Trisectie van een hoek: van Euclides tot origami
Fred Brackx & Hilde De Ridder
Universiteit Gent -- Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur Vakgroep Elektronica en Informatiesystemen
1 Inleiding
Met zijn dertiendelig boek De Elementen, ongetwijfeld het meest invloedrijke wiskundeboek aller tijden, initieerde Euclides van Alexandrië (ca. 323 – ca. 265 v.o.t.) een systematische ontwikkeling van een meetkunde waaraan men thans refereert als Euclidische meetkunde. Op basis van 23 definities (van o.m. punt, rechte, vlak, hoek, …), 5 axioma’s (algemene waarheden) en 5 meetkunde-specifieke postulaten kon Euclides niet alleen een indrukwekkende rij van stellingen bewijzen [1], waarvan een aantal reeds vóór hem waren gekend, maar ook prachtige meetkundige constructies uitvoeren, zoals bijvoorbeeld: met behulp van passer en liniaal een regelmatige vijfhoek inschrijven in een gegeven cirkel. Passer en (niet gegradueerde) liniaal waren inderdaad de uitverkoren hulpmiddelen voor meetkundige constructies in de klassieke oudheid [2].
Deze beperking van het instrumentarium is ook de reden waarom de volgende twee constructies [3] als “onuitvoerbaar” worden bestempeld:
(C1) Verdeel een gegeven willekeurige hoek in drie gelijke deelhoeken.
(C2) Construeer de ribbe van een kubus waarvan het volume het dubbele is van dat van een gegeven kubus.
In de loop der tijden zijn ontelbare pogingen ondernomen om de constructies (C1) en (C2) uit te voeren enkel gebruik makend van passer-en-liniaal. In 1837 bewees de Franse wiskundige Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1848) dat beide passer-en-liniaal- constructies onuitvoerbaar zijn [4]. Heft men echter de passer-en-liniaal-beperking op, dan zijn deze constructies wel degelijk uitvoerbaar, zij het dan wel met andere hulpmiddelen, zoals bijvoorbeeld de neusisliniaal, zie bijvoorbeeld [5].
We zullen nu constructie (C1) uitvoeren met een bijzonder eenvoudig hulpmiddel: het vouwen van papier. En dat is merkwaardig, of beter: contra-intuïtief, want wie zou in papiervouwen een krachtiger werktuig vermoeden dan passer-en-liniaal?
2 Origami
Origami of papiervouwen wordt meestal geassocieerd met Japan, maar de eerste geschreven referentie eraan komt uit China, waar als eerste papier werd geproduceerd als alternatief voor zijde. Samen met papier werd de kunst van het papiervouwen in de 6de eeuw door boeddhistische monniken in Japan geïmporteerd. Origami heeft ook steeds de fantasie van wiskundigen geprikkeld, wat geleid heeft tot een meetkundige aanpak ervan, i.h.b. het opstellen van een lijst van zeven basisvouwen, die we origamiregels zullen noemen en hieronder opsommen. Ze werden opgesteld door Jacques Justin in 1989, maar, zoals dat nog gebeurt in wiskunde, over het hoofd gezien.
Regels (O1) tot (O6) werden opnieuw neergeschreven door Humiati Huzita in 1991, regels (O1) tot (O5) door Auckly Cleveland in 1995, en regel (O7) door Koshiro Hatori in 2001. Een autoriteit in origamiwiskunde is fysicus Robert Lang [6]. Maar ere wie ere
toekomt: in 1936 reeds bewees Margharita Beloch Piazzolla (1879–1976), zie [7], gewoon hoogleraar aan de Universiteit van Ferrara gespecialiseerd in algebraïsche meetkunde, algebraïsche topologie en fotogrammetrie, dat met papiervouwen een willekeurige derdegraadsvergelijking kan worden opgelost; de vouw uit (O7) wordt de Beloch–vouw genoemd. Wie zich wil verdiepen in de wiskundetheorie van origamiconstructies kan terecht in bijvoorbeeld [8].
Bij het concept van origamimeetkunde vertrekt men van een blad papier dat wordt gevouwen en weer opengeplooid waardoor de vouw als een rechte zichtbaar wordt. Na een tweede, andere, vouw ontstaan twee snijdende rechten en hun snijpunt of twee evenwijdige rechten, etc. Voor een zekere meetkundige constructie is dus een opeenvolging van nader te bepalen specifieke vouwen nodig, die kunnen worden geput uit de volgende lijst van zeven basisvouwen:
(O1) Voor twee gegeven verschillende punten bestaat er een unieke vouw die door beide punten gaat.
(O2) Voor twee gegeven verschillende punten bestaat er een unieke vouw die beide punten doet samenvallen.
(O3) Voor twee gegeven verschillende rechten bestaat er een vouw die beide rechten doet samenvallen.
(O4) Voor een gegeven rechte en een gegeven punt niet op deze rechte, bestaat er een unieke vouw door dat punt en loodrecht op die rechte.
(O5) Voor twee gegeven verschillende punten en een gegeven rechte bestaat er een vouw die door een van de punten gaat en het andere punt op de rechte doet vallen.
(O6) Voor twee gegeven snijdende rechten en een gegeven punt op geen van beide rechten, bestaat er een unieke vouw loodrecht op de ene rechte die het punt op de andere rechte doet vallen.
(O7) Voor twee gegeven verschillende punten en twee gegeven verschillende rechten bestaat er een vouw die het ene punt op de ene rechte en het andere punt op de andere rechte doet vallen.
Uiteraard moet het bestaan van deze zeven basisvouwen (O1) tot (O7) kunnen worden bewezen met behulp van de postulaten en de daaruit afgeleide stellingen van de Euclidische meetkunde. Dit stellen we uit tot Sectie 4. Eerst voeren we, in de volgende sectie, de driedeling van een hoek uit met papiervouwen.
3 Trisectie van een hoek
Origamipapier is meestal vierkantig; voor de trisectie van een hoek is dit niet noodzakelijk, maar laat ons toch ervan uitgaan. Neem dus een papieren vierkant ABCD waarbij we de horizontale richting identificeren met de richting van de zijde AB en voer de volgende bewerkingen stap per stap uit.
Stap 1. Vouw de willekeurig gekozen hoek (kleiner dan een rechte hoek) PAB met het punt P op de zijde CD, en plooi open.
Stap 2. Maak een horizontale vouw EF over het hele vierkant met E op DA en F op BC en plooi open.
Stap 3. Maak de vouw (O3) waarbij de zijde AB op EF valt en plooi open; noem deze vouw GH met G op DA en H op BC.
Stap 4. Maak de Beloch–vouw (O7) waarbij E op AP valt (noem dit punt E’) en tezelfdertijd A op GH (noem dit punt A’). Door deze vouw valt G op de rechte E’A’ (noem dit punt G’). Plooi niet open.
P
A
D C
B
E F
G H
A
A′ E′
Figuur4:stap4
4
Stap 5. Verleng de vouw door G’ tot aan het punt J op de zijde CD en plooi open.
P
A
D C
B
E F
G H
A
A′ E′
J
Figuur5:stap5
5
Stap 6. Verleng de vouw door J tot in het hoekpunt A en plooi open. De hoek PAJ is een derde van de originele hoek PAB (te bewijzen).
Stap 7. Maak de vouw (O3) waarbij de zijde AB op AJ valt, plooi open en noem K het snijpunt van deze vouw met de zijde BC. De vouwen AJ en AK verdelen de originele hoek
PAB in drie gelijke deelhoeken (te bewijzen), waarmee de trisectie van de hoek PAB voltooid is.
In de volgende sectie geven we het bewijs van deze papiervouw-constructie.
4 Bewijs van de trisectie
Een bewijs van de trisectie van de hoek PAB, stapsgewijs uitgevoerd in de voorgaande sectie, gaat als volgt, zie Figuur 8.
Noem het maatgetal van de originele hoek PAB. Noem L het snijpunt van GH en AP.
Vermits GH evenwijdig is met AB is dus HLP = .
De in stap 4 gedefinieerde rechte A’G’E’ is de orthogonale spiegeling van de rechte AGE t.o.v. de vouw van stap 4 als spiegelas. Vermits G het midden is van AE, is G’ het midden van A’E’. Nu staat A’G loodrecht op AE, zodat ook AG’ loodrecht staat op A’E’. In de driehoek Δ AA’E’ is AG’ zowel zwaartelijn als hoogtelijn, en dus ook bissectrice, m.a.w.
A’AG’ = G’AE’; noem die hoek (de driehoek ΔAA’E’ is dus gelijkbenig).
Noem M het snijpunt van GH met de vouw uit stap 4 en noem het maatgetal van de hoek AML. Voor een driehoek geldt dat een buitenhoek gelijk is aan de som van de niet- aanliggende binnenhoeken; toegepast op driehoek ΔAML levert dit: = + .
Onder de reeds vermelde orthogonale spiegeling is MA’ het spiegelbeeld van MA. De driehoek Δ AA’M is dus gelijkbenig, zodat MA’A = MAA’. Uit de reeds vermelde eigenschap van een buitenhoek van een driehoek, nu toegepast op driehoek Δ AA’M, volgt dat = 2.
Aldus is = 3, zodat ook BAA’ = . Q.E.D.
5 Bewijs van de origamiregels
We bewijzen nu dat de basisvouwen vervat in de origamiregels (O1) t.e.m. (O7) inderdaad bestaan.
(O1) Voor twee gegeven verschillende punten bestaat er een unieke vouw die door beide punten gaat.
Dit is een herformulering van twee postulaten van Euclides, die stellen dat twee verschillende punten een lijnstuk bepalen dat aan weerszijden kan worden verlengd tot een rechte.
(O2) Voor twee gegeven verschillende punten bestaat er een unieke vouw die beide punten doet samenvallen.
Noem A en B deze twee verschillende punten. Noem s de middelloodlijn van het lijnstuk AB; deze is uniek. De punten A en B corresponderen met elkaar onder de orthogonale spiegeling met spiegelas s. Vouwen om s is equivalent met orthogonaal spiegelen om s en is dus de gezochte unieke vouw.
(O3) Voor twee gegeven verschillende rechten bestaat er een vouw die beide rechten doet samenvallen.
Noem a en b deze rechten en onderstel eerst dat ze elkaar snijden in het punt S. Noem s een bissectrice van dit rechtenpaar. De rechten a en b corresponderen met elkaar onder de orthogonale spiegeling met spiegelas s. Vouwen om s is equivalent met orthogonaal spiegelen om s en is dus de gezochte vouw. Er zijn twee dergelijke vouwen, loodrecht op elkaar, mogelijk; het resultaat na vouwen bestaat uit twee halfrechten vanuit het punt S.
Onderstel nu dat a en b evenwijdig zijn. Noem s de evenwijdige aan a en b op gelijke
afstand van a en b; de vouw om s is de gezochte vouw, die uniek is.
(O4) Voor een gegeven rechte en een gegeven punt niet op deze rechte, bestaat er een unieke vouw loodrecht op de rechte, die door het punt gaat.
De gezochte unieke vouw is de loodlijn uit het punt op de rechte.
(O5) Voor twee gegeven verschillende punten en een gegeven rechte bestaat er een vouw die door een van de punten gaat en het andere punt op de rechte doet vallen.
Noem A en B deze punten, en c deze rechte, zie Figuur 9. Noem d de rechte, evenwijdig aan c, op gelijke afstand van A en c. Noem S een snijpunt van de rechte d met de cirkel C geconstrueerd op AB als middellijn, en s de rechte bepaald door de punten B en S. De rechte AS snijdt de rechte c in het punt A’. Dan is de vouw om s de gezochte vouw.
Inderdaad, s staat loodrecht op AA’ omdat vanuit het punt S de middellijn AB van cirkel C onder een rechte hoek wordt gezien. Bovendien is S het midden van AA’ wegens de stelling van Thales. Aldus is s de middelloodlijn van het lijnstuk AA’. De vouw s gaat door B en transformeert A in A’ die op c ligt. Merk dus op dat (O5) niet altijd bestaat; het bestaan ervan hangt af van de onderlinge ligging van de gegeven punten en de gegeven rechte: er zijn twee, één of geen oplossingen naargelang de rechte d met de cirkel C twee snijpunten, één raakpunt of geen punten gemeen heeft.
(O6) Voor twee gegeven snijdende rechten en een gegeven punt op geen van beide rechten, bestaat er een unieke vouw loodrecht op de ene rechte die het punt op de andere rechte doet vallen.
Noem a en b deze snijdende rechten en A dit punt, zie Figuur 10. We zoeken de vouw die loodrecht staat op a en A op de rechte b doet vallen. Noem c de rechte door A evenwijdig met a. De rechte c snijdt b in het punt A’. Noem s de middelloodlijn van het lijnstuk AA’.
Elk van deze constructies is uniek. De vouw om s is de gezochte vouw. Inderdaad, s staat loodrecht op c en dus ook op a en het punt A’, dat op b ligt, is het orthogonaal spiegelbeeld van A om de spiegelas s.
(O7) Voor twee gegeven verschillende punten en twee gegeven verschillende rechten bestaat er een vouw die het ene punt op de ene rechte en het andere punt op de andere rechte doet vallen.
Noem A en B deze punten, en a en b deze rechten, zie Figuur 11. We zoeken de vouw die A op a en B op b doet vallen. We zullen aantonen in Sectie 6 dat er een unieke parabool Pa met brandpunt A en richtlijn a bestaat. Beschouw een willekeurige raaklijn s aan Pa ; de orthogonale spiegeling om s beeldt het brandpunt A af op een punt A’ gelegen op de richtlijn a (ook deze eigenschap van een parabool bewijzen we in Sectie 6). Elke vouw die A doet vallen in een punt van a is dus een raaklijn aan de parabool Pa . Evenzo zal elke vouw die B doet vallen in een punt van b een raaklijn zijn aan de parabool Pb met brandpunt B en richtlijn b.
De gezochte vouw is dus een gemeenschappelijke raaklijn aan de parabolen Pa en Pb . Er zijn ten hoogste drie gemeenschappelijke raaklijnen aan twee gegeven parabolen, en dus, naargelang de gegeven configuratie, maximaal 3 en minstens 1 Beloch–vouw.
Opmerkingen:
(i) Er bestaat geen passer–en–liniaal–constructie voor de gemeenschappelijke raaklijn(en) aan twee gegeven parabolen.
(ii) In de praktijk wordt de Beloch–vouw, en alle andere basisvouwen, uitgevoerd door met het papier wat heen en weer te schuiven tot het beoogde resultaat is bereikt; dit is precies de kracht van het papiervouwen.
6 De parabool
Een vast punt F en een vaste rechte d niet gaande door F, bepalen op unieke wijze een parabool P als de meetkundige plaats van alle punten die op gelijke afstand liggen van F en d. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool P en de rechte d haar richtlijn. De rechte s door F loodrecht op d noemt men de as van de parabool; s is een as van orthogonale symmetrie van P. De as s snijdt de parabool P in de top T en de richtlijn d in het punt G; aangezien T op gelijke afstand ligt van F en d is T het midden van het lijnstuk FG.
Om de in Sectie 5 gebruikte eigenschappen van de parabool te bewijzen, stellen we de cartesiaanse vergelijking van de parabool op in een cartesiaans assenstelsel met oorsprong in T en de x–as langs de as s. De coördinaten van F zijn (p/2, 0); de vergelijking van de richtlijn d is x + p/2 = 0.
Als het punt met coördinaten (x, y) een willekeurig punt is van de paraboool P, dan geldt bij definitie dat
(x−p 2)
2
+y2=(x+p 2)
2
of
y2=2px of ook nog
y = ±
√
2pxwat de orthogonale symmetrie van P t.o.v. de as s aantoont.
In elk punt van P, de oorsprong uitgesloten, geldt, na afleiding, dat dy
dx =
√
2px , y > 0 of dydx = -
√
2px , y < 0De raaklijn t in de top T, de zgn. topraaklijn, is verticaal en valt dus samen met de y–as.
Beschouw nu op de parabool P het punt P(a, b) en onderstel dat b > 0; er geldt dus dat b =
√
2pa . De orthogonale projectie van P op de richtlijn d is het punt Q(-p/2, b), zie Figuur 12. De raaklijn q in P aan P wordt gegeven door de vergelijkingy – b =
√
2pa (x-a)Hij snijdt de topraaklijn in het punt R(0, b/2) . De drie punten F(p/2, 0), R(0, b/2) en Q(-p/2, b) liggen dus op eenzelfde rechte, die loodrecht staat op de raaklijn; bovendien is R het midden van het lijnstuk FQ.
We kunnen dus besluiten dat F en Q elkaars orthogonaal spiegelbeeld zijn t.o.v. de raaklijn. Of anders geformuleerd: de as van de orthogonale spiegeling die F afbeeldt op Q, gelegen op de rechte d, is een raaklijn aan de parabool met F als brandpunt en d als richtlijn. Dit is de eigenschap die in Sectie 5 werd gebruikt.
Een extraatje: op basis van deze eigenschap is in Figuur 13 een parabool getekend, of, bij nader toezien, niet getekend maar gesuggereerd. Inderdaad, enkel een aantal rechthoekige driehoeken is getekend, waarbij twee hoekpunten steeds op twee vaste evenwijdige rechten (richtlijn in blauw, topraaklijn in groen) zijn gelegen en bovendien een rechte bepalen die steeds door eenzelfde vast punt (brandpunt in rood) gaat; het derde hoekpunt is dan een punt van de parabool. De parabool is hier de zogenaamde omhullende van de middelloodlijnen van de lijnstukken waarvan één uiteinde dat vaste punt (het brandpunt) is en het andere, variabele, uiteinde op een vaste rechte (de richtlijn) ligt. In het algemeen zegt men dat een kromme C de omhullende is van een schaar rechten, als elke rechte van de schaar een raaklijn is aan de kromme C. (Een schaar rechten is een verzameling rechten die afhangt van één parameter.)
Figuur13:parabool alsomhullende
A
D C
B M
E S F
G H
B′ F′
X
Y
Figuur14:verdubbelingvandekubus 13
7 Verdubbeling van de kubus
Dit vraagstuk luidt als volgt. Gegeven een kubus met ribbe z. Gevraagd: construeer de ribbe Z van een tweede kubus waarvan het volume het dubbele is van dat van de originele kubus, dus waarvoor Z3=2z3 of nog
Z=
√
32zOok hier is de Beloch–vouw cruciaal. De constructie met papiervouwen verloopt als volgt. Neem (sic!) een papieren vierkant ABCD.
Stap 1. Bepaal door vouwen (O3) het midden M van de zijde BC.
Stap 2. Bepaal door tweemaal vouwen (O1) het snijpunt S van AM en BD.
Stap 3. Maak de vouw (O4) evenwijdig aan AB door S; noem die vouw EF met E op DA en F op BC.
Stap 4. Maak de vouw (O3) evenwijdig aan AB waarbij D op E en C op F valt; noem die vouw GH met G op DA en H op BC.
Stap 5. Maak de Beloch–vouw (O7) waarbij B op DA valt (noem dit punt B’) en tezelfdertijd F op GH valt en bewijs dat
¿A B'∨¿=
√
32¿D B'∨¿
¿ ¿
Met andere woorden: als |AB’| de lengte is van de zijde z van de oorspronkelijke kubus, dan heeft het lijnstuk DB’ de gezochte lengte Z .
Schets van bewijs.
Noem XY de Beloch–vouw uit stap 5, met X op AB en Y op (het verlengde van) BC, zie Figuur 14. Noem het maatgetal van de hoek BXY en druk (
|
D B'|
|
A B'|
)3
uit als functie van cos . Stel x=cos2 , dan voldoet x aan de derdegraadsvergelijking 4 x3 + 6x - 1 = 0. Vind uiteindelijk (zonder deze derdegraadsvergelijking op te lossen) dat
(
|
D B'|
|
A B'|
)3
= 2.
Figuur13:parabool alsomhullende
A
D C
B M
E S F
G H
B′ F′
X
Y
Figuur14:verdubbelingvandekubus 13
8 Dankzegging
De auteurs zijn de twee referees erkentelijk voor hun verbeteringen en constructieve commentaren.
9 Noten en referenties
[1] Een uitgebreide bespreking van deze definities, axioma’s, postulaten en stellingen vindt men in het standaardwerk:
Euclid, The Thirteen Books of the Elements (3 vols.), Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover Publications, New York, 2nd edition, 1956.
Sinds Euclides zijn de eisen aan wiskundige gestrengheid aanzienlijk verscherpt. Het is voornamelijk de introductie van niet–euclidische meetkunden in de 19de eeuw die het grondslagenonderzoek heeft aangezwengeld. In 1899 pas schoof David Hilbert in zijn Grundlagen der Geometrie 20 axioma’s naar voor om de Euclidische meetkunde te grondvesten.
[2] Euclides gebruikte voor zijn constructies systematisch passer-en-liniaal, maar ook andere hulpmiddelen, zoals kegelsneden en andere krommen, werden in de Oud–
Griekse wiskunde voor allerhande constructies gebruikt. Reeds Plato (ca 425 – 347 v.o.t.) plaatste echter passer-en-liniaal “boven” alle andere hulpmiddelen, en Pappus van Alexandrië (ca 290 – ca 350 v.o.t.) bestempelde het gebruik van een neusisliniaal, zie [5], als het ook zonder kon, als een "niet onaanzienlijke fout".
Intrigerend is ook zgn. meccano–meetkunde ; zie hierover:
L. Hoevenaars, Constructies met passer en liniaal, origami en meccano, Hogeschool Utrecht.
[3] Er is nog een derde “klassieke” constructie die onuitvoerbaar is met passer–en–
liniaal: de zogenaamde kwadratuur van de cirkel, preciezer geformuleerd: construeer de zijde van een vierkant met dezelfde oppervlakte als die van een gegeven schijf. Indien het mogelijk ware deze constructie met passer–en–liniaal uit te voeren, dan zou het getal
algebraisch zijn, zie [4] voor het begrip algebraisch getal. Maar in 1882 bewees de Duitse wiskundige Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) dat transcendent is, i.e.
niet–algebraisch.
[4] Het bewijs dat de trisectie van een willekeuirge hoek onuitvoerbaar is met passer- en-liniaal is niet voor de hand liggend. Wantzel maakte gebruik van wat men nu in abstracte algebra veld-extensies noemt. Volgt nu een smaakmaker.
Een hoek α kan worden geconstrueerd met passer-en-liniaal als en slechts dan als een lijnstuk met lengte cos α kan worden geconstrueerd met passer-en-liniaal.
Een lijnstuk met lengte d kan worden geconstrueerd met passer-en-liniaal als en slechts dan als d een construeerbaar getal is.
Een getal wordt construeerbaar genoemd als het kan worden bekomen door optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deling en vierkantsworteltrekking van construeerbare getallen, waarbij het aantal bewerkingen eindig is. Hierbij worden de getallen 0 en 1 als construeerbaar ondersteld. Alle rationale getallen zijn dus construeerbaar.
Er kan worden aangetoond dat een construeerbaar getal algebraisch is, i.e. een oplossing van een veeltermvergelijking met rationale coëfficiënten, waarbij deze veelterm van zo laag mogelijke graad (de minimaalpolynoom), van graad een macht van 2 is (maar niet omgekeerd). Zo is het construeerbare getal √2 oplossing van de vergelijking x2−2=0, terwijl de minimaalpolynoom van ∛ 2 van de derde graad is, zodat
∛ 2 niet construeerbaar is.
Stellen we cos20° = x, dan volgt uit de gekende formule cos 3 = 4 cos3 - 3 cos , dat x oplossing is van de veeltermvergelijking 8x3−6x−1=0 . Het linkerlid van deze vergelijking zal de minimaalpolynoom van cos 20° = x zijn als deze vergelijking geen rationale wortel bezit. De mogelijke rationale oplossingen zijn (gelet op de hoogste graadscoëfficiënt 8 en de laagste graadscoëfficiënt 1): ±(1
8,1 4,1
2,1) en het kan meteen worden nagegaan dat deze rationale getallen geen wortel zijn. De minimaalpolynoom van cos20° is dus van de derde graad, wat maakt dat het getal cos20°
niet construeerbaar is.
Het is dus niet mogelijk om met passer-en-liniaal een hoek van 20° te construeren, zodat de trisectie van een hoek van 60° met louter passer-en-liniaal onuitvoerbaar is.
[5] A. Meskens, P. Tytgat, Met passer, liniaal en neusislat, Zebra-reeks, deel 41, Epsilon Uitgaven, Amsterdam, 2015, ISBN 978-90-5041-144-8.
[6] Het loont de moeite de website http://www.langorigami.com te consulteren.
[7] M. P. Beloch, Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi
geometrici, Periodico di Mathematiche Ser. 4, 16 (1936) 104–108.
[8] R. Geretschlager, Geometric Origami, Arbelos Publishing, Shipley, UK, 2008, ISBN 978- 0-9555477-1-3.
