOUl'lcs valeurs négatives de z,et de même"

siJ'OLI. fait cc

= /-.',

cettefonction sera égaleitzé,-opour les valeurspo~

sitivcs de z ; dans l'un et l'autreC;1',lavulcur de J'intégrale l'dative ilz sera donc réduite.1 moitié;Pilt-COU[;éqllen!,le second membre de

1" .

Co,

' 1 ' 1 j' , 1

equation :J)se ra ega a;:. -il POUl"x=1-" el a;: jJl'pour,:r=ili;

ce qu'il s'~gis'3aitde prouycl'.

Enportant de ce principe, laformule l,:))va nous en ii)\1l'lIil' plu- sieur« autres de la même nature, el qu'ou poul'l'n1t aussi obtcnir di- rcctcrncut par l'analyse qui llOUS aconduits0 cette équation(5).

(9(i)· SupposonsqlIe lnfonction

jx

soit nullepOUl'les val cursnéga- tives de x, }' compris x = - l ; et l'éduisolls, en conséquence,il zéro et

+

1les limites des intégrales relatives à x'; l'équation (5) de- viendra

De plus, si nous mettons dans cette éCJl13tion (7), -.:r it la plaee de cc , elque nous regardions ensuite x comme un c quantité posi- tive , son second membre aura zéropour valcur ; en sorte ([ue l'on aura aussi

1

(l},

^{' d ' J -e}

[J'I

^nsrCx

+

^x') j~,tJ

'J

⁽⁸⁾

0 =

2tJ

⁰ ;.cx·

+

^{Z" 0}cos - - , - - .;((IX 0

Ces deux équations aurOnt lieuseulement pOUl' les vo11eurs de .x: po- sitives et moindres quel; pOlll' ;.c

=

0, leurs seconds membres se- l'out égaux, l'un et l'autre, illa moitié de la valeur correspondante de fx; pour x= l, ils coïncidcl"Ont également, et leurvaleurcom~

THÉORIE !\IATHÉMATIQUE

et cette nouvelle équation subsistera depuis x=⁰ jUSqll'" X

=

l ; y comprisles yalelHs extrêrnes zéro ctl, puisque pour chacunede ces vu1curs les denx formules 'jUC l'on a ajoutées étaient, l'une ct l'autre, ég"lcsà la moitié de la valeur eOl'l'csponchnte de

Ix.

Pal' lamême raison , si l'on relmllChc l'équation(8) de J'équation (7), on aura -..me(:quation qni subsistera depuisx = û jusqu'à x= l,mais dont Je second membre sera nul à ces deux limites; cette équation muue sera ; fi; car pour^,r

= ±

l , le second membre dc l'équa- tion était égal à ; [fi

+

j ( -1»); quantite qui sc réduit à

; fi, puisqu'on a j (-1)

=

⁰ par hypothèse. L'inspection seule .les formules (7; ct suilitpOUl' montrer qu'elles doivent coÏn<.:Î- der, soit[IU~'"cl'x=o,soit quanti x=l;mais leurs valeurs com- munesct relatives à ces deux limites ne peuvent sc décluire que des eOJlsidér.1tions cfui précèllent.

Si Fon gjoute ces deu x équations (;) et (8), on aura

J

fi.

^{. ! , r}

[ri

^{l i .(x-x') ]}

=

Tl_'1 _ljxd.r

+ -[};

_{1. _ -1}^cos- - - f x ' d x '_L

+

2.₂₁2:

[fi

_{_ICO.5}(2n-l) ",(.c.-x')_,.l f',r_{x (X}l

'J.

_,

1':c

DE LA CHALEUR. 195

l , .X', Xl, et conservons

Ir:

etj:x:' au lieudcf(x +1) ctf(x' +l);

nous aurons

'x -

~

fi

;"x1ax'.1

+

^{J '"}

rLJr

^{l "" (.r-:r') r. ' , l ' 1}

.JL - 4l -1 -;j""' 0cOS~--.JX'llX

J;

^\11)

for,~ulequi subsistera, comme l'équation (5), depuis ,x=-l jus- qu a x=

+

1, mais qui en différer» en ce qu'elle aura pour valeur

1

;, f(

±

1)pour x

= ±!,

tandis que pour ces valeurs extrêmes de x la formule(5)est égaleà~[fI

+

^j(-I)J.

Si l'on .divisc lu somme 2: contenue dans cette formule (Il), en deux: parties, l'une relative aux nombres rt pairs, ct l'autre relative aux nombresIIimpairs, cette éqltation prendralaforme

les sommes2:s'étendant toujours à toutes les valeurs paires ou im- paires den, depuisTl

=

¹jusqu'an= ^CD. Je multiplie celle dernière équation par 2,puis j'en retranche l'équation(5); il vient

i

1

f

( 10)

]/JrX ,f__(n}'

cos T; ^.0.1

2

[[1.

^n7TX/ ~ ^f

'J..

^nr,x

f3; =-1._{1 .} sm ~- [x'rlx ^Hill --T'

o l

.. r

^{l .. r ( 2}

[r

^{1 li"x' ,}

^'J

jx

=

^{T" 0fxdx}

+

l}; >"cos-_ocfxdx

sera

En preuant 1

='71',

ces deux dernières formules couicident , comme on voi t , avec les équations (';); et elles auront lien, comme ces équations, pOUl"toutes les valeurs de x, lorsque la fonctionfx sera périodique, c'est-à-dire, lorsqu'elle l'eprend:'a~amême ,valeur tou~e~

les fois que la variable augmentera ou diminuera dune qnantlte

ég~lcil27ï.

On veut encore varier ces formules de beaucoup d'autres manières.

l'al' ex·cl1lple, dans celles qui n'ont lieu qne pOUl' des valeurs posi- tives de oc , on peut transporter l'origine des x au milieu de l'in- tervallc pOUT lequel ces équations subsistent, et il en naîtra d'autres qui s'étendront également dans les deux sens des a:positifs on négatifs.

Ainsi, mettons dans l'équation (7), ul , x+!, x.l +l, àla place de

équation quisubsistera toujoursdepuisx= - ljusqu'àx=+l,mais dont le second membre sera égal, d'après les formules dontilrésulte,

à;

[ j l -f(-l)]pour tr:=l, et à ;-[ j ( - l ) -fl]pourx=-l;

eu sorte que cette équation(12)n'aura licu ponr ces valeurs extrêmes de x,que quand on aura fe-li

= -

fl.

•Nous n'indiquerons pas ici d'autres comhinaisons des formulespré- cédentes , dont chacune, connue on l'a déjà dit, pourrait être démon- trée directement pm' un moyen semblableà celui dn n? 95.

(97)' Quoique ces diverses équations ne soient pas identiques relative- mentà x, on pourra néanmoins les différentier par rapport à celle V~l­

riable. Si X

=

⁰ est une de ces équations, il est évident que l'éqna-

25

DE LA CHALEUR.

THÉORIE MATHÉMATIQUE

tian dX

=

⁰ devra subsister dans toute l'étendue des valeurs de x

dx , .

pour lesquelles X= 0 avaitlien- Maislors même queceUeequatlon

. ,rx

X

=

a avait lieu aux limites de cet intervalle, l'équationd~

=

⁰

n'auraaussi lieu à ces mêmcs limites, qu'autant que de,

no~veJles

conditions seront remplies; et clans le cas oùX

=

^{0 ne 5apphqllen}

dix , cl'cl .

pas aux valeur, extrêmes de x, la valeur de .~-; ^{que lou e inra} de

~~ =

a sera toujours infinie pour ces valeurs particulières de la

h .

variable. C'es; ce que l'on vérificra de la manière sUIvanle.

. (~. ^{c . t dfr} f'

En différentiant l'équatIOn :J) et ratsan

-ar=

^{x.,on a}

r

s [fl "" . ""

^(X-X'lfi ',d'x,'/'J', '.

f

I """ - _ - - SIn - - - - :::c. -- .. ,

~, - Z _1 Z 1 ..' ,:'

et si l'on intègre par partie sous le signe

:t,

cettefOTl'litile devient

Pour toutes les valeurs dex

> -

^{l et}

<

l ,on a, comme on sait,

ns» 1

2 ( -r)ncosi

= - ; ;

pOUl'ces mêmes valeurs. on aura donc

f'x

= ~

^[11-/(-1)]

+ I:S [r~l

^cos

"..-(x;x'l

j'x'dx'];

ce qui est dîectivement vrai , puisque c~tte formul.e coïncide avec l'équation (5)quand on met dans celle-Cl

J'x

_~u lieu ,de}x,. Pour que l'équation (5) ait lieu aux limites x

=:±

i, Il es.t.necessalr~ que l'on ait/(-1) =/1; mais en supposant cette cond:tIon remplie,~t comparant toujours cette dernière formule à I'équatiou (5), on VOlt qu'il faudra qu'on ait, en outre,

f'

(-1) =1'1 pour que. cette fo~­

mule convienne aux valeurs extrêmesx

=:±

l, De plus, si la condi-

1 1 ₁

1

195 tion

f(-

t) fi n'est pas satisfaite, l'équation (5) n'aura pas lieu pour x

= :±:

1; ct comme pour ces valeurs particulières de-x,mla évidemment

-e- ( ) usx

"" -1"cosT=ro,

il s'ensuit que les valeurs correspond. tes def'x, c'est-à-dire les va leurs de

J' (:±

1)', déduites de la formule (5)par la différentiation, se- ront infinies, ainsi qu'on l'a dit plus haut.

Si l'on différentie de même l'équation (9), qui subsiste sans condi- tion, depuis ;x:=0 jusqu'à x

=

l inclusivement, on aura

{ 'x - ^{2. 2:}

[(i

^n« n"'T'j"

r. 'J'

^n.ra:

. - - 1 . " 7 cos - z- XéX S l U -Z-'

quelles que soient les valeurs extrêmesfI et f(-l); on a aussi, en intégral1t par partie,

r

ⁱ_[cos

^"7J ""X' _-z-

_{j X}1:'d. '_{x: = -}

fi.

_SlU ^nwx'_--j'x'dx';^.

• 0 a Z

nous aurons donc

f

^'x

=::

₁ :i

[(l "

J⁰ sm~j"1 xraa:'d

'J .

sm TI"".T '

résultat exact en vertu de l'équation (10), dont il se déduit par la substitution de fl.;t'illa place defic, mais qui n'aura lieu pourx = 0

ct,x.

=

l ,qu'autant que f'x s'évanouit

a

ces [imites.

Toutes les autres formules du numéro précédentdonneraient lieu il de semblables observations, que je crois superflu de développer da- vantage.

(98).Oupeut.aussiintégrerpar rapport a zcces différentes formules, et représenter, de cette manière, les valeurs deffxdx, dans l'étendue des valeurs de x pour lesquelles chacune de ces équations subsiste.

En général, si la formule d'où l'ou part a lieu seulement depuis o:

=

À.

jusqu'a x

=),,',

mais qu'clic ne subsiste pas pour les limites même

À.et/c', on pourra néanmoins comprendre ces valeurs extrêmes de a: dans l'intégrale

f f

xdx, pourvu seulement que les vraies valeurs de

Ill.

^et fl\', non plus que les valeurs fautives qui résulteraient de

25 ..

DE LA CHALEUR,

I96 THÉORIE MATHÉMATIQUE

la formule donnée. ne soient point infinies; cal' alors on peut, sans aucune erreur, faire abstraction ou tenir COll1pteJàvolonté, des élé- mens de cette inLégl'alc qui répondentà x=Il ct x

=

^1-.',C'est aussi pour cette raison que les valeurs def:x:, relatives à ces limites, de- viennent toujours infinies, quand elles sont déduites d'une formule qui n'a pas lieu pour x= _~\ et ,x=;,.'; car si les valeurs de

l'À

ct

j"X

qne l'on en déduit par la différentiation étaient des quantités finies, les valeurs de fÀ et

JÀ'

seraient comprises dans la formule, wnh'elasupposition.

Vérifions, sur des exemples, ce qui est relatifftl'intégration des formules précédentes, et dans ce qui va suivre, désignons par

j,x

]'jntégralej

f

xdrprise de manière qu'elle s'évanouisse quandx=o, D'après l'équation(10), nous aurons

f,x

= -

y::E

[fol

^-!;sinnr.;'fXldx'J (cos

"~x -

^1);

et commeon a, en intégrant par partie,

f l

-^Z SIn^• "T""",x'fix'd 'x

= - JI

cos-z~^{llm"X' j'}IX^{'d '}X,

o n1r' 0

il en résultera,

2.

[f

^{n7rx' ] nwa: 2}

f

^{l n::rx'. 1 1}

f,X

=

i::E olCOS-Z-j,x'dx' cos"T -

t

$ ' 0 cos-Z- J,x dx , 01', eu mettantj,xil.la place defx dans l'équation(g), on a

l f l l ' 'd ¹ z

[fi

"".x ' F

Id'J

^nso:

j,x

=

l aJ,X X

+

^{y$ 0 cos-z-J,X X cosl '}

depuisx

=

0 jusqu'à x

=

¹inclusivement; en faisant x

=

^{0 et ob-}

servant qu'on a alorsj,x=0, on aura donc

- !.

JI F

^{Id 1}

+ = »t:

n""~'fi ^{'d i ,}

o - Z 0 j,x x

t "

⁰ Z x x,

et si l'on retranche cette équation de la précédente, on obtiendra l'expression de

j,x

qu'il s'agissait de vérifier, Cette expression devra convenir, comme l'équation (g), aux limites même x

=

^0etx=A,

1

1 1

1

:9'"' quoique l'équation(10)d'où l'on est parti, n'y soit pas toujours ap- plicahlc, l'our x=0, cela est évident. Pour x=l , il en résultera, COmme il est aisé de le voir,

f

^{l -}

⁴

^::E

L-r:

^{1 ('2n-1)"X' r Id}

^'J-

0' - - 1 _⁰ cos

--z---

J JX . X ;

la somme ::E s'étendant toujours à tous les nombres n. depuis n.= r jusqu'à n

=

^{00 •} Si donc on fait

l

=

2l" x'

=

^x,

+

^l"

^!'

^(x',

⁺

^1,)

=

^Fx"

et que l'on mette, en conséquence, FI, au lieu dej;(21J ouj),⁰¹¹ aura

FI -_{1 -}

=

_l, ^::E

_L rJ"'/'

_-.1,cos^('2n-Il_21,^r.(l,-X,lF_{'- x, x,}^d

J

_;

mais on a aussi F (-l;)

=

^0, en observant que F (-li)est la va- leur dej;x qui répond à ^,';C

=

^0, et qui est nulle par hypothèse;

on aura donc enfin

!.[Fl - F (-I)J=-'-::E

[fI.

^cos('m-I),,(Z,-X,)FXdxJ

2 ' 1 l, -IJ 21₁ 1 J '

comme il résulte , en effet, de l'équation (12) 1eu Y mettant x"

li' F, au lieu de Xl, i,

f,

et y faisant x=l,.

L'équation (g) donne1par l'intégration,

r xj l

+

2. "'"

[J:l 1

"""~'fi

J'

",,"x

J,X

=

^ï

1

^{ï "}

0;;;;:

cos"T' x'dx' SIn

T;

en intégrant par partie, on a

; :1

.!-

^cos Il'''zX'jx'dx'

=

Zcosn"'f.l+

fI "

"?rx'j' 'd'

o n7T ~ ^{l ' a} sm

z--

^{,x X';-}

à cause de cos7/7l"

=

^(-1'j, on aura donc

J

_{,x -}

_[X+"::E(-I)n. _{7 ;;:}

_{- n -SIn}

l1r.xJ'Jl _{T '}

+

^{2 ::E}l

(,;:1 ,

a sm

""'X'

-1-j',X'd ,) .X SIn-Z-·Ilr.X

0 ' THÉORIE MATHÉMATIQUE

~y') ^{. ' it OUI' X} = 1.Elle

Cette équation est identique, soit P()Ul':J."

=

0, SOli'~ ⁰ 1'. rès une . d "·---·'>oet<. car,e,ap est éualernent l'l'alequan on snppu~",A.. ,

"

formule conuue, on a alors

x

+ ::

:t _~l}n sin ~

==

^0;

l -x 11 l

" l fi -mule ( 01 danslaquelle ce qui fait coïncider cette eq11atlOu avec a ormu ^{1 JI}

0'1 mettraj'x au lieu de[:c. .

l ,, . ,ï' t'ons' mais nous

( ,) "'0'1';ne oousscronspa, plus101ll,,ces ven Ica^J ,,'U •

,9° ' ~, '" r dcrui valeur sxtrcmc

f 0';'"cmurquercornrnenlJ dans ce cruier cas:la , ' er ' , ' " r 'l hitrairc}1 s'est trouvée eomprrse dans l cxpresSlOn et toul-^{3 - , UI} a l , l , . " l ' celleva-«

• • 1 d j" 'l'aide d'un terme cOO1plenwutalfe¹ega a , '

peller~le e x a I l -iscs

'" ' . . ,1 _ 1 ct nul ponT toutes les va eurs ue x compl

leur fLP(}UI X - ) t ''l''le-

" J ' _"0et1Il en sera d 'e meme clans tous les "as' e. ~, gene a"

entre zer . ^L f 1onquc [a:depUIS

.: l' 'eut représenter une onctlOn que c J'

ment^J SIon '\ " . ¹ al' une for-

" , . _ 'A' Y compns les luuites A el À.7 P

x - ÀJusqua x - J , olypal'-

.. -1 , - ' l'Illepao d'abordàces valeurs extremes, I

e qUI ne couvle ' " . ' t

ll~U d " _ aJ' outantil. cette formule cerlams termesqUIon VIen ra IOUJou1 seh , " _;.,' ct qui sont

] I ' ]10Urx - t. et pOUl x - ,

des valeurs convena ues - ," , ,'II Il, t iru- . . taules les valeurs interllleCllal1'eS de la vaua) e. cs .

nuls IJOUI ' . . ' cl ' t 'e d'aval!'

cl ,,1 '8gesqu'on fait des senes e cette naUI ,

portant7 an, es us ~ " , , ' x uels on peut d'ailleurs égard à ces termes compleme~~,a~res,au q 0

donner une infinité (le formes dlfferentes.

, T)üeJ.atrvemcu al ' 'rt • '"JO'formule 15\ par cxel11lJle, on pourra prendre0 • \ )? ~ [

X 2 (_I)n,

mrx]

! [ f l - f(-l)]

t +;;:::E

- n -SIlI -T '

2

~, ',. ' l" t nt au second memhre P'QUI'cette partie complementane, ct en aJou a )" . _ -+l

, 'cl't '

'Ul +

f( - ZJpOUla:- - ,

de I'é nation (5', qm se re Ul il î . Il

cett~ Jq~"tiO;l ai~:si moditi~e COllV~e~(~l'a

à ces valeurs extl'emes e .r , auSSI hien qU';:lUX valeursIntel'!l1<JdwJrcs. " + ' . _

1 ¹ j rrut répondent a .x_ , 0 et

Q" C'l \ o S (Ille soient les va eurs ue x'1 l '

t ; ~. , '11 t ' , va euro extre-

x - 1 l'é,'nation (10) conviendra pareI iemen a ces .~. ~

m~;ù~:JC ~t

aux valeurs intermédiaires, en ajoutant a son second membre la quantité

1 1

1 1

DE LA CHALEUII..

r l - x 2>, t • m"Tl}' 1

r:"..L

2:z (- IJ" "

mrx-] "

L

"T" - ;;: - ;;SlQ

1.J

C ~ï L i 1;:;' --,,-SIlL l fi, dont les deux parties sont nulles pour

x>

^{0 el}

<

l ,mais dont l., premières'évanouit seulement " la limite x=l, et est égale à}6 pOUl'.x

=

^0, tandis que la seconde s'évanouit quand x

=

^{U, ct est}

égale à

Il

^{lorsque 3 , ' =L,}

(100).Silafonction

Ix

est telle, que les intégrales contenues sous les signes :zdans les formules précédentes puissent s'obtenir sous forme finie,il enrésulterades séries dontlavaleur exacte sera exprimée, dans chaque cas, par cette fonction. Cela aura lieu toutes les fois que l'on prendra pourfi: une exponentielle, unsinus, un cosinus, une puis- sance entière et positive; maisquoique ce moyen paraisse devoir ètre

[l'èsfécond, il ne fait connaître cependant que des sommes de séries cléj1tdéterminées, soit pal' Euler, soit p:lr

n.

Berncuilli , en suivant d'autres méthodes, et que j'ai réunies et considérées sous différens points de vue dans mes mémoires sur le calcul intégral(*).Ces mêmes formules peuvent aussi servir à la transformation des séries , ainsi qu'on pcul le voir dans ces mémoires.

Quantilla série:z (- 1)"cosn~xque nous avonssupposéeplus haut égale à -. '., elle est de l'espèce des séries périodiques qui ne sont !Ji

:1

convergentes ni divergentes, mais qu'on peut' néanmoins employer en les considérant comme les limites de séries convergentes7 c'est-n- dire en multipliant leurs termes pal' les puissances ascendantes d'une quantité infiniment peu différente de l'unité. Cette supposition revient

donc à dire qu'à la limite où qdiffere infiniment peu de luuite , on a

( ) rarx •

L - l •q"cos T

= -

^2'

tant que x diffère de

±

^L,Cela résulte, en effet, de l'équation dont

r • ~x

nous sommes partis, dans le n° 95, en y taisant p

= -

qet cl.

= [ :

(~) Journal de /':Ecole Polytechnique, .S' d Ig" cahiers.

l "" (-- ')"']" . nsx: ,

- ~ - - - S I n

- - = -

-X',

rr n 1 2.

~

+

~ ~

(-

^{I)" sin} ~'"

=

⁰

1 ss- n I '

l - x 21; 1 . tmu:

----r - ;;. r;

sm l

=

^{0 ,}

àla limite oùqdiifère infiniment peu de l'unité etquandIa variablex est comprise entre:::l= l, Maisàcette limite etpourles valeurs extrêmes dex,la diilérentielle que l'ou a intégrée n'étant point égale à-!;dx, et le cocJlicient dedx étant au contraire égal à l'infini, on ne peut pas comprendredansJ'intégrale lesélérncns qui répondentilx

=

± 1; et c'est pOUl' cela que cette dernière équation n'a_P[\~lieu pour ces valeurs particulièresJe la variable. En remplaçantqpar l'unité, on auraces deux équations

m ::X;

= m+,'

x

=

x = --'_

I n + I '

. . . .

DE LA CHALEUR.

a l' ?-01

pp iquer directement lit démonstratiou tic La<rrang , 1

f'~. 1 . '^{l ' / h} e a toutes es

i~'lil1U^('Spreccucntes.toici cette démonstration à peu près t',il' .

auteur

ra

donnée (*).

, L : .

e que

Soil IIJ un nombre entier t itic l • '

r- ' e pOSI 1

L,

et (eslgnons par T cette

.oucno» périodique ~

l

=

Y,sinWX'

+

Y.sin?7T:r

+

Y,sin Swx + ,..+ Y 'mSlnmwx, (,1:»~ dans larruelle y y y v

l 1 . " " " , , 3 ' " " ~m, ⁵⁰nt des coetliciens indépcndans

c c a V ' l l S ' j ' ' ,~ ^{' 0}

" . allaJ e~" aIL y; une autre fonction tlonnée arbitrairement

C,-Hltl'lUC. ," ou IJ.1"r.O,~ ntiiuuc , assujettie. . a la, seule condition de' 1 ^{J '}r

Huile co' ' 1 ' ' '1 ' c cvemr

, 1ll1l1e a l'l'CCClente I)our x - a c t · 0

l J'el ' , ' . ' - pOUl x=^{1. n}pro-

pose naiord tic clclcrlllillerlesnicoetlicicns Y y Y Y d telle SOrte qurel'on ait J'= [: . . " , ^{l J . ,} 3 , . " ' . , ' " e J " 1^{l ' .}X pOUl ces III valeurs partIculieres de

a varra)H~

outre les valeur', extrôrnes_.> x -_- 0 e x=t L,

J'our cela, représentons [)[\l' •

res d t d y" y .. y" . . .J

m,

^{les ln valeurs COI'-}

'pan an es efx; nousaurons, ^pOUl'déterminer les coeûi ,,'

connus, ceslnéquations: lC1ÇUo 111-

,y.=Y,sitl='"

+. +

Y.sin ~+Y=+1 3^sin

m+ ...

~

+

y 'mSll1--'-~m.

J

m+.'

y.=Y Sill~+Y' 4r. . 6".

, ' m + • •sJnm+,+y.slllm+I .. ·.·+ymsin.!!m".,

7 ' 3 " . "

m+,

y,='1:.5111---+Y sin _or.

+y .

9"" 3

" 7n+l 'i rr~ 3 SIn 7JZ"TI·.· .•

-f-

Ymsin _m+I~,

1

"x

1

+q

cosT

ç;I _'

r

+

zq cosl

+

q' THÉORIE MATHÉMATIQUE

')00

1_ qCOSy

+ q'COS2~X

^{_ r/ COS}

3~x +

^etc.

<iquatiou qui coïncideav'ec la précédente, quandqdiffère infiniment IJeu de l'unité, et que l'on n'a pas X'

=

±1., puisque alors on peut regarder son second membre comme égal à

-i-.

Si l'on a ,1:'=:::1=l, ccsecond membredevient _'_, quelle que soit la quantité '1'et,

.-q

conséquemment, infini lorsque '1

=

^1. Pour ces valeurs extrêmes de x et à cette limite, la somme:i:est doncaussi infinie; ce qui est évident.

En multipliant cette somme pardx, puis intégrant, et prenant l'in- tegmle demanièrequ'elle soitzéro quandx

=

^{0, ilvient}

cc qui donne

dont la secondese déduit de lapremière par le changement dece

CIl 1

-::r.,

et qui sont celles que nous venons de supposer dans le numéro vrécéclent.

(101), La formule (JO) est celle que l'ou doit à Lagrange, et de laquelle on peut facilement déduire toutes les autres, de même que nous les a l'ons toutes déduites de la formule (5). On pourrait aussi

laquelle est la différenœ de ces deuxautressommes:

Les coefficiensy" y., Y" •.. Ym , étant ainsi déterminés, la fOl'- mule (13) coïncidera avec la fonction

fic,

pOUl' tontes les valeurs

• f.'.'%' • nx: • 2n'7;' . "nr. . 311.'r... 3nr.

2 'ln - - - sin - -_{'. ] } I + I m}+r

+

^{2.sm - -}m-~-.I^{SlU - -}ln-;-r

+

^{2 sm}rn-~11^Slll-+--m: 1 , • 7nn'w . _ l'nn.7r.

... T :?SInl1Z+1 SUlln+l'

205

dx',

Xl

,

Y.

= 2;:1

^{sin n71'x'}fx:'d:x:' ; DE LA CHALEUR.

n'

Yrl! =j-X', il en résultera

résultat qui coïncide avec la formule (10),en prenant, dans celle-ci, lpour unité.

Les valeurs des deux sommes que nous avons supposées connues s'obtiennent, en effet, sans difficulté. Je désigne pariun nombre en- tier moindre.que2(m

+

1),pour lequel .on pourra prendre sucees-

26..

Ix

=

^2::!:

Cfo'

^sin nmx' Ix'clx') sin Il7TX;

en même temps la série (r5) se prolongera depuis n

=

^l jusqu'à n

=

0;); et en remettantfx à la place deJ,on aura

de x contenues depuis x

=

^{0 jusqu'à X =}r , et qui sont des mul- tiples exacts de la fraction __1_; et pour les autres valeurs de x

m+!

comprises dans le même intervalle, OII devra la regarder comme une formule d'intcl'polation d'une espèce particulière , qui pourra servir à calculer les valeurs approchées de

fx,

quand la forme de celte fonction ne sera pas donnée. Si l'on construit deux courbes qui aient x etJ pour leurs coordonnées courantes, dont l'une ait y=j'x pour équation , et l'autre l'équation (13), ces deux courbes

!":ouperont l'axe des abscisses a: aux pointscorrespondunsil x= ⁰ et x=^{l ,} et dans J'intervalle compris entre ces deux points, elles au- r,ont un nornhrc ln de points communs, dont les projections sur 1axe des x seront équidistantes, Ce résultat subsistera, quelque grand qu'on suppose le nombre ln; à mesure qlle ce nombre aug- mentera, les points communs aux deux courbes sc l'approcheront;

età la limite rnzz:ct:! , ces deux courbes coiuciderontparfaitement dans toute la portion comprise depuis x= a jusqu'àx

=:

1. 01', à cette limite, la somme qui exprime la valeur de Y.se changera en une intégrale définie; et n'étant un nombre entier et positif quel- couque, si l'on fait

1 1

. 3nr.

? SUI III

+1'·' ..

?,J1r.

? S - U l - - ,

,n+1

THÉORIE MATHÉiUATTQuE

• Ur.

2 sm - - .

111-+r'

( ^" (" "(" .. ( ' ,

• . IL -11)r._J 2./1.--72)'r."

+. ,,)

^n-n)'T.

+'

^ru Jl-n~";r

I+COS----;;-+i-rcos

m+1

cos~... cos

",+1 '

(n'+n)r. .~2(nl+n)7i+ .3(n'.Jrn)r.

+

^7n(n'+n)7r

r+COS ^li!

+r

+CO> m+l- COS

m+• . ,.

COS m+r--'

Y

_{. =-+}

^{2. ( • nsr . 2n~ • 3n,,-}

+

J,sm-++J.sm-+

+

^J,sm

-+ ...

m l m l m l m l

. n11L7r')

'''+Ymsm

m+, .

dont les valeurs sontfaciles àdéterminer, comme on le verratout-à- l'heure. Tant qu'onn'apas r(= n ,la valeur delapremièresommeest .; _ .;cos(n'-n)7T;celle de la seconde est toujours,i--_~cos(n'+n)'7i;

en retranchant l'une de l'autre, et observant que II et Tl' sont des nombres entiers, on a zéro pour la différence; par conséquent, le cocilicientql1e!c(JJ1rfllCy." diflcrcnt dey",n'entrerap3Sdans la somme ries éqvations qu'on aura faite. Mais si l'on a ni

=

n, la première des deux sommes précédentes sera évidemment égale à ln+!; la seconde aura pour valeur

i: -

^!;-cos2n7Tou zéro; le coefficientY.aura donc ln+ 1 pour facteur dans cette somme d'équations; et en la di- visant par

m+l,

ilcn résultera

il arriveraque tous lesautrescoefficiens ùisparaîlront de cette somme, qui ne contieudra que lecocfllcientY.qu'onse propose de déterminer ..

En effet,

n:

étal;t un indice différent de n , le coefficient y., se trOUYCI'a multiplié parlasomme

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tivement par