Travaux pratiques d’approche numérique des problèmes de physique (II) :
Modèle d’Ising bidimensionnel
Introduction
Dans les dernières années, la physique statistique a bénéficié de l’appui de plus en plus efficace de techniques de simulations. Celles-ci permettent d’étudier, sur ordi- nateur, des systèmes qui se caractérisent par un nombre élevé de degrés de liberté.
Notamment, on utilise des méthodes Monte-Carlo, fondées sur la génération de nombres aléatoires, qui permettent le calcul de moyennes sur l’ensemble des configurations d’un système même si leur nombre rend illusoire toute tentative de les expliciter de manière exhaustive.
Le modèle spécifique dont l’étude est proposée ici est un modèle d’Ising, que nous particulariserons à un système bidimensionnel. Les systèmes physiques réels qui peuvent être représentés qualitativement par un tel modèle sont rares ; nous pou- vons néanmoins citer le système antiferromagnétique K2CoF4 [1]. Il s’agit d’un système stratifié où le spin des atomes de Cobalt d’un même feuillet interagissent fortement entre premiers voisins et interagissent peu d’un feuillet à l’autre.
Dans ce système, les interactions magnétiques sont très anisotropes et les spins ne disposent que de deux directions pour s’orienter (voir figure 1).
Fig. 1 – Représentation d’une grille de "spins" pour lesquels les deux orientations possibles sont données par le sens des flèches.
Le modèle d’Ising se trouve être un des rares modèles de mécanique statistique de particules en interaction qui puisse être résolu analytiquement [2]. À deux di- mensions, le système idéal décrit par ce modèle subit unetransition de phase.
Sa popularité vient précisément de ce qu’il permet de clarifier, au moins quali- tativement, l’origine d’une transition de phase telle que celle qui se produit à la température de Curie d’un matériau ferromagnétique ou la température de Néel d’un matériau antiferromagnétique.
1 Le modèle d’Ising
L’objectif de cet exercice est d’obtenir, par une méthode Monte-Carlo, une courbe donnant le moment magnétique moyen par site en fonction de la température, pour un ensemble de "spins" localisés aux noeuds d’un réseau rectangulaire - carré dans la pratique - bidimensionnel [3]. On déterminera, à partir de cette courbe, la température à laquelle se manifeste la transition de phase propre au modèle d’Ising à deux dimensions.
1.1 Énergie du système
Dans la définition et le traitement du modèle d’Ising, on utilise le plus souvent une terminologie dont l’origine remonte à la théorie d’Heiseinberg du ferromagné- tisme [4]. On parlera de "spins" σi,j localisés aux nœuds (i, j) d’un réseau. Ces
"spins" peuvent prendre deux valeurs : σi,j = +1ouσi,j = −1, exprimées dans des unités adaptées au problème étudié. L’énergie de paire due à l’interaction de deux "spins" s’écrit
U(i,j)(k,l) =−J(i,j)(k,l)σi,jσk,l. (1) Le moment magnétique moyen par site pour une configuration de "spins" donnée1 c = {σ1,1, σ1,2, ..., σN,M} est
σc = 1 N M
N
X
i=1 M
X
j=1
σi,j, (2)
où N et M sont le nombre de lignes et de colonnes du réseau, respectivement ; l’énergie de cette configuration s’écrit
Uc =−1 2
X
(i,j)(k,l)
J(i,j)(k,l)σi,jσk,l, (3)
où le facteur1/2évite le double comptage des interactions. À la température T, cette configuration est choisie avec une probabilité
pc = exp (−βUc) P
c
exp (−βUc) (4)
β = 1
kbT (5)
1Cette moyenne relève du mondemicroscopique.
de sorte que lemoment magnétique moyen par sitesur l’ensemble des confi- gurations du système2 est donné par
< σ >=X
c
pcσc. (6)
La somme s’étend aux 2N M configurations possibles du système.3 Si on se limite à une interaction entre premiers voisins :
J(i,j)(k,l) =
J si les sites (i , j)et(k , l)sont premiers voisins,
0 pour les autres paires. (7)
Pour un système ferromagnétique, J > 0 et l’alignement parallèle des "spins"
est énergiquement favorable. Pour un système anti-ferromagnétique, J < 0 et l’alignement anti-parallèle est préféré.
1.2 La méthode Monte-Carlo
Parmi toutes les configurations possibles, un grand nombre sont improbables (Uc >> kbT). Il est plus efficace d’effectuer cette sommation par une méthode statistique, en ne retenant qu’un échantillon de configurations choisies au hasard, biaisant cet échantillon de telle sorte que les configurations les plus probables à la température considérée apparaissent le plus souvent ; alors
< σ >≈ 1 nc0
nc0
X
c0=1
σc0, (8)
oùnc0 est le nombre de configurations de l’échantillon biaisé.
En 1953, Metropoliset al. [5] ont introduit une méthode permettant d’engendrer des configurations aléatoires et peu corrélées qui se présentent avec une probabi- lité proportionnelle à exp (−βUc). La procédure consiste, pour un site choisi au hasard, à calculer la modification d’énergie ∆U qu’entraînerait le retournement de ce "spin", étant donné l’état des "spins" voisins ; aux premiers voisins, cette modification est donnée par
∆U = 2J σi,j{σi−1,j+σi+1,j+σi,j−1+σi,j+1} , (9) où σi,j est le "spin" dont on teste le retournement. Si ∆U ≤0, alors le système voit son énergie diminuer et la configuration est acceptée ; si∆U >0, on accepte la configuration avec une probabilité boltzmannienne.
2Cette moyenne relève du mondemacroscopiquec’est-à-dire directement reliée à l’infor- mation accessible par l’expérience (cf.théorème d’ergodicité).
3Ce qui représente déjà1267650600228229401496703205376 possibilités pour une grille de 10x10 "spins". . . d’où l’approche statistique numérique du problème.
En pratique, on tire un nombre aléatoire p dans l’intervalle [0 ; 1] et on le com- pare au facteur de Boltzmann. Si p≤exp (−∆U/kbT), le "spin" est retourné, si p >exp (−∆U/kbT), il est laissé dans son état initial. Pour une température fixée, on répète cette itération sur un grand nombre de "spins", ce qui entraîne l’explo- ration d’une série de configurations.
Deux configurations successives sont fortement corrélées, mais deux configura- tions séparées par un grand nombre d’itérations peuvent être considérées comme indépendantes. Une telle suite de configurations constitue ce que les statisticiens appellent unechaîne de Markov. Au cours des itérations, on relève régulièrement un certain nombre de configurations suffisamment éloignées pour être indépen- dantes et on calcule le moment magnétique moyen par site sur chaque configu- ration prélevée. À la fin des itérations, on calcule la moyenne arithmétique des moments magnétiques moyens obtenus - ce qui revient à effectuer (8).
2 En pratique
Bien que le programme devra être le plus généralisé possible, nous simulerons un réseau carré, et non rectangulaire, de sorte qu’aucune dimension ne soit privilé- giée. De plus, les conditions aux limites périodiques de Born-Von Karman seront introduites afin de simuler un espace infini. À cette fin, la fonctionmodulo peut s’avérer utile. . .
Le programme sera utilisé pour déterminer l’évolution en température du moment magnétique moyen par site d’un système ferromagnétique et sa température de Curie, Tc. Au départ, le système sera considéré dans un état proche du zéro absolu : aux faibles températures, l’entièreté des "spins" seront alignés, pour autant queT < Tc. Ensuite, on laissera le système évoluer en choisissant comme état initial pour une nouvelle température, l’état du système à la dernière itération de la température précédente. Le pas en température doit être suffisamment court afin cerner la transition de phase de façon précise. Enfin les résultats seront comparés à la solution analytique suivante [6, 7, 8] :
M(T) = ( h
1− sinh42J/k1 bT
i1/8
pour T < Tc,
0 pour T > Tc ; (10)
quant à elle, la température de Curie Tc est définie par sinh 2J
kbTc
= 1 ⇔ Tc ≈ 2.269J kb
. (11)
Pour fixer l’échelle d’énergie - arbitraire puisque dépendant du coefficient J -, on prendra kb = 1 et J = 1. Les résultats obtenus sont présentés à la section suivante, figures (2) et (3).
3 Résultats
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Moment magnétique moyen par site
kbT/J
simulation théorie
Fig. 2 – Comparaison entre simulation (carrés noirs) et théorie (trait plein rouge). La courbe, obtenue en moyennant sur 300 échantillons par température avec une décorrélation de 5000, porte sur un réseau de 80x80
"spins".
1 2 3 4
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Moment magnétique moyen par site
kbT/J
simulation théorie
Fig. 3 – Comparaison entre simulation (carrés noirs) et théorie (trait plein rouge). La courbe, réalisée par simulations multiples et adaptatives, porte sur un réseau de 100x100 "spins". L’accord est remarquable excepté autour de la transition de phase.
Références
[1] M. Ikeda, K. Hirakawa,Solid State Comm. 7, 529 (1974) [2] L. Onsager, Phys. Rev.65, 117 (1944)
[3] J.-P. Vigneron, Approche Numérique des Problèmes de Physique (II), cours de seconde licence en Sciences physiques, FUNDP, Namur, 2004
[4] C. Kittel, Physique de l’état solide, Dunod, 7e édition, 1998, pp. 399-403 [5] N. Metropolis, A.W. Rosenbluth, M.N. Rosenbluth, A.H. Teller et E. Teller,
J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953)
[6] C. M. Yang, Phys. Rev.85, 809 (1952)
[7] G. H. Wannier,Statistical Physics, J. Wiley & Sons, New York, 1966, pp. 330- 356
[8] B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet,Physique statistique, Hermann, Paris, 2001, pp. 470-474
[9] Ph. Lambin & J.-P. Vigneron, Étude du modèle d’Ising bidimensionel par une méthode Monte-Carlo, FUNDP, Namur
Note : Ces pages sont largement inspirées de [9].
