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Programme de calcul des contraintes par la méthode des
éléments finis : application au cas d’un cristal dans une
matrice isotrope
Marc Chabaud
To cite this version:
Marc Chabaud. Programme de calcul des contraintes par la méthode des éléments finis : application au cas d’un cristal dans une matrice isotrope. Autre [condmat.other]. Université Paul Verlaine -Metz, 1973. Français. �NNT : 1973METZ002S�. �tel-01775537�
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THÈSE
s/45-Ys/z
J u r x .
présentée
A L'U.E.R. " SCIENCES EXACTES ET NATURELLES, DE L'UNIVERSITË DE METZ
pour obtenir le titre de
DOCTEUR
- INGENIEUR
p a r
Marc
CHABAUD
A s s i s t a n t à l ' l . U . T . d e M e t z
PROGRAMME DE CALCUL DES CONTRAINTES
PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS.
APPLICATION
AU CAS D'UN CRISTAL DANS
UNE MATRICE ISOTROPE.
soutenue le 2 Juin rg73 devant ra commiesion dreramen : P r é s i d e n t : E x a m i n a t e u r s : R. BARO J. D. WEBER C. CARABATOS J. GREMILLARD R. CHALEAT
573oo6s i
U N ] V E R S T T E D E M E T Z P r é s i d e n t : M . L O N C H A I I I P J . p . U . E . R . " S c i e n c e s E x a c t e s e t N a t u r e l l e s " D i r e c t e u r : M . B L O C H J . I v l . P R O F E S S E U R S : . M. LONCHAMP - M . B A R O R . - }Ime CÀGNIANT D. - M . L E R A Y J . - M . B L O C H J . M . - M . P E L T J . M . I " I A I T R E S DE CONFERENCES z - M . K L E T M R . - M . C E R T I E R M . - M . C H A R L I E R A . - M. TAVARD C. - M . W E B E R J . D . . M. WETL I\,1. . M. WENDLING E. - M. BAUDELET B. - M. CARABATOS C. - }{. FALLER P. . M . J O U A N Y J . M . . M . R H T N G . - ltme SEC A.
I"IAITRE DE CONFERENCES ASSOCTE :
- M . Y U E N P . C H À R G E DIENSETGNEMENT : T . T . P . P h y s i q u e T . P h y s i q u e P . S . C . C h i m i e P . S . C . P h y s i q u e T . C h i m i e T . B i o l o g i e V é g é t a l e P h y s i q u e P h y s i q u e P h y s i q u e P h y s i q u e M é c a n i g u e Mathématique C h i m i e P h y s i q u e P h y s i q u e C h i m i e T o x i c o l o g i e l"lathématique MaÈhématique Ivlathématique - M . M O R I N B . ooOoo Mathématique
A V A N T - P R O P O S L e p r é s e n t t r a v a i l a é t é r é a l i s é a u L a b o r a t o i r e d e M é t a l l u r g i e S t r u c t u r a l e d e l r U n i v e r s i t é d e M E T Z . J e r e m e r c i e s o n D i r e c t e u r , M o n s i e u r l e P r o f e s s e u r R . B A R O d e m t a v o i r a c c u e i l l i d a n s s o n é q u i p e . J e l u i e x p r i m e é g a l e m e n È m a p r o f o n d e g r a Ë i t u d e p o u r l r a i d e o _ u r i 1 m t a a p p o r t é e e È p o u r l r i n t é r ê t q u r i l a p o r t é à c e p r o b l è m e .
J e r e m e r c i e crès vivement. l{essl'eurs les Professeurs CHALEAT e t G R E M T L L A R D , d e l a F a c u l t é des sciences de BESANçON, d e l e u r p a r t i c i -p a t i o n à c e j u r y .
M e s r e m e r c i e m e n t s vont aussi à Messieurs C. CARABA'IOS e È J . I , f E B E R p o u r l r i n t é r ê t q u ' i l s o n t b i e n v o u l u p o r t e r à c e t r a v a i l , l e u r a i d e p r é c i e u s e e t l e u r p â r t i c i p a t i o n à m o n j u r y .
Q u e M e s s i e u r s Q U I N T I N , S I M O N e t P I G N O N q u i m'ont aidé
d a n s l e s d i f f é r e n t s p a s s a g e s - m a c h i n e , s o i e n t r e m e r c i é s t r è s s i n c è r e m e n t . J e r e m e r c i e également Madame ZAYER, Monsieur HENRY, ainsi q u e t o u t e s l e s p e r s o n n e s a y a n t p a r t i c i p é à s o n i m p r e s s i o n .
TASLE DES MATIERES
INTRODUCTION
METHODE DES ELEMENTS FINIS I l . P r i n c i p e 1 2 . l , l a t r i c e d e r i g i d i t é é l é n e n r a i r e 1 3 . M e t r i c e d e r i g i d i t é g l o b a l e 1 4 . C o n c l u s i o n s s u r l a m é t h o d e I 5 . P r o g r a n r m e E L F 2 A P P L I C A T I O N A U M O N O C R I S T A L 2 I . P r o b l è m e t r a i t é PAGES I 3 3 3 6 6 7 t 2 t 2 l 3 t ? l 3 2 7 3 5 3 6 3 8 4 l 4 4 4 6 60 2 2 , M é r h o d e 2 3 . R é s u l t a t s 2 3 t , R é s u l r a r s 2 3 2 . R é s u l t a t s C O N C L U S I O N S d é p 1 a c e m e n t , s c o n t r a i n È e s E l t en A N N E X E A N N E X E ANNEXE ANNEXE ANNEXE I 2 3 4 5 R a p p e l s d r é l a s t i c i t é l i n é a i r e i s o t r o p e - 1 . c a l c u l d e [ " - ' ] R e l a Ë i o n s c o n E r a i n t e s d é f o r m a t i o n s M a t r i c e d e r i g i d i r é é l é m e n t a i r e P r o g r a n n n e E L F e t u t i l i s a t i o n B I B L I O G M P H I E
TIII?RODI]CTTON : r o r e q u f u n .
m a t é r i a u eet soumis à dee forces extérieureE ( f o r c e s , p r e s s i o n e o u c o u p l e e ) , chaque point d e c e m a t é r i a u e u b i t des dépla-c e m e n t s ' ee qui engendre dee dépla-contrainteE d a n s l e e o l i d e .
M a t h é m a t i q u e m e n t , 1 e p r o b r . è m e d e r s c o n n a i s s a n c e d e s d é p r a c e m e n t s c o n s i s t e à t r o u v e r t r o i s fonctione déplacemencs U ( x , y r z ) , V ( x t yt z) e t w ( x t y t z ) ' c e ' f o n c t i o n s doivent vérifier l e s é q u a t i o n s a u x d é r i v é s p a r t i e l l e e d e 1 f é l a e t i c i t é , en respecÈant l e s c o n d i t i o n s a u x limites. P a r e x e m p l e , p o u r ud corpe é q u a t i o n s eont (Annexe l) : ( À + p ;
( r + r ;
( À + u )
h o m o g è n e , é l a s t i q u e e t i s o t r o p e , les ) + u A u + F x . 0 ) + U A v + F y . O ) + U Â w + F z - O#.#.#
#.#.#
#. #.9
âx â yE
À e t U é t a n t leE coefficients d e L a m é d u m a t é r i a u A d é e i g n a n t l e L a p l a c i e n dee fonctions d É p l a c e m e n t s F i é t a n t l e e c o m p o Ë a n t e s d e e f o r c e s d e volume.L a f o n r u r a t i o n du probrème généra1 est donc r e r a t i v e m e n t sirnple, n a i e i r n f e x i s t e pae de méthode analytique g é n ê r a l e p e r m e t t a n t la r é e o l ' u c i o n de cee équaÊions, compÈe È e n u d e s eonditions aux rinites.
c f e s t p o u r q u o i , r o r e de rrêtude mécanique d e e c r i s t â u x c o n s t i -t u -t i f e d -t u n p o l y c r i e -t e l , on es-t habi-tuellemen-t c o n d u i t à f a i r e d e s h y p o t h è e e e
e i m p r . i f i c a t r i c e e , afin de pouvoir inrégrer c e s é q u a t i o n s . a i n e i f o n ê pu déterminer r.a eolution a n a l y t i q u e p o u r un cristar e l l i p a o l d a l isotrope dans une matrice isotrope (9), p o u r un grain e l l i p e o i d a r a n i s o ç r o p e dane une natrice ieotrope ( r o , a i n s i q u e p o u r u n g r a i n e l l l p e o i d e l anisotrope dene une natrice a n i s o t r o p e ( r ) .
2 -L t a p p a r i t i o n d e s o r d i n a t e u r s a o u v e r t l a v o i e à d t a u t r e s m é t h o d e s q u i p e r m e t t e n t soit La résolution n u m é r i q u e d e s é q u a t i o n s ( n é t h o d e d e s d i f f ê r e n c e s f i n i e s ) , s o i t l e c a l c u l d i r e c t d e s d é p l a c e û e n t s ( n é t h o d e d e s é l é m e n t s f i n i s ) . N o u s n o u s s o m m e s d o n c p r o p o s é s , d a n s l e c a d r e d u L a b o r a t o i r e d e l - 1 é t a l l u r g i e S t r u c t u r a l e , d e d é v e l o p p e r u n e n é t h o d e d r é l é n e n t s f i n i s p e r m e t t a n t d e c a l c u l e r l e s d é p l a c e m e n È s , l e s c o n t r a i n t e s e t l e s d é f o r -r n o t i o n s d a n s u n e p i è c e d e f o -r m e e E d e c h a -r g e n e n t q u e l c o n q u e s , q u e l l e s q u e soient les caractérisÈiques m é c a n i q u e s d e s n é t é r i a u x .
N o u s a v o n s a p p l i q u é c e t È e r n é t h o d e a u c a l c u l d e l r i n f l u e n c e m é c a n i q u e d ' u n m o n o c r i s t a l d e s p n é t r i e c u b i q u e d a n s u n e m a t r i c e i s o -t r o p e e n d é f o r s r a -t i o n p l a n e é l a s -t i q u e .
3
-1 - METHODE DES ELEMENTS FTNIS 1-1, Pz,ineipe L a m é t h o d e d e s é l é m e n t s f i n i s , i n r r o d u i t e p a r A R G Y R I S ( 8 ) e t Z I E N K I E W I C Z ( 6 ) , c o n s i s t e à c h o i s i r a r b i t r a i r e m e n t d e s f o n c t i o n s d é p l a c e m e n t s d é f i n i e s s u r d e s d o m a i n e s s u f f i s a u m e n t p e t i t s p o u r q u e I ' a p p r o x i m a t i o n d e s d é p l a c e m e n t s ré e 1 s s o i c v a l a b l e . L e c h o i x d e c e s f o n c t i o n s i m p l i q u e u n e f o r m e p a r t i c u l i è r e p o u r l e s d o m a i n e s e Ë l e s f o r c e s a p p l i q u é e s s u r l e u r s f r o n t i è r e s . O n r é a l i s e e n s u i t e 1 ' a s s e r n -b l a g e d e s d o m a i n e s d e f a ç o n à r e c o n s E i t u e r 1 ' é c h a n t i l l o n i n i t i a l . O n o b t i e n t a i n s i u n s y s t è m e d t é q u a È i o n s 1 i n é a i r e s r e l i a n t l e s f o r c e s e t 1 e s d é p l a c e m e n t s . 1 1 s u f f i t a l o r s d e r é s o u d r e c e s y s t è m e p o u r t r o u v e r l e s p a r a m è t r e s d e s f o n c t i o n s d é p l a c e m e n t s . P r e n o n s l e c a s d r u n p r o b l è m e p 1 a n , e t c h o i s i s s o n s u n e f o n c t i o n d é p l a c e m e n t l i n é a i r e : ù!
$'
Ë' ill Ë:r. ki.' H:l E:: [î !r iif Ï , " , v ) = A o + A i x + A z Y
-.l
[ _ ] c " , Y ) = B o + B l x + 8 2 : l ( R e l a t i o n l . l ) A o , A l , È 2 , B o : B l , 8 2 s o n t d e s c o n s t a n t e s i n c o n n u e s .12. Matz,i.ce de z,igi&tté éLémentaire
U n t r i a n g l e p o s s é d a n t , 6 d e g r é s d e l i b e r t é d a n s l e p l a n e t l a f o n c t i o n c h o i s i e 6 i n c o n n u e s ( A . , A 1 , L 2 , B o , 8 1 , B z ) , i l s e m b l e l o g i q u e d e c h o i s i r , c o m m e d o m a i n e d e v a l i d i t é d e l a f o n c t i o n , u n t r i a n g l e . O n p e u t v é r i f i e r q u e c e t È e f o n c t i o n a p p l i q u é e à d o m a i n e t r i a n g u l a i r e 1 i n é a i r e , a s s u r e l a c o n t i n u i t é d u m i l i e u .
I
I
2
-L ' a p p a r i t i o n d e s o r d i n a t e u r s a o u v e r t l a v o i e à d r a u t r e s n ê t h o d e s q u i p e r m e t t e n t soit 1a résolution numérique des équations (néthode des d i f f é r e n c e e f i n i e s ) , s o i t l e c a l c u l d i r e c t d e s d é p l a e e u e n t s ( n é t h o d e d e s é l é n e n t s f i n i s ) .
N o u s nous sonmes donc proposés, dans le cadre du Laboratoire d e M é t a l l u r g i e S È r u c t u r a l e , d e d é v e l o p p e r u n e u é t h o d e d r é l é n e n t s f i n i s P e r m e t t a n t d e c a l c u l e r l e s d é p l a c e m e n t s , l e s c o n t r a i n t e s e t L e s d é f o r -n a t i o -n s d a -n s u -n e p i è c e de forme et de chargeme-nt quelco-nques, guelles q u e soient les caractéristiques m é c a n i q u e s d e s r n é t é r i a u x .
N o u s a v o n s appliqué cetÈe mêthode au calcul de ltinfluence m é c a n i q u e d t u n monocristal de symétrie cubique dans une rnatrice iso-t r o p e e n d é f o r n a iso-t i o n p l a n e é l a s iso-t i q u e .
4 -O n o b t i e n t Pour u n t r i a n g l e I J K
v
A o ".[ A2 B o D l B 2 0 0 0 I x . y . I - 1o o o
I x . y . J . J 0 0 0 I * k Y k x . Y , 1 - t _ 0 0 x . y . J - J 0 0 x, v. 0 0 I 0 I 0 I 0[ u l [ r ]
( R e l a È i o n I . 2 )t"l t^l
[ u ] =
E n d é r i v a n t , l a r e l a t i o n l . l , o n o b t , i e n t 1 e s d é f o r m a t i o n s ( A n n e x e l )o o
0 l l 0* f e " A r A z B o B l n r ] '
0 l o 0 0 0 0 0 0 0 1 0l
à u = -â x â u = -ô y à u â u = + -ô y â x xx vv ' x yF**
I
J
'vv
l-1",
[ . R e l a t i o n 1 . 3 ) o u5 -L a t h é o r i e d e 1 r é l a s t i c i t é l i n é a i r e n o u s d o n n e , ( A n n e x e 3 ) [ " ] = . [ t ] [ . ] ( R e l a t i o n l . 4 ) a v e c [ " ] = f o * * o y y o * r ] m a r r i c e d e s c o n t r a i n r e s e t I t ] = m a t r i c e d ' é l a s r i c i r é d ' o ù , e n E e n a n t . c o m p t e d e s r e l a t i o n s 1 . 4 , 1 . 3 e t 1 . 2 :
[ " ]
= ft]
[ r ]
[ r - t ]
[ u ]
( R e l a r i o n r . s )
L e l e c t e u r t r o u v e r a e n a n n e x e 2 , l e c a l c u l d e fU-t ] E n a p p l i q u a n t l e t h é o r è m e d e s t r a v a u x v i r t u e l s , o n p e u t l i e r l e s f o r c e s a u x s o m r n e t s d u t r i a n g l e , à l e u r s d é p l a c e m e n t s Iu] ( A n n e x e 4 ) o n crouve :[ r ]
= g [nr-']'frl'[t]
[ r ] f " - ' l
[ u ]
a v e c [t ] = f Fk Fry FJ* FJy r* r*, J' S = a i r e d u t r i a n g l e s o i t : [ t ] = f * " ] [ u ] ( R e l a t i o n r . 6 ) P a r a n a l o g i e a v e c u n r e s s o r t , [ * " ] e s t a p p e l é e m a t r i c e d e r i g i d i t é é l é m e n t a i r e d u t r i a n g l e .6
-L3. Matriee de rigidité. gLobale
N o u s d é ç r i v o n s i c i 1 a m é t h o d e d e s forces ; on pourrait égalenent i m p o s e r q u e l e s d é p l a c e m e n t s a u x noeuds soient identiques pour 2 êLê-m e n t s v o i s i n s , e t êLê-m i n i êLê-m i s e r 1 ' é n e r g i e é l a s t i q u e d u s y s t è êLê-m e , ce qui est
l a m é t h o d e d e s d é p l a c e m e n t s . L e s 2 méthodes sont équivalentes. ore fait d o n c la sotnme e n chaque noeud du système des forces provenant des é1é-m e n È s a d j a c e n t s . L a s o é1é-m é1é-m e d t é q u a t i o n s 1 i n é a i r e s é t , a n t u n e équation l i n é a i r e , o n p e u t é c r i r e u n e r e l a t i o n d e l a f o r m e : [ ' ]
[ * ]
[ u ]
( R e I a t i o n 1 . 7 ) [ * ] e s t a p p e l é e m a r r i c e d e r i g i d i r é g l o b a l e d u s y s r è m e = x ' f K e ] E n g é n é r a t f r ] e s r c o n n u e , È i e s t é g a l s o i t à z ê r o , s o i r , a u x - f o r c e s e x t é r i e u r e s a p p l i q u é e s , - f o r c e s d e v o l u m e , s t i l e n e x i s t e .p e u t d e m ê m e te n i r c o m p t e des conditions aux limites sur I u ] . 1 1 s u f f i t d o n c d e r é s o u d r e 1 e s y s t è m e ( l - 7 ) p o u r c r o u v e r
e n a p p l i q u a n t l e s r e l a r i o n s ( l - 2 ) , ( 2 - 3 ) e r ( 2 - 4 ) o n d é r e r m i n e
Iu]'
f e ] " t
[ ' ]1"4, ConeLusions stp La méthode dns éLé*e"ts fi*"
L a m é t h o d e p e r m e t d o n c d e c a l c u l e r les déplacement.s, 1es contraintes e t l e s d é f o r m a t i o n s p o u r t o u t s y s t è m e dont on connait les conditions aux l i m i t e s .
L a f o n c t i o n d é p l a c e m e n t c h o i s i e d o i t approximer convenablement, Ia r é a l i t é ( c e q u i e s t v r a i s u r u n domaine infiniment petit)
, , et par consé-q u e n t , d a n s u n e r é g i o n à f o r E g r a d i e n t de contrainte, il faut prendre un g r a n d n o m b r e d r é l é m e n t s ; on voit apparaitre la lirnite pratique de la n é t h o d e c a r l a d i m e n s i o n d e l a m a t r i c e de rigidité globale est de 2N x 2N
7
-( N éfant le nombre de noeuds) pour un problème planr-(3N x 3N pour un , p r o b l è r o e t r i d i m e n t i o n n e l ) , e t l a p r é c i s i o n d e I ' o r d i n a È e u r u t i l i s é s o n t i n c o m p a t i b l e s a v e c u n t r o P g r a n d n o m b r e d ' é l é m e n t s . L5, Pz,ogz,qrtne ELF L e p r o g r a f f n e q u e n o u s a v o n s r é a l i s é r é p o n d a u x c r i t è r e s s u i v a n t s : l ) A f i n d e p o u v o i r Ë r a i t e r l e s a g r é g a t s , l e s m a t r i c e s d r é l a s t i c i t é d e c h a q u e é l é n e n t s o n t s t o c k é e s ( e n m é m o i r e c e n t r a l e ) . 2 ) D a n s u n i n t é r ê t p é d a g o g i q u e , l e t r a i t e m e n t d o i t ê t r e p o s s i b l e s u r u n p e t i t o r d i n a t e u r ( e x . I . B . M . l l 3 0 ) a v e c u n f a i b l e n o m b r e d e p o i n t s ( p o s s i b i l i t é d e d é c o u p a g e e n p h a s e s e t l a n g a g e s i m p l e ) . 1 1 a é t é é c r i t e n F O R T M N IV
t s t o:Q!ryzsrw?
-fu , -Pt2æw!e.
-EL-I
v o l r P a g e s u l v a n t , e
8 -L e c t u r e d e s v a r i a b l e s f o n d a u e n È a l e s K F = 2 e t 3 L e c È u r e d e s c o o r d o n n é e s d e s n o e u d s C o n s t r u c t i o n d u n a i l l a g e L e c E u r e d e s é l é r n e n È s e n l e v é s C o n s t r u c t i o n d e s m a È r i c e s d t é l a s t i c i t é C o n s t , r u c È i o n d e l a n a t r i c e d e r i g i d i t é ' é 1 é m e n Ë a i r e C o n s t r u c t i o n d e l a m a t r i c e d e r i g i d i t é g l o b a l e L e c t u r e d e s c o n d i È i o n s a u x l i m i t e s : - en force - en déplacements R é s o l u È i o n d u s y s t è m e R é s u l t a t s e n d é p l a c e m e n E s C a l c u l s a n n e x e s R é s u l È a t s e n : - Forces - déforrnations - contraintee f f = I
9
-1 5 2 R
em
gz.gA7g-pry
_Lg
_plegtqryqllgn
l ) R é d u c t i o n d ê l a m a t r i c e d e r i g i d i t é g l o b a l e -L a t a i l l e t h é o r i q u e e s È 2 N x 2 N , i l s e r a i t d o n c i m p o s s i b l e d e t r a i t e r n e s e r a i t c e q u e 5 O O p o i n t s , c e q u i e n t r a i n e r a i t u n s t o c k a g e d e l 0 6 n o n -b r e s r é e l s . U n a l g o r i t h m e ( 4 ) p e r m e t d e r é d u i r e f o r t e m e n t c e t t e d i m e n s i o n . E n e f f e t , s i I ' o n i m p o s e u n p a s P d a n s l a n u m é r o t a t i o n d e s n o e u d s , c r e s t - à - d i r e q u e l e s 6 p o i n t s a d j a c e n t s d ' u n p o i n t . I o n t . t o u j o u r s l e s m ê m e s i n d i c e s , l a m a t r i c e d e r i g i d i t é g l o b a l e n ' a q u e 7 d i a g o n a l e s n o n n u l l e s . D e p l u s , e I l e e s t s y m é t r i q u e ( t h é o r è m e d e M a x w e l l - B e t t i ) ; 1 1 s u f f i t d o n c d e c o n s e r v e r 4 d i a g o n a l e s d e 1 a m a t r i c e . U n t e r m e n o n n u l é t a n t , u n e s o u s - m a t r i c e 2 x 2 , o n n e s t o c k e d o n c q u e l 6 N n o m b r e s r é e 1 s .l + P + 1
l + 1
I -P-1
L e m o d e d e s t o c k a g e c h o i s i e s t u n e m a t r i c e R I G L O ( I l , 1 2 , 1 3 ) i n d i c e d u n o e u d ( d e I à N) i n d i c e d e 1 a d i a g o n a l e n o n n u l l e ( d e I à 4 ) i n d i c e d e s é l é m e n t s d e l a s o u s - m a t r i c e ( d e I à 4 ) I I T 2 I 3+
a-+C e s d e u x a l g o r i t h m e s r é e l s a u l i e u d e 4 N 2 . C e d e c e t t e m é t h o d e . l o -p e r m e t t e n t d o n c d e n e s t o c k e r q u e I 6 N Nombres s o n t e u x q u i p e r m e t t . e n t l a r é a l i s a t i o n p r a t i q u e 2 ) R é s u l t a t d u s y s t è m e D a n s l e b u t d e r é d u i r e l a t a i l l e m é m o i r e , n é c e s s a i r e p o u r l e p r o -g r a n m e , n o u s a v o n s u t i l i s é u n e m é t h o d e i t ê r a t i v e a f i n d e r é s o u d r e c e s y s t è m e . N o u s a v o n s c h o i s i 1 a m é t h o d e d e G a u s s - S e i d e l a v e c s u r r e l a x a t i o n ( 7 ) . C e t t e m é t h o d e n o u s a t o u j o u r s d o n n é s a t i s f a c t i o n a v e c u n c o e f f i c i e n t d e s u r r e l a x a t i o n d e l r o r d r e d e 1 , 5 .
153
le9!_4u_prysrqryc
é t é c o n t r ô l é s u r d e s p r o b l è m e s d o n t o n c o n n a i Ë l a e n p a r Ë i c u l i e r u n t e s t a é t é e f f e c t u é s u r u n e u n e t r a c t i o n s i r n p l e e n é t a E p l a n d e c o n t r a i n t e . L e r n a i l l a g e e s r d e f t 2 l p o i n r s , 2 O O tr i a n g l e s ] Le programme a s o l u t i o n a n a l y t i q u e , é p r o u v e t t e s o u m i s e àv1
II
I
I L ' é t a t d e c o n t r a i n t e t h é o r i q u e e s t : t t , o , o ] a a n / m m 2L e c a l c u l a d o n n é , 0 , 5 Z p r è s ( 0 , 9 9 5 e n p r é c i s io n s t , a n d a r d , a u l i e u d e l ) . i l -l a s o -l u t i o n a n a -l y t i q u e à y c o m p r i s l a c o m p i l a t i o n l e s c a l c u l s a n n e x e s . mn e f L e t e m p s d e c a l c u l , s u r U N I V A C ll O S e s t d e 2 ( t r a d u c t i o n d e p r o g r a n m e e n l a n g a g e b i n a i r e ) O n v o i t d o n c q u e l a m é t h o d e d e s é l é m e n t s p r é c i s d e s c o n t r a i n t e s d a n s u n e p i è c e d o n t o n a u x l i m i t e s e n f o r c e s e t e n d é p l a c e m e n t s . f i n i s p e r m e t u n c a l c u l c o n n a i È l e s c o n d i t i o n s
t 2 -2 - APPLICATTON DU MONOCRISTAL 21, Pt,obLème trai.té N o u s a v o n s a p p l i q u é l e m o d è l e d e s é l é m e n t s f i n i s au calcul du c h a m p d e s d é p l a c e m e n Ë s e Ë d e s c o n t r a i n t e s p o u r u n m o n o c r i s t a l d e cuivre d e f o r m e c a r r é e s i t u é d a n s u n e m a t r i c e i s o t r o p e é g a l e m e n t de cuivre. ( f i g u r e I ) . L e s v a l e u r s d e s c o n s t a n t e s é l a s Ë i q u e s s o n t e x t r a i t e s d e ( 1 2 ) . E l l e s o n t p o u r v a l e u r s : C u i s o t r o p e : Ct t = 20 OOO daN/mm2 C L 2 = l O 8OO daN/nun2 C , * , * = 4 6 O 0 d a N / m m 2 ( = t ( C r t - C r z ) ) C u m o n o c r i s t a l d a n s s e s a x e s c r i s t a l l i n s . C l t = 1 6 9 0 5 d a N / m m 2 C ! 2 = 1 2 1 9 3 d a N / n r n 2 C 4 4 = 7 5 5 O d a N / m m 2
c r t
c t z c r t
- ) C t z C t z C r t 0 O 0 C,*,* 0 0 0 0 C , * +o o 0 0 o c q
a v e c I t " ] = f t " ] e s t l a m a t r i c e d r é l a s t i c i t é d a n s l e s a x e s c r i s c a l l o g r a p h i q u e s- t 3 l e s c o n t r a i n t e s p l a n d e l a L e c a l c u l a é t ê t r a n c h e d r u n p r o b l è m e f a i t e n d é f o r m a t i o n t r i d i m e n t i o n n e l . p l a n e , a f i n d e È r a i t e r u n e N o u s a v o n s é t u d i é I ' i n f l u e n c e s u r l e s . d é p l a c e m e n t s d e 1 ' o r i e n t a t i o n d e 1 ' a x e I t 0 0 ] d u m o n o c r i s t a l d a n s f i g u r e p a r r a p p o r t à 1 ' a x e d e t r a c t i o n ( a n g l e o ) e t 1 e 2 2 . M é t h o d e L e c a l c u l a é t é f a i t p a r n a i l l a g e e s t d e I 2 l p o i n r s e t 3 2 é 1 é u e n t s ( f i g u r e l ) U n s o u s - p r o g r a n m e a c a l c u l é n o u v e a u x a x e s d u m o n o c r i s t a l p o u r m é t h o d e d e s é l é m e n t s f i n i s . L e 2 0 0 t r i a n g l e s . L e c r i s E a l c o m p a t t e l e s m a t r i c e s d ' é l a s t i c i t é d a n s l e s 1 e s d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e a ( f i g u r e I a d e 2 ) 2 3 , R é s u L t a t s 231 RésuLtats en dépLaeements l ) N o u s c o n s t a t o n s q u e l e d é p l a c e m e n È s u i v a n t l ' a x e d e s x ( u ) n e v a r i e p a s l i n é a i r e m e n t e n f o n c t i o n d e 1 ' a b s c i s s e x . ( f i g u r e 3 ) N o u s v o y o n s q u e l a c o u r b e s r é l o i g n e p r o g r e s s i v e m e n t d e l a d r o i t e o b t e n u e .
I
t 4 -7* n
M o i l l o g e utilise
FIGURE
I
|_ t 5 -X EM u i " o a r o p " x tltrll t 0 3 r r x l o 3 ' o = o nm 0 l 2 r 5 2 5 3 7 , 5 5 0 6 2 , 5 t )
8 7
, 5
t o 0
1 2 5
0 0 , 5 8 3 I r t 6 5 I , 7 5 0 2 , 3 4 3 2 , 9 5 3 3 , 5 8 7 4 , 2 5 3 4 , 9 4 9 5 , 9 6 2o
0 1 7 2 2 I , 4 6 1 2 r 2 3 O 3 , 0 5 2 3 , 6 5 9 4 1 2 6 1 4 , 8 8 8 5 , 5 4 8 6 , 4 9 1 TABLEAU nO ID é p l a c e m e n t U en fonction de l'abcisse X pour Y = O v o i r f i g u r e 3 .
L6
/.../r,
/,. /' ^/1 . c c = 0
2. lsotrope
1 .
/ _ / / / / . / / ,/ //?
/ / /qt
U = fçx1
Y = 0
FIGt'RE
3
- 1 7 d a n s l e c a s i s o t r o p e j u s q u ' a u f r a n c h i s s e m e n t d u j o i n t d e g r a i n ; e n s u i t e l a c o u r b e s e l i n é a r i s e p a r a l l è l e m e n t à l a d r o i r e . I a d é r i v é e p r e m i è r e d u d é p l a c e m e n t p a r r a p p o r t à 1 ' a b s c i s s e ( . * * ) s e r a d o n c c o n s t a n t e à l r e x t é -r i e u -r i -r m é d i a t d u c -r i s t a l . 2 ) S i l t o n t r a c e l a d i f f é r e n c e d e s d é p l a c e m e n È s e n E r e l e c a s i s o t r o p e e t I e c a s a n i s o t . r o p e e n f o n c t i o n d e l r o r d o n n é e y ( f i g u r e 4 ) , n o u s v o y o n s q u e 1 e s d é r i v é e s p r e m i è r e s p r é s e n t e n t u n e d i s c o n t i n u i t é a u p a s s a g e d u j o i n t d e g r a i n , e t q u e c e s d i f f é r e n c e s s ' a n n u l e n E à u n e d i s t a n c e d u m o n o c r i s t a l d e l t o r d r e d e g r a n d e u r d e s e s d i m e n s i o n s . 3 ) S i l r o n t r a c e p a r u n p o i n t d o n n é , l e d é p l a c e m e n t e n f o n c E i o n d e l a p o s i r i o n d e l r a x e f f O O ] a " t " l e p l a n d e l a f i g u r e , n o u s v o y o n s ( f i g u r e 5 ) q u e l e d é p l a c e m e n t v a r i e s i n u s o i d a l e m e n t e n f o n c t i o n d e a . L e p h é n o m è n e e s t t r è s i m p o r t a n E p u i s g u e l t o n t r o u v e d e s v a r i a t i o n s d e 8 0 Z d e l a v a l e u r m o y e n n e . U = U o + A 1 c o s V = V o i A 2 c o s ( À o + y 1 ) ( À a + y r ; A l t a i d e d r u n e m é t h o d e d e m o i n d r e s c a r r é s n o n l i n é a i r e s , n o u s a v o n s d é t e r m i n é l e s v a l e u r s d e s p a r a m è t r e s P o u r d i f f é r e n t s p o i n t s . S i l t o n p o r t e c e s v a l e u r s , p o u r d e s p o i n t s e y a n t m ê m e o r d o n n é e , e n f o n c t i o n d e 1 ' a b s c i s s e d e s p o i n t s ( f i g u r e 6 ) n o u s c o n s t a t o n s q u e :
- Uo est linéaire et Proche des valeurs de U dans le cas isotrope, - y esg décroissant, au début linéairement, et ensuite plus
len-E e m e n t a p r è s l e p a s s a g e d u j o i n t d e g r a i n ,
- A est touË d'abord croissant, Passe par un maximun au Passage d u j o i n t d e g r a i n , e t e n s u i t e d é c r o i t ,
- l 8
g
fI
.8
ffl
10 mm
EA(Uiso-Utcrl)=
f ty)
X = 5 O tot i \ .,tt\r\
,N
/
i
a..-t r /
,r
/ : I I ; I ; I ; ol57 t - - - - t 0.314.e.f. a t t -.t l' oâ7'l , / / / . //
o2*
./' ./Y ,
FIGURE
4
- t 9 _ o r a d i a n
u ( r ) * r03
lmru ( s )
* r o 3
ûtrnu ( g )
* r o 3
mm 0 0 ,1 5 7 0 , 3 1 4 o r 4 7 | 0 , 6 2 8 0 , 7 9 5 0 , 9 4 2 I ' l | , 2 5 7 1 ,4 1 4 l r57 1 , 4 6 1 I , 2 0 1 0 , 9 5 4 o , 7 g g o , 7 8 7 0 , 9 2 9 I , l g o | , 4 7 5 I , 6 5 3 1 , 6 4 1 I , 4 6 1 3 , O 5 2 2 r693 2 1293 1 ,9 6 2 I , 8 3 7 1 , 9 5 4 2 , 2 9 5 2 , 7 4 9 3 , l 1 3 3 , 2 2 3 3 , 0 5 2 5 , 5 4 8 5 , 3 6 9 5 , 0 9 0 4 , 8 1 9 4 ,6 5 4 4 , 6 5 0 4 r8Og 5 , O B 6 5 , 3 7 5 5 ,5 5 4 5 , 5 4 8 TABLEAU nO 2 D é p l a c e m e n t U e n f o n c t i o n d e o . Y = 0 v o i r f i g u r e 5 .? 0 -\...\ \\r- =.--1tz/'//-- 1' -'-... ./'
-'-.-.-
-.u't'
\ ' \ . - . - o - l t '3.
1. U(9)
2. U ('5)
3. U (3)
x= loomm
y=O
x = s o m m
y = o
x = 2 5 m m y = Oc
U = f(cr)
FIGURE 5
l-o.3
,1
ç t o r; ôtll_
O.lrodio -cc
U=f(c)
FTGURE
5bis
u
3.
2 .
\rrr-t
\.-.J/'',r. u(.9)
t 2
2. u(5)
3. U(3)
x 2
I 2 2 -r a d i a n l 2 r 5 2 5 3 7 , 5 5 0 6 2 , 5 t ) 8 7 , 5 t 0 0 1 2 5 0 , 6 0 3 I , 2 0 8 I , 8 3 3 2 ,5 1 6 3 ,1 2 9 3 , 7 5 4 4 , 4 O 9 5 ,0 9 5 6 , 0 9 0 2 , 6 t 5 4 ,4 9 6 5 , 8 3 t 6 r 9 4 4 6 , l 7 o 5 , 5 6 9 5 , 0 9 3 4 , 7 3 0 4 , 1 4 0 | , o 4 g o rg34 o , 7 g g o , 6 5 6 o , 5 2 O 0 , 4 2 3 0 r 3 5 5 0 , 3 1 I 0 , 2 9 0 TABLEAU n" 3 U o r A e È y = 6 m m v o i r f i g u r e 6 . e n f o n c t i o n d e X
a 3
uo
E
E
(", I o t:?
c t l r€ l
É t t r l5
E
E
ç lo t.:t. f =ftx)
I
2.A=fcxl
I
3. u is. =rttlft=u-'
4. Uo=
frx
) )
4 .
\:.4/'3
7
\__
_2.
/ // / / /9nu
111
x
FIGURE
6
A c o s ( 4 a +g l = ftxt
I Y:6mm 2 Y:2smm 3 Y : s o m m
^1
fl
* ,A:f (x )
FIGURE
6.r
- 2 5 '
._._È?.l?r,
. \ . _ . . , ' \ . t * a aE
E
T o : ' ! l t l lrcmm
Ex -
x
A .or (4 cr +Ç) = f (x)
Y = 6 m m
FIGURE
6.2
-u
0 1414 0.157 1257 0 3 1 4 1 1 o471 o 942 o 628 o 7 8 5x
+
A cos
(4c, +
f )
:f (x;
Y : 2 5 m m
FIGURE
6.s
2,?
- on retrouve f importance du joint de grain si lron trace ( f i g u r e 6 b i s ) A c o s ( 4 o + y ) e n f o n c t i o n d e l r a b s c i s s e x , - nous avons Loujours trouvé À = 4, ce qui est logique car une
r o t a t i o n a e
! t r a n s f o r m e r r a x e f r o o ] " r f o r o ] q , r i l u i e s r é q u i v a l e n t .
2 s 2 Eé
eulleLp_er
_çgûtslalee
L e s r é s u l t a L s t r o u v é s p o u r 1 e s d é p l a c e m e n t s s o n t t r a n s p o s a b l e s p o u r l e s c o n t r a i n t e s . l ) L e s c o n t r a i n t e s n e s o n t p a s c o n s t a n t e s d a n s l ' é c h a n t i l l o n . 2 ) P o u r u n p o i n t d o n n é , l e s c o n E r a i n t e s v a r i e n t s i n u s o i d a l e m e n t e n f o n c t i o n d e c r ( f i g u r e 7 ) . 3 ) D e p l u s , s i I ' o n t r a c e l a v a r i a t i o n d e l a d i f f é r e n c e d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s , à o r d o n n é e c o n s t a n t e , e n f o n c t i o n d e l r a b s c i s s e ( f i g u r e 8 ) , e e q u i e s t u n c r i Ë è r e d e r é s i s t a n c e g é n é r a l e m e n t a d a p t é p u i s q u e c r e s Ë l e d o u b l e d u c i s a i l l e m e n t m a x i m u m , o n c o n s t a t e q u e :
- les courbes présentent un maximum au voisinage du joint de grain ; l e j o i n t d e g r a i n e s t d o n c l a z o n e l a p l u s s o l l i c i t é e . l e s d i f f é r e n c e s s ' a n n u l l e n t à u n e d . i s t a n c e d u m o n o c r i " t " r a " l f o r d r e d e g r a n d e u r d e s e s d i m e n s i o n s . 4 ) N o u s a v o n s é g a l e m e n t t r a c é 1 e s i s o c h r o m e s , c o u r b e s d t é g a l e s d i f f é r e n c e s d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s ( f i g u r e s 9 , l O e t I l ) . N o u s c o n s Ë a È o n s u n e c o n t i n u i È é d a n s 1 e s f i g u r e s , m a i s n o u s n t a v o n s p u e n t i r e r u n e loi g é n é r a l e . Ceci est probablement dû à la complexité du phénomène et en p a r t i c u l i e r à l a n o n l i n é a r i t é d e s p a r a m è t r e s A e t r D
2 8 -o r a d i a n
o ( 7 - 8 ) a " u / - 2
o{3-+)0"*r^,
o ( r g - t 4 ) a . u / * 2
0 0 , 1 5 7 0 , 3 1 4 o , 4 7 | o , 6 2 9 0 , 7 9 5 o , 9 4 2 I ' l 1 , 2 5 7 1 ,4 1 4 | , 5 7 o r 5 g 2 f o , ' 6 3 5 o r 6 9 4 0 , 7 4 3 o r 7 7 2 o r 7 7 2 0 1728 0 , 6 5 1 0 , 5 9 3 0 , 5 5 9 0 , 5 9 20 , 5 1 9
o , 4 9 5 ,
o , 4 9 6
0 , 5 4 9
o 1634 o r726 o , 7 9 2 o 1 7 6 5 o , 6 9 6 o , 5 9 2 0 , 5 t 9 0 r 6 l I o 1 6 9 7 o , g 2 g 0 , 9 6 5 1 , 0 5 0 1 , o 4 4 o , 9 4 4 o 1 7 9 2 0 , 6 5 9 0 , 5 9 6 o , 6 l I ÎABLEAU NO 4Contraintes o__-- xx en fonction de a . y = 6 m
v1
0"r.1
t
Ël
l .
2 .
0xx (13,14)
c p 1 ( 2 , e 1
Oxx (3,4
)
FIGURE
7
3 0 -TABLEAU n' 5 V a r i a t i o n d e l a d i f f é r e n c e e n f o n c È i o n d e x . v o i r f i g u r e 8 . 6 ( o t o z ) c = Q datl/mn2 d e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s Y = 6 1 2 5 Y = 3 2 m 6 , 2 5 t 9 , 7 5 3 1 ,2 5 4 3 , 7 5 5 6 , 2 5 6 8 , 7 5 8 1 , 2 5 9 3 , 7 5 t 1 2 , 5 0 , t 9 8 0 , 1 8 4 0 , t 6 1 0 , t 2 g 0 , 2 3 3 o , 2 6 1 o , 2 2 3 o , 1 2 5 0 o ,1 4 2 0 , 1 5 7 0 , t 5 4 0 , l 0 4 0 , l 8 9 o , o l 2 0 , 0 2 0 0 , 0 4 1 o , o g 4
- 3 l
7^\
t
\ \\ \ - - _ s _ .
\
r .
r - - 2 .t .
2 .
Y =6,25mm
Y = 3 2 m m
o,r doN lmmz
x
( o t - o z
) = f ( x )
a = 0
FIGI'RE 8
3a
- r 1+o.o5
ISOCHROMES
THEORIQUES
G r 0.314, F I G U R E
9
- 3 3 - 1
+o.o5
ISOCHROfVIES
THEORIQUES
û , =O.471FIGURE
IO
- 1 t .
-ISOCHROM.ES
THEORIQUES
- 1+ o o 5
c = 0.629FIGI'RE 11
3 - CONCLUSIONS 31, Cor"Lrqion" "u, Ln ProbLàru 1 1 e s t p o s s i b l e d r a f f i r m e r q u e d a n s u n e m a t r i c e i s o t r o p e s o u m i s e à u n e È r a c t i o n s i m p l e , l a p r é s e n c e d t u n m o n o c r i s t a l i n t r o d u i t u n e d i s t o r s i o n d e s e f f e t s m é c a n i q u e s . L e s d é p l a c e m e n t s e t l e s c o n t r a i n t e s v a r i e n t s i n u s o Ï d a l e m e n t e n f o n c t i o n d e I ' a n g l e o q u i d é f i n i t l a p o s i t i o n d ' u n a x e c r i s t a l l i n d u m o n o c r i s t a l d a n s l e p l a n c o n s i ' d é r é . L a z o n e d u j o i n t d e g r a i n e s t l a p l u s s o l l i c i t é e d u p o i n t d e v u e d u c i s a i l l e m e n t e t j o u e u n r ô 1 e c a p i t a l p o u r 1 a v a r i a t i o n d e s g r a n d e u r s c a r a c t é r i s t i q u e s d u c h a m p d e s - c o n t r a i n t e s e t d e s d é p l a c e m e n t s . L t i n f l u e n c e d u m o n o c r i s t a l d e v i e n t n é g l i g e a b l e à u n e d i s t a n c e d e L ' o r d r e d e g r a n d e u r d e s e s d i m e n -s i o n -s . L a c o n f i g u r a t i o n d e s i s o c h r o m e s n e p e u L s ' e x p l i q u e r à l t a i d e d I h y p o r h è s e s s i m P l e s .
? , C oncLusions_ sur La méthode
L a m é t h o d e c o n s i d é r é e e t l e P r o g r a n l r n e m i s a u p o i n t P e r m e t t e n t d ' é t u d i e r u n e g r a n d e v a r i é t é d e c a s , e n p a r t i c u l i e r l e s e f f e t s d e s f o r c e s p o n c t u e l l e s o u n o n u n i f o r m é m e n t r é p a r t i e s e t l e s f o r m e s p l a n e s q u e l c o n q u e s d e m a t é r i a u x a n i s o t r o p e s d e S t r u c t u r e c o m p o s i t e ' L r e x t e n s i o n d u p r o g r a n r m e a u c a s t r i d i m e n t i o n n e l d e v r a i t p e r m e t t r e l a c o m p a r a i s o n a v e c 1 e s d o n n é e s e x p é r i m e n t a l e s d r é c h a n t i l l o n s r é e l s .
- 3 6 _
ANNEXE 1, - RAPPELS DIEL4STICTTE LTNEAIRE ISOTROPE
L e s d é p l a c e m e n Ë s é r é m e n t a i r e s d e s p a r t i c u l e s d r u n corps a y a n t s u b i u n e d é f o r m a t i o n s o n t e n g é n é r a l e x p r i m é s à I ' a i d e de leurs composants
u , v e t w s u r l e s t r o i s a x e s d e c o o r d o n n é e s x , y e t z.
E n a d m e t t a n t q u e c e s c o m p o s a n t e s soient des infiniments petits qui v a r i e n t d t u n e m a n i è r e c o n t i n u e d a n s r e v o l u m e du corps, on apperie d é f o r m a t i o n s 1 e s q u a n t i t é s :
. * * =
* ,
r r , =
# ,
r " , = # ,
o i l a r a t i o n s t i n é i q u e s
' * y =
f f . * r r y " = # . #t
\ " * = #. # ; disrorsions
L e s . é q u a t i ' o n s d ' é q u i l i b r e d e s c o n r r a i n t e s à l r i n t é r i e u r d u s o l i d e d o i v e n t ê t r e s a t i s f a i t e s . E n e x p r i m a n t c e s é q u a t i o n s , o n t r o u v e ( l ) :( À +r l fo rff .# .Fr) + p Âu+Fx=o
t -J (À+r,b,#.#.#,+
pau+Fy=o
( À + r l l r S
. # .#, + ua +Fz=o
À p : c o e f f i c i e n t s d e L a m é d u m a t é r i a u A : L a p l a c i e n d e s f o n c E i o n s u , v o u \ ^ r F i : C o m p o s a n t e s u r l ' a x e i d e s f o r c e s de volume L e s é q u a t i o n s p r é c é d e n r e s d o i v e n t ô t r e s a t i s f a i t e s q u e 1 l e q u e soit l a p o s i t i o n d u p o i n t c o n s i d é r é , e t e n p a r t i c u l i e r à l a f r o n E i è r e du s o l i d e . O n e n d é d u i t l e s c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s ( l ) :- 3 7 X = À , â u \i- ï ;-â v d x d y
* 3 1 1 + u
d zrPr *5**
d x d y+pt#t**'*ff,,)
â w .T ; ) * * u
â w , 5 ; ) n + u , â v -(;-- I + d x , â w . ( ; - r + d x â v - - t * d y â w = - m + d yf"r
) r rË " 1
+ u , # t .
n ) n )#",+utSr*
â v â w x D ' l -d y d y â v â w m f -d z d z Y - =z =
, ô u â v (r- + :--d x d y , â u â v (;- + ;-d x d y l , m , n : c o s i n u s d i r e c t e u r s d e l a f r o n c i è r e a u p o i n E c o n s i d é r é X , Y ' Z : c o m p o s a n t e s d e s f o r c e s r é p a r t i e s a p p l i q u é e s a u p o i n t c o n s i d é r é . L e p r o b l è m e c o n s i s t e à t r o u v e r 3 f o n c t i o n s u ( x , y , z ) , v ( x , y , z ) e t w ( x , y , z ) q u i s a t i s f a s s e n t l e s 2 g r o u p e s d r é q u a t i o n s . 1 1 n r e x i s t e p a s d e p r o c é d é g é n é r a 1 d t i n r é g r a t i o n .- 3 8
ANNEXE 2. - CALCUL DE I,T1
B 1 A 2 A 1 A o B o 0 I 0 I
o
I c a l c u l l i t t é r a l e s t t r o p 1 o u r d , o n é t u d i e d o n c B 2 0 v . . Lo
v . - J n u . I \ t 1 u . J v , J u, K K ["]= ["'] = I 0 I 0 I 0 v . . Lo
v . . Jo
x . 1o
x , Jo
x.o
v.o
0 x . 1o
x . J ô x, K S o u s c e t t e A o I I I I f o r m e l e A 1 x . I x . J \ B 1 B o A 2 x , I x . J \ B 2 v . - 1 v , . Jvk
u . 1 u . J t k v , 1 J tkv i
v . . J v. - K I I I P o u r i n v e r s e r c e t t e m a t r i c e , o n p a r t i t i o n n e e n s o u s - m a t r i c e s ( 5 ) :r"t
[t,l îr;]
r"-l
[',i ï]
- 39.
E n p o s a n L :
[*]=to;l I [o,r]
=fol
Ltl=[or,]
to;ll
=fol
lrf =lorrl- [v ] [o,r] =lorrl
L a t h é o r i e d e s s o u s r n a t r i c e s m o n t r e q u e , ' o r r l :
f u,,l = r^;l I * [x] lr-t ) [t] = tolll
L u , r l = - [ * ] L r - t f
= [o]
f u r , ] = - [ r - ' ]
[ t ]
l " r r 7 = l r - t 1
I 1 s u f f i t d o n c d ' i n v e r s e r f O , , ]= f ol
= to;l l
L e d é t e r m i n a n t d e l a m a t r i c e fO,, ] a pour valeur : o = * j . y k * * i . y j * * k . y i - x . . y i - * k . y j - * i . y k On trouve :
tolll = *
x . y , - x . y . x . v . - x . Y . x . y . - x . v . J ' K K - J K - l ] . - K l - r - J ' 1 l l J - a I Y j - Y r Y r . - Y i Y i - Y j x , - x , x . - x . x , - x . K J r K J ]-,;:
;, [ï:f ,îîil
- 4 0
on en dédui.
[*-J "'
p e r m u t a n t l e s c o l o n n e s : x . v , - x , y , J - K K ' J v . - y , ' J - K x , - x . K Jo
0 0 - x , y , K - 1 - v . - x . I 0 0 0o
0 0 * k Y i - * i Y k Y i - - Y t ) ç - x . k 1 - x . v . 1 - J . L - x . Jo
o
0o
o
0 - x , y . J - r - v .. J - x . ]-0 x . y , 1 - K 0 v .- 1 O x , K x 1 - y ; - x : y ' 1 . N ! J N l r . - Y : N J x . - x , J ^ K x . Y . J - r v .- J x . I x . v . r - J v . . L x .ANNEXE 3. - RELATIONS CONTRAINTES DEFORUATIONS 31, Contz,a'Lntes 0 n c o n s i d è r e -> p a r s a n o r m a l e n u n e f a c e t t e d s o r i e n E é e f o r , r , o r , r ] ) l a r é s u l t a n t e d e s 1 ' é l a s t i c i t é 1 i n é a i r e , o n p e u t é c r i r e
f.l
O n a p p e l l e v e c t e u r c o n t r a i n t e f o r c e s d e l i a i s o n a g i s s a n Ë s u r d s .32. ReLations contraintes - déforrnations
L e s d é f o r m a t i o n s o n t é t é d é f i n i e s à 1 ' a n n e x e l .
321
. 9æ_eÉlÉre!
+ Â a = ' n D a n s l e c a s d ef o l = [ t ]
a v e c f o ] = f o * *L'] = f.**
D a n s l e c a s g é n é r a l , l e s 2 l c o e f f i c i e n t s i n d é p e n d a n t s u n p l a n e n e n t r a i n e 1 3 , c e l 1 e t r a n s v e r s e ( é g a l e m e n t a p p e l é el'
l'
p r o p r i é t é s d e s y m é t r i e e n t r a i n e n t ( 2 ) p o u r l a m a t r i c e T . L a s y m é t r i e r e s p e c t . a n t r e s p e c t a n t 2 p l a n s o r t h o g o n a u x 9 , f i s o t r r o r t h o t , r o p i e ) S e t 1 f i s o r r o p i e " c l a s s i q u e " o o o o s y y z z x y x z y z L è L è è y y z z x y x z y z4 2 -E n i s o t r o p i e o n a :
I t ] =l o
À + 2 U À À + ! p 0 0o 0
o o
2v
À
+ 2 u
o
p l a n d eIi
À + 2 u À À 0 0u
0 0l
:J
'l
'_l
c o n t r a i n t e :,- t
-l
'+l
À e t p é t a n t 1 e s ( c o e f f i c i e n r d e L a u é ) ( m o d u l e d ' y o u n g ) et v , E v ( l + v ) ( l - 2 v ) ( L o i d e H o o k e g é n é r a l i s é e ) c a r a c t é r i s È i q u e s d u m a t é r i a u u t i l i s e n t p l u s c o u r a m m e n Ë E P o i s s o n ) o n a 1 e s r e l a t i o n s 2 c o e f f i c i e n t s l e s m é c a n i c i e n s ( c o e f f i c i e n r d e322. !re!tÈes_plc!_isglreec
D a n s l e c a s d e s p r o b l è m e s p 1 a n s , i l P l a n d e d é f o r m a t i o n ( e x . e = y * , = Iy, f a u t d i s t i n g u e r 2 c a s . L r é t a t= o )
ETl.vt
( e x . o = o z z= o r r = o )
[ ' ] O n a :r
l^.
=lÀ
lo
L
L ' é t a t = E t - v 2['J
_ 4 3
323. 9b..egSg9e!_ÉleXe (problème ptan)
P o u r p a s s e r d ' u n r e p è r e x o y dans lequel on connait To à un repère o y ' f a i s a n t u n a n g l e 0 a v e c x o y , o n d é m o n t r e ( 6 ) q u e l r o n a :
['] = t
il
".,""[*l=
c o s s i n c o s 3 3 . 7 e n a r q u e s P o u r p o u v o i r a p p l i q u e r l a m é t h o d e d e s é 1 é m e n Ë s f i n i s , i l s u f f i È d e c o n n a i r r e r a m a r r i c e I t ] . L a m é t h o d e e s r d o n c a p p l i c a b l e q u e l r e s q u e s o i e n t l e s s y m é t r i e s d u m a t é r i a u c o n s i d é r é . oR l fr"l f*l'
. 2 . s i n - 0 2 . c o s - 0 s i n 0 - s i n 0 . c o s - 2 s i n 0 . c o 2 s i n 0 . c o 2 ^ c o s u - s ] - n4 4
-ANNEXE 4. - MATRICE DE RIGTDITE ELEMENTATRE (6)
Thé.o2,ème d.e.s tz,quauæ oirtueLs :
Q u e l q u e s o i t l e d é p l a c e m e n t v i r È u e l f O " ] c o m p a t i b l e a v e c l e s l i a i s o n s , l a s o r m e d e s t r a v a u x d e s f o r c e s e x È é r i e u r e s e s t ê g a L e à L a s o r l r m e d e s t r a v a u x d e d é f o r m a t i o n . - Travail de déformaEion :
ô ( d w r ) = f o . ] t f o ] d v
[ . ]
= ft]
[ " - ' ]
[ " ]
( r e l a r i o n t - 3 )
d , o ù
' fo.] = fe] ["-t] fo"]
f u , l ' = [ o " ] t ; " - t 1 t I r ] '
ô ( d w . ) = 1 0 . , ] t [ * - ' ] t
I r ] . t
f o ] a "
[ " ]
= ft]
[ r ]
[ " - t f
[ " ]
( r e l a t i o n r - 5 )
ô ( d w . )
= Eo"lt ç"-t 1t Ir]t ttl Is] ["-'] f,,l a*'
d ' i = ;o,,lt ["-']t lrtru It] f nl a"l ["-t] ['l
- T r a v a i l d e s f o r c e s e x E é r i e u r e s : ' r " . l E F p - l
o r E = L ô u J L . J
- I 1 v i e n t d o n c :
[ r ]
= f,*-'l' lrrru [r]' [t] [n] a"l ["-'] [u]
- D ' o ù l a m a t r i c e d e r i g i d i t é é l é n e n t a i r e :
- 4 5
D a n s l e c a s o ù u ( x , y ) , v ( x , y ) s o n t l i n é a i r e s , la macrice I r ] e s c u n e c o n s È a n t e ( r e l a t i o n l _ 3 ) , e t l a r e l a t i o n devient, pour u n p r o b l è m e p l a n :
- 4 6
ANNEXE 5
c ' a t t * t * u a t l r r r i * r f r r { r * * r r l r f { r r l } * t 4 4 * } r + l r } r f r } f l r } f r f r { r a f f r f r t r l t r a c - ' N T T A I I U i \ S c ' i C A y t " I , r a t r i t C E C C E F F I C I E t i T S _ D E p L A C E f E N T S : l u , y a r R r c E a i i r r i  i À i i e c a r c u r -v c t , a ï , . ( t ; Ë D E F C i t p A T I Ê N S _ C C Ë F F I C I E N T S ' c . 9 ! l ! ! c c N T i 1 A ] l { T È s - b o n t i . - | i t r - r r ' r l r v L L p L I a C C ; i L C N N Ë t S C E S N C E L T S I - . , - - - . . L - T T T L ; I F L . . I V A T I c N s c A N s L , T L E r É N T c i i r p Ë L l ' r T ' { I C E c c r - È r H t ' J c i N A N T L E S D E p L A c E T / E N t s a L x N 0 Ë u D s c . È F L D L L E c È c c u i i r r a -c . c F L X L t f r r L E È r - L . è i l À r c r s x c Ë c F L y L L h c L L r r È l i c i ù ' i È c t s v c b L E L E M A T , i t c Ê s r , È i À s i r c r i e D r s E L E y Ë N r s c , F C R E L w A T R I c , Ë c c L C r \ r \ E i È n r a r u r L E S F C R c E S a u x N c E U D s C I C I P L L N t j r . ; c L R C E R I G L C = N t p C l + I i . JL l-Li2{+x€€J_.!_l-{JrypÊ}_i. t_ L I h L R N L t r [ ; ] C D E L ' I t v p R I t j A N I E R A p I t E ç I E L t t / N t M u , { c D . E L E T / E N T i c L E r \ r y a ( c D Ê L , i l i p R i l v a N r E D U p t / p I T R E t r F c R r v ù r F l : r r r r - e rc R r a i c Ë l e c r u H e L t t L k f = l B o F l . o c . , ; : - : - : a 2 4 A F 2 . A c 3 2 6 F 3 . C c 4 2 C F 4 . O . c r r r c N L r . , ! r c , i . - È É i 3 ; l c E c a R T E s c i i r r r u | . a r , . r c r r r r i i c u À r , i l I I s p c o c H e s v 0 I S r N s I : r p R û t s u L F r r r r r L E r i p E c e - È - À c A u e r r u L l p q C d = I I S C T R O P E C O N T R A I N I E p L A f i E . C I P R C ù = 2 I s ô I a È p È D E F O R T A î I C N P L A N E C I o J , ! - 2 ; ; ; , ; ; ; : - - : : : : : ' - : : ' : r l ' L A t r E
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