1) Dans un jeu televise, un animateur presente a un candidat trois bo^tes dont l'une con- tient un bon pour un prix. L'animateur, qui sait dans quelle bo^te se trouve le prix, de- mande au candidat d'en choisir une. Il ouvre alors l'une des bo^tes vides restantes et mon- tre qu'elle ne contient pas le bon. Il ore ensuite au candidat la possibilite de changer son choix. Le candidat doit-il accepter l'ore? (Etayez votre reponse)
2) Trois experts sont charges d'examiner les propositions de reduction de co^uts presentees par les dix membres de la direction d'une succursale. Chaque membre a prepare une propo- sition dierente qui est examinee par chaque expert. Celui-ci redige un rapport pour
chaque proposition. Les propositions retenues seront celles classees premiere (la meilleure) par au moins deux des trois experts. Quel est le pourcentage des rapports qui conduisent a des propositions retenues?
3) Un etudiant en nance desire acheter une action dont le cours est de 10000 francs. Un nancier lui pr^ete cette somme pour une duree maximale de 4 semaines.
Le cours de l'action varie chaque semaine de 1000 francs en plus ou en moins, de maniere aleatoire. La probabilite d'une hausse est de 0.5 et celle d'une baisse est aussi de 0.5.
Si le cours monte a 12000 francs, l'etudiant vend l'action et rembourse le nancier. Si le cours descend a 9000 francs, l'etudiant est ruine car le banquier lui demande le rembourse- ment anticipe du pr^et. Calculer la probabilite de cet evenement.
4) Sur les etalages d'un magasin il y a 6 cartons d'oeufs, 4 de cette semaine et 2 de la semaine precedente. Les clients choisissent au hasard les cartons.
(a) Une cliente achete deux cartons. Quelle est la probabilite que les oeufs soient frais?
(b) Une cliente achete deux cartons apres que le magasin en a vendu 2. Quelle est la probabilite que les oeufs soient frais?
5) Une fabrique change regulierement la forme d'une bo^te de chocolat. Avant de pren- dre une decision, elle decide souvent d'eectuer un test aupres d'un echantillon de con- sommateurs. Ses statistiques donnent les pourcentages suivants. Lorsqu'il y a eu succes, le resultat du test avait ete positif dans 80% des cas, neutre dans 10% et negatif dans 10%.
Lorsqu'il y a eu echec, le test avait ete negatif dans 70% des cas, neutre dans 10% et positif dans 20%. Selon le departement du marketing la probabilite du succes de la nouvelle forme est de 50%.
(a) Calculer la probabilite que la nouvelle forme soit un succes si le resultat du test est negatif.
(b) Calculer la probabilite que le resultat du test soit negatif.
6) Une bo^te contient 100 allumettes. La probabilite qu'une allumette soit defectueuse est de 2%. Avant d'accepter la livraison de cet article, une cha^ne de supermarches teste le contenu d'une bo^te choisie au hasard. Si elle trouve plus de deux allumettes defectueuses, elle n'accepte pas la livraison. Si elle trouve deux allumettes defectueuses, elle choisit une autre bo^te et elle refuse la livraison si elle trouve plus de deux allumettes defectueuses. a) Calculer le nombre moyen d'allumettes defectueuses dans une bo^te. b) Calculer la proba- bilite que la livraison soit refusee.
7) On choisit au hasard un nombre entre 0 et 9999 (y compris).
a) Quelle est la probabilite qu'il contient deux fois le chire 5?
b) Quelle est la probabilite qu'il contient deux fois le chire 0?
c) Quelle est la probabilite qu'il contient deux fois le chire 5 et une fois le chire 3?
8) Le diametre des vis fabriquees par une usine suit une loi normale avec moyenne 2 cm et ecart-type 0.01 cm. Des variations possibles de 61% du diametre sont signalees dans les conditions de vente. Calculer la probabilite que le diametre d'une vis ne soit pas dans ces limites.
9) Un magasin a constate que les ventes d'un pain special suivent une loi normale avec une moyenne de 200 kg et un ecart-type de 50 kg. An de limiter la quantite invendue de ce pain, le magasin decide de commander une quantite telle que la probabilite d'avoir des invendus ne doit pas depasser 2.5%. Calculer la quantite de pain a commander.
10) On desire dessiner la courbe d'une distribution normale avec une moyenne de 5 et un ecart-type de 0.01. Calculer l'ordonnee pour x=4.98.
11) Un employe doit regler une machine qui remplit des paquets de 250 g de biscuits.
Si la machine est reglee sur 250 le 15.8655% des paquets n'atteint pas le poids indique.
Lorsqu'elle est reglee sur 255 le 2.275% des paquets n'atteint pas le poids indique. Calculer sur quelle valeur il faut regler la machine si la tolerance admise par la loi est de 2.5%.
12) On jette une piece de monnaie. Si \pile" sort vous gagnez 2000 Fr, si \face" sort vous perdez 1000 Fr. Le gain espere est:
0:5 2 2000 + 0:5 2 (01000) = 500 Fr
Le gain espere est positif mais il y a une probabilite de 50% de perdre 1000 Fr. Vous acceptez alors de participer a ce jeu uniquement s'il est repete plusieurs fois car le gain
\moyen" est de 500 Fr. Est-ce exact?
Si le jeu est repete 4 fois on a:
x p(x) gain jeu 2 gain jeu 3
0 0.0625 -4000 -1000
1 0.2500 -1000 -250
2 0.3750 2000 500
3 0.2500 5000 1250
4 0.0625 8000 2000
Le gain espere du jeu repete 4 fois (jeu 2) est de 2000 Fr et vous pouvez perdre jusqu'a 4000 Fr (et gagner jusqu'a 8000 Fr). Ce n'est donc pas le m^eme jeu. En general, on a:
E(g) = (2000 0 1000)np = 500n: Par contre, si le jeu est repete n fois mais les gains et les pertes sont divises par n alors on a le m^eme gain espere. Si le jeu est repete 4 fois on a le jeu 3 ci-dessus. Vous pouvez perdre jusqu'a 1000 Fr (et gagner jusqu'a 2000 Fr) comme dans le jeu initial mais la probabilite de cet evenement n'est que de 6.25%. L'ecart-type des gains passe de 1500 a 750 (en general 1500=pa
n).
13) L'action A a un rendement attendu de RA avec un ecart-type de A. L'action B a un rendement attendu de RB avec un ecart-type de B. On desire constituer un porte- feuille compose de ces deux titres de maniere a minimiser le risque, c'est-a-dire un porte- feille ayant l'ecart-type le plus bas possible. Le rendement espere du portefeuille P est:
E(RP) = xE(RA) + (1 0 x)E(RB)
ou x est la proportion de titres A. La variance du rendement du portefeuille est:
var(RP) = x2var(RA) + (1 0 x)2var(RB) + 2x(1 0 x) cov(RA; RB) P2 = x2A2 + (1 0 x)2B2 + 2x(1 0 x)AB
d2P
adx = 2xA2 + 2(1 0 x)(01)2B + [2(1 0 x) + 2x(01)]AB
= 2xA2 0 2(1 0 x)B2 + (2 0 4x)AB = 0 x = a22B0AB
A+2B02AB
Si RA= 10% , RB = 15% , A = 4% , B = 5% , = 00:9750 on a:
x = a25+0:9752425
16+25+0:975242522 = 0:55625
E(RP) = 0:55625 2 10 + 0:44375 2 15 = 12:22 P = 0:4969
Le risque a passe de 4 et 5% a 0.4969% !
14) Entre novembre 1996 et octobre 2001 le rendement mensuel moyen d'un fonds de placement en obligations suisses a ete de 0.255% avec un ecart-type de 0.617 et le rende- ment mensuel des actions de la B^aloise de 2.597% avec un ecart-type de 10.333. La coe- cient de correlation entre ces rendements a ete de -0.137. Calculer le rendement d'un porte- feuille compose de 50% de ces deux actifs nanciers et son ecart-type.
15) Dans la theorie nanciere du portefeuille le facteur b^eta est deni ainsi:
^ = cov(M;A)avar(M)
ou M est le rendement attendu du marche et A celui du titre A.
Selon un analyste nancier, le rendement du marche l'annee prochaine peut ^etre de 15%, 10% ou 5% tandis que celui de l'action A peut ^etre de 18%, 9% ou 2%. Les probabilites sont les suivantes:
rendement du marche 0.15 0.10 0.05 rendement 0.18 0.50 0.07 0.01
de 0.09 0.06 0.20 0.04
l'action A 0.02 0.04 0.03 0.05 a) Calculer les rendements esperes du marche et ceux de l'action A;
b) Calculer la covariance et le coecient de correlation;
c) Calculer le facteur b^eta de l'action A.
16) Un couple decide d'avoir des enfants jusqu'au moment ou il aura un garcon et une lle ou 4 enfants. Calculer le nombre espere d'enfants dans cette famille.
17) Une compagnie d'aviation a constate que 2% des personnes qui font une reservation pour un certain vol, ne se presentent pas au depart. Par consequent, elle decide de vendre 200 places reservees sur un avion qui a 197 places (overbooking). Quelle est la probabilite que toutes les personnes qui se presentent au depart trouvent une place disponible?
18) En prenant une table de mortalite on trouve que la probabilite qu'un homme ^age de 20 ans decede pendant l'annee est de 0.17%. Une assurance de 100'000 Fr contre le risque
de deces pendant l'annee co^ute 400 Fr. Le versement espere de la compagnie d'assurance est:
100000 2 0:0017 = 170 Fr
par police. Le prot brut par police est:
400-170 = 230 Fr
Si la compagnie possede 20'000 polices, elle devra payer 100'000 Fr dans 34 cas (20000 2 0:0017). Son prot brut sera de 4'600'000 Fr.
19) En 1986 vous creez une societe qui exploite une loterie basee sur les resultats du Swisslotto. Le billet co^ute 8 Fr. Si 22 appara^t le joueur gagne 45 Fr. Quel est le prot espere de cette societe?
Soit N le nombre de joueurs. Le prot espere est:
E(5) = 8N + a457 (045)N = N
En realite le 22 est sorti 198 fois entre 1986 et 82/2001. Votre prot total est:
8 2 N 2 1073 0 198 2 45 2 N = 0326N Votre prot est negatif.
A la n de la premiere annee le 22 est sorti 10 fois sur 52 tirages. Votre prot etait:
8 2 N 2 52 0 10 2 45 2 N = 034N
Si votre capital est inferieur a cette somme vous avez deja fait faillite.
Si la societe xe le prix a 9 Fr elle peut supporter ces dierences entre les valeurs theoriques et la realite.
20) X et Y sont deux variables aleatoires de loi:
X n Y 0 1
0 1-3a a
1 a a
a) X et Y ont-elles la m^eme loi?
b) Calculer la covariance de X et Y.
c) Calculer E[X/Y=0] et E[X/Y=1].
d) X et Y peuvent-elles ^etre independantes?
21) Deux freres s'associent pour fonder une entreprise. Au bout d'un an, celle-ci emploie 10 personnes: les deux patrons, 3 employes et 5 ouvriers. Un journaliste s'interessant a cette PME decide d'en interviewer 3 personnes au hasard. Soient X le nombre de patrons et Y le nombre d'ouvriers parmi ces 3 personnes interrogees.
a) Determiner la loi du couple (X; Y ) ; b) Calculer E[X], V ar[X], E[Y ], V ar[Y ] ;
c) Calculer la correlation de X et Y et expliquer son signe ; d) X et Y sont-elles independantes? Justier.
22) Entre 1963 et 1980 on a enregistre en Suisse les frequences suivantes de nombre de morts dus a une imprudence en ouvrant la porte de l'auto:
x annees avec x deces fr. empirique
0 7 0.389
1 6 0.3333
2 3 0.167
3 2 0.111
Calculer les frequences theoriques en utilisant une distribution de Poisson.
23) Un lot de 100 pieces est contr^ole par un inspecteur qui en examine 10 choisies au hasard. Si aucune de ces 10 pieces n'est defectueuse, l'inspecteur accepte le lot. Sinon le lot subit une inspection approfondie.
Quelle est la probabilite qu'un lot contenant exactement 10 pieces defectueuses soit ac- cepte sans inspection approfondie?
24) Le 10% des fumeurs achetent la cigarette de la marque X. Quelle est la probabilite de devoir interviewer 10 fumeurs an d'obtenir 2 fumeurs qui achetent la cigarette de la marque X.
25) Un etudiant note sur un carnet de contr^ole les versements et les retraits de son compte epargne aupres de la banque B. Il arrondit les montants car de toute maniere il recoit a la n de l'annee le releve bancaire. Si l'annee passee il a eectue 60 operations, quelle est l'esperance mathematique et la variance de l'erreur entre son solde et celui de la banque?
26) Une papeterie doit commander des calendriers speciaux. Le prix de vente est de 50 Fr. et le prix de revient est de 30 Fr. Les calendriers invendus sont jetes. La papeterie es- time que les probabilites de vendre 2, 3, 4 ou 5 calendriers sont respectivement de 0.1, 0.2, 0.4 et 0.3. Calculer le nombre de calendriers a commander.
27) Le Comite des etudiants desire publier un Yearbook. Les co^uts sont les suivants:
2'000 francs de frais xes et 20 francs par exemplaire imprime. Le prix de vente est xe a 45 Fr. Les exemplaires invendus sont jetes.
Le pourcentage de licencies qui achetent le Yearbook varie, selon les annees, entre 40%
et 80%. Les statistiques des dix dernieres annees indiquent que le pourcentage a ete de 40% dans 2 cas, de 50% dans 2 autres cas, de 60% dans 3 cas, de 70% dans 2 cas et de 80%
dans 1 cas.
Les etudiants de l'annee de licence sont 200. Le Comite peut choisir entre une com- mande de 80, 100, 120, 140 ou 160 exemplaires.
a) Construire le tableau des pertes implicites.
b) Quelle decision doit-il prendre s'il veut minimiser les pertes implicites?
c) Calculer la valeur esperee de l'information parfaite.
28) L'entreprise E contr^ole tous les composants que lui livre, par lots de 500, le four- nisseur F. Les archives de E montrent que les pourcentages de composants defectueux, par lot, ont ete respectivement de 0, 1, 2 et 3%. Les frequences de ces pourcentages ont ete, respectivement, de 0.15, 0.25, 0.40 et 0.20. Le co^ut du contr^ole exhaustif d'un lot de 500
composants est de 2500 francs. E envisage de renoncer a ce contr^ole exhaustif. L'utilisation d'un composant defectueux entra^ne des co^uts de redressement de 300 francs.
a) L'entreprise peut-elle renoncer au contr^ole exhaustif? Justier la reponse.
b) Quelle est la valeur d'une information parfaite?
29) La direction d'EXPO.02 desire vendre des tee-shirts avec le logo de l'exposition na- tionale. Les tee-shirts seront fabriques avant le debut de l'exposition. Le prix de vente est xe a 25 Fr et les tee-shirts invendus sont repris par un supermarche pour 5 Fr par unite.
Selon un consultant, les ventes prevues varient entre 100'000 et 600'000 pieces. Les co^uts de production et les probabilites de ces ventes sont:
Nombre de tee-shirts (en milliers):
100 200 300 400 500 600
Co^uts de production (en milliers de francs):
1510 3000 4400 5980 7200 8600 Probabilites de vente de ces quantites:
0.1 0.2 0.3 0.1 0.2 0.1
a) Calculer les pertes implicites pour les dierentes quantites a commander.
b) Determiner la quantite a commander qui minimise les pertes implicites esperees.
c) Calculer la valeur esperee de l'information parfaite.
30) Monsieur X est employe par une societe immobiliere et son salaire est de 10'000 Fr par mois. Pour le recompenser de ses qualites de vendeur, on lui propose pour l'annee prochaine de choisir entre trois plans de remuneration:
plan A: 12'000 Fr par mois; plan B: 4'000 Fr par mois plus 3'000 Fr par vente; plan C:
5'000 Fr par vente et pas de salaire xe.
Les annees precedentes M. X a vendu jusqu'a 6 villas par mois.
a) Faire un tableau des revenus possibles selon les dierents plans et les villas vendues.
b) Choisir le plan qui lui assure le revenu minimum le plus eleve possible.
c) Choisir le plan qui minimise la perte implicite maximale.
d) Dans une annee typique, M. X eectue 41 ventes, reparties de la maniere suivante:
nombre de ventes(x):
0 1 2 3 4 5 6
nombre de mois avec x ventes:
1 2 1 2 1 3 2
Quel plan de remuneration doit-il choisir si son but est d'obtenir la remuneration esperee la plus elevee?
31) Une societe de contemporains organise chaque annee des excursions. Le pourcent- age de personnes participant a l'excursion varie entre 40% et 80%. Selon les statistiques de la societe, les participations aux 10 dernieres excursions ont ete les suivantes: 40% 1 fois, 50% 2 fois, 60% 2 fois, 70% 3 fois et 80% 2 fois. Les co^uts de la nouvelle excursion (une croisiere) sont de 40'000 Fr de frais xes et 1930 Fr par personne. Le prix propose aux 1000
membres est de 2000 Fr. Faut-il organiser cette croisiere si l'on veut minimiser les pertes implicites esperees?
32) Une fabrique se demande si elle doit changer la composition de ses yoghourts aux fruits. En cas de succes du changement, elle estime que le gain sera de 4 millions de francs tandis qu'en cas d'insucces il y aurait une perte de 1.2 millions de francs. Le departement du marketing estime que la probabilite de succes est de 50%. Neanmoins, il envisage la possibilite d'eectuer un sondage an de tester la nouvelle composition. Ses statistiques indiquent les pourcentages suivants. Lorsqu'il y a eu succes, le resultat du test avait ete positif dans 80% des cas, neutre dans 10% et negatif dans 10%. Lorsqu'il y a eu echec, le test avait ete negatif dans 70% des cas, neutre dans 10% et positif dans 20%. Le co^ut du sondage est de 100'000 francs.
(a) Calculer la probabilite que le changement de composition soit un succes si le resultat du test est negatif.
(b) Calculer la probabilite que le resultat du test soit negatif.
(c) Indiquer les decisions a prendre en ce qui concerne le sondage et le changement de com- position si l'on veut maximiser le prot espere.
33) Une caisse de pension doit investir 100 millions pour une annee. Elle a le choix entre des obligations, des actions suisses et des actions americaines. Le rendement des obliga- tions peut ^etre de 3.5% avec une probabilite de 90% ou de 3% avec une probabilite de 10%.
Le rendement des actions suisses peut ^etre de 10% avec un probabilite de 10%, 0% avec une probabilite de 80% ou -10% avec une probabilite de 10%. Le rendement des actions americaines peut ^etre de 10% avec un probabilite de 20%, 0% avec une probabilite de 60%
ou -10% avec une probabilite de 20%. Le cours du dollar est de 1.60. Il peut descendre a 1.50 avec une probabilite de 30%. Quelle decision doit-elle prendre si elle veut maximiser le rendement espere?
34) Un investissement a un rendement aleatoire. On estime qu'il suit une distribution avec une moyenne de 10000 Fr et un ecart-type de 2000 Fr.
a) Calculer la probabilite que le rendement soit superieur (ou egal) a 15000 ou inferieur (ou egal) a 5000.
b) Le rendement suit une loi normale. Calculer la probabilite ci-dessus.
35) Les erreurs d'un signal electrique suivent une distribution avec moyenne nulle et ecart-type 0.5.
a) Calculer P [jxj 1].
b) La distribution des erreurs est:
P (x) = 8>
<
>:
1=8 pour x = 01
3=4 pour x = 0
1=8 pour x = 1
Calculer la moyenne, l'ecart-type et la probabilite eective.
36) X1 et X2 sont deux variables aleatoires independantes telles que:
E(X1) = E(X2) =
V ar(X1) = 21 ; V ar(X2) = 22
On cherche un estimateur de de la forme:
b = X1+ X2
a) Que doivent ^etre et pour que b soit sans biais?
b) Que doivent ^etre et pour que b soit sans biais et de variance minimale?
c) Quel estimateur obtient-on si 1 = 2 ?
37) On eectue une enqu^ete sur la consommation de pain (blanc et noir) dans une ville divisee en 4 quartiers.
On denote n1; n2; n3; n4 le nombre de personnes interviewees dans chaque quartier et x1; x2; x3; x4 celles preferant le pain blanc. On suppose que les xi sont independants et qu'ils suivent une loi binomiale de parametres ni et ou est la proportion de personnes preferant le pain blanc [b(xi; ni; )].
On considere les estimateurs suivants de :
^1 = P4
i=1xi
aP4
i=1ni ; ^2 = 1
a
4 X4
i=1
xi
a
ni
a) Est-ce que ^1 et ^2 sont des estimateurs centres ? b) Calculer la variance de ^1 et ^2.
c) Lequel de ^1 et ^2 faut-il preferer ? Pourquoi ?
38) Un sondage de l'Oce federal de la statistique aupres de 10000 menages choisis au hasard trouve que les depenses de consommation mensuelles moyennes sont de 3210 Fr avec un ecart-type de 1250 Fr. Calculer un intervalle de conance a 95% pour les depenses de consommation moyennes dans la population suisse.
39) Un sondage eectue en fevrier 2002 aupres de 1271 citoyens suisses choisis au hasard trouve 829 personnes qui indiquent vouloir participer a la votation du 3 mars sur l'adhesion de la Suisse a l'ONU. Calculer un intervalle de conance a 99% du taux de participation a cette votation.
40) Une maison de vente par correspondance desire conna^tre le montant moyen des com- mandes qu'elle recoit.
Un statisticien propose d'estimer ce montant en prenant un echantillon forme par les donnees d'une semaine choisie au hasard. Il montre a l'informaticien les formules de la moyenne et de l'ecart-type an que celui-ci puisse ecrire un programme pour calculer ces valeurs. L'informaticien lui fait remarquer que le calcul de l'ecart-type exige la connais- sance prealable de la moyenne et il demande s'il n'est pas possible d'eectuer tous les calculs en une seule fois car les donnees se trouvent sur plusieurs bandes magnetiques.
Le statisticien lui suggere alors de calculer uniquement la somme des montants (P xi), la somme des carres de ces montants (P
x2i) et le nombre de commandes (n). Voici les resultats:
Pxi = 440688 ; P
x2i = 404270199 ; n = 784
Calculer un intervalle de conance a 99% du montant moyen de toutes les commandes.
41) Un sondage eectue entre le 19 et le 24 avril 1996 aupres d'un echantillon representa- tif de 601 electeurs vaudois indique que le 52.6% des personnes interrogees declare aller cer- tainement voter pour l'election complementaire au Conseil d'Etat du 12 mai 1996.
a) En sachant que le nombre d'electeurs est de 356232, calculer un intervalle de conance a 99% du nombre de personnes qui vont certainement voter.
b) Le 12 mai 1996, 90593 electeurs ont ete voter. Comparer ce resultat avec l'intervalle calcule sous a). Quelle conclusion tirez-vous si, par ailleurs, il y avait encore 16.8% des personnes interrogees qui declarait aller peut-^etre voter le 12 mai 1996?
42) Soit Z une variable aleatoire telle que
P (Z = 1) = 1 0 p ; P (Z = z) = p ; 0 < p < 1
Soit X une variable normale N(; 2), independante de Z. On a Y = ZX, et Y1; : : : ; Yn un echantillon de Y .
a) La moyenne Yn est-elle un estimateur sans biais de ? b) Calculer E( Yn 0 )2.
c) Quelle conclusion peut-on tirer de l'expression obtenue sous b) lorsque n tend vers l'inni?
43) Une machine automatique remplit des bouteilles de vin d'un litre. On prend un echantillon de 30 bouteilles et l'on trouve les resultats suivants:
contenu nombre de bouteilles
0.97 l 3
0.98 l 3
0.99 l 5
1.00 l 7
1.01 l 6
1.02 l 4
1.03 l 2
Calculer l'intervalle de conance a 95% pour le contenu moyen des bouteilles de vin.
44) Un reviseur comptable choisit au hasard 16 comptes des clients d'une societe de vente par correspondance. Voici les montants trouves:
190 150 226 208 210 148 206 165 229 181 158 204 160 212 198 147
Calculer un intervalle de conance a 98% du montant moyen en supposant que les mon- tants suivent une distribution normale.
45) Un avocat de methodes d'enseignement nouvelles souhaite comparer l'ecacite de methodes traditionnelles a celles basees sur des moyens audio-visuels. A cette n, dans une classe de 250 eleves, il en choisit 100 au hasard qui suivent l'enseignement audio-visuel alors que les autres suivent un enseignement traditionnel. Lorsque l'enseignement a ete complete, les 250 eleves passent un test qui donne les resultats ci-dessous.
Donner un intervalle de conance a 95% pour la dierence des taux de reussite de chaque methode.
audio-visuel traditionnel
reussite 63 107
echec 37 43
Total 100 150
46) On desire estimer le pourcentage de personnes favorables aux limitations de vitesses sur les autoroutes. Calculer la grandeur de l'echantillon aleatoire qui donne une estima- tion ayant une marge d'erreur ne depassant pas 6 4% avec une conance de 99% lorsque l'enqu^ete concerne:
(a) la population suisse (7 millions d'habitants);
(b) les etudiants de l'Universite de Neuch^atel (3'200 personnes).
47) Selon une enqu^ete de l'Oce federal de la statistique, le revenu moyen des salaries est de 54'037 Fr avec un ecart-type de 15'234 Fr et celui des independants de 70'145 Fr avec un ecart-type de 27'864 Fr. Le nombre de salaries est de 2'792'895 et celui des independants de 298'799.
On desire eectuer un sondage sur l'epargne en Suisse. La population est stratiee de maniere optimale en utilisant les resultats de l'enqu^ete ci-dessus. Calculer la grandeur des echantillons respectifs lorsque le nombre total de personnes a interviewer est de 1000.
48) L'Oce federal de la statistique eectue chaque annee une enqu^ete sur la population active (ESPA) en interviewant un echantillon aleatoire de 18000 personnes. Cet echantillon est obtenu en utilisant une stratication proportionnelle.
Supposons que l'on ait utilise les trois strates suivantes: Suisse allemande (SA), Suisse romande (SR) et Suisse italienne (SI). La population de ces trois strates est: 5.1 millions pour SA, 1.6 millions pour SR et 0.3 millions pour SI.
Parmi les 18000 personnes interviewees, on a trouve les nombres suivants de personnes a la recherche d'un emploi: 446 en SA, 296 en SR et 52 en SI.
On desire estimer le pourcentage suisse des personnes a la recherche d'un emploi. Cal- culer un intervalle de conance a 95%.
49) Un pays est divise, en vue de sondages electoraux, en 8 regions notees A, B, C, D, E, F, G, H. Le Tableau suivant donne le nombre d'electeurs par region ainsi qu'une estimation de la proportion d'electeurs qui votent pour le parti X.
Region electeurs % votant pour X
A 413249 2.9
B 385567 4.8
C 622242 12.0
D 28828 23.4
E 274938 13.0
F 411641 21.2
G 684358 13.5
H 285474 15.6
Les moyens a disposition ont permis un sondage de taille n = 2000.
a) Calculer la precision de la proportion d'electeurs votant pour le parti X si le sondage est proportionnel.
b) Quelle serait la precision de l'estimation s'il s'agissait d'un sondage aleatoire simple.
50) Le departement militaire federal desire estimer les depenses que les recrues con- sacrent chaque mois a la lecture (journaux et revues). Il y a 150 compagnies en service.
Chaque compagnie est composee de 100 recrues. Le departement militaire choisit au hasard
40 compagnies et fait proceder a une enqu^ete aupres de toutes les recrues de ces compag- nies. Il obtient les valeurs moyennes suivantes:
5.6 4.8 7.2 3.1 5.7 2.0 2.8 4.6 9.1 3.7 2.4 7.5 6.2 2.6 8.2 3.4 7.1 5.3 4.2 4.0 3.9 5.5 4.7 7.7 6.4 6.9 4.8 3.5 6.2 4.6 2.8 7.2 6.0 5.4 4.4 5.3 6.6 7.1 3.8 5.7 a) De quel type de sondage s'agit-il?
b) Calculer un intervalle de conance a 99% pour la moyenne de toutes les compagnies.
51) Un importateur de voitures de la marque X envisage de faire une ore speciale de reprise aux 200000 proprietaires de voitures de cette marque. Ses statistiques indiquent que le nombre de proprietaires qui protent d'une ore speciale varie selon les annees en- tre 10% et 30%. Pour simplier, on ne considere que les pourcentages de 10%, 20% et 30%.
Les probabilites de ces trois cas sont: 0.30, 0.50 et 0.20. Un test eectue aupres de 50 pro- prietaires choisis au hasard donne 14 reponses positives. Le co^ut de l'ore speciale est de 130 millions de francs (co^uts xes) plus 2000 Fr par voiture vendue. Le benece brut est de 5000 Fr par voiture vendue. Faut-il faire l'ore speciale si l'on veut minimiser les pertes implicites esperees?
52) Une marque de cigarettes porte l'avertissement que le contenu moyen en nicotine de ses cigarettes est 0.6 milligrammes. L'analyse d'un echantillon aleatoire de 100 cigarettes donne un contenu moyen de 0.63 avec un ecart-type centre de 0.11.
a) Tester la validite de l'avertissement en prenant un seuil de signication de 5%.
b) Quelle est la valeur p du test?
53) On veut proceder au test unilateral, au niveau de 5%:
Ho : = 0 ; H1 : > 0
pour un echantillon tire d'une loi normale N(; 1). Quelle doit ^etre la taille minimale de l'echantillon pour que Ho soit rejetee dans au moins 99% des cas si la loi \produisant"
l'echantillon est une loi normale N(0.5,1) ?
54) Un acheteur de sacs pour les poubelles pense que la qualite du produit s'est deterio- ree. D'apres l'experience des achats precedents, on sait que la resistance moyenne est de 20 kg et l'ecart-type de 3 kg. Un echantillon de 100 sacs pris dans la derniere livraison donne une moyenne de 19.4 kg. Tester si les soupcons de l'acheteur sont conrmes en util- isant un seuil de signication de 5%.
55) D'apres une association de consommatrices, la duree de vie moyenne d'un cer- tain type de batteries est de 60 heures. Le fabricant indique par contre une duree de vie moyenne de 80 heures. Un expert, appele a trancher cette dispute, determine la duree de vie moyenne de 100 batteries choisies au hasard. Pour le test de l'hypothese H0 (duree de vie moyenne de 60 heures), il considere un seuil de signication de 5%. Calculer la prob- abilite que le test conrme les armations de l'association des consommatrices lorsque l'indication du fabricant correspond a l'hypothese vraie. Supposer que la duree de vie des batteries suit la loi exponentielle.
56) Une societe pharmaceutique produit un reconstituant contenant, en moyenne, 200 mg de calcium. A la suite d'une erreur de reglage, une serie de acons contient, en moyenne,
205 mg de calcium. Le service de contr^ole de la qualite veut chercher les cartons contenant les acons defectueux en analysant un echantillon de acons choisis au hasard. La prob- abilite de mettre en vente des reconstituants contenant trop de calcium doit ^etre de 1%, tandis que la probabilite d'eliminer des cartons sans defaut de fabrication doit ^etre de 2%.
L'ecart-type du contenu en calcium est de 7 mg. Calculer la grandeur de l'echantillon.
57) Selon un journal de consommateurs, il y a une dierence signicative entre le poids du pain du boulanger A et celui du boulanger B. Un contr^oleur choisit au hasard 40 pains du boulanger A et 36 pains du boulanger B. Il trouve les valeurs suivantes, en kg: xA = :993 ; sA = 0:07 ; xB = 1:023 ; sB = 0:08. Tester s'il y a une dierence signicative entre les poids des pains des deux boulangers en prenant un seuil de signication de 1%.
58) Un tyran donne a l'un de ses sujets une piece de monnaie en lui disant que la piece est soit equilibree, soit ne l'est pas, et que dans ce dernier cas, la probabilite d'obtenir
\face" est 0.6. Il lui intime de lancer la piece 50 fois et de decider laquelle des deux pos- sibilites est la bonne. Une reponse correcte vaudra au sujet une recompense de 100 pieces d'or, mais l'armation que la piece est biaisee si en fait elle est equilibree lui vaudra 7 ans de bagne. S'il arme que la piece est equilibree, alors qu'elle ne l'est pas, il devra travailler un mois a la construction d'une route.
Construire un test d'hypothese devant aider le sujet a prendre une decision et en partic- ulier:
a) expliciter H0, H1 et justier ces choix.
b) donner la region critique lorsque = 0:05.
c) calculer l'erreur de type II.
59) Une compagnie d'assurances arme qu'elle a augmente les loyers de 4% en moyenne.
Une association de locataires estime que la hausse moyenne a ete de 5%. On desire prendre un echantillon aleatoire de loyers an de tester l'armation de la compagnie d'assurances.
a) Denir les hypotheses Ho et H1.
b) Calculer la grandeur de l'echantillon necessaire pour que les erreurs de type I et II soient de 1%.
60) On considere le test suivant:
Ho : p = 1a2 ; H1 : p = 2a3
ou p est la probabilite de succes d'une epreuve. L'epreuve est realisee deux fois, indepen- damment et dans des conditions identiques. On maintient Ho si et seulement si les deux epreuves resultent chacune en un succes. Calculer les erreurs de type I et II.
61) Un directeur regional estime que sa compagnie contr^ole 40% du marche des \palm- tops". Il pense que si, dans un echantillon de 19 ventes, sa compagnie en a produit plus de 3, mais moins de 12, alors son opinion en sera confortee d'autant.
a) Quel est le niveau du test (l'erreur de type I) correspondant a la demarche du di- recteur?
b) Produire un test de niveau = 0:017.
62) Selon le SECO, au premier trimestre 2002 il y avait en Suisse 94024 ch^omeurs. Une enqu^ete aupres de 10700 personnes actives, choisies au hasard, a trouve 257 ch^omeurs.
Tester si le taux de ch^omage calcule par le SECO est compatible avec les resultats de
l'enqu^ete. Utiliser un seuil de signication de 5%. (Le taux de ch^omage est obtenu en di- visant le nombre de ch^omeurs par la population active qui est de 3.5 millions de person- nes).
63) Le responsable d'une ligne de produits vient de conduire a terme une importante campagne de publicite, et il veut en evaluer l'ecacite. Avant le lancement de la cam- pagne, un sondage de taille 500 a produit 100 personnes utilisant regulierement le produit ayant fait l'objet de la campagne. Apres la campagne, un nouveau sondage, de taille 1300, produit 325 usagers reguliers.
Est-ce que la proportion d'usagers reguliers a augmente? Utiliser un seuil de signication de 5%.
64) Un sondage eectue pendant le mois de mars 2002 aupres de 1000 personnes choisies au hasard donne un pourcentage de 46% de Suisses favorables a une adhesion a la Commu- naute europeenne. Un autre sondage eectue le mois d'avril aupres de 500 personnes donne un pourcentage de 54% de Suisses favorables a une adhesion a la Communaute europeenne.
En supposant que l'opinion des Suisses n'a pas changee entre le mois de mars et le mois d'avril, tester si ces pourcentages proviennent de la m^eme population. Utiliser un seuil de signication de 1%.
65) Lors d'une election au Conseil d'Etat, on a recueilli dans la ville A 10000 votes dont 52% en faveur du candidat C. Dans la ville B les votes ont ete de 20000 dont 54% en faveur du candidat C.
La dierence de ces pourcentages est-elle signicative au niveau de 1%?
66) Sur une bo^te de b^atons de cereales on peut lire que 100 g de b^atons contiennent 14.3 g de proteines. Un chimiste cantonal desire verier cette indication. Il choisit un echantillon aleatoire de 9 b^atons et analyse le contenu en proteines. Il obtient les resultats suivants:
14 15 14 16 15 18 16 14 13 Le contenu en proteines suit une loi normale.
a) Formuler les hypotheses Ho et H1. b) Calculer la valeur p du test.
c) Quelle conclusion faut-il tirer si le seuil de signication est de 5%?
67) Selon un fabricant, le bruit moyen de ses tondeuses a gazon est de 50 decibels. En mesurant le bruit de 9 tondeuses choisies au hasard, on trouve les valeurs suivantes:
47 54 50 58 53 50 49 55 52
Tester si l'indication du fabricant peut ^etre acceptee en utilisant un seuil de signication de 10% et en supposant que le bruit est distribue selon une loi normale.
68) Un inspecteur choisit au hasard 9 livres de pain et il obtient les poids suivants (en gr):
495 497 494 493 506 503 491 496 498
a) Calculer la valeur p du test de l'hypothese d'un poids moyen de 500 gr. Supposer que le poids du pain suit une loi normale.
b) Quelle conclusion peut-on tirer si l'on choisit un seuil de signication de 5%?
69) Une entreprise decide de comparer deux methodes visant a ameliorer la rapidite d'empaquetage de sa production. Vingt employes tires au hasard sont separes de maniere aleatoire en deux groupes de 10. Les membres du premier groupe apprennent la premiere methode, ceux du deuxieme groupe, la seconde. Les temps d'empaquetage pour les deux groupes sont alors les suivants:
A: 15 20 11 23 16 21 18 16 27 24 B: 23 31 13 19 23 17 28 26 25 28
Tester s'il y a une dierence signicative de temps moyen d'empaquetage entre les deux groupes? Prenez un seuil de signication de 5% et supposez que le temps d'empaquetage suit une loi normale.
70) Selon les fabricants, la consommation d'essence des nouvelles voitures est inferieure de 0.5 litres (pour 100 Km), en moyenne, par rapport a celle des anciennes voitures.
Un test eectue avec 10 voitures des deux types donne les resultats suivants:
Nouvelles voitures:
7.8 9.0 6.1 6.9 9.8 8.1 7.2 7.6 7.9 8.6 Anciennes voitures:
7.4 6.9 8.6 9.3 8.1 7.6 9.6 8.8 9.5 9.2
Tester l'indication des fabricants en utilisant un seuil de signication de 10% et en sup- posant que la consommation d'essence suive une loi normale.
71) Une association de consommateurs teste la duree en stand-by de deux types de telephones mobiles (X et Y). Elle obtient les resultats suivants:
X: 267 273 294 291 297 285 288 282 270 303 Y: 276 285 261 282 255 279 270 291 273 258 La duree en stand-by suit la loi normale.
a) Formuler les hypotheses Ho et H1. b) Calculer la valeur p du test.
c) Quelle conclusion faut-il tirer si le seuil de signication est de 5%?
72) L'administration d'une petite ville informe un investisseur qui aimerait y construire un centre commercial que le revenu moyen des foyers de cette ville est de 40'000 Fr, alors que l'investisseur pense que ce revenu moyen est de 37'500 Fr.
Dans un echantillon aleatoire de 50 foyers de cette ville on trouve un revenu moyen de 38'700 Fr avec un ecart-type centre de 3'500 Fr.
a) Tester l'hypothese nulle, = 400000 Fr, contre l'hypothese = 370500 Fr au seuil de signication de 2%, en indiquant quelle est la valeur critique;
b) Calculer l'erreur de type II;
c) Determiner les valeurs de la courbe caracteristique associees aux contre-hypotheses:
= 400000 , = 390500 , = 390000 , = 380500 , = 380000;
d) Calculer les puissances de tests pour les dierentes contre-hypotheses deja utilisees ci- dessus.
73) On sait qu'une variable aleatoire X est telle que E(X) = et V ar(X) = 1. On veut tester l'hypothese H0 : = 0 contre H1 : 6= 0 sur la base d'un echantillon de taille 100, avec un seuil de signication de 1%.
a) Quelle est la region critique du test?
b) En utilisant la region critique obtenue sous a), calculer la puissance du test quand:
b.1) = 0:1 ; b.2) = 00:3 .
c) En utilisant la region critique obtenue sous a), calculer l'erreur de type II quand:
c.1) = 0:1 ; c.2) = 00:3 .
d) Dessiner le graphe de la fonction puissance du test.
e) Faut-il faire l'hypothese que X suit une loi normale?
74) Les donnees suivantes representent le resultat d'une etude sur le nombre de garcons dans 32 familles ayant 4 enfants:
nombre de garcons 0 1 2 3 4 nombre de familles 4 9 8 8 3
Tester si la distribution binomiale (avec p=1/2) est applicable dans ce cas. Utilisez un seuil de signication de 5%.
75) Une entreprise veut conna^tre le type d'emballage prefere par les menageres. Le departement du marketing presente 4 types d'emballage a un echantillon de 200 menageres et obtient les resultats suivants:
Type d'emballage: A B C D Nombre de menageres
qui le preferent 33 42 67 58
Les menageres ont-elles des preferences egales pour ces types d'emballages? Utilisez un seuil de signication de 5%.
76) Une grande entreprise industrielle possede les donnees suivantes concernant les acci- dents de travail:
N. d'accidents (x) 0 1 2 3 4 5 6 7 Nombre de jours
avec x accidents 364 376 218 89 33 12 2 1
Les accidents suivent-ils la loi de Poisson? Utilisez un seuil de signication de 5%.
77) Un livre a 748 pages. Le nombre de pages ayant des erreurs typographiques se monte a:n. d'erreurs (x) n. de pages
avec x erreurs
0 665
1 71
2 10
3 2
4 0
Les erreurs suivent-elles la loi de Poisson? Utilisez un seuil de signication de 5%.
78) Les donnees suivantes representent le nombre d'absences en une annee classie en:
bas (B), moyen (M) et eleve (E), des 325 employes d'une administration.
Semestre I
B M E
B 165 35 4
semestre II M 40 24 20
E 5 13 19
Les employes ont-ils tendance a appartenir a une categorie plut^ot qu'a une autre? Utilisez un seuil de signication de 5%.
79) Dans le tableau ci-dessous on trouve les preferences accordees par 150 consommateurs tires au hasard a certains dispositifs de protection des automobiles (FD=freins a disque, VD=volant de direction reglable, PR=pneus a carcasse radiale ceintures, DL=degivreur de lunette arriere, IU=indicateur d'usure de freins).
FD VD PR DL IU T.
H 17 11 26 9 12 75
F 9 9 14 25 18 75
T. 26 20 40 34 30 150
Tester l'hypothese qu'il n'y a pas de lien entre le sexe des consommateurs et leur choix du dispositif de protection prefere. Prenez un seuil de signication de 1%.
80) Pour tester un medicament, on donne a 82 personnes des pilules faites de sucre et a autres personnes un medicament. On obtient les eets suivants:
Eet positif Eet negatif Pas d'eet
Medicament 52 10 20
Sucre 44 12 26
Le medicament est-il ecace? Prenez un seuil de signication de 5%.
81) On suppose que l'ecart-type des revenus des foyers dans une petite ville est egal a 5000 Fr. Dans un echantillon choisi au hasard de 20 foyers, on trouve s=3500 Fr. On sait que la distribution des revenus des foyers est normale. Peut-on, en s'appuyant sur cet echantillon, rejeter l'hypothese nulle au seuil de signication de 5%?
82) Les donnees suivantes representent la qualite d'un certain compose chimique trouve par des analyses journalieres:
12:7 12:3 13:2 12:8 13:6 13:1 12:6 12:4 14:1 13:3 13:4 13:1 12:6 12:9 13:0 12:4 14:6 13:8 13:4 12:7 13:5 12:5
L'experience des analyses precedentes avait permis de conclure que l'ecart-type etait de 0.5.
a) Tester l'hypothese = 0:5 en utilisant les donnees ci-dessus. Prenez un seuil de signi- cation de 5%.
b) Trouver l'intervalle de conance a 95% pour .
83) Certaines machines industrielles doivent ^etre revisees lorsque l'usure des dierentes parties produit une variation excessive dans l'article fabrique. Si la variance 2 ne doit pas depasser 50 et un echantillon de 40 articles donne une variance centree (s2) de 60, faut-il reviser la machine? Utilisez un seuil de signication de 5%.
