MATHS Term PROBABILITES CORRIGES 1

1. PROBABILITES CONDITIONNELLES

Exercice 1.1

Un laboratoire a mis au point un éthylotest. On effectue des essais sur ce produit, à l'aide d'une population- test dont on sait que 2 % des personnes sont réellement en état d'ébriété (événement E). L'événement P désignera un contrôle positif à l'éthylotest.

Les premiers essais ont conduit aux résultats suivants :

- lorsqu'une personne est réellement en état d'ébriété, 95 fois sur 100 le test se révèle positif ; - lorsqu'une personne n'est pas en état d'ébriété, 96 fois sur 100 le test se révèle négatif.

1) Quelle est donc la probabilité pour qu'une personne soit réellement en état d'ébriété sachant que le contrôle par l'éthylotest a été positif sur cette personne ?

L’énoncé nous donne directement p(E) = 0,02 ; pE(P) = 0,95 ; ^pE

( )

^{P = 0,96.}

La question est de déterminer pP(E).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

^%

P

p P E p P E 0,02 0,95 0,019

p E 32,65

p P p P E p P E 0,02 0,95 0,98 0,04 0,0582

∩ ∩ ×

= = = = =

∩ + ∩ × + ×

2) Le fait d'être en état d'ébriété et le fait d'être contrôlé positif sont-ils indépendants ? deux façons de le voir :

* ^{p P}

(

^{∩ =E}

) ( ) ( )

^{p P ×p E} ? non : 0,019 ≠ 0,0582 × 0,02 * p PE

( )

=pE

( )

P ? non : 0,95 ≠ 0,04

Exercice 1.2

Une épreuve consiste à jeter une fléchette sur une cible partagée en trois cases notées 1, 2 et 3.

Deux concurrents A et B sont en présence.

Pour le concurrent A, les probabilités d'atteindre les cases 1, 2, 3 sont dans cet ordre : 1 1 7 , , 12 3 12. Pour le concurrent B, les trois éventualités sont équiprobables.

Les résultats demandés seront donnés sous forme de fractions irréductibles.

1) Le concurrent A lance la fléchette 3 fois.

Réaliser un arbre ici serait fastidieux (des probabilités invariables à chaque tir, 27 branches au 3^e niveau !). On essaiera de raisonner comme si cet arbre était représenté

a. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne chaque fois la case 3 ?

Seul un chemin de l’arbre conduit à cet événement.

(

^{3 3}

)

^{7 3 343}

12 1728

p Case  

= =  =

  .

b. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans cet ordre ? Seul un chemin de l’arbre conduit à cet événement.

(

¹²³

)

^{1 1 7 7}

12 3 12 432

p Cases = × × = . c. Quelle est la probabilité pour qu'il atteigne les cases 1, 2, 3 dans n'importe quel ordre ?

6 chemins correspondent à cet événement (les 6 permutations possibles 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Sur chaque chemin, les trois mêmes probabilités sont rencontrées : 1 1 7 , , 12 3 12.

(

¹²³

)

^{6 1 1 7 7}

12 3 12 72

p Cases sansordre = × × × =

2) On choisit un des deux concurrents. La probabilité de choisir A est le double de celle de choisir B.

a. Un seul lancer est effectué. Quelle est la probabilité pour que la case 3 soit atteinte ?

(

3

) (

3 A

) (

3 B

) ( )

A A

(

3

) ( )

B B

(

3

)

2 7 1 1 18 1

3 12 3 3 36 2

p Case = p Case ∩ +p Case ∩ = p ×p Case +p ×p Case

= × + × = =

b. Un seul lancer a été effectué, et la case 3 a été atteinte. Quelle est la probabilité pour que ce soit le concurrent A qui ait lancé la fléchette ?

( ) ( )

( )

3

2 7

3 A 3 12 14 7

A 3 1 18 9

2

2 7 1 1 18 1

3 12 3 3 36 2

Case

p Case

p p Case

∩ ×

= = = =

= × + × = =

2. LOIS DE PROBABILITES

Exercice 2.1 loi binomiale

Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition. Les règles sont les suivantes:

- Si les deux dés donnent le même numéro, alors le joueur perd 10 points

- Si les deux dés donnent deux numéros de parités différentes (l'un est pair et l'autre impair), il perd 5 points.

- Dans les autres cas il gagne 15 points.

1) Le joueur joue une fois. Donner la loi de probabilité de son gain, ainsi que son espérance de gain.

11 22 33 44 55 66 6/36 de perdre 10 points

12 21 14 41 16 61 32 23 34 43 36 63 52 25 54 45 56 65 18/36 de perdre 5 points 13 31 15 51 35 53 24 42 26 62 46 64 12/36 de gagner 15 points

E = (–60 – 90 + 180)/36 = 30/36 = 5/6. Son espérance est de gagner, sur le long terme, environ 0,833 point en moyenne par partie

2) Le joueur effectue 10 parties de suite. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres. On appelle alors X la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points.

a. Expliquez pourquoi X suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de X ?

Appelons « succès » le fait de gagner 15 point à l’issue d’un lancer de dés. Les lancers sont indépendants les uns des autres, donc la probabilité de succès est constante : 12/36 = 1/3.

La variable X compte le nombre de succès au bout de 10 lancers, elle est donc distribuée par B(10 ; 1/3).

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points ?

(

⁰

)

¹

(

⁰

)

^{1 2 10 0,9827}

p X ≥ = −p X = = −  3 ≈

  3) Le joueur joue n parties de suite.

a. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points ?

(

⁰

)

¹

(

⁰

)

^{1 2}₃ ⁿ

p X p X  

≥ = − = = − 

 

b. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins une fois 15 points est strictement supérieure à 0,9999 ?

( )

ln ln

0,0001

2 2

1 0,9999 0,0001 22,7

3 3 2

n n

    n

−   > ⇔   < ⇔ >   ≈

 

. Donc : au moins 23 lancers.

Exercice 2.2 loi normale

Dans un pays, la taille en cm des femmes de 18 à 65 ans peut être modélisée par une variable aléatoire X₁ suivant la loi normale d’espérance µ₁=165 cm et d’écart type σ₁=6 cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans par une variable aléatoire X₂ suivant la loi normale d’espérance µ₂ =175 cm et d’écart type σ₂=11 cm. Les résultats seront arrondis à 10^-3 près.

1) Quelle est la probabilité qu’une femme choisie au hasard mesure entre 153 cm et 177 cm ?

(

^{153 1 177}

)

^0,954

p <X < ≈

2) Quelle est la probabilité qu’un homme choisi au hasard mesure plus de 170 cm ?

(

^{2 170}

)

^0,675

p X > ≈

3) Dans ce pays, les femmes représentent 52% de la population des personnes de 18 à 65 ans. On choisit une personne au hasard, elle mesure plus de 170 cm. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?

Notons G l’événement « plus de 170 cm » et F l’événement « femme ». On cherche pG

( )

F .

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( ) ( )} ( ) ^{( ) ( )}

0,52 0,202

0,245 0,52 0,202 0,48 0,675

F G

F F

p F G p F G p F p G

p F

p G p F G p F G p F p G p F p G

∩ ∩ ×

= = =

∩ + ∩ × + ×

= × ≈

× + ×

4) On souhaite calculer la probabilité qu’une femme choisie au hasard soit plus grande qu’un homme choisi au hasard, soit ^{p X}

(

^1>X2

)

ou encore ^{p X}

(

^{1−X2 >0}

)

^.

a. On admettra que la variable Y =X₁−X₂ est distribuée par une loi normale de moyenne µ µ₁− ₂ et de variance σ² =σ₁²+σ₂². Donner les valeurs des paramètres de la loi de Y.

Espérance : 165 – 175 = –10 ; écart type : σ = σ₁²+σ₂² = 36 121+ ≈12,53. b. Donner alors ^{p Y}

(

^>0

)

, la probabilité recherchée.

Avec ces paramètres, et à l’aide de la calculatrice, ^{p Y}

(

^>0

)

^≈0,212. Il y a 21,2% de chances qu’une femme choisie au hasard soit plus grande qu’un homme choisi au hasard.

3. FLUCTUATION, ESTIMATION

Exercice 3.1 fluctuation

Un candidat a obtenu 55 % des suffrages exprimés à une élection nationale.

1) Donner l’intervalle de fluctuation, à 95% de confiance, de la proportion d’électeurs de ce candidat dans les échantillons de 100 personnes. Recommencer pour des échantillons de 2000 personnes.

95% des échantillons de 100 personnes montreront une fréquence d’électeurs de ce candidat dans l’intervalle :

( ) ( )

[ ]

1 1 0,55 0,45 0,55 0,45

1,96 ; 1,96 0,55 1,96 ; 0,55 1,96

100 100

0,4525 ; 0,6475

p p p p

p p

n n

 − − + −  = − × + × 

   

   

 

≈

2) Même question pour un échantillon de 2000 personnes.

Ici, la loi de P est

N

(0,55 ; 0,01112). p(P < 0,5) = 0,000003456

3) Combien de personnes faut-il interroger pour que la probabilité que moins de 50 % d'entre elles aient voté pour lui passe en-dessous de 1 % ?

Reprenons le raisonnement dans le sens contraire : p(U < -u0) < 0,01 signifie que p(U > u0) < 0,01, donc que p(U < u0) > 0,99 ce qui est vrai lorsque u0 vaut au moins 2,33.

Le changement de variable entre P et U est

0,55 0,45 U P

n π

= −

× .

Il faut donc que 0,05 0,55 0,45 2,33

2,33 0,55 0,45 537,46

2,33 0,05

0,55 0,45

P n n

n n

π

− < − ⇔ − > × ⇔ > × × ⇔ >

× −

Il faut interroger au moins 538 personnes pour que la probabilité que moins de 50% d'entre elles aient voté pour ce candidat passe en-dessous de 1%.

Exercice 3.2 loi exponentielle, loi normale, probabilités conditionnelles, estimation (bac 2015) Les résultats seront arrondis à 10^-3 près.

Partie 1

1) Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction f définie sur

[

^{0 ; + ∞}

[

^{par :}

( )

^{e x}

f x =λ ^−λ

a. Soit c et d deux réels tels que 0≤ ≤c d. Démontrer que la probabilité ^{p c}

(

^{≤ ≤X d}

)

vérifie :

( )

^{e c e d}

p c≤ ≤X d = ^−λ − ^−λ

( )

^{d e x.d e x d}c ^{e d}

(

^{e c}

)

^{e c e d}

c

p c≤ ≤X d =

∫

λ ^−λ x= −^ ^{−λ } = − ^−λ − − ^−λ = ^−λ − ^−λ

b. Déterminer une valeur de λ de telle sorte que la probabilité ^{p X}

(

^>20

)

soit égale à 0,05.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

.

ln ln

20 20

20 20

20

20 e d e 0 e e

20 0,05 e 0,05 20 0,05 0,05 0,150

20

x x

p X x

p X

λ λ λ λ

λ

λ

λ λ

+∞ − − +∞ − −

−

 

> = = −  = − − =

> = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ≈

−

∫

c. Donner l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.

( )

¹

E X

=λ

Dans la suite on prend λ ^{= 0,15.}

d. Calculer ^p

(

^{10≤ ≤X 20}

)

^.

voir question a. : ^{p c}

(

^{≤ ≤X d}

)

^{=e−0,15 10× −e−0 ,15 20× ≈0,173}

e. Calculer la probabilité de l’événement X >18. voir question b. : ^{p X}

(

^>18

)

^{=e− ×18 0 ,15≈0,067}

2) Soit Y une variable aléatoire qui suit une loi normale d’espérance 16 et d’écart type 1,95.

a. Calculer ^p

(

^{20≤ ≤Y 21}

)

^.

avec la calculatrice : ^p

(

^{20≤ ≤Y 21}

)

^≈0,015

b. Calculer ^{p Y}

( (

^<11

) (

^{∪ Y>21}

) )

^.

Partie 2

Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d’achat à ses clients privilégiés.

Chacun d’eux reçoit un bon d’achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.

Les bons d’achat sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

6,7% des bons verts prennent la valeur de 30 euros, 1,5% des bons rouges prennent la valeur de 30 euros, 1%

des bons rouges prennent la valeur de 100 euros. Les autres bons sont de bons verts d’une valeur comprise entre 0 et 15 euros ou des bons rouges présentant des valeurs comprises entre 10 et 20 euros.

1) Calculer la probabilité d’avoir un bon d’achat supérieur ou égal à 30 euros sachant qu’il est rouge.

Notons S l’événement « le bon contient une valeur supérieure ou égale à 30 € » et R l’événement « le bon est rouge ». On cherche à déterminer pR

( )

S . L’énoncé nous précise les choses au sein des bons rouges : On a : pR

( )

S =^1,5%+^1%=^0,025.

2) Montrer que la probabilité d’avoir un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 € vaut environ 0,057. Dans la question suivante, on utilisera cette valeur.

( ) ( ) ( ) ^{( )}

^R

^{( )} ( )

^R

^{( )}

¹₄ ^{0,025 3}₄ ^{0,067 0,0565 0,057}

p S = p S∩R +p S∩R = p R ×p S + p R ×p S = × + × = ≈

3) Dans un des magasins de cette chaîne, sur 200 clients privilégiés, 6 ont reçu un bon d’achat d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros. Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d’achat dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?

La proportion p de bons émis, d’une valeur supérieure ou égale à 30 euros, est 0,057.

En prenant un échantillon de 200 bons au hasard, la proportion f (fréquence) de tels bons a 95% de chances de se trouver dans l’intervalle ^{0,057 1 ; 0,057 1}

[

0,014 ; 0,128

]

200 200

 

− + ≈ −

 

  .

La proportion f observée dans le magasin est 6

200=0,03, résultat tout à fait banal compte tenu de l’intervalle précédent. Ses doutes ne sont pas justifiés.