1 Alimentation d’une diode électroluminescente

Devoir surveillé 2

Alimentation d’une DEL ; Couche antireflet ; Oscillateur à portes logiques

Corrigé

1 Alimentation d’une diode électroluminescente

Une diode électroluminescente (DEL, Figure 1) a pour propriété d’émettre de la lumière lorsqu’elle est traversée par un courant. Sa caractéristique est décrite par le graphe ci-dessous (Figure 2). Elle est constituée d’une branche bloquée, pour la quellei=0 et d’une branche passante correspondant ài>0. On noteVS=1, 8 V sa tension de seuil etr≈1, 0Ωsa résistance dynamique. La diode s’éclairera de façon satisfaisante lorsqu’elle sera traversée par un courant d’intensitéicompris entre 10 et 20 mA.

1.1 #Lorsque la diode est passante, sa caractéristique est affine. On peut la modéliser par un générateur de Thévenin, en convention récepteur ici. On donnera également l’expression de sa loi caractéristique.

On rappelle le modèle de Thévenin D

u

i ⇔

Vs

r

u

i #même u, même i !

Vs dans le même sens que u

de loi caractéristique (en convention récepteur)

u=V_s+r i ou i=V_s+u r

1.2 La diode est branchée en série avec un générateur de f.e.m.E=6, 0 V, et un résistor de résistanceR.

1.2.1 #Pour déterminer graphiquement un point de fonctionnement, on superpose la caractéristique du généra- teur (en CG) et du récepteur (en CR). L’intersection des deux courbes nous donne le point de fonction- nement.

Déterminons la loi caractéristique du générateur. Il est modélisé par un générateur de Thévenin (en CG) de fémEet de résistance interneR. Donc

u=E−Ri⇔i=E−u R Superposons les deux caractéristiques

0 u

i

E E/R

Vs

i0

u0

1/r

−1/R

On constate que, pour toute valeur deR, le point de fonctionnement se trouve dans la partie passante de la diode. Il faudrait une résistance infini (un circuit ouvert) pour bloquer la diode.

#Dans toute la suite, dès que la diode est passante, on la remplacera par son modèle de Thévenin. Cela simplifiera considérablement les démonstrations et évitera les mauvaises utilisations de ponts diviseurs.

1.2.2 Dessinons le schéma équivalent au circuit

E Vs

R r

u i

ass. série

géné. Thévenin⇔ E−Vs R+r

i

D’après la loi d’Ohm (CR)

E−Vs=(R+r)i donc, eni=i0 R0=E−Vs

i0 +r =2, 8 · 10²Ω

#valeur usuelle de résistance.

La résistanceRest grande devantr, on peut donc négliger cette dernière.

1.2.3 Les deux branches contenant les photodiodes sont identiques, donc traversées par le même couranti₀. D’après la loi des noeuds, le générateur est traversé par le courant 2i0.

E R

u 2i0

i0 i0

⇔

E Vs Vs

R r r

u 2i0

i₀ i₀

Recherchons la valeurR⁰₀permettant le couple (u₀,i₀) de vérifier les deux lois caractéristiques

½ u₀=E−2R⁰₀i₀ u0=Vs+r i0

donc

R₀⁰ =E−Vs

2i0 +r

2 =1, 4 · 10²Ω

#valeur usuelle de résistance.

1.2.4 Par définition de la puissance dissipée par effet Joule dansR: PR=R₀⁰×(2i0)² =1, 2 · 10⁻¹W

#puissance de l’ordre de10⁻¹Whabituelle pour les "petits" composants de TP.

Par définition de la puissance reçue par chacune des diodes (CR) : Pd=ui=Vsi0+r i₀² =2, 7 · 10⁻²W

#Cette puissance est environ 5 fois inférieure à celle dissipée dans la résistance. Le rendement du circuit n’est pas très bon.

Par définition de la puissance fournie par le générateur idéale (CG) : Pg=2Ei₀ =0, 18 W

#on est toujours dans les mêmes ordres de grandeurs de puissance.

On retrouve bien-sûr leprincipe de conservation de l’énergie(de la puissance ici) :

Pg=2Ei₀=2(2R₀⁰i₀+u)i₀=4R₀⁰i₀²

| {z }

PR

+2u₀i₀

| {z }

Pd

Pg=PR+2Pd

1.3 Le montage est modifié selon le schéma de la Figure 4, avecR₂=1, 0Ω.

u2

u1

uR

i1 i₂

1.3.1 La diode est bloquée (i=0) pouru<V s=1, 8 V, donc pour une tensionu₁aux bornes deR₁inférieur àVs(pas de chute de tension aux bornes deR, car pas de courant à travers la diode).

La diode étant bloquée (i=0),R1etR2sont ensérie. D’après la loi du diviseur de tension u1= R1

R1+R2

E #à ne pas utiliser quand la diode est passante ! Recherchons la condition surR1pour que la diode soit bloquée

u1<Vs ⇔ R1

R1+R2

E<Vs

⇔ R1E<(R1+R2)VS

⇔ R1(E−Vs)<R2Vs

⇔ R1< Vs

E−Vs

R2 # carE>Vs

La diode sera passante si et seulement si R1≥ Vs

E−Vs

R2 =4, 3 · 10⁻¹Ω

#Résistance très faible, la condition est facilement vérifiée.

1.3.2 #On remarquera que R₁=1 kΩest bien supérieure à4, 3·10⁻¹Ω. La diode est passante, donc modélisable par le modèle de Thévenin

Méthode 1 : loi des noeuds en terme de potentiels

E V_s

R₂

R1

r+R

u₁ i

D’après la loi des noeuds en terme de potentiels

E−u1

R2 +0−u1

R1 +Vs−u1

R+r =0 ⇔ u1=

E R₂+_R^V₊^s_r

1

R2+_R¹₁+_R¹_+r

⇔ u₁=(R₁R₂(R+r))

E R2+_R^V₊^s_r

R1(r+R)+R2(r+R)+R1R2

⇔ u1= R1(R+r)E+R1R2Vs

(R1+R2)(r+R)+R1R2

D’après la loi d’Ohm (CR) :

i=u1−Vs

R+r =R1(R+r)E+R1R2Vs−(R1+R2)(R+r)Vs−R1R2Vs

(R1+R2)(r+R)²+R1R2(r+R) i= R1E−(R1+R2)Vs

(R₁+R₂)(r+R)+R₁R₂

Méthode 2 : Transformation Thévenin-Norton

E Vs

R2

R1

r+R

u1 i ^Thévenin⇔^→Norton

E R2

Vs R₁R₂

R₁+R₂

r+R

u1 i

Norton→Thévenin

⇔ R₁^R+¹R₂E

V_s

r+R+_R^R₁¹_+R^R2₂ i

D’après la loi d’Ohm (CR) :

i=

R1

R1+R2E−V_s r+R+_R^R₁¹_+R^R2₂

i= R1E−(R1+R2)Vs

(R1+R2)(r+R)+R1R2

A.N. i=15 mA

#On retrouve le même courant qu’aux questions précédentes.

1.3.3 Remarque : la diode est traversée par le même courant qu’en question 1.2, donc elle absorbe la même puissance

Pd=2, 7 · 10⁻²W

Par définition de la puissance fournie par le générateur idéale (CG) : Pg= R1

R1+R2

Ei0 =9, 0 · 10⁻²W

#on est toujours dans les mêmes ordres de grandeurs de puissance. Le rendement n’a pas augmenté. Ce nouveau montage ne présente pas d’intérêt si ce n’est de faire travailler les étudiants.

2 Couche anti-reflet

2.1 Réflexion et transmission

2.1 Par définition de l’indice optique n=c

v

Donc, les célérités v₁ et v₂ des ondes dans les milieux d’indice 1 et 2 s’expriment

v1= c n1

et v2= c n2

Par définition de la longueur d’onde dans un milieu λ=v

f

Les ondes incidente et réfléchie sont dans le milieu 1, l’onde transmise dans le milieu 2. Donc λi=λr= c

n1f et λt= c n2f Par définition du vecteur d’onde

k=2π

λ donc ki=kr=2πn1f

c et kt=2πn2f c 2.2 Par définition d’une onde progressive sinusoïdale se propageant vers lesxpositif

s_i(x,t)=A_icos¡

2πf t−k_ix+ϕi

¢

2.3 D’après la relation de passage sr(0,t) = n1−n2

n1+n2

si(0,t)

= Ai

n1−n2

n1+n2

| {z }

±Ar

cos¡

2πf t+ϕi¢

= Ai

n1−n2

n1+n2

cos¡

2πf t+ϕi¢

sin1>n2 ou Ai

n2−n1

n1+n2

cos¡

2πf t+ϕi+π¢

sin1>n2

L’onde réfléchie se propage selon lesxnégatifs, donc

sr(x,t)=Ai

n1−n2

n₁+n₂

| {z }

Ar>0

cos(2πf t+krx+ ϕi

|{z}ϕr

) sin1>n2 ou Ai

n2−n1

n₁+n₂

| {z }

Ar>0

cos(2πf t+krx+ϕi+π

| {z }

ϕr

) sin1>n2

2.4 Par définition de l’onde résultante, dans le milieu 1

s₁(x,t)=si(x,t)+sr(x,t)=Aicos(2πf t−kix+ϕi)+Arcos(2πf t+krx+ϕr)

Les interférences sont constructives quand le déphasage enxentre les deux ondes vaut 2mπ,m∈Z

krx+ϕr−(−kix+ϕi)=2mπ,m∈Z ⇔ 4πn1f

c x=2mπ ou 4πn1f

c x+π=2mπ,m∈Z

⇔ x= 2mc

4n1f,m∈Z sin1>n2 ou (2m+1)c

4n1f ,m∈Z sin1<n2

Les interférences sont constructives quand le déphasage enxentre les deux ondes vaut (2m+1)π,m∈Z

krx+ϕr−(−kix+ϕi)=(2m+1)π,m∈Z ⇔ 4πn1f

c x=(2m+1)π ou 4πn1f

c x+π=(2m+1)π,m∈Z

⇔

x=(2m+1)c

4n1f ,m∈Z sin1>n2

ou x= 2mc

4n1f,m∈Z sin1<n2

#On remarquera que les interférences en x=0sont constructives si n1>n2et destructives si n1<n2.

En cas d’interférences destructives, l’amplitude vautAi−Ar, qui est non nul. Donc au niveau des noeuds, lesinterférences ne sont pas totalement destructives.

2.5 Par définition de l’éclairement

Pi(x) = 1 T

wT

0 s_i²(x,t)dt

= 1 T

wT

0 A²_icos² µ2πt

T −kix+ϕi

¶ dt

= A²_i T

wT 0

1+cos¡_4πt

T −2kix+2ϕi

¢

2 dt

= A²_i T

wT 0

1

2dt+A²_i T

wT 0

cos¡_4πt

T −2kix+2ϕi¢

2 dt

| {z }

=0

= A²_i 2

# Un résultat à retenir :rT

0 cos²¡_2πt

T

¢dt=¹₂. De même

Pr(x)= A²_r 2 Par définition du coefficient de réflexion

R=Pr

Pi =A²_r A²_i R=

µn1−n2

n1+n2

¶2

2.6 On montre que

T=Pt

Pi = 4n1n2

(n₁+n₂)² Alors

R+T=

µn1−n2

n1+n2

¶2

+ 4n1n2

(n1+n2)²=n₁²−2n₁n₂+n₂²+4n₁n₂

(n1+n2)² =n²₁+2n₁n₂+n²₂

(n1+n2)² =(n1+n2)² (n1+n2)²=1 Cette égalité traduit laconservation de l’énergie. L’énergie qui n’est pas réfléchie et transmise.

2.7 Application numérique.

R=

µN−na

N+na

¶2

=0, 04 et T= 4N na

(N+na)² =0, 96

2.8 L’éclairement incident vautPi. Celui de soleil est 10 fois supérieurPsoleil#10Pi. Psoleil TPsoleil T²Psoleil

RPsoleil

T RPsoleil

T²RPsoleil

Pi

TPi

T²Pi

L’oeil voit respectivementT²Pi etR(1+T²)Ps. Le rapport vaut alors ρ= T²Pi

R(1+T²)Ps = T

10R(1+T²) =1, 1

L’éclairement du reflet est du même ordre de grandeur que celui du paysage, ce qui est gênant : l’automobiliste est ébloui.

2.2 Mise au point de la couche anti-reflet

2.9 La réflexion sur le dioptre séparant les milieux d’indicenet N s’accompagne d’un déphasage deπcarn<N.

De même, La réflexion sur le dioptre séparant les milieux d’indicenaetns’accompagne d’un déphasage deπcarna<

n.

Les deux déphasages se compensent.

L’onde transmise dans le milieu d’indicenparcourt une dis- tance supérieure de 2epar rapport à l’onde réfléchie.

Cette distance supplémentaire crée un retard τ=2e

v =2ne c

2.10 Ce retard temporel provoque un déphasage∆ϕentre les ondes transmise et réfléchie

∆ϕ=2πfτ=4neπf c or,λ= ^c_f, d’où

∆ϕ=4πne λ

2.11 L’onde réfléchie possède une amplitude minimale si le déphasage congrue àπ

∆ϕ=2(m+1)π,m∈Z ⇔ 4πne

λ =2(m+1)π,m∈Z

⇔ e=1 n

µmλ 2 +λ

4

¶

,m∈Z La plus petite épaisseur vaut

emin= λ

4n =1, 0 · 10⁻⁷m

# ce qui représente un millier de couches atomiques, techniquement réalisable.

2.12 L’épaisseur assurant l’interférence destructive dépend de la longueur (cf. résultat ci-dessus). Les longueurs d’onde autres queλmne sont pas détruits. Leur coefficients de réflexion est donc supérieur.

Expérimentalement, on obtientR(λm)=0, 015, ce qui est un 5 fois moindre que leR(1+T²) du cas précédent.

Dans l’exemple du Soleil de dos, cela porte le rapportρà 6, ce qui est moins éblouissant.

3 Oscillateur à portes logiques

3.1 Circuit RC

e(t)

R0

u(t) C uR(t) 3.1 D’après la loi des mailles i

e=uR+u D’après la loi d’Ohm (CR)

u_R=R₀i

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) i=Cd u

d t Donc

e=R0Cd u d t +u

En posant laτ=R0Cle temps caractéristique de charge du condensateur d u

d t +1 τu=e

τ (E)

3.2 Les solutions de l’équation différentielle (E) avec second membre sont la somme

• des solutions de équation différentielle homogène uH(t)=Aexp

µ

−t τ

¶ , A∈R

• et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) avec second membre uP(t)=e

Donc

u(t)=Aexp µ

−t τ

¶

+e, A∈R

Àt=0⁻, le condensateur est initialement déchargé, doncu(0⁻)=0. Or, la tension aux bornes d’un conden- sateur ne peut pas subir de discontinuité, donc

u(0⁻)=u(0⁺)=u(0)=0 Donc

u(0⁻)=0 ⇔ A+e=0

⇔ A= −e Finalement

u(t)=e µ

1−exp µ

−t τ

¶¶

3.3 Déterminons graphiquement la constante de temps en traçant la tangente à l’origine ou en cherchant l’antécédent deu=0, 63e.

0, 63=3, 2 V

τ=0, 12 ms

On litτ=0, 12 ms.

On a posé

τ=R0C⇔ C= τ

R₀ =1, 2 · 10⁻⁷F

#valeur typique pour une capacité.

3.2 Portes logiques

C

R

e₁ s₁ e₂ s₂

uc

i i

NON NON

0 e

s VD

VD/2 VD

Caractéristique idéale NON

#On ne laissera pas ce schéma trop compliqué. On le remplacera dans la suite par des circuits RC équivalent, afin de se ramener à la démonstration des questions 3.1et 3.2.

On remarquera que les tensions e₁, s₁, e₂et s₂jouent le rôle de potentiel électrique dans ces circuits équivalents.

3.4 Àt=0⁺,s1=0 etS2=V2. L’ensembleRCest soumis à la tensions2−s1=VD.

s2−s1=VD

R

C u(t)=e2−s1

s2 e2

s₁

Le condensateur se charge et la tensionucà ses bornes tend versVD. De mêmee₂=s₁+uctend versVD. Lorsque qu’àt1les tensionsucete2atteignentVD/2,s2bascule à 0 ets1bascule àVD. Le circuit RC est alors soumis à la tension−VD.

s₂−s₁= −VD

R

C u(t)=e₂−s₁

s2 e2

s₁

Par continuité de la tensionu_caux bornes du condensateur,e₂bascule à 3/2V_d.

Le condensateur se décharge et la tensionucà ses bornes tend vers−VD. De mêmee2=s1+uc tend vers 0.

Lorsque qu’àt2la tensionucatteint−VD/2 ete2atteintVD/2,s2bascule àVDets1bascule à 0. Et ça recom- mence...

t 0⁺ t₁⁻ t₁⁺ t₂⁻

e1 VD VD 0 0

s1 0 0 VD VD

u_c=e₂−s₁

VD/2

%

−VD/2

VD/2

&

−VD/2

e₂ VD/2

%

−VD/2

3/2V_D

&

VD/2

s2 VD VD 0 0

s2−s1 VD VD −VD −VD

#les discontinuités sont signalées par des||.

3.5 On remarque ques2=e1ets1=NON(e1), doncs1=NON(s2).

0 t

s1

0 t

s₂

t1 t2

3.3 Oscillations de relaxation

C

R

e1 s1 e2 s2

uc

i i

NON NON

3.6 Les résistances d’entrée des portes sont supposés infinies. La résistance et le condensateur sont donc branchés en série, traversés par le même couranti.

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) i=Cd uc

d t Or, d’après la loi d’additivité des tensions

uc=e2−s1 avec s1=0 pour t∈]0,t1[ d’où

i=Cd e2

d t 3.7 D’après la loi des mailles

s2−⁼s1⁰

| {z }

V_D

=s2−e2

| {z }

uR

+e2−⁼s1⁰

| {z }

uc

D’après la loi d’Ohm (CR)

uR=s2−e2=Ri

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) i=Cd u_c

d t =Cd e₂ d t D’où

VD=RCd e2

d t +e2

Posonsτ=RCle temps caractéristique de charge du condensateur. Sous forme canonique,e₂vérifie (E1) d e₂

d t +1

τe2=V_D

τ , τ=RC pour t∈]0,t1[ 3.8 Àt=0⁻,e2(0⁻)=VD/2,s2(0⁻)=0 ets1(0⁻)=VD. Doncuc(0⁻)= −VD/2.

Or la tension aux bornes du condensateur ne peut pas subir de discontinuité. Donc u_c(0⁻)=u_c(0⁺)=u_c(0)= −V_D/2

Or, àt=0⁺,s₁(0⁺)=0. Donc

e₂(0⁺)=s₁(0⁺)+u_c(0)= −V_D/2 3.9 Les solutionse2de l’équation différentielle linéaire (E1) sont la somme

• des solutionse2Hde l’équation différentielle linéaire homogène associée e2H(t)=Aexp

µ

−t τ

¶ , A∈R

• et d’une solution particulièree2Pde l’équation différentielle linéaire (E1) e2P(t)=VD

Donc les solutions de l’équation différentielle linéaire (E₁) sont e₂(t)=Aexp

µ

−t τ

¶

+V_D, A∈R

Àt=0⁺, e2(0⁺)= −VD ⇔ A+VD= −VD/2

⇔ A= −3/2VD . D’où e2(t)=VD−3V_D

2 exp µ

−t τ

¶

3.10 Recherchons l’instantt1pour lequel la tensione2(t) atteint la valeurVD/2.

e2(t1)=VD

2 ⇔ VD−3VD

2 exp µ

−t1

τ

¶

=VD

2

⇔ 3 2exp

µ

−t1

τ

¶

=1 2

⇔ exp µt1

τ

¶

=3

⇔ t1=RCln(3)

3.11 Àt=t₁, la deuxième porte bascule,s₂(t₁⁺)=0. Aussitôt, la première bascule,s₁(0⁺)=VD. Or la tension aux bornes du condensateur ne peut subir de discontinuité

uc(t₁⁺)=uc(t⁻)=e2(t₁⁻)+s1(t₁⁻)=VD

2 D’où

e2(t₁⁺)=uc(t₁⁺)+s1(t₁⁺)=3 2VD

3.12 D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) i=Cd u_c

d t Or, d’après la loi d’additivité des tensions

uc=e2−s1 avec s1=0 pour t∈]0,t1[ d’où

i=Cd e2

d t

3.13 D’après la loi des mailles

=0

s2−s1

| {z }

−VD

=s2−e2

| {z }

u_R

+e2−

=V_D

z}|{s1

| {z }

u_c

D’après la loi d’Ohm (CR)

u_R=s₂−e₂=Ri

D’après la loi caractéristique du condensateur (CR) i=Cd u_c

d t =Cd e₂−V_D

d t =Cd e₂ d t

D’où

0=RCd e₂ d t +e₂

Posonsτ=RCle temps caractéristique de charge du condensateur. Sous forme canonique,e2vérifie (E₂) d e2

d t +1

τe₂=0 , τ=RC pour t∈]t₁,t₂[ Les solutionse2de l’équation différentielle linéaire (E2), homogène, sont de la forme

e2(t)=Aexp µ

−t τ

¶ , A∈R

Àt=t₁⁺, e2(t₁⁺)=³₂VD ⇔ Aexp(−^t_τ¹)=³₂VD

⇔ A=^3V₂^D exp(^t_τ¹) . D’où e2(t)=3VD

2 exp µ

−t−t1

τ

¶

3.14 Recherchons l’instantt2pour lequel la tensione2(t) atteint la valeur−VD/2.

e2(t2)=VD

2 ⇔ 3VD

2 exp µ

−t2−t1

τ

¶

=VD

2

⇔ exp µt2−t1

τ

¶

=3

⇔ t₂=t₁+τln(3)

⇔ t2=2RCln(3)

3.15

t e2

−VD/2 VD/2 VD

3/2VD

t s1

VD/2 V_D

t s₂

VD/2 VD

3.16 La période d’oscillation est ici le tempst₂ramenant le système à l’état qu’il occupait àt=0. Donc T=t2=2RCln(3)

3.17 Par définition de la fréquence

f = 1

T = 1

2RCln(3) =8, 1 · 10²Hz

# une fréquence assez faible pour une horloge, tout à fait réalisable donc.