Lycée Public Chrestien de Troyes CPGE PC maths M Rharif
PC Planche 5
Théorème de convergence dominée Intégrales à paramètres
approfondissement
Exercice 1
Soit la suite de fonctions définie par : n , 21
: 1
n n t
f x
t t e
. 1. Montrer que pour tout n , fn est intégrable [0,+[
2. On pose pour tout n , 2
0 1
n n t
u dt
t t e
. Etudier la limite éventuelle de la suite
unExercice 2
Pour 𝑥 > 0, on pose
𝑔(𝑥) = 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑡
𝑡 𝑑𝑡
1. Justifier la définition de 𝑔 sur ]0, +∞[
2. Montrer que la fonction 𝑔 est de classe C1 sur ]0, +∞[
3. Calculer 𝑔′
4. Calculer lim → 𝑔(𝑥) 5. En déduire le calcul de 𝑔(𝑥)
Exercice 3
Soit la fonction f définie par :
20 2 t
x
ch xt e dt 1. Montrer que f est C1 sur .2. Montrer que : x, f x'
2x f x
3. En déduire :
x,
2 20 2
2
t x
ch xt e dt e
(On rappelle l’intégrale de Gauss : 2
0 2
e dtt
)Exercice 4*
Soit 𝑓 une fonction continue par morceaux sur intervalle 𝐼 d’extrémités 𝛼 et 𝛽.
On suppose que ∫ 𝑓 est convergente.
1. Déterminer
lim→ 𝑓 𝑒𝑡 lim
→ 𝑓
2. Démontrer le théorème de convergence dominée lorsqu’on on suppose, en plus des hypothèses du théorème, que la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment de l’intervalle 𝐼
