Cours de machine hydraulique

Cours de machine hydraulique

Al Hoceima

Professeur: M.A. Moussaoui

Filière : Génie Civil Section : S3 Année universitaire : 2013--2014

SIMILITUDE DE FONCTIONNEMENT

I- Introduction

Depuis le début du XXe siècle, les ingénieurs impliqués dans la conception de machines hydrauliques, ont commencé leur procédure par la préparation d'un modèle et de travailler au moyen de similitude pour prédire la performance réelle de la machine.

Par conséquent, la compréhension la plus étendues du comportement général de toutes les turbomachines a été, sans doute, obtenu à partir de l'analyse dimensionnelle.

l'analyse dimensionnelle.

L'analyse dimensionnelle repose sur le fait que ne peuvent être comparées que des grandeurs ayant la même dimension

L’analyse dimensionnelle et le principe de similitude permettent d’obtenir des corrélations sans dimensions prédisant le comportement des machines hydrauliques. Ce qui permet de trouver des relations entre les variables expérimentalement avec un minimum d'effort et de coût.

Plusieurs méthodes de construction de groupes adimensionnels ont été

Donc parmi les utilisations importantes:

prédiction de la performance d'un prototype de tests effectués sur un modèle d'échelle (similitude),

la détermination du type le plus approprié de la machine, sur la base d'une efficacité maximale, pour une plage d’hauteur, de vitesse et de débit.

Les lois de similitude de fonctionnement d’une turbomachine hydraulique résultent de l’examen des questions suivantes :

influence de la vitesse de rotation sur les caractéristiques de fonctionnement d’une machine.

transformation des résultats d’essais sur modèles réduits avec le même fluide ou un autre (ex : essai à l’air à la place de l’eau, essai à l’eau à la place d’un liquide chimiquement dangereux).

Deux pompes semblables:

1 1

2 2

D L D L

λ = =

Facteur homothétie ou coefficient de similitude géométrique: λλλλ

roue prototype = 2,767m roue modèle = 0,472m

Tower of London

Le plus grand brise-glace au monde en construction en Russie 2017. Il sera long de 170m, large de 34m et son tirant d’eau sera de 10,5m. La puissance du moteur sera de 175Mw, ce qui permettra de franchir des glaces d’une épaisseur de 3m.

e brise-glace pourra assurer le passage de bateaux avec une charge utile allant jusqu’à 100 000 tonnes.

Milad Tower

A propane fired 1:8 scale live steam train running on the Finnish Railway Museum's miniature track.

1/700 scale Japanese destroyer Harusame plastic model kit released by Tamiya

Les principaux types de similitude hydraulique sont :

Similitude géométrique:

Le rapport entre tous les éléments géométriques des 2 pompes est constant. C'est-à-dire, les rapports caractéristiques de longueurs et d'angles contenues dans les sections doivent être les mêmes (les sections sont identiques).

Ainsi, le rapport de diamètre de la roue, de disposition de la forme et le Ainsi, le rapport de diamètre de la roue, de disposition de la forme et le nombre d'aubes de turbine et des aubes de guidage doivent être les mêmes.

maquette L

prototype

k L constante

= L =

prototype

k A constante

= A =

Similitude cinématique :

Cette condition est remplie si à des points homologues dans les machines, les vecteurs qui constituent le triangle de vitesse sont similaires (les vitesses aient des directions homologues et des modules dans un rapport constant).

⇒⇒

⇒⇒ Vitesse, Accélération, débit

maquette V

prototype

k V constante

= V =

Similitude dynamique :

Pour avoir similitude dynamique il faut que, en deux points homologues de la maquette et du prototype, les forces aient des directions homologues et des modules dans un rapport constant.

prototype

maquette F

prototype

k F constante

= F =

Donc, si les deux fluides sont homogènes, i.e que les masses volumiques sont dans un rapport constant, et que nous ayons

Remarque :

2

3

V

F m a L L V

ρ ^ L ^ ρ

 

= =     =

 

2 2

2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

L V

F L V

F L V k k

ρ ρ

ρ ρ

       

= =

       

       

Dimensionnellement nous avons:

volumiques sont dans un rapport constant, et que nous ayons similitudes géométrique et cinématique, nous avons aussi similitude dynamique.

Les sept dimensions de base:

James Watson Francis Crick 1953

Essai en soufflerie d'un modèle F18 d'avion de chasse. Tester les modèles est impératif dans la conception de dispositifs coûteux. Ces tests utilisent les principes de l'analyse dimensionnelle et de la modélisation. (Coutesy of

II- Analyse dimensionnelle

( Théorème de Vaschy Buckingham ou théorème des ππππ )

Pour étudier les caractéristiques de performance des turbomachines, plusieurs variables sont impliquées. L’analyse dimensionnelle permet de substituer à la liste de variables décrivant un phénomène physique, un nombre réduit de groupements adimensionnels mieux utilisables

L’analyse dimensionnelle est effectuée en utilisant une procédure importante: le théorème π de Vasemy-Buckingham (1915):

Le nombre de produits adimensionnels et indépendants pour décrire un phénomène physique faisant intervenir ‘n’ grandeurs est égal à (n-r), où r représente le nombre d’unités fondamentales.

Toutes les relations physiques peuvent être réduites aux quantités fondamental suivantes : masse M, longueur L, T le temps et la température dans le cas de la chaleur. Donc, ‘r’ est général égal à 3 (masse, longueur, temps) dans le cas d’un fluide incompressible. On ajoute la température pour prendre en compte les effets thermiques dans le cas compressible.

Soient n grandeurs Q₁, Q₂,…, Q_n, reliées par une relation (caractéristique de fonctionnement d’une pompe par exemple)

(caractéristique de fonctionnement d’une pompe par exemple)

f(Q₁, Q₂,…, Q_n)=0.

Cette relation peut être remplacée par f(ππππ₁^, ππππ₂^{, …,} ππππ_n-r^{)=0, où} ππππ_i sont des

La procédure du théorème π peut être expliquée par ces quelques étapes:

a) Toute équation peut être réorganisé en regroupant les grandeurs physiques pris dans les groupes adimensionnels.

b) Si le nombre de dimensions fondamentales est k, le nombre de termes sera égal à (n-k).

c) Le premier terme π peut être exprimée comme le produit de chaque c) Le premier terme π peut être exprimée comme le produit de chaque quantité choisie avec exposant inconnue et l’autre quantité avec exposant connu (généralement considéré comme un).

d) Pour chaque terme, résoudre l'exposant inconnu par l’analyse dimensionnelles.

e) Tout terme peut être remplacé par n'importe quelle puissance de ce terme π₁ par π₁², ou par 1/π₁, également, toute expression peut être multipliée par une constante numérique.

1-Variables de fonctionnement

•Machine

Considérons une famille de turbomachines géométriquement semblables.

Chaque représentant de la famille peut être caractérisé par une dimension linéaire quelconque comme par exemple le rayon R du rotor.

Soit les variables suivants :

•Machine

Débit volumique Q (m³/s) →→→→ L³T^-1 Énergie spécifique e (J/Kg) →→→→ L²T^-2 Puissance à l’arbre P (Watt) →→→→ ML²T^-3 Vitesse de rotation ωωωω ^(rd/s) →→→→ ^T-1

Diamètre de rotor ou le rayon D (m) →→→→ ^L-1

•Fluide

Remarque:

Pour les turbines hydrauliques, il y’a deux paramètres de réglage interne au plus, qui sont le degré d’ouverture (x) et l’angle de calage des pâtes de rotor (i). Le dernier est valable uniquement dans le cas d’une turbine KAPLAN réalisée avec des pales orientables.

L'énergie transférée ‘e’ est une fonction du débit ‘Q’, de la vitesse de rotation ‘ωωωω’, du diamètre de la roue ‘R’, de la densité du fluide ‘ρ’ et de la viscosité dynamique ‘µµµµ’. Ces variables pourraient être organisés sous forme mathématique comme suit:

mathématique comme suit:

e=f(Q, ω ω ω ω^{, R,} ρρρρ^,µµµµ) ou f(e, Q,ωωωω^{, R,} ρρρρ^,µµµµ^)=0.

de même: P= f(Q, ωωωω^{, R,} ρρρρ^,µµµµ⁾

Considérons l’analyse dimensionnelle dans le cas de la caractéristique énergétique : e=f(Q, ωωωω^{, R,} ρρρρ^,µµµµ⁾

Suivant le théorèmeππππ, on a le nombre de terme ππππ égale à (6-3) =3 On choisi trois variables indépendantes (det(n_i)≠0) : e, Q et ρρρρ^.

π₁=f(R,ωωωω^,µµµµ^,e) π₂= f(R,ωωωω^,µµµµ^,Q) π₃= f(R,ωωωω^, µµµµ^{, ρ)}

On pose:

2 2 2

e e

R u

Ψ = ω =

Q Q

δ = =

Coefficient d’énergie

Coefficient de débit

3 2

R uR δ ⁼ ω ⁼

2

Re ρω R ρ uR

µ µ

= =

Coefficient de débit

Nombre de Reynolds

La caractéristique d’énergie s’écrit sous une forme adimensionnelle :

( ^{, Re} )

f δ

Ψ =

L’analyse adimensionnelle effectuée dans le cas de la caractéristique de puissance P=f(Q,ωωωω^,R,ρρρρ^,µµµµ), conduit au même coefficient de puissance ττττ donnée par :

3 5 3 2

P P

R u R τ ⁼ ρω ⁼ ρ

Sous une forme adimensionnelle, cette caractéristique s’écrit :

( ^{, Re} )

τ = f δ

L’analyse précédente montre la dépendance caractéristique d’énergie et de puissance en fonction du nombre de Reynolds

Le fonctionnement d’une machine s’effectue en général à des valeurs élevées de ce paramètre, et l’expérience a montré que son effet sur les caractéristiques devient négligeable pour un nombre de Reynolds de l’ordre de 10⁸.

( )

ψ = f δ ( )

τ

δ

( )

η = f δ

Re 10 ∼

( )

η = f δ

hauteur C_H et l'efficacité Cη

Le changement d'échelle implique certainement des changements dans le nombre de Reynolds. Comme vu précédemment, le nombre de Reynolds est le rapport entre la force d'inertie et la viscosité.

Dans l'étude de l'écoulement de fluide visqueux, le nombre de Reynolds est directement proportionnel au mécanisme de l'écoulement, par conséquent, les pertes dans l'écoulement de fluide est une fonction du nombre de Reynolds.

Remarque

nombre de Reynolds.

Si la variation du nombre de Reynolds est faible, son effet peut être négligé en supposant que le mécanisme d'écoulement est semblable et par conséquent les pertes.

Quand il existe une grande variation du nombre de Reynolds, son effet doit être pris en considération, car une grande variation du nombre de Reynolds peut indiquer un changement dans le régime d'écoulement entre laminaire et transitoire ou turbulent pleinement développé.

Malheureusement, seules les expériences peuvent fournir les informations disponibles sur son effet.

III- Coefficient de vitesse spécifique

Le concept de ce coefficient ce base sur les propriétés de similitude, et permet d’identifier une famille de machines du même type. Ce coefficient est en rapport avec la géométrie d’une turbomachine, et constitue ainsi un paramètre de choix pour une application donnée.

On désire avoir un paramètre groupant les grandeurs de fonctionnement : vitesse de rotation, débit et énergie.

vitesse de rotation, débit et énergie.

On obtient en effet par élimination de rayon du rotor :

( )

1/ 2 1/ 2 1/ 2

3 / 4

3 / 4 3 / 4

Q Q

e gH

δ ω ω

ψ ^{= =}

H étant la hauteur énergétique.

g (m.s

)

Ωs est un paramètre qui se rapporte aux dimensions de la roue, il offre un excellent outil pour permettre à l'ingénieur de suggérer quel type de roue à utiliser pour répondre aux critères voulus.

Par définition, le coefficient de vitesse spécifique d’une turbomachine en un point de fonctionnement est la vitesse de rotation d’une machine de même type fonctionnant en similitude avec le débit unitaire de 1 m3/s sous une énergie massique utile ou disponible de 1 J/kg.

La vitesse spécifique est donnée par les fabricants (parmi d'autres caractéristiques), et se réfère toujours au point d'efficacité maximum. Ceci permet de réaliser des calculs précis des performances de la machine pour une plage de hauteurs et de débits.

Pour des hauteurs élevées et une faible capacité, les roues ont généralement de faibles vitesses spécifiques, tandis que les roues pour les basses hauteurs et de grande capacité ont généralement des vitesses spécifiques élevées.

Dans le cas général, les machines radiales ont de faibles vitesses spécifiques et les machines axiale ont des vitesses spécifiques élevées.

1- Pour les pompes

La valeur de la vitesse spécifique est une caractéristique de chaque groupe de pompes semblables. Elle caractérise l’importance du débit et de la hauteur d’élévation que la pompe doit vaincre.

Dans la pratique industrielle, la vitesse spécifique est généralement donnée par la relation suivante (nombre de Brauer Ns):

( )

( ) ( )

* 1/ 2

* 3/ 4

[ ]

S

N N Q rpm

H

=

Où

N est la vitesse de rotation de la roue de la pompe en rpm, Q* est le débit optimal de la pompe.

H* est la hauteur manométrique correspondant au débit optimal

Remarque:

- Dans le sys Anglais des unités :

Q en gpm (gallons par minute) et H en ft (feet) avec:

1ft = 0,305 m et 1gpm = 7,57682. 10^-5 m³/s - la dimension de Ns est normalement :

Dans le sys Fr : rpm.[(m³/s)^1/2m^-3/4] Dans le sys Eng: rpm.[(gpm)^1/2ft^-3/4]

Mais dans la pratique, on a l’habitude d’omettre les unités entre parenthèses « [ ] »

- la relation entre ΩΩΩΩs et Ns est : Ns=52,93 ΩΩΩΩs - la relation entre ΩΩΩΩs et Ns est : Ns=52,93 ΩΩΩΩs Exemple :

Pour les roues centrifuges ou radiales, Ns varie de 500 à 3000 rpm,

Pour les roues mixtes, Ns varie de 3000 à 7000 rpm, Pour les roues axiales, Ns varie de 8000 à 15000 rpm.

Adapté de Carrassik et al. 1982

2- Pour les turbines

Dans le cas d’une turbine hydraulique, l’une des variables principales de fonctionnement est la puissance développée à l’arbre.

Ainsi, on utilise aussi comme paramètre de vitesse spécifique la quantité obtenue par :

1/ 2 1/ 2 1/ 2

5 / 4 1/ 2 5 / 4 5 / 4

1

( )

P NP

gH H

τ ω

ψ ⁼ ρ ^∝

N : vitesse de rotation exprimée en tr/min ou r.p.m N : vitesse de rotation exprimée en tr/min ou r.p.m P : puissance à l’arbre exprimée en chevaux (CV) H : hauteur de chute exprimée en m

Par définition, la vitesse spécifique d’une turbine est donnée par :

1/ 2 5 / 4 S

N NP

= H

C’est la vitesse de rotation d’une turbine spécifique qui développe une puissance de 1ch sous une hauteur de

IV- Effet d’échelle

L’un des objectifs de la similitude comme on l’a mentionné au début du chapitre est la transposition des résultats d’essais sur des modèles réduits.

Cependant, la similitude géométrique ne peut être poussée en vue d’avoir une rugosité dans le rapport de similitude.

d’avoir une rugosité dans le rapport de similitude.

Par ailleurs, on a noté l’influence du nombre de Reynolds, suite à un changement de dimension ou de vitesse de rotation ou de fluide.

Ainsi, et comme l’expérience l’a montré, il existe des différences sur les rendements mesurés, respectivement, sur les modèles d’essais et les modèles réelles.

1- Les effets d'échelle dans les machines hydrauliques

L'effet de nombre de Reynolds est clair en particulier si il ya une grande variation de sa valeur.

L'utilisation de modèles de prévision du rendement de la turbine de taille réelle est bien établie, mais la même technique pour les pompes est relativement récente. Des différences significatives dans l'efficacité entre le modèle et la taille normale se produisent, ce qui suggère des départs et non respects de la similitude dynamique.

respects de la similitude dynamique.

Il est soutenu à la fois pour les turbines et les pompes que les pertes diffèrent, et que les courbes de capacité et de travail diffèrent aussi. Tous les chercheurs sont d'accord que le traitement mathématique exact est difficile

On peut suggérer que les dérogations aux lois d'échelle sont dues à:

Différences dues aux tolérances géométriques Variations de Liquide

Finition

Effets hydrodynamiques (frottement) Des erreurs de test

Effets d'installation.

Un exemple : La figure ci-dessous présente l’influence sur les résultats entre une pompe réelle et trois différents modèles en Aluminium

Pompe Eggborough (adapté de Nixon et Cairney, 1972)

les différences géométriques:

Par exemple, pour des aubes en Aluminium déterminée par l'angle, une variation de ± 0,5° autour d'une valeur moyenne qui est de 1,5° inférieure au design a été trouvé pour la machine de taille réelle, et dans les modèles, la dispersion était du même ordre, à part le cas de roue en fibres de verre dans laquelle elle était bien pire.

La rugosité de surface du modèle et du prototype n’est pas du même ordre. On ne peut pas construire une machine réelle qui peut être parfaitement lisse sans un grand coût. Il s'agit donc d'un problème parfaitement lisse sans un grand coût. Il s'agit donc d'un problème important, car il affecte les couches limites.

Dans le cas des problèmes hydrodynamiques, Nixon et Cairney (1972), Osterwalder (1978), et Osterwalder et Ettig (1977), suggèrent la relation suivante:

1 − η = δ = δ + δ + δ + δ + δ

Habituellement, la plupart des turbomachines fonctionnent à haute nombre de Reynolds dans la région de l'écoulement turbulent pleinement développé, ce problème se pose quand une machine est à l'origine conçue à certain nombre de Reynolds et testé dans le magasin à des nombres de Reynolds différents, donc une correction doit être prise en considération. En général, une relation empirique commune est utilisée:

1 Re

1 Re

η

η

−  

=  

−

  1 − η ^{= }  Re ^ 

Lorsque n varie de 0,1 à 0,25, le rapport ci-dessus est également utilisée pour tenir compte de l'effet d'étanchéité

Où ηηηη :est le rendement du modèle réel ηηηη₀ :est le rendement du modèle réduit

Il existe plusieurs formules de correction du rendement tenant compte des effets cités précédemment (échelle et nombre de Reynolds). Parmi lesquelles on cite [d’après Nixon 1965]:

Bien que la présentation non-dimensionnelle soit préférable du point de vue scientifique, la présentation dimensionnelle est également importante pour l'utilisation pratique dans une usine par exemple. Le personnel doit savoir directement la variation de la performance dans des conditions de fonctionnement différentes.

Soient deux machines de même type en similitude de fonctionnement avec le même fluide.

V- Les lois de l’affinité

le même fluide.

Rq: Les relations ci-dessus ne sont applicables que si on néglige effet du nombre Re

La Fig ci-contre représente la relation entre H et Q. Il suffit seulement d'établir une courbe et il est facile de prévoir le reste par le moyen des lois d'affinité.

Pour les turbines hydrauliques, on utilise les relations exprimées à l’aide du diamètre et la hauteur de chute:

VI- Variables réduites

Ces variables sont utilisées pour présenter les résultats d’essais d’un modèle réduit d’une turbine hydraulique.

Elles correspondent aux conditions relatives à une hauteur de chute H₁₁=1m et un diamètre de la turbine D₁₁=1m. on utilisera les relations de similitude pour déterminer la puissance P₁₁, le débit Q₁₁, la vitesse de similitude pour déterminer la puissance P₁₁, le débit Q₁₁, la vitesse de rotation N₁₁ et enfin le couple C₁₁.

Notons que les essais sont effectués sur modèle ayant un diamètre D sous une hauteur de chute H, à une puissance P, un débit Q, une vitesse de rotation N et un couple C.

Expression de Ns en fonction des variables réduites :

Ns étant défini comme la vitesse de rotation spécifique, qui développe une puissance Ps de 1ch sous une hauteur de chute Hs de 1m.

Le rapport de similitude entre le modèle spécifique (diamètre Ds) et le modèle à

D

=1m est :

Fin

Séance