Plan du coursde mécanique

Lycée Fénelon Sainte-Marie

Physique

Plan du cours de mécanique

2016-2017

ME1 – MECANIQUE DU POINT (RÉVISION)...1

1 – CINÉMATIQUE...2

1.1 – RELATIVITÉDUMOUVEMENTETRÉFÉRENTIEL...2

1.2 – REPÉRAGESPATIAL...2

1.2.1 – Vecteur position...2

1.2.2 – Vecteur vitesse...3

1.2.3 - Dérivation des vecteurs d’une base locale...3

Exercice 1 : Vecteurs vitesse en coordonnées cylindriques et sphériques...3

1.2.4 – Vecteur accélération...3

Exercice 2 : Vecteurs accélération en coordonnées cylindriques et sphériques...3

1.3 - D^{ESCRIPTIONDEMOUVEMENTSSIMPLES}...4

1.3.1 - Mouvements rectilignes...4

1.3.2 - Mouvements circulaires...4

2 – LES LOIS DE LA DYNAMIQUE...5

2.1 – LAQUANTITÉDEMOUVEMENT...5

2.2 – L^{EMOMENTCINÉTIQUE}...5

2.3 – L^ESLOISDE N^EWTON...5

2.3.1- 1^ère loi de Newton : le principe d’inertie...5

2.3.2 – 2^ème loi de Newton : la loi de la quantité de mouvement (ou Principe Fondamental de la dynamique)...5

2.3.2.1 – Enoncé... 5

2.3.2.2 – Exemples du forces... 6

2.3.3 – 3^ème loi de Newton : le principe des actions réciproques...6

2.4 – LALOIDUMOMENTCINÉTIQUE...7

2.4.1 – Moment d’une force...7

2.4.2 – Loi du moment cinétique (théorème du moment cinétique)...7

2.4.3 – Cas de la conservation du moment cinétique...8

2.4.4 – Conséquences...8

2.4.3.1 - Le mouvement de M est plan...8

2.4.3.2 – Loi des aires... 8

3 – LES LOIS ÉNERGÉTIQUES...8

3.1 – LOIDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE (THÉORÈMEDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE)...8

3.1.1 – Travail d’une force – Puissance d’une force...8

3.1.2 – Enoncé du théorème de l’énergie cinétique...9

3.2 – LOIDEL’ÉNERGIEMÉCANIQUE (THÉORÈMEDEL’ÉNERGIEMÉCANIQUE)...9

3.2.1 – Champ de force conservatif - Energie potentielle d’un point...9

3.2.1.1 – Définition... 9

ME2 – CHANGEMENT DE REFERENTIEL...1

INTRODUCTION :...2

1 – CINÉMATIQUE...2

1.1 – M^{ISEENPLACEDESNOTATIONS}...2

1.2 - DÉRIVÉED’UNVECTEUR : FORMULEDE VARIGNON (OUDE BOUR)...2

1.2.1. Démonstration...2

1.2.1.1 - Dérivation des vecteurs de la base mobile...2

Exercice 1 : Application à la base cylindrique...2

1.2.1.2. Dérivation d’un vecteur quelconque : formule de Varignon...3

1.2.2 - Cas particulier où R’ en translation pure / R...3

1.3 - L^OIDECOMPOSITIONDESVITESSES...3

1.3.1 - Démonstration...3

1.3.2 - Cas particuliers...3

1.3.2.1 - R’ en translation pure / R...3

Exercice 2 : Trottoir roulant...3

1.3.2.2 - R’ en rotation pure / R autour d’un axe fixe...3

Exercice 3 : Contrôleur de manège...4

1.3.2.3 - Cas d’un point fixe dans R’...4

1.3.3 – La transformation de Galilée...4

1.3.4 - Composition des rotations...5

1.4 - LOIDECOMPOSITIONDESACCÉLÉRATIONS...5

1.4.1 – Démonstration...5

1.4.2 - Cas particuliers...5

1.4.2.1 - R’ en translation pure / R...5

Exercice 4 : Démarrage du métro...5

1.4.2.2 - R’ en rotation uniforme pure / R autour d’un axe fixe...5

1.4.2.3 - Cas d’un point fixe dans R’ : équilibre relatif...5

2 - DYNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN...6

2.1 - DÉFINITIOND’UNRÉFÉRENTIELGALILÉEN...6

2.2 – LOIDEQUANTITÉDEMOUVEMENT (PRINCIPEFONDAMENTALDELADYNAMIQUE)...6

2.2.1 - Etablissement du PFD en référentiel non galiléen...6

2.2.2 - Cas particuliers et exemples...6

2.2.2.1 - Equilibre en référentiel non galiléen : équilibre relatif...6

Exercice 5 : Lustre dans un train...6

2.2.2.2 - R’ en translation pure / R...6

2.2.2.3 - R’ en rotation uniforme pure / R autour d’un axe fixe...6

Exercice 6 : Attention ça tourne…...7

2.2.3 - Principe de relativité galiléenne...7

2.2.4 - Caractère galiléen approché des référentiels courants...7

2.2.4.1 - Référentiel de Copernic...7

2.2.4.2- Référentiel géocentrique – Marées (cf DM)...7

2.2.4.3 - Référentiel terrestre local – Manifestation de la force axifuge - Gravitation et pesanteur...8

2.2.4.3 - Référentiel terrestre local – Manifestation de la force de Coriolis...8

Exercice 7 : Usure des rails...9

2.3. THÉORÈMEDUMOMENTCINÉTIQUEENRÉFÉRENTIELNONGALILÉEN (TMC)...9

3 – ASPECTS ÉNERGÉTIQUES DES FORCES D’INERTIE...9

3.1 – LOIDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE (THÉORÈMEDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE)...9

3.2 – Loi de l’énergie mécanique...9

ME3 – MECANIQUE DU SOLIDE...1

1 – CINÉMATIQUE...2

1.1 – DESCRIPTIONDUMOUVEMENTD’UNSOLIDE...2

1.1.1 – Définition et degrés de liberté d’un solide...2

1.1.2 – Référentiel barycentrique...2

Exercice 1 : Position de l’origine du référentiel de Copernic



1.1.3 – Le mouvement d’un solide est un mouvement composé...3

1.2 – CHAMPDEVITESSESDUSOLIDE...4

1.3 – G^LISSEMENTD’^{UNSOLIDESURUNAUTRESOLIDE}...4

1.3.1 – Vitesse de glissement...4

1.3.2 – Condition de non-glissement vg 0...4

Exercice 2 : Vitesse d’un point d’une roue de véhicule



2 – DYNAMIQUE...5

2.1 – NOTIONDEFORCESINTÉRIEURESETDEFORCESEXTÉRIEURES...5

2.1.1 – Définition et exemples...5

2.1.1.1 – Forces extérieures... 5

2.1.1.2 – Forces intérieures... 5

2.1.2 – Lois de Coulomb du glissement ponctuel...5

2.1.2.1 – Lois de Coulomb avec glissement i.e.v_g(S₂/S₁)0...6

2.1.2.2 – Loi de Coulomb sans glissement v_g(S₂/S₁)0...6

2.2 – THÉORÈMEDUCENTRED’INERTIE (OUDELARÉSULTANTECINÉTIQUE)...7

2.2.1 - Dans un référentiel galiléen...7

Exercice 3 : Bilan de forces d’un véhicule motorisé en mouvement uniforme



2.2.2 – Dans un référentiel non galiléen en translation rectiligne non-uniforme...7

2.3 – THÉORÈMEDUMOMENTCINÉTIQUE...7

Exercice 4 : Rotation d’une roue



3 – ENERGÉTIQUE...8

3.1 – ENERGIECINÉTIQUED’UNSOLIDE...8

Exercice 5 : Energie cinétique d’une roue d’un véhicule en translation



3.2 – LOIDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE (OUDELAPUISSANCECINÉTIQUE)...9

3.2.1 – Puissance des forces extérieures...9

3.2.2 – Puissance des forces intérieures...9

3.2.2.1 – Cas d’un solide unique...9

3.2.2.2 – Cas de deux solides en contact ponctuels...9

3.2.2 – Loi de l’énergie cinétique...9

Exercice 6 : Bilan de puissance d’une roue de véhicule



4 – APPROCHE DESCRIPTIVE DU MOUVEMENT D’UN VÉHICULE À ROUES...11

4.1 – C^ASD’^{UNVÉHICULETRACTÉ}



MF1 – STATIQUE DES FLUIDES ... ERROR: REFERENCE SOURCE NOT FOUND 1 – DESCRIPTION D’UN FLUIDE ... ERROR: REFERENCE SOURCE NOT FOUND 1.1 – DÉFINITIONS ... ERROR: REFERENCESOURCENOTFOUND

1.1.1 – Notion d’état fluide ... Error: Reference source not found 1.1.1.1 - Définition ... Error: Reference source not found Exercice 1 : Optique géométrique en apesanteur





1.1.2.1 – Echelle microscopique ... Error: Reference source not found 1.1.2.2 – Echelle macroscopique ... Error: Reference source not found 1.1.2.3 – Echelle mésoscopique – Particule de fluide ... Error: Reference source not found Exercice 2 : Taille d’une particule de fluide



1.2.1 – Forces volumiques ... Error: Reference source not found 1.2.2 – Forces surfaciques ... Error: Reference source not found 1.2.2.1 – Force de contact entre particules de fluide ... Error: Reference source not found 1.2.2.2 – Composante normale – notion de pression ... Error: Reference source not found 1.2.2.3 – Equivalent volumique des forces de pression





2.2 – CASD’UNFLUIDEINCOMPRESSIBLEDANSLECHAMPDEPESANTEUR ... ERROR: REFERENCESOURCENOTFOUND

2.2.1 – Notion de fluide incompressible







Exercice 4 : Force hydraulique subie par un barrage vertical



2.3.1 – Nivellement barométrique de l’atmosphère isotherme



2.4.1 – Enoncé – Démonstrations



MF2 – CINEMATIQUE D’UN FLUIDE EN MOUVEMENT

MF2 – CINEMATIQUE D’UN FLUIDE EN MOUVEMENT...1

1 – CHAMP DES VITESSES...2

1.1 – DESCRIPTIONEULÉRIENNE...2

1.2 – LIGNEDECOURANT – TUBEDECOURANT...2

Exercice 1 : Ecoulement dans un dièdre droit : lignes de courant



1.3 – D^ÉRIVATIONPARTICULAIREENDESCRIPTIONEULÉRIENNE...3

1.3.1 – Dérivée particulaire d’un scalaire



Exercice 2 : Dérivée particulaire de la masse volumique



1.3.2 – Dérivée particulaire de la vitesse : accélération d’une particule de fluide



1.3.2.1 – Expression de l’accélération d’une particule de fluide...4

Exercice 3 : Accélération de l’écoulement dans un dièdre droit



1.3.2.2 – Opérateur rotationnel



2 – CONSERVATION DE LA MASSE...5

2.1 – DÉBITVOLUMIQUE...5

2.1.1 – Définition



Exercice 4 : Débit volumique dans une canalisation cylindrique



2.1.2 – Vitesse moyenne d’un écoulement à travers une surface...6

Exercice 5 : Vitesse moyenne d’un fluide



2.2 – DÉBITMASSIQUE



Exercice 6 : Débit massique d’eau dans une canalisation



2.3 – E^QUATIONDECONSERVATIONDELAMASSE...6

2.3.1 – Equation intégrale



2.3.2 – Equation locale à une dimension cartésienne



2.3.3 – Equation générale à 3 dimensions – Opérateur divergence...7

2.3.3.1 – Enoncé... 7

2.3.3.1 - Opérateur divergence



2.3.3.2 – Démonstration (HP)



MF3 – Différents types d’écoulements

MF3 – DIFFÉRENTS TYPES D’ÉCOULEMENTS...1

1 – ECOULEMENT STATIONNAIRE...2

Exercice 1 : Débit massique dans un tube de courant en écoulement stationnaire



Exercice 2 : Ecoulement dans un dièdre droit



2 – ECOULEMENT INCOMPRESSIBLE...2

2.1 – D^ÉFINITION



2.2 – CONSÉQUENCEMÉSOSCOPIQUE : NONDILATATIONDESPARTICULESDEFLUIDE



2.3 – CONDITIOND’INCOMPRESSIBILITÉD’UNÉCOULEMENT



2.4 – ^{v ESTÀFLUX}CONSERVATIFDANSUNÉCOULEMENTINCOMPRESSIBLE



2.5 – TOPOGRAPHIEDESLIGNESDECOURANTD’UNÉCOULEMENTINCOMPRESSIBLE



3 – ECOULEMENT TOURBILLONNAIRE OU ROTATIONNEL...4

3.1 – ROTATIOND’UNEPARTICULEDEFLUIDEINCOMPRESSIBLE



3.2 – V^{ECTEURTOURBILLON} : ^DÉFINITION



3.3 – PROPRIÉTÉ...4

Exercice 3 : Deux exemples d’écoulements



4 – ECOULEMENT IRROTATIONNEL – POTENTIEL DES VITESSES...5

4.1 – O^CCURRENCED’ÉCOULEMENTSIRROTATIONNELS...5

4.2 – E^COULEMENTIRROTATIONNEL (^{ÉCOULEMENTNON}TOURBILLONNAIREOUPOTENTIEL) - ^{POTENTIELDESVITESSES}...5

4.3 – CASDESÉCOULEMENTSINCOMPRESSIBLESPOTENTIELS...6

4.3.1 – Equation différentielle du potentiel des vitesses...6

4.3.2 – Conditions limites...6

Exercice 4 : Ecoulement incompressible potentiel dans un dièdre droit



MF4 – Dynamique des fluides parfaits

MF4 – DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS...1

1 – NOTION DE FLUIDE PARFAIT...2

2 – EQUATION D’EULER...2

2.1 – EXPRESSIONDEL’ÉQUATIOND’EULER



2.2 – COMMENTAIRESSURL’ÉQUATIOND’EULER – CONDITIONSPARTICULIÈRES...3

2.2.1 – Recherche d’un système complet d’équations...3

2.2.2 – Conditions particulières...3

Exercice 1 : Champ de pression dans un tourbillon liquide



2.3 – Intégration de l’équation d’Euler le long d’une ligne de courant



Exercice 2 : Vidange d’un réservoir



3 – RELATION BERNOULLI...5

3.1 – CASDESFLUIDESPARFAITSENÉCOULEMENTSTATIONNAIREINCOMPRESSIBLE



3.2 – INTERPRÉTATIONÉNERGÉTIQUE...6

4 – APPLICATIONS DE LA RELATION DE BERNOULLI...6

4.1 – V^IDANGED’^UNRÉSERVOIR : ^FORMULEDE T^ORRICELLI



4.2 – MESUREDEPRESSION : TUBEDE PITOT



4.3 – EFFET VENTURI



4.4 – Portance par effet Magnus...8

MF5 – Dynamique des fluides réels newtoniens incompressibles

1 – VISCOSITÉ D’UN FLUIDE...2

1.1 – M^{ISEENÉVIDENCE}...2

1.2 – FORCEDECISAILLEMENT – COEFFICIENTDEVISCOSITÉ...2

1.2.1 - Cas d’un écoulement unidirectionnel...2

1.2.1.1 – Cisaillement d’une particule de fluide...2

1.2.1.2 – Notion de fluide newtonien



1.2.1.3 – Force de cisaillement – Coefficient de viscosité



1.2.2 – Equivalent volumique de la force de cisaillement



1.2.4 – Transport diffusif et transport convectif de quantité de mouvement...4

1.2.4.1 – Transport convectif de quantité de mouvement volumique...4

1.2.4.2 – Transport diffusif de quantité de mouvement volumique...4

2 – EQUATION DE NAVIER-STOKES...4

2.1 – EQUATIONDUMOUVEMENTD’UNFLUIDENEWTONIENINCOMPRESSIBLE : ÉQUATIONDE NAVIER-STOKES...4

2.2 – CONDITIONSLIMITES...5

2.2.1 – Contact fluide-solide...5

2.2.2 – Contact fluide-fluide...5

2.2.2.1 – Contact liquide-liquide non miscibles



2.2.2.2 – Contact liquide-gaz



2.3 – EXEMPLESD’ÉCOULEMENTSUNIDIRECTIONNELS...6

2.3.1 – Ecoulement de Couette plan...6

2.3.1.1 – Régime stationnaire... 6

Exercice 1 : Ecoulement de Couette stationnaire



2.3.1.2 – Régime transitoire (approche descriptive)...6

2.3.2 – Ecoulement de Poiseuille...7

Exercice 2 : Ecoulement de Poiseuille stationnaire



3 – NOMBRE DE REYNOLDS...8

3.1 – D^{ÉFINITIONDUNOMBREDE} R^EYNOLDS...8

3.1.1 – Equation de Navier-Stokes adimensionnée



3.1.2 – Comparaison d’ordres de grandeurs



3.1.2.1 – Comparaison des termes de transport de quantité de mouvement



3.1.2.2 – Comparaison des durées typiques de transport de quantité de mouvement



3.2 – L’EXPÉRIENCEDE REYNOLDS - CLASSIFICATIONDESÉCOULEMENTS...8

3.3 – APPLICATION : FORCEDETRAÎNÉESUBIEPARUNESPHÈREDANSUNÉCOULEMENT...9

3.3.1 – Dispositif expérimental...9

3.3.2 – Cas des « faibles vitesses » d’écoulement



Exercice 3 : Traînée linéaire : Formule de Stokes



3.3.3 – Cas des « fortes vitesses » d’écoulement...11

Exercice 4 : Traînée quadratique



3.4 – Notion de couche limite...11

MF6 – BILANS MACROSCOPIQUES...1

INTRODUCTION...2

1 - GÉNÉRALITÉS SUR LES BILANS MACROSCOPIQUES...2

1.1 – L^{ESHYPOTHÈSESSURLES}ÉCOULEMENTS...2

1.2 - BILANDEMASSEPARDEUXAPPROCHES...2

1.2.1 - Système ouvert et fixe (méthode à ne pas privilégier par la suite)



1.2.2 – Système fermé et déformable



1.3 – D^{IFFÉRENTSTYPESDEBILANS}...3

2 – BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT...4

2.1 – MÉTHODE...4

2.2 – APPLICATION : FORCESENJEUSURL’EMBOUTTRONCONIQUED’UNTUYAU



2.2.1 – Force exercée par le fluide sur l’embout



2.2.2 – Force exercée par l’opérateur pour maintenir fixe l’embout dans 



3 – BILAN D’ÉNERGIE CINÉTIQUE...5

3.1 – HYPOTHÈSESETBILAN ...5

3.2 - APPLICATIONDUTHÉORÈMEDEL’ÉNERGIECINÉTIQUE



3.2.1 – Puissance des forces conservatives : Pc



3.2.2 - Puissance des forces non conservatives : Pnc



3.2.2.1 – Puissance dues aux parties mobiles internes à (O)...5

3.2.2.2 – Puissance des forces pressantes d’admission et de refoulement du fluide dans (O)



3.2.3 – Théorème de l’énergie cinétique (ou théorème de la puissance cinétique)

