Cours de logique
Roland Christophe 8 septembre 2008
Table des mati` eres
1 Qu’est ce que la logique ? 2
1.1 D´efinition . . . 2
1.2 Le concept de th´eorie en math´ematique . . . 2
1.2.1 Les d´efinitions . . . 2
1.2.2 Les axiomes . . . 2
1.2.3 Les th´eor`emes . . . 4
1.3 Bref historique . . . 4
2 Le langage formel 5 2.1 Introduction . . . 5
2.2 Langage formel et langage naturel . . . 5
2.3 D´efinition . . . 5
3 Introduction au calcul des propositions 6 3.1 Introduction . . . 6
3.2 Connecteurs logiques . . . 7
3.2.1 Le connecteur «Non» (n´egation) . . . 7
3.2.2 Le connecteur «ou» (disjonction) . . . 7
3.2.3 Le connecteur «et» (conjonction) . . . 8
3.2.4 Le connecteur «si... alors»(conditionnel mat´eriel) . . 8
3.2.5 Le connecteur «est ´equivalent `a» . . . 8
3.2.6 D’autres connecteurs . . . 9
3.3 Langage de la logique propositionnelle . . . 9
4 Tautologies 10 4.1 D´efinition . . . 10
4.2 Tautologies remarquables . . . 11
5 Calcul des pr´edicats 12 5.1 Les pr´edicats . . . 12
5.2 Quantificateurs existenciels et universels . . . 13
5.2.1 Le quantificateur existenciel . . . 13
5.2.2 Le quantificateur universel . . . 13
5.3 Alphabet et syntaxe . . . 14
5.4 Egalit´´ e . . . 15
1 Qu’est ce que la logique ?
1.1 D´efinition
La logique vient du grecque «logos»qui signifie«parole, discours», et par extension«rationalit´e», la logique est donc la science de la raison. Plus pr´ecis´ement, c’est la sciences qui ´etudie les r`egles que doivent respecter tout raisonnement valide, qui permet de distinguer un raisonnement valide d’un raisonnement qui ne l’est pas.
1.2 Le concept de th´eorie en math´ematique
Un premier concept important en logique est le concept deth´eorie. Une th´eorie est un ensemble de d´efinitions, d’axiomes (on vera un peu plus tard ce concept), de th´eor`emes,... qui traite d’un sujet particulier.
1.2.1 Les d´efinitions
Un ´el´ement important d’une th´eorie sont les d´efinitions. Formellement, une d´efinition est un ´enonc´e qui introduit un nouveau symbole appel´eterme a partir d’une suite de symboles d´ej`a connus, appell´e assemblage. On vera en effet plus loin que nous utiliserons un langage symbolique. Toutefois, on ne peut utiliser exclusivement les symboles pour des raisons pratiques : une d´efinition utilisant les symboles logiques exclusivement est tr`es«lourde» `a lire, on utilise alors le langage courant. Toutefois, pour ne pas perdre toute la rigueur de ces d´efinitions, on utilise souvent les deux sortes de d´efinition (par le langage courant et par le langage math´ematique).
1.2.2 Les axiomes
Ce qui forme la base d’une th´eorie (le point de d´epart), sont lesaxiomes.
Ce sont simplement des affirmations que l’on tient pour vrai. Il est d’ailleurs inutile de contester la v´eracit´e d’un axiome : un axiome est toujours vrai, par d´efinition. L’ensemble des axiomes d’une th´eorie s’appelleaxiomatique.
La seule contrainte est que les axiomes ne doivent pas se contredire (ce qui est logique mais c’est important). Aucun axiome ne peut ˆetre remis en cause dans la th´eorie, sans quoi on dira que cette th´eorie est inconsistante.
Les philosophes grecques avait une d´efinition quelque peu diff´erente de l’axiome : un axiome est une v´erit´e que l’on ne d´emontre pas car ´evidente en soi. Cette mani`ere de voir les choses pose probl`eme : comment quelque chose peut il ˆetre«´evident»? Pourquoi cet axiome est vrai ? N’aurait il pas pu ˆetre faux ?
La c´el`ebre histoire du cinqui`eme axiome d’Euclide r´epond `a cette ques- tion. Rappelons tout d’abord de quoi il s’agit.
Euclide a ´enonc´e cinq axiomes comme base de la g´eom´etrie :
1. par deux points, il passe une et une seul droite,
2. un segment de droite peut ˆetre prolong´e ind´efiniment en une droite, 3. ´etant donn´e deux points quelconquesAetB, un cercle peut ˆetre trac´e
en prenantA comme centre et passant parB, 4. tous les angles droits sont ´egaux entre eux,
5. par un point ext´erieur `a une droite, on peut mener une et une seule parall`ele `a cette droite.
C’est le cinqui`eme axiome qui finit par poser probl`eme. Sans vouloir le remettre en cause, les math´ematiciens pensaient qu’il ´etait inutile car il pouvait se d´emontrer `a partir des autres. Cependant, toutes les tentatives pour d´emontrer cet axiome ont ´echou´e. Les math´ematiciens ont eu alors une id´ee : ils ont tent´es de voir ce qui ce passait si on r´efutait cet axiome, c’est
`
a dire que l’on le consid`ere comme faux. Ils esp´eraient ainsi aboutir `a une contradiction ce qui aurait du mˆeme coup montr´e la validit´e de l’axiome (qui n’en serait plus vraiment un puisque d´emontr´e). Sans succ`es.
Plusieurs math´ematiciens ont commenc´e `a entrevoir la solution comme Gauss et Lobachevsky. Celui ci s’amusa `a remplacer le cinqui`eme axiome par ceci : par un point ext´erieur `a une droite, on peut mener deux parall`eles `a cette droite. Il d´eveloppe `a partir de ¸ca toute une g´eom´etrie coh´erente mais tout `a fait diff´erente de celle d’Euclide. C’est un exemple de g´eom´etrienon- euclidienne. Il exite diff´erentes sortes de g´eom´etrie non-euclidienne, l’id´ee de Lobachevsky conduit `a une g´eom´etrie hyperbolique.
Voici un exemple de repr´esentation tir´e de wikipedia :
On voit bien sur cette image que l’espace sur lequel on travaille n’est pas plat : c’est pourquoi la g´eom´etrie n’est pas euclidienne.
L’interˆet de tout ce qui a ´et´e dit ici est que le concept antique d’axiome n’est pas le bon. Il semblait«´evident»que le cinqui`eme d’axiome d’Euclide est vrai alors quel’on peut tr`es bien dire qu’il soit fauxet avoir toutefois une g´eom´etrie coh´erente. La plus belle preuve est qu’Einstein a montr´e que les g´eom´etrie non-euclidienne ont un sens physique puisque l’espace dans lequel nous vivons est courb´e dans un champ de gravitation : si vous dessiner un triangle et que vous ˆetes capable de mesurer ses angles avec une pr´ecision extraordinaire (ce qui est en pratique malheureusement impossible), vous ve- rez que la somme des angles ne vaut pas exactement 180 degr´es, la diff´erence sera infime mais r´eelle.
La morale de l’histoire : il n’existe aucune v´erit´e ´evidente par elle mˆeme en math´ematique, un axiome n’est pas vrai parce qu’il est vrai mais vrai parce que l’on a d´ecid´e qu’il soit vrai.
1.2.3 Les th´eor`emes
Maintenant, `a partir de ces axiomes, on peut en tirer desth´eor`emes. Un th´eor`eme est une assertion vraie qui est d´emontr´e `a partir des axiomes (ou
`
a partir d’autres th´eor`emes eux mˆeme d´emontr´e par des axiomes mais cela revient au mˆeme). Un th´eor`eme n´ecessite donc une d´emontration. En plus de la notion de th´eor`eme, on a les notion suivante (moins souvent utilis´ees) : 1. lemme : un lemme est une assertion que l’on d´emontre qui sert `a la d´emonstration d’un th´eor`eme plus important (ou parfois on utilise ce terme pour parler d’un th´eor`eme d’une moindre importance),
2. conjecture : proposition math´ematique que l’on suppose vrai mais sans avoir ´et´e d´emontr´e (donc pas forc´ement vrai, mais quand mˆeme avec une forte probabilit´e), une conjecture d´emontr´e devient un th´eor`eme, 3. corollaire : un corollaire est une cons´equence imm´ediate d’un th´eor`eme
d´emontr´e.
1.3 Bref historique
Les philosophes de la Gr`ece Antique ont pos´es les fondements de la lo- gique. En particuliers, Aristote expose les bases de la logique dans son ou- vrage «Organon». La logique d’Aristote va ˆetre enseign´es pendant tr`es longtemps, elle pr´edomine jusqu’au Moyen `Ages au moins, et ce n’est que tr`es r´ecemment qu’est apparu la logique moderne.
C’est Frege qui a pos´e les bases de la logique moderne. La diff´erence essentielle par rapport `a la logique d’Aristote est que Frege a une approche math´ematique de la logique, alors que la logique d’Aristote est teint´ee de Philosophie. Il va ainsi d´evelopper la logique des propositions et la logique des pr´edicats que nous verront plus loin.
Alors qu’Aristote se servait du langage courant pour faire des raison- nements logiques, Frege se sert d’un langage symbolique : l’id´eographie.
Leibniz avait d´ej`a tent´e de cr´eer un langage logique qu’il appelait «la ca- ract´eristique universelle» malheuresement sans succ`es, et il n’aboutit pas
`
a quelque chose qui puisse le satisfaire. Aujourd’hui le langage logique mo- derne n’est pas l’id´eographie qui n’est plus utilis´e, mais certains symboles sont d´eriv´es de ce langage.
Nous allons donc commencer par tenter de pr´eciser la notion de langage en math´ematique pour comprendre son interˆet.
2 Le langage formel
2.1 Introduction
L’id´ee d’utiliser un langage symbolique permet de simplifier beaucoup de choses en math´ematique. On peut donner un exemple simple : supposons que nous devions calculer «la somme de la racine carr´e du quotient de 27 par 3 et du produit de 2 et 7», on comprend tout de suite qu’on y voit plus clair en ´ecrivant :
r27 3 + 2·7 2.2 Langage formel et langage naturel
On va donc adapter cette id´ee `a la logique mais avant cela, il faut pr´eciser ce que l’on entend par«langage». Il faut d’abord distinguer lelangage na- tureldulangage formel. Le langage naturel est le langage que nous utilisons dans la vie de tout les jours, qui a deux inconv´enients majeurs quand on l’utilise en math´ematique :
1. la complexit´e des phrases qui rend les choses plus compliqu´es, il faut parfois plusieurs lignes et une phrase compl`etement incompr´ehensible, pour dire quelque chose qui peut se r´esumer par une simple ´equation, 2. le fait que les ambiguit´es du langage courant peuvent conduire `a des erreurs, et surtout une preuve se doit indiscutable par d´efinition, ce qui est impossible lorsqu’il y a ambiguit´es.
2.3 D´efinition
Lorsque l’on d´efinit un langage formel, on doit d´efinir deux choses qui caract´erisent ce langage :
1. un alphabet c`ad un ensemble de symboles (comme dans le cas des langages naturels),
2. une syntaxe c`ad un ensembles de r`egles qui d´efinit quels mots appar- tiennent au langage formel.
Il reste `a pr´eciser ce qu’en un mot, c’est tr`es simple : un mot (on dit aussichaˆıne de caract`ere) est une suite ordonn´ee de symboles, ces symboles appartenant `a un alphabet.
Nous pouvons donc d´efinir ce qu’est un langage formel :
Unlangage formelest un ensemble de mots de longueur finie d´efini par un alphabet et une syntaxe.
On peut donner un exemple pour y voir plus clair et d´efinir un langage formel simple : on va prendre un alphabet et une syntaxe quelconque, ne voyez aucune logique particuli`ere dans le choix de l’alphabet et de la syntaxe.
L’alphabet du langage est l’ensemble contenant les ´el´ements suivants : A, B, C,+,=.
la syntaxe sera compos´es des r`egles suivantes : 1. aucun mot ne peut commencer ou terminer par =, 2. aucun mot ne peut commencer ou terminer par +, 3. dans chaque mot, on a un et un seul symbole«=»,
4. si on choisit deux symboles cons´ecutifs dans un mot, l’un des deux est une lettre et pas l’autre.
Par exemple, A +B +C = A+C est un mot possible, par contre,
= +A+ +BC ne l’est pas.
Nous allons appliquer tout cela `a la logique, en faisant attention au fait que l’on dira des«formules»au lieu de dire des «mots».
3 Introduction au calcul des propositions
3.1 Introduction
La notion de«proposition»est fondamentale en logique et d´ej`a pr´esente dans la logique d’Aristote. On peut d´efinir cette notion tr`es facilement : une proposition est tout simplement une affirmation. Il faut faire attention que cette affirmation puisse ˆetre vrai ou fausse, par exemple «je mens» n’est pas une proposition, en effet, si quelqu’un dit «je mens», alors si il dit la v´erit´e il ment et si il ment il dit la v´erit´e. C’est le paradoxe du menteur.
Il faut donc avoir des affirmations qui puissent ˆetre soit compl`etement vraies, soit compl`etement fausses. Par exemple, «Il pleut» peut ˆetre vrai ou faux mais pas autre chose, cette phrase peut donc ˆetre consid´er´ee comme une proposition. On laisse donc de cˆot´e pour l’instant les phrase qui ne sont ni tout `a fait vrai ni tout `a fait fausse.
Des deux remarques pr´ec´edentes, on peut d´eduire un principe fondamen- tal pour la logique, qu’on appellele principe du tiers exclu: une proposition est soit vraie soit fausse mais pas autre chose. On dit que la «valeur de v´erit´e»d’une proposition est«vraie» ou«fausse».
Puisque nous voulons adopter un langage symbolique, nous devons notez les propositions par un simple symbole, en r`egle g´en´eral, une proposition est not´ee avec une lettre majuscule. Comme nous avons dit que les mots du langage de la logique sont appel´es des formules, on dira que les propositions sont des formules.
3.2 Connecteurs logiques
Le notion de connecteur logiqueest d´ej`a pr´esente dans la logique d’Aris- tote. C’est une notion qui apparait naturellement lorsque l’on tente de faire des raisonnements.
Prenons un exemple. Consid´erons deux propositions A et B. On peut imaginer que de A on peut d´eduire B, c’est `a dire que si A est vrai, alors B est vrai lui aussi. On ´ecrit alors :«siA alorsB». Mais on a alors que la phrase«si Aalors B» peut ˆetre vrai ou fausse.
En effet, si A veut dire «ceci un cobra» et B veut dire «ceci est un serpent», alors«siAalorsB»veut dire«si ceci un cobra alors ceci est un serpent» ce qui est vrai. Mais on peut imaginer que A veut dire «ceci est un tigre»et alors«siA alorsB »devient faux.
On comprend alors que lorsque l’on combine des propositions de cette mani`ere, on obtient des phrases qui ont aussi une valeur de v´erit´e, le principe du tiers exclu s’applique aussi `a ces phrases. On va dire que ces phrases sont aussi des formules. On dit que ce sont desformules compos´eesalors que les propositions sont des formules atomiques.
Les mots«si»et«alors» sont des connecteurs logiques (en fait il n’en forment qu’un puisqu’on les utilisent ensembles). Nous allons maintenant en voir d’autres et chaque connecteur sera repr´esent´e par un symbole diff´erent.
3.2.1 Le connecteur «Non» (n´egation)
C’est le connecteur le plus simple de tous. Consid´erons une proposition A. La proposition «non A» est vrai si A est faux, et fausse si A est vrai.
Ce connecteur s’´ecrit symboliquement ¬.
On peut illustrer cela dans un tableau que l’on appelle«table de v´erit´e»: A ¬A
V F
F V
3.2.2 Le connecteur «ou» (disjonction)
Ce connecteur permet de former des formules comme«A ouB»mais il faut faire attention que siA etB sont tout les deux vrais alors«A ou B » est vrai aussi. Ce connecteur s’´ecrit∨.
On a donc la table de v´erit´e :
A B A∨B
V V V
V F V
F V V
F F F
On a queA∨B est faux si A et B sont tout les deux faux, vrai dans tout les autres cas.
3.2.3 Le connecteur «et» (conjonction)
Ce connecteur permet de former des formules comme «A et B», il est repr´esent´e par le symbole∧.
A B A∧B
V V V
V F F
F V F
F F F
A∧B est vrai si A et B sont tout les deux vrais, faux dans tout les autre cas.
3.2.4 Le connecteur «si... alors» (conditionnel mat´eriel) Il est repr´esent´e par le symbole :⇒.
A B A⇒B
V V V
V F F
F V V
F F V
«siAalorsB» veut dire que siA est vrai,B l’est n´ecessairement aussi. La seule mani`ere de contrarier A⇒B est d’avoir B faux alors queA est vrai.
3.2.5 Le connecteur «est ´equivalent `a»
Le connecteur «´equivalence» s’´ecrit symboliquement :⇔ et veut dire :
«`a la la mˆeme valeur de v´erit´e que».
A B A⇔B
V V V
V F F
F V F
F F V
3.2.6 D’autres connecteurs
Ces connecteurs ne sont pas ou peu utilis´es en math´ematique, mais plutˆot en ´electronique et en informatique. Comme on les utilise surtout en infor- matique, on utilise le «1» `a la place du «V» et le «0» `a la place du
«F».
Les «portes logiques» correspondent `a ces connecteurs. La porte NOT est le«non»logique, la porte AND est le«et»et la porte OR est le«ou».
On trouve aussi la porte NOR (NOT OR) :
A B A NOR B
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
La porte XOR (ou exclusif) :
A B A XOR B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
La porte NAND (NOT AND) :
A B A NAND B
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 1
3.3 Langage de la logique propositionnelle
On peut maintenant d´efinir le langage de la logique des propositions.
On doit donc inclure les propositions (formules atomiques) ainsi toutes les formules compos´ees possibles.
L’alphabet de la logique propositionnelle est constitu´e : 1. d’un ensemble de formules atomiques,
2. des connecteurs ¬,∨,∧,⇒,⇔,
3. des s´eparateurs (parenth`eses) : «(»et«)».
Les parenth`eses sont utiles dans les formules logiques car il faut se rendre compte par exemple que la formule ¬A ∨B est diff´erente de la formule
¬(A∨B).
On peut ensuite d´efinir la syntaxe :
Syntaxe : l’ensemble des formules de la logique est le plus petit ensemble tel que :
– si A est une formule atomique alorsA est une formule, – si A est une formule, alors¬A est une formule,
– siAetB sont des formules, alors (A∨B) est une formule, – siAetB sont des formules, alors (A∧B) est une formule, – siAetBsont des formules, alors (A⇒B) est une formule, – siAetBsont des formules, alors (A⇔B) est une formule.
Petite remarque : pourquoi dit-on dans la d´efinition : «le plus petit ensemble»? L’explication est simple. Si on avait la mˆeme d´efinition mais sans pr´eciser cela, on ne saurait pas par exemple, si la formule A∨ ∧B est valide ou pas. En effet, la d´efinition n’implique pas que cette formule existe, mais ne l’interdit pas non plus. C’est pour cela que l’on pr´ecise «le plus petit ensemble», sinon la d´efinition ne serait pas correcte.
4 Tautologies
4.1 D´efinition
Une tautologie est une formule qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de v´erit´e des formules atomiques qui la compose. On dit aussi une formule valide.
Exemples :
A ⇒ A est une tautologie : que A soit vrai ou faux, cette formule est toujours vrai. On peut le d´emontrer avec une table de v´erit´e.
A A⇒A
V V
F V
A∨ ¬A (principe du tiers exclu) est une tautologie : on peut le d´emontrer avec une table de v´erit´e.
A ¬A A∨ ¬A
V F V
F V V
On voit donc ici la m´ethode de d´emonstration avec une table de v´erit´e : la derni`ere colonne ne contient que des «V», c’est donc que la formule est valide (puisqu’ elle est vrai tout le temps).
4.2 Tautologies remarquables
Voici maintenant une liste de tautologie. Elle peuvent parfois ˆetre utiles pour simplifer une formule. En effet, siA etB sont des formules et que l’on aA⇔B, on peut remplacerA parB ou B parA.
Identit´e A⇔A Double n´egation
A⇔ ¬¬A Idempotence A⇔(A∨A) A⇔(A∧A) Commutativit´e A∨B ⇔B∨A A∧B ⇔B∧A Associativit´e
(A∨(B∨C))⇔((A∨B)∨C) (A∧(B∧C))⇔((A∧B)∧C)
Distributivit´e
(A∨(B∧C))⇔((A∨B)∧(A∨C)) (A∧(B∨C))⇔((A∧B)∨(A∧C))
Absorption (A∨(A∧B))⇔A (A∧(A∨B))⇔A Loi de De Morgan
¬(A∨B)⇔(¬A∧ ¬B)
¬(A∧B)⇔(¬A∨ ¬B) Conditionnel mat´eriel (A⇒B)⇔(¬A∨B) (A⇒B)⇔ ¬(A∧ ¬B)
Contraposition (A⇒B)⇔(¬B ⇒ ¬A)
Equivalence mat´` erielle
(A⇔B)⇔(A⇒B)∧(B ⇒A) (A⇔B)⇔(A∧B)∨(¬A∧ ¬B)
Exportation-importation ((A∧B)⇒C)⇔(A⇒(B ⇒C))
Pour compl´eter, on peut lister une s´erie de tautologie qui ne sont pas des
´equivalences (c’est `a dire sans le symbole ⇔) : Identit´e
A⇒A Tiers exclu
A∨ ¬A Loi de Peirce ((A⇒B)⇒A)⇒A
Modus Ponens (A⇒B)∧A⇒B
Modus Tollens (A⇒B)∧ ¬B ⇒ ¬A
Modus Barbara
(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)
5 Calcul des pr´ edicats
5.1 Les pr´edicats
Nous avons vu la logique propositionnelle (bas´ee sur les propositions) qui nous a permi de mettre au point une premi`ere«th´eorie du raisonnement».
Le calcul des propositions montre cependant bien vite ses limites.
En effet, prenons, par exemple, un raisonnement logique extrˆemement connu :
1. Tout les hommes sont mortels, 2. Socrate est un homme,
3. Donc, Socrate est mortel.
Il s’agit d’un syllogisme. Ce genre de raisonnement ne peut se faire avec de simples propositions. Il faut donc aller plus loin que le simple calcul des propositions.
Nous n’allons plus nous contenter de simples propositions (formules ato- miques), mais nous allons introduire un nouveau type de formule logique : le pr´edicat.
D´efinition : un pr´edicat est une formule logique qui d´epent d’une variable libre
Exemple : «x est un nombre entier» est un pr´edicat. Remarquez que lorsque que nous utilisions une proposition, nous nous contentions de lui mettre une valeur de v´erit´e «vrai» ou «faux», ici, cette valeur de v´erit´e d´epent de la valeur dex.
Puisqu’un pr´edicat d´epent d’une variable x, nous les noterons souvent P(x).
5.2 Quantificateurs existenciels et universels
Les diff´erents connecteurs vu pr´ec´edemment restent tout `a fait d’actua- lit´e. Mais pour le calcul des pr´edicats, nous devons introduire deux nou- vreaux symboles : ce sont des quantificateurs.
5.2.1 Le quantificateur existenciel
Ce quantificateur signifie : «il existe» ou plus pr´ecis´ement : «il existe au moins un» et est not´e ∃. On peut ´ecrire :
∃xP(x)
Et on doit comprendre :«il existe au moins unx tel queP(x) soit vrai».
On peut ´ecrire aussi :
∃!xP(x)
Et on doit comprendre :«il existe un et un seulx tel queP(x) soit vrai».
5.2.2 Le quantificateur universel
Ce quantificateur signifie«quelque soit»et est not´e∀. On peut ´ecrire :
∀xP(x)
Et on doit comprendre :«quelque soitx,P(x) est vrai».
On va donc construire une logique plus ´elabor´ee, le calcul des pr´edicats, ou logique du premier ordre dont l’alphabet est le mˆeme que la logique des propositions, sauf que l’on ajoute les symboles«∀» et«∃»(plus d’autres
symboles pour les variables). On utilise aussi parfois le calcul des pr´edicats
´egalitaire o`u l’on ajoute en plus le symbole d’´egalit´e «=».
Il faut maintenant remarquer que les variables que nous allons utilisez (ce que nous avons not´ex) ne sont pas des formules car n’ont pas de valeur de v´erit´e. On devra donc d´efinir une autre notion en plus de celle de formule dans le langage de la logique, la notion determe. Par exemple, une variable sera un terme.
On peut aussi imaginer qu’un terme puisse d´ependre d’une variable.
Par exemple, si x est une variable, on ´ecrira le terme comme ceci : f(x) pour montrer que le terme d´epend de la variable. Attention,f n’est pas un pr´edicat, sinon f(x) serait une formule et non un terme. On dit que f est une fonction.
5.3 Alphabet et syntaxe
Avant de d´efinir l’alphabet, il est peut ˆetre utile de d´efinir la notion d’arit´e. On a vu que l’on utilise des formulations comme P(x) pour les pr´edicats, dans ce cas l`a, on dit que l’arit´e deP est 1 car il ne d´epent que d’une seule variable :x. Mais on peut avoir des pr´edicats qui d´ependent de deux variables x et y, et on ´ecrit P(x, y) et dans ce cas l’arit´e de P est 2.
On peut aussi avoir un pr´edicat d’arit´e z´ero (not´e simplement P), et on a tout simplement une proposition.
Le langage de la logique du premier ordre est constitu´e des ensembles suivants :
1. un ensemble infini de symboles appel´es pr´edicats d’arit´e 0,1,2, ..., n (n est entier positif) - dans le cas particuliers oun= 0 on dit qu’on a uneproposition, 2. un ensemble infini de symboles appel´es fonctions
d’arit´e 0,1,2, ..., n (n est entier positif) - dans le cas particuliers oun= 0 on dit qu’on a uneconstante, 3. un ensemble infini de symboles appel´esvariables- que
l’on note souvent avec une lettre minuscule (ce que nous avions not´e x dans l’introduction),
4. l’ensemble des symboles logiques et les parenth`ese :
¬,∨,∧,⇒,⇔,∀,∃,”(”,”)”
Il reste `a d´efinir la syntaxe. Il faut rappeler que si pour le cas la lo- gique des propositions on avait uniquement des formules, on a deux notions distinctes en logique des pr´edicats : les formules et les termes.
L’ensemble des termes est le plus petit ensemble de mots construits sur l’alphabet de la logique des pr´edicats tel que :
1. toute variable est un terme, 2. toute constante est un terme,
3. si t1, t2, ..., tn sont des termes, alors si f est une fonc- tion d’arit´e n,f(t1, t2, ..., tn) est un terme.
L’ensemble des formulesest le plus petit ensemble de mots construits sur l’alphabet de la logique des pr´edicats tel que :
1. toute proposition est une formule,
2. sit1, t2, ..., tnsont des termes, alors siP est un pr´edicat d’arit´e n,P(t1, t2, ..., tn) est une formule,
3. siA est une formule, alors ¬A est une formule, 4. si A et B sont des formules, alors (A∨ B) est une
formule,
5. si A et B sont des formules, alors (A∧ B) est une formule,
6. si A et B sont des formules, alors (A ⇒ B) est une formule,
7. si A et B sont des formules, alors (A ⇔ B) est une formule,
8. Si A est une formule etxest une variable,∀xAest une formule,
9. Si A est une formule etxest une variable,∃xAest une formule.
Remarque : on utilise des symboles de ponctuations comme«,»et par- fois« :» qui ne font pas partie de l’alphabet mais qui servent `a la lisibilit´e.
Par exemple, on devrait ´ecrire, si on veut ˆetre vraiment stricte, P(t1t2t3) au lieu de P(t1, t2, t3) ou encore ou ne devrait pas ecrire ∀x, y, z, P(x, y, z) mais plutˆot : ∀x∀y∀zP(xyz). On s’autorise malgr´e tout ce (l´eger) abus de notation, car cela deviendrait tr`es vite illisible.
5.4 Egalit´´ e
On a dit pr´ec´edemment que l’on pouvait ajouter le symbole«=»(c’est un pr´edicat) `a l’alphabet pour obtenir la logique des pr´edicats ´egalitaire.
C’est tr`es simple.
Il faut modifier l´eg´erement la syntaxe pour cela, on ajoute une r`egle syntaxique :
Sit1 ett2 sont des termes, alorst1 =t2 est une formule.
Et nous avons de plus les deux axiomes suivants : 1. r´eflexivit´e : ∀x, x=x,
2. sch´ema d’axiomes de Leibniz :
∀a1, ..., an,∀x,∀y,(x=y⇒(P(x, a1, ..., an)⇒P(y, a1, ..., an))) Une explication s’impose pour comprendre le sch´ema d’axiomes de Leib- niz. Celui exprime en fait que si x = y alors «x et y ont les mˆemes pro- pri´et´es». En effet, supposons que nous avons un pr´edicatsP ayantxcomme argument plus d’autres param`etres ´eventuels a1, ..., an (on va donc noter P(x, a1, ..., an)) alors, si cette formule est vraie,P(y, a1, ..., an) est vrai aussi.
On a donc bien que : x=y⇒(P(x, a1, ..., an)⇒P(y, a1, ..., an)).
On dit«sch´ema d’axiomes»car il y a en r´ealit´e autant d’axiomes que de pr´edicatsP possibles : si on veut parler de mani`ere stricte, il y a un nombre infini d’axiomes. Remarquez qu’on ne peut rajouter∀P devant l’axiome pour contourner le«probl`eme»car on cela est interdit (voir syntaxe).
A partir de cet axiome, on peut d´` eduire deux th´eor`emes sur l’´egalit´e : 1. sym´etrie : ∀x,∀y, x=y⇒y=x,
2. transitivit´e : ∀x,∀y,∀z,(x=y∧y=z)⇒x=z.
