Propagation acoustique dans les guides d'ondes courbes et Problème avec source dans un écoulement cisaillé

(1)

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Simon Félix

To cite this version:

Simon Félix. Propagation acoustique dans les guides d’ondes courbes et Problème avec source dans un

écoulement cisaillé. Acoustique [physics.class-ph]. Université du Maine, 2002. Français. �tel-00007890�

(2)

ECOLE DOCTORALE DE L'UNIVERSITÉ DU MAINE Le Mans, Fran e THÈSEDE DOCTORAT Spé ialité: ACOUSTIQUE présentée par Simon FÉLIX

pour obtenir letitre deDo teur d'Université

Propagation a oustique dans les guides d'ondes ourbes

&

Problème ave sour e dans un é oulement isaillé

Soutenue le 26novembre2002

devant lejury omposéde :

Y. AURÉGAN Chargé de re her he, LAUM, LeMans o-dire teurde thèse

A. CHAIGNE Professeur,UME-ENSTA, Palaiseau Président de jury

Y. GERVAIS Professeur,LEA,Poitiers rapporteur

V. GIBIAT Professeur,LAMI,Toulouse rapporteur

C. MORFEY Professeur,ISVR,Southampton (RU) examinateur

(3)

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nombreuses, ri hesetfort utiles dis ussions.Je leremer ie vivement pour sonengagement dans ette

thèsequi,plusqu'unen adrement,futunréelapprentissageàlare her he etàla uriosités ientique.

Jetiensàremer ierYvesAurégan,quiasuivi ettethèseave intérêt,bienveillan eetdisponibilité.

Je remer ie également Yves Gervais et Vin ent Gibiat, qui ont a epté d'être rapporteurs de e

mémoire dethèse, ainsiqueMM. AntoineChaigneetChristopherMorfey,quim'ontfait l'honneurde

faire partie dujury desoutenan e.

Mer i à Claude Depollier, Jean Hardy,Denis Lafarge et bien d'autres, pour leurs nombreuses

ré-ponsesà mes nombreusesquestions.

Qu'ils se soient onsa rés aux pro essus thermovisqueux, à Joy e, Freud, aux méthodes

paramé-triques ou aux parti ules supersymétriques, que nous ayons dis uté billard (quantique!), matri e de

diusion, hétérostru tures d'oxyde ou self-dualité, de nombreux do torants et amis ont partagé ave

moi, au quotidien ou o asionnellement, l'expérien e de la thèse et ses petits tra as. Je les remer ie

pour sestroisanspassésensemble.

Ungrandmer iàXavier, pour songéniedu roquissimple ete a e,et pour latou he artistique

apportée à e mémoire età laprésentation de soutenan e.

Mer iennàSophiepoursesengagements durant estroisans,sonsoutienetsesen ouragements,

età Pauline pour sonsoutieninno ent maissie a e.

(5)

(6)

Introdu tion 1

1 Généralités sur la propagation multimodale dans un guide d'ondes 5

1.1 Propagation dansunguide d'ondes ylindrique :théorie modale . . . 5

1.1.1 Formulation . . . 5

1.1.2 Guide de se tionre tangulaire. . . 7

1.1.3 Guide de se tion ir ulaire . . . 8

1.1.4 Formalisme ve toriel . . . 9

1.2 Propagation multimodale dansunguidede se tionvariable . . . 10

1.2.1 Etude desdis ontinuités . . . 11

1.2.2 Propagation dansunguide dese tion ontinûment variable . . . 12

1.3 Propagation a oustiquedanslesguides d'ondes ourbes . . . 13

2 Analyse multimodale de la propagation a oustique dans un guide d'ondes ourbe 17 2.1 Introdu tion . . . 17

2.2 Formulationde laméthode multimodale . . . 18

2.2.1 Reformulationdeséquations d'Euler . . . 18

2.2.2 Conditions auxlimites . . . 21

2.2.3 Intégration numérique deséquations pour Z,PetU . . . 21

2.3 Validation delaméthode multimodale . . . 22

2.3.1 Coude de ourbure faible . . . 22

2.3.2 Propagation dupremier modede oude . . . 24

2.3.3 Con lusion . . . 28

2.4 Appli ations . . . 28

2.5 Guide ourbe de se tionvariable . . . 30

2.5.1 Formulation . . . 30

2.5.2 Résultats . . . 31

2.6 Con lusion. . . 32

3 Propagation a oustique dans un oude de se tion ir ulaire 39 3.1 Introdu tion . . . 39

3.2 Formulation . . . 40

(7)

3.4 Propriétés de diusion . . . 45

3.5 Résonan esde avitésannulaires . . . 47

3.5.1 Matri ede diusionet al uldesfréquen es de résonan e . . . 47

3.5.2 Résonan esd'une avitétorique . . . 48

3.5.3 Résonan esd'une avitéannulaire omportant desparties droites . . . 49

4 Prise en ompte de traitements aux parois dans la formulation multimodale 57 4.1 Introdu tion . . . 57

4.2 Formulation multimodale . . . 58

4.2.1 Problèmeà deuxdimensions. . . 58

4.2.2 Problèmeà troisdimensions: oudede se tion ir ulaire . . . 60

4.2.3 Equationde Ri ati, matri ede diusion. . . 61

4.3 Atténuation dansun oudetraité enparois . . . 62

4.3.1 Fluxd'énergie dansle oude. . . 62

4.3.2 Atténuation d'uneonde in identeP (i) donnée . . . 62

4.3.3 Cas d'unesour e in ohérente . . . 63

4.4 Résultats . . . 64

4.4.1 Ondeplane in idente . . . 64

4.4.2 Sour ein ohérente . . . 72

4.4.3 Etude de la propagation d'unmode par la méthode des rayons et prévision de l'atténuation . . . 74

5 Propagation à haute fréquen e dans un guide ourbe 79 5.1 Introdu tion . . . 79

5.2 Validationde laformulationmultimodale auxhautes fréquen es . . . 80

5.2.1 Propriétés de lamatri ede diusion . . . 80

5.2.2 Convergen e de laformulation multimodale . . . 82

5.2.3 Cal ul dire tdu hampde pressiondansle oude . . . 83

5.2.4 Appli ation :synthèse d'unrayon par un groupede modes . . . 84

5.3 Cara térisation géométrique despropriétés dediusion d'unguide d'ondes . . . 86

5.3.1 Matri eS : appro he ondulatoire . . . 86

5.3.2 Matri eS : appro he rayons . . . 86

5.3.3 Géométriesétudiées . . . 87

5.3.4 Résultats . . . 89

6 Problème ave sour edans un é oulement isaillé 99 6.1 Introdu tion . . . 99

6.2 Formulation duproblème . . . 100

6.2.1 Fon tion de Green . . . 101

(8)

6.3 Résultats . . . 105

6.3.1 Propagation sansé oulement . . . 107

6.3.2 E oulement isaillé . . . 107

6.4 Perspe tives . . . 113

Con lusions 118

(9)

(10)

Le problème de la propagation d'une onde a oustique dans un guide peut être onsidéré omme

un problème unidimensionnel si lesdimensions transversales du guide sont petites devant la longueur

d'onde ara téristique et lerayon de ourbure moyen, et si e guidepeut être assimilé lo alement

-sur une distan e de l'ordre de - à un onduit uniforme, 'est-à-dire siles variations desdimensions

(se tionet ourbure)sontfaibles.L'ondea oustiqueestalorsuneondeplane,invariantesurunese tion

transverse du guide, et solution de l'équation d'onde unidimensionnelle (d

2 s 2 +k 2 ) = 0. Des termes

orre tifspeuvent êtreajoutésàl'équationd'ondepourdé rirel'eet,supposéfaible,desvariationsde

lase tion (équationdite de Webster, voir[18, 13 ℄)ou l'eet dela ourbure (voirpar exemple [73℄).

Si la fréquen e augmente et si les variations de la se tion ne peuvent être supposées lentes ou

la ourbure faible, la prise en ompte de modes d'ordres supérieurs est né essaire pour dé rire la

propagation dans le guide. D'une part es modes supérieurs peuvent être propagatifs et ontribuer

au transport de l'énergie dans le guide, d'autre part les variations, ontinues ou dis ontinues, de la

se tion oude la ourbure duguide induisent un ouplage entreles modes.Il importedon de prendre

en ompte touslesmodes,propagatifs etévanes ents, qui ontribuent de façon signi ative au hamp

a oustiquedansleguide pour ara tériser ave pré ision lapropagation.

Lamiseenpla edeformulationsmultimodalesdelapropagationen onduitpermetainsid'étendre

l'étudethéoriquedesguidesd'ondesaux asdelargesse tionsoudegéométriesnontriviales,dansune

gamme de fréquen ed'autant plus large qu'il est possible de prendre en ompte un grand nombre de

modes.

L'objet destravauxprésentésdans les hapitres 1à 5 de e mémoire estl'analyse multimodale de

lapropagation d'ondes danslesguides ourbes.

Desaspe tsgénérauxde lapropagationmultimodale dansunguided'ondes sontprésentés dansle

premier hapitre, introdu tif.Les prin ipalesnotions etgrandeurs utilesànotre étudesont dénies et

des résultats élémentaires sont donnés dans le as d'un guide ylindrique. La méthode de la matri e

impédan e, développée auparavant pour les guides de se tion variable et que nous avons souhaité

adapter àl'étude desguides ourbes, estprésentéeensuitesu intement.

Laformulationde laméthode de lamatri eimpédan eest dé riteen détailau hapitre 2 pour un

oudebidimensionnel. Une équation de Ri atipourla matri eimpédan eest onstruite, déduitedes

équationsmatri ielles régissantlesvariationsdansle oudedelapressionetdelavitesselongitudinale

projetéessurlesfon tionspropresduproblèmetransverselo al.Lesrésultatsobtenussontvalidésdans

deux asoùunesolution analytiquepeutêtredéterminée,etla onvergen edelaméthode estévaluée.

(11)

dans un oude et la pertinen e de la méthode développée pour e type de problème. Nous étendons

enn ette étude au as de guides ourbes de se tion variable, en établissant de nouvelles équations

matri ielles pour l'impédan eetles omposantes de lapressionet de lavitesse.

Le hapitre 3 est onsa ré à la mise en pla e de la méthode multimodale dans des oudes de

se tion ir ulaire, à trois dimensions. L'équation de Ri ati et les équations pour la pression et la

vitesse peuvent être exprimées sous la même forme que pour l'étude bidimensionnelle. A nouveau,

la vitesse de onvergen e de laméthode est évaluée. Nous proposons une formulation algébrique des

matri es des oe ients de réexion et de transmission, ne né essitant que des opérations simples

d'inversiondematri esetpar onséquentau unpro essusitératifniau uneintégrationnumérique.La

ara térisationdespropriétésdediusionde oudesetdesystèmesplus omplexesestalorspossible,et

nousendonnonsplusieurs appli ations, notamment le al uldesfréquen esde résonan ed'une avité

omposée de partiesdroiteset oudées.

La prise en ompte de onditions limites mixtes aux parois dans la formulation multimodale a

été envisagée et nous a amenés à nous intéresser à la transmission d'une onde a oustique par un

oude traité aux parois par un matériau absorbant ( hapitre 4). Nous donnons pour e faire une

première expression, déduite de la matri e de transmission, de l'atténuation d'une onde in idente

donnéedansunguided'ondestraitéauxparois.L'introdu tiondela ondu tan e,quantitéusuellepour

ara tériserletransportdansunguidemésos opique,nouspermetdedonnerunese ondeexpressionde

l'atténuation,plusgénérale,pourunesour esupposéein ohérente.Desrésultatsobtenusave esdeux

expressions pour plusieurs géométriesde guides ettypesdetraitement, nousdéduisonsles prin ipales

ara téristiquesde latransmissiondansun oude. Uneappro he detyperayon,enn,nouspermet de

prévoirles lieuxd'absorption maximale del'énergie d'unmode lelongdesparois traitées.

L'utilisationdelaméthodemultimodalepourlarésolutiondeproblèmesàtrèshautefréquen efait

l'objet du inquième hapitre. Les al uls dire ts de la matri e de diusion et du hamp de pression

dans un oude sont validés lorsqu'un grand nombre de modes propagatifs (de 100 à 1000) est pris

en ompte. Une étudede la orrespondan e de l'appro he, ondulatoire, quenousavonsdéveloppée et

utiliséejusqu'i i,ave l'appro he géométrique orrespondant àlalimiteasymptotiquehautefréquen e

estensuiteréalisée.Lesmatri esdediusiondeguides omposésdepartiesdroiteset oudéessont

dé-terminéesave esdeuxappro hes,etnousmontronsunegrandesimilitude entrelesrésultatsobtenus.

Outre lagéométriedu onduitqui,lorsqu'ellen'estpasuniforme,perturbelapropagationdel'onde

a oustiqueguidée,lemilieudepropagationégalement,s'ilestinhomogèneouenmouvement,modieles

ara téristiquesdel'onde.Ainsilaprésen ed'uné oulementdansun onduitinduit-elleuneintera tion

omplexe entre l'a oustique et l'hydrodynamique. Les modes et onstantes de propagation sont ainsi

modiés par leseetsde onve tion de l'onde a oustiqueetde réfra tionsi l'é oulement est isaillé.

Le hapitre 6 présente l'étude de la propagation a oustique dans un guide droit siège d'un

é oulement parallèle isaillé, en présen e d'une sour e. La sour e étant supposée pon tuelle, nous

déterminons la fon tion de Green de l'équation de Pridmore-Brown, équation aux valeurs propres

régissant les modes et les onstantes de propagation asso iées à es modes dans un guide droit en

présen ed'uné oulement isaillé. Par transforméede Fourier spatiale inverse,les plesde lafon tion

deGreenfontapparaîtrelesmodesa oustiquesperturbésparl'é oulement,dontilestalorspossiblede

(12)

(13)

(14)

Généralités sur la propagation

multimodale dans un guide d'ondes

1.1 Propagation dans un guide d'ondes ylindrique : théorie modale

Nousprésentonsdans ettese tionuneappro he lassiquedel'étudedelapropagationmultimodale

dansle assimpledesguides ylindriques,envued'introduirelesprin ipalesnotionsetgrandeursutiles

à notre étude, notamment la notion de modes en onduit. Les as parti uliers des guides de se tion

re tangulaire et ir ulaire sont étudiés plus en détail à titre d'exemple, an de rappeler quelques

résultats lassiques auxquels nous ferons référen e à plusieurs reprises dans la suite de e mémoire.

Nousprésentonsenn unformalisme ve torielpourl'étudedelapropagationmultimodale, formalisme

quenousadopteronsdanslasuitede e hapitre etpour toutel'étudedesguides d'ondes ourbes, qui

onstitue lamajeure partie de e mémoire.

1.1.1 Formulation

Soitledomaine (g.1.1) ,dénissant un guided'ondes ylindrique inni.

PSfragrepla ements

Fig.1.1: Guided'ondes ylindriqueinni

Dans le adre de l'a oustiquelinéaire, adiabatique, sans vis osité ni ondu tivité thermique, dans un

uideau reposdans,lapressiona oustiquep etlavitessevsatisfontauxéquationsde onservation

(15)

v t = 1 0 rp (1.1) et de onservationde lamasse 1 0 2 0 p t =r:v ; (1.2) où 0

est la densité du uide et

0

la vitesse du son. Les onditions de uide parfait sur les parois

supposées rigidesetparfaitement réé hissantesimposent une vitessenormalenulle sur.

Dans le domaine fréquentiel, les équations satisfaites par les amplitudes omplexes asso iées à p

et v (nous les noterons de lamême manière, en omettant lefa teur exp(j!t)) déduitesdeséquations

(1.1) et(1.2) etdela ondition auxparois peuvent êtreréduites auproblème suivant pourp :

(+k 2 )p=0 dans (1.3) p n =0 sur ; (1.4) où k=!= 0

estle nombre d'ondeet=

n

ladérivée normalepar rapportà laparoi.

Il existe 11 systèmes de oordonnées, dont les systèmes usuels ( artésien, ylindrique, sphérique,

et .), dans lesquels l'équation de Lapla e, et par onséquent l'équation de Helmholtz (1.3), sont

séparables [52 ℄. Si de plus les onditions aux limites dans le système de oordonnées (

1 ; 2 ; 3 )

s'appliquent sur des surfa es

i

= onstante (on parle de géométrie séparable), alors le problème

(1.3,1.4) estditséparable :dessolutions élémentaires de (1.3, 1.4)de laforme

p ( 1 ; 2 ; 3 )=f ( 1 )g ( 2 )h ( 3 ) (1.5)

peuvent être onstruites, où

2 et

3

sont les oordonnées transversales et

( 2 ; 3 ) = g ( 2 )h ( 3 )

vérie l'équationauxvaleurspropres

? = 2 : (1.6)

La ondition aux parois (1.4) impose des valeurs propres

2

négatives et dis rètes; l'ensemble des

valeursde l'indi e estdon dis ret, àvaleursdansN,N

2

ouN

3

par exemple.Leproblèmetransverse

dénit don uneinnité de modes(1.5). Lesfon tionsf

sontsolutions de l'équation diérentielle

d 2 d 2 1 +k 2 f =0; ave k 2 =k 2 2 ; (1.7)

(16)

p ( 1 ; 2 ; 3 )=e jk1 ( 2 ; 3 )

et toute solution du problème (1.3, 1.4) peut être exprimée omme une ombinaison linéaire de es

fon tions: p( 1 ; 2 ; 3 )= X ( + e jk1 + e jk1 ) ( 2 ; 3 ):

La relation de dispersion(1.7) fait apparaître desmodespropagatifs,pour lesquels k

2

>0,et des

modes évanes ents, pour lesquels k

2

< 0. Chaque mode est ainsi ara térisé par une fréquen e de

oupure

et seul un nombre ni de modes, eux dont la fréquen e de oupure est inférieure à la

fréquen e k de lasour e,est propagatif.

1.1.2 Guide de se tion re tangulaire

PSfragrepla ements 0 x y z l x l y

Fig.1.2: Guidede se tionre tangulaire

Dans le as parti ulier où la se tion du guide est re tangulaire, 'est le système de oordonnées

artésiennes (g.1.2) quiest adaptéà l'expressiondes onditions auxlimites surles parois,en x=0,

l x

ety =0,l

y

.Lesmodestransversaux, solutions de (1.6),sont lesfon tions orthogonales

mn (x;y)= os( mx l x ) os( ny l y ); 8(m;n)2N 2 ;

asso iéesauxvaleurspropres

mn = s m l x 2 + n l y 2 :

La forme despremiers modestransversaux estdonnée surla gure1.3.

Le hampdans leguide d'ondes de se tion re tangulaire peut alors être obtenu en sommant tous

les modes: p(x;y;z)= X m;n ( + mn e jkzz + mn e jkzz ) os( mx l x ) os( ny l y ) ; oùk 2 z =k 2 2 mn

.Des onditionsdenonréexion(sileguideestinniousemi-inni),derayonnement

ou de ontinuité (si leguide est de longueur nie),ou traduisant laprésen e de sour es, permettront

de déterminerles onstantes

.

(17)

PSfragrepla ements

m=0 m=1 m=2

n=0

n=1

Fig. 1.3: Modestransversauxd'un guidede se tion re tangulaire

1.1.3 Guide de se tion ir ulaire

PSfrag repla ements r z r 0

Fig. 1.4: Guidede se tion ir ulaire

Dans le systèmede oordonnées ylindriques (g.1.4) , la ondition de Neumann homogène (1.4)

s'é rit r p=0surlasurfa er =r 0 dénissantlaparoi,r 0

étant lerayon onstant duguide.Lesmodes

transversauxsont les solutions

(r;)=R (r) ()de l'équation 1 R d 2 R dr 2 + 1 rR dR d r + 1 r 2 d 2 d 2 + 2 =0 et s'é rivent (r;)=A J m ( mn r r 0 )sin(m+ 2 ); (1.8) où J m

est lafon tion de Bessel d'ordre m et

mn le(n+1)ème zéro de J 0 m ,dérivée de J m .La forme

des premiers modes est donnée surla gure 1.5. La fréquen e de oupuredu mode

est mn =r 0 et

est le triplet d'indi es (m;n;), où m est l'indi e ir onférentiel (m0), n l'indi e radial (n0)

et l'indi e desymétrie(=0;1).Labasedesfon tions(1.8)estorthogonale etpeutêtrenormée en

prenant A = 8 < : 1= p J 2 0 ( 0n ) si m=0 1= q 1 2 (1 m 2 2 mn )J 2 0 ( mn ) si m>0 ; (1.9) de sorte que Z dS =r 2 0 Æ :

(18)

La solutiongénérale dansleguidede se tion ir ulaire estalors donnéepar p(r;;z)= X ( + mn e jk z z + mn e jk z z )A J m ( mn r r 0 )sin(m+ 2 ) ; où k 2 z =k 2 ( mn =r 0 ) 2 . PSfragrepla ements 00 =0 10 =1:8412 20 =3:0542 01 =3:8317 11 =5:3314 21 =6:7061

Fig. 1.5:Modes transversauxd'un guidede se tion ir ulaireet valeursde

mn

orrespondantes.

1.1.4 Formalisme ve toriel

Sur une se tion transversale d'unguide d'ondes, les modes

,solutions du problème transverse,

forment une base omplète sur laquellela pression etla vitessepeuvent être projetées. Les équations

de onservation de la masse et de la quantité de mouvement peuvent ainsi être reformulées en

fon -tiondesve teursPetUdes omposantesdelapressionetdelavitesselongitudinaledanslabase(

).

Soit les développements suivantsde lapression p et de la vitesselongitudinale v

1

sur labase des

fon tionspropres : p( 1 ; 2 ; 3 )= X P ( 1 ) ( 2 ; 3 )= t P v 1 ( 1 ; 2 ; 3 )= X U ( 1 ) ( 2 ; 3 )= t U:

Ces nouvelles expressions sont introduites dans les équations (1.1) et (1.2), dans lesquelles les

omposantestransversesdelavitesse ont étééliminées :

j! t U= 1 0 t dP d 1 ; (1.10) j! 0 2 t P= t dU d 1 1 j! 0 ? t P: (1.11)

(19)

Lesfon tions propresétant hoisies normées(et sansdimension)- elles vérient Z S dS =SÆ ;

où S estl'aire de se tiondu guide- laproje tion de (1.10) et(1.11) sur elles- i donne leséquations

P 0 = jk 0 0 U U 0 = 1 jk 0 0 KP

régissant l'évolution suivant

1

des variables ve torielles P et U. Le symbole

0

désigne la dérivée par

rapport à

1

et la matri e K traduit la relation de dispersion : K

= (k 2 2 )Æ . Ces équations

montrent undé ouplage total entre les diérentsmodes. Chaque omposante satisfaità une équation

de propagationunidimensionnelle simple :

P 00 +(k 2 2 )P =0:

Ainsi, si les ve teurs pression P(

1

) et vitesse U(

1

) sont onnus en un point de oordonnée

longitudinale

1

dans le guide droit, leur valeur au point

1 +l (l > 0 ou l < 0) peut aisément être al ulée : P( 1 +l)=D 1 P( 1 ) D 2 Z U( 1 ); (1.12) U( 1 +l)= D 2 Z 1 P( 1 )+D 1 U( 1 ); (1.13) où D 1 , D 2 et Z

sont des matri es diagonales données par D

1 = osk l, D 2 = jsink l et Z = 0 0 k=k [65, 66 ℄.

1.2 Propagation multimodale dans un guide de se tion variable :

méthode de la matri e impédan e

L'étude desdis ontinuités onstituant une partimportante destravauxpubliés surlapropagation

guidée, 'està ettenqu'ont étédéveloppées nombrede méthodesmodales,analytiquesou

partielle-ment numériques. La méthode de la matri e impédan e, quenous avons souhaité adapter à l'analyse

de la propagation multimodale dans les guides d'ondes ourbes, a ainsi été proposée pour résoudre

desproblèmes de dis ontinuités de se tion, de dire tion (ra ordement anguleux) ou par hangement

brusquede l'impédan e desparois duguide [65 , 66,35℄, avant d'êtrerevue de manière plus omplète,

formalisée et étendue à l'étude des guides de se tion ontinûment variable [57 , 4℄. Nous présentons

(20)

1.2.1 Etude des dis ontinuités

Lorsque lase tion d'un guide d'ondes varie par dis ontinuités su essives, ou si le problème peut

être traité omme tel (g.1.6) , les méthodes présentées dans la se tion pré édente peuvent être

ap-pliquéesà haqueguide ylindrique élémentaire onstituant le guided'ondes.Les diérentes solutions

sont ra ordées auxdis ontinuités enappliquant les loisde onservation fondamentales[1, 65 ,66,35℄.

Nous donnonsi ila méthode proposéepar Roure.

PSfragrepla ements

(a) (b)

Fig. 1.6: Guides de se tion variable; (a) dis ontinuités brusques de se tion, (b) se tion

ontinû-mentvariableet dis rétisationsous formed'une su essionde guides ylindriques.

Considérons le ra ordement de deux éléments ylindriques de se tions diérentes (g. 1.7).

L'é riture de la ontinuité de la pression et de la vitesse sur la petite se tion S

1

et de la nullité

de lavitesselongitudinale surle omplément à S

1 ,S 2 S 1 ,donne [36℄ P (1) =FP (2) ; (1.14) a t FU (1) =U (2) ; (1.15) ave a=S 1 =S 2 et F = 1 S 1 Z S 1 (1) (2) dS;

où lesfon tions

(i)

(i=1;2)sontles modespropres du guidede se tionS

i . PSfragrepla ements 0 1 2 S 1 S 2

(21)

Nous disposons ainsi d'un ensemble d'équations algébriques (équations 1.12 à 1.15) dé rivant la

propagation a oustiquedansun guide omposé de segmentsdroits de diérentes se tions. Reste qu'il

n'estpaspossibleà estadede al ulerdire tementlapressionoulavitesseàpartirdesseuleséquations

(1.12), (1.13), (1.14) et(1.15). En eet, si l'on onsidère le problème typique d'unguide de longueur

nie,enavalduquel ondonneune onditionderayonnement(uneimpédan e),etenamontduquel est

pla ée unesour e onnue,de telles onditions nesusent pasà larésolution deséquations pourP ou

U[57℄.Onnepeuten outredonnerune onditionpourlapressionet pour sadérivéeenavalduguide,

e qui ne laisserait au un degré de liberté au niveau de lasour e. De la même manière, imposer une

ondition pour la pressionetsa dérivée au niveau de la sour e ne laisserait au un degréde liberté au

niveau de la terminaison duguide, don pour le hoix de l'impédan e de rayonnement. D'autrepart,

par e que les termes en osk

l et sink

l dansles équations (1.12) et(1.13) peuvent être très grands

si k

est imaginaire, l'utilisation dire te de es équations peut induire des problèmes numériques de

onvergen e.

On introduit don une impédan egénéralisée Z,dénie par la relation P=ZU. L'impédan e de

rayonnement étant onnue et donnée sous une forme matri ielle Z

r

, Z est al ulée d'aval en amont

jusqu'aupoint oùest dénielasour e, enutilisant alternativement les relations

Z (1) =aFZ (2)t F auxdis ontinuités, et Z (0) =D 3 (I+D 1 2 Z (1) (Z (1) +D 1 3 Z ) 1 D 1 2 )Z (1.16)

dans les parties droites (g.1.7) , déduites de (1.12), (1.13), (1.14) et (1.15). D

3

est une matri e

diagonale donnée par D

3

= jtank

l, et Z

(0)

est l'impédan e d'entrée du segment droit onsidéré

[65, 66, 57 ℄. A l'extrémité amont du guide d'onde lavaleur de P ou U est onnue - 'est ainsi qu'est

dénielasour e -don lapressionetlavitessepeuvent àleurtourêtre al uléesdansleguide,àl'aide

de relations dutype U (1) =( D 2 Z 1 (Z (0) Z )+e jkl )U (0)

déduitesdeséquations (1.12), (1.13) et(1.16),etdeséquations de ontinuité (1.14) et(1.15).

Le al ul préalable de l'impédan e permet don de résoudre un problème réaliste, déni par des

données physiques (sour e, ondition de rayonnement). Il permet également de s'aran hir des

pro-blèmesnumériquesliésà laprésen ede modesévanes entsdansles équations des hamps de pression

et de vitesse.

1.2.2 Propagation dans un guide de se tion ontinûment variable

Dans le as dis retque nousvenonsde voir, nousavonsobtenupour P, U etZ deséquations

algébriques régissant leur évolution dans le guide. Le as d'un guide d'ondes de se tion ontinûment

(22)

innitésimales [37℄, ou obtenues en projetant dire tement les équations d'Euler dans le guide sur les

modes transverseslo aux, suivant laméthode proposéepar Stevenson[69℄. L'impédan e Z satisfaità

une équation non-linéairede Ri ati[57, 4℄.

Danslaplupart des as, une solutionanalytique de eséquations ne peutêtre obtenue;elles sont

don résolues numériquement. L'impédan e Z est al ulée dans le guide par un algorithme de type

Runge-Kutta. Les termes de la matri e Z peuvent varier rapidement le long du guide, présenter des

pi s importants,aussil'utilisation d'unpasd'intégrationadaptatif est-ellené essaire. L'impédan eZ,

ou l'admittan e Y (Y = Z

1

), ayant été al ulée en remontant le guide de la terminaison au point

sour e,le hampa oustiquepeutàsontourêtre al uléensensinverse,d'amontenaval.Larésolution

des équations diérentielles pour P et U né essite de onnaître la valeur de l'impédan e en haque

point d'intégration. Lors de l'intégration de l'équation deRi ati, on impose don ,dans lapro édure

de al ul du pas adaptatif, le passage par un ensemble de points régulièrement espa és de l'axe du

guide.Cesto kagedesvaleursdel'impédan e,quipeut être oûteuxentermedemémoire,impose

de sur roît unpasxepour l'intégration deséquations satisfaitespar P et U.

Cette méthode, qui tient ompte du ouplage entre les modes, qu'ils soient propagatifs ou

évanes ents, permet l'analyse de toute géométrie de guide d'axe re tiligne, dans une large gamme

de fréquen e. Il est possible en outre d'a éder dire tement à l'impédan e d'entrée ou à la matri e

des oe ientsderéexion pour ara tériser lespropriétés a oustiquesduguide, etlaformulationdes

onditions de rayonnement est parti ulièrement aisée. L'appro he multimodale permet également de

déterminerlesmodespropresetlesfréquen esde résonan ede avitésouvertes[56℄ oufermées[66,3℄.

1.3 Propagation a oustique dans les guides d'ondes ourbes

Malgré l'intérêt pratique de solutions du problème a oustique dans les guides d'ondes ourbes,

soulignépardenombreuxauteurs(voir[29 ,15 ,71 ,34 ℄,parexemple),trèspeudetravauxontétépubliés

avant les années 1970 sur e sujet,essentiellement à ause des di ultésmathématiques ren ontrées,

en parti ulier pour larésolution de l'équationd'onde danslesystèmede oordonnées ylindriques.

PSfragrepla ements R 1 R 2 z r

Fig.1.8: Coude de se tionre tangulaire

(23)

générale p (r;;z)= A J (k r r)+B N (k r r) C os (k z z)+D sin(k z z) e j ; (1.17)

où (r;;z) sont les oordonnées ylindriques, J

et N

les fon tions de Bessel et de Neumann

respe tivement, k

r etk

z

les omposantes du ve teur d'onde (k

2 r +k 2 z =k 2

) [41 ℄. Les nombres d'onde

angulaires ,nombres sansdimension, sontles solutions de larelation dedispersion

jN (k r R 1 )+N 0 (k r R 1 ) jJ (k r R 1 )+J 0 (k r R 1 ) jN (k r R 2 )+N 0 (k r R 2 ) jJ (k r R 2 )+J 0 (k r R 2 ) =0; où R 1

est lerayon de laparoi intérieure du oude, R

2

le rayon de laparoi extérieure et =

0 0 v r =p

l'admittan e réduiteauxparois,ave v

r

la omposante radialede lavitesse[29℄.C'est larésolution de

ette équation impli ite et l'expression des solutions (1.17), mettant en jeu des fon tions de Bessel

et de Neumann d'indi es omplexes (ou réels et imaginaires purs si = 0), qui onstituent la

prin ipale di ulté et ont amené les auteurs à adopter diérentes méthodes appro hées : appro he

en perturbation, en supposant le oude faiblement ourbé [41, 61, 73℄, développement en série des

fon tions de Bessel et de Neumann [29 , 62℄, approximation basses fréquen es [62℄ ou restri tion aux

seulsmodespropagatifsdansle oude[55 ℄,voireaupremiermodeuniquement[15℄.Plusieursméthodes

numériquesont également étéutilisées [12,19, 45 ,16℄.

Les oudesdese tion ir ulaireetplusgénéralement euxdontlase tionn'estpasre tangulaireont

sus ité peu de travaux théoriques, l'équation d'onde n'étant pasa essible à une solution analytique

exa te dans es géométries [52℄. A nouveau, des méthodes appro hées [34 , 23 , 25 , 26 ℄ ou purement

numériques[20 , 16℄ontété privilégiées.

Ces études théoriques etnumériques, en plusde nombreux travaux expérimentaux, ont permis de

mettreen éviden e plusieurs ara téristiquesde lapropagationa oustiquedansun oude:

-Lenombre d'ondeangulaire, toutd'abord,paramètresansdimension,pendantdunombred'ondequi

ara térise lapropagation en onduit droit. Cenombre est fon tion de lafréquen e etde la ourbure

du oude.

- L'inaptitude du mode plan à se propager dans un oude [64 ℄. Le hamp de pression sur une

se tion transversale du oude n'est jamais uniforme. Il en résulte qu'à l'interfa e d'un oude et d'un

guidedroit, même auxbassesfréquen es,un ouplage demodesest observé etdesmodesévanes ents

sont générés.

-Lavitessedephase,l'impédan eetlesrésonan esdansle oudeontégalementfaitl'objetdetravaux,

envuenotammentd'étudierl'inuen edela ourburesur esgrandeurs,en omparaison deleurvaleur

dansun guidedroit.

- L'inuen ede la ourburesur l'atténuation d'uneonde dansun onduit dont les paroissont traitées

par un matériauabsorbant est onnue empiriquement depuis longtemps - l'atténuation esten général

plus importante auxhautes fréquen es dans un oude quedansun onduit droit de même longueur

-et plusieurstravauxthéoriquesetnumériquesont étéréaliséspourretrouver es ara téristiqueseten

proposerune interprétation [30 , 51,39 ,40,63,8 ,42℄.

Iln'existetoutefoisau uneappro hesystématiquepour ara tériserlespropriétés a oustiquesd'un

(24)

oude reliant deux guides droits semi-innis) et ne peuvent être dire tement utilisées pour d'autres

ongurations. Une appro he plus générale, d'une plus grande modularité, permettrait l'étude des

oudes dans des ongurations diverses, réalistes, et éventuellement omplexes sans pour autant

augmenterla omplexité de laméthodeelle-même.

- Les propriétés de réexionetde transmission d'un oudeont étépeuétudiées, faute d'uneméthode

analytique ounumérique simple pour a éder à es grandeurs.

- Si lesprin ipales ara téristiquesde lapropagationdansun onduit ourbetraitéauxparois ontété

miseen éviden e théoriquement, les on lusions apportéespar estravaux sont parfois onfuses.

(25)

(26)

Analyse multimodale de la propagation

a oustique dans un guide d'ondes ourbe

Ce hapitre s'inspiredansune largemesured'unarti lepubliéau Journalof theA ousti al So iety

of Ameri a en septembre 2001 [21℄,adapté et omplété.

2.1 Introdu tion

Par e qu'elle estun prolongement logique de lathéorie de la propagationd'ondes guidées,

a ous-tiquesou éle tromagnétiques, l'étudede lapropagationdansles guides ourbesasus itéde nombreux

travaux etpubli ations (pour unerevue en a oustique,voir[64 ℄).

L'appro he laplus ourante pour résoudre e problèmeest laméthode par séparationde variables

[41, 29, 62 , 15 , 55℄, qui onduit au al ul de modes de oude, équivalent desmodes en onduit droit.

Nous yferons référen edans lasuite omme méthode des modes de oude. Dans un oude de se tion

re tangulaire, et par onséquent dans un oude bidimensionnel, le problème (1.3, 1.4) est en eet

séparable. Cependant,s'agissantd'un oudede longueur nie, lasolution obtenue doitêtre ra ordée

auxsolutionsenamontetenavaldu oude, quinesontpasaprioridéveloppéessurlabasedesmodes

du oude. Dans les premièresétudes, proposées par Krasnushkin [41℄ etGrigor'Yan [29℄ entre autres,

e problème est é arté en onsidérant des oudes inniment longs. Le as d'un oude joignant deux

guides d'ondes droitsesttraité plustardpar Rostanski[62℄, Cummings[15 ℄ etOsborne[55 ℄.

La relation de dispersion pour les modes de oude obtenue ave ette méthode met en jeu des

fon tionsde BesseletdeNeumann d'ordresnonentiers(ilssont réelsouimaginaires purssiles parois

du oude sont rigides etparfaitement réé hissantes, et omplexes si l'admittan e aux parois est non

nulle, omme nous le verrons au hapitre 4). Les di ultés posées par ette relation de dispersion

impli iteontamenéàproposerdiérentesapproximations:uneappro heenperturbation(Krasnushkin

[41℄), en supposant le oudefaiblement ourbé, un développement en série desfon tions de Bessel et

de Neumann (Grigor'Yan [29℄, et Rostanski[62 ℄ en limitant l'étude aux grandes longueurs d'onde),

la propagation du seul mode plan(Cummings [15℄), ou une théorie modale simpliée ne onsidérant

notamment quelesmodespropagatifs(Osborne[55 ℄).Plusré emment,KimetIh[38 ℄ontproposéune

(27)

planeslapropagationdepartetautredela hambre eten déterminant une formuleempiriquepourle

premier mode de oude.

Desméthodesautres quelaméthode desmodesde oudeontétéutiliséespourl'étudedela

propa-gationa oustiquedansles oudes:Galerkin(Tam[71℄,voirégalement [24 ℄),diéren esnies(Cabelli

[12℄),élémentsdefrontière (El-RahebetWagner [19℄),éléments nisspe traux(Lin[45℄), ouune

mé-thode basée surles équations d'Euler 2D(Dequand et oll. [16 ℄).Ces appro hes, si elles peuvent être

utilisées pour l'étude de as plus généraux que eux présentés auparavant et fournir de nombreuses

informations, ne permettent toutefois pasune interprétation physique dire teet ne sont pastoujours

adaptées à laformulationdes onditions de rayonnement enavaldu oude.

Nousnousproposonsdedévelopperdans e hapitreuneformulationmultimodaledelapropagation

a oustiquedansun guide ourbe à deuxdimensions, quellesquesoient sa ourbure etlafréquen e de

la sour e. Une telle appro he a déjà été formulée et validée pour les guides d'ondes d'axe re tiligne

et de se tion variable (Pagneux et oll. [57 , 4℄), dont nous avons présenté les prin ipes au hapitre

pré édent. Faisant suite aux travaux de Stevenson [69℄, Alfredson [1℄, Roure [65 , 66 ℄ et Kergomard

[35, 36℄ sur la propagation multimodale dans les guides de se tion variable, les auteurs onstruisent

deuxéquationsdiérentiellesd'ordre1dedimensioninniepourles omposantesdelapressionetdela

vitesse longitudinale projetées sur les modes du problèmetransverse lo al, puis déduisent de elles- i

une équation non-linéaire de Ri ati pour la matri e impédan e. Cette équation peut être intégrée

numériquement après tron atureà unnombre susant demodes.

Nousdonnonsdanslase tionsuivantelaformulationdelaméthodemultimodalepourlesguidesde

ourbureetdese tion onstantes,enmettantenéviden ele ara tèretrèsgénéraletmodulairede ette

méthode,ainsi quesa pertinen e pour laformulation des onditions de rayonnement. Deux exemples

parti uliers sont traités dans la se tion 2.3, pour lesquels une solution analytique peutêtre obtenue,

permettant ainsi de valider la méthode multimodale; plusieurs appli ations sont ensuite proposées

(se tion2.4).Enn, etteétudeestétendueauxguides ourbesdese tionvariableetplusieursrésultats

sont présentés.

2.2 Formulation de la méthode multimodale

Nous onsidérons une se tion de ourbure nie et onstante d'un guide d'ondes bidimensionnel

(g.2.1) . R

0

est le rayon de ourbure de l'axe ir ulaire du oude, s

f

la longueur de l'axe et h la

largeurdu guide. Lesparois sont supposées rigidesetparfaitement réé hissantes.

2.2.1 Reformulation des équations d'Euler

Dansle adredel'a oustiquelinéaire,adiabatique,dansunuideaureposdansleguide,lapression

a oustique p etla vitesse v ,dont les omposantes sont v

r et v s dans le repère( ^ u r ; ^ u s ), satisfont aux

équations (1.1) et(1.2),qui s'é rivent dansledomaine fréquentiel

(28)

PSfragrepla ements (I) (II) (III) h R 0 0 s f ^ u s ^ u r

Fig. 2.1:Guidede ourbure onstante et systèmede oordonnées.

pour p et v adimensionnées par

0 2 0 et 0 respe tivement, ave k = != 0 et en omettant le fa teur exp(j!t) .La omposante v r

éliminée, es équations donnent dans le oude

jk(1 r)v s = p s ; (2.3) jk(1 r)p= v s s 1 jk r (1 r) p r ; (2.4) où =1=R 0

est la ourbure del'axe.

Lapression p etla vitesselongitudinalev

s

sont exprimées àl'aide desséries innies

p(r;s)= X 2N P (s) (r); (2.5) v s (r;s)= X 2N U (s) (r); (2.6)

où les fon tions

sont les solutions duproblème auxvaleurspropres d

2 r 2 = 2 ,satisfaisant à

la ondition deNeumann homogène auxparois

d dr r=h=2 =0: P etU

sontdesfon tionss alaires. Lesmodespropres

,quisontlesmodestransversesd'unguide

droit de largeurh,sont les fon tions

(r)=A os h (r h 2 ) ;

asso iées aux valeurs propres

= =h. Ils sont orthogonaux et peuvent être normés en prenant

A =

p

(29)

h=2 Z h=2 d r=hÆ :

Ainsi dénis, es modes sont des fon tions sans dimension, omme le sont les fon tions P

et U

.

Suivant unformalisme matri iel,les dé ompositions modales(2.5) et(2.6) s'é rivent

p= t P; v s = t U; où P=(P ) 2N etU =(U ) 2N

sont les ve teurs des omposantes de p etv

s danslabase ( ) 2N ,

et estleve teurdesmodespropres

.Enprojetant surlabasedesfon tions

leséquations(2.3)

et (2.4) ( f.annexe A),il vient

P 0 = jkBU; (2.7) U 0 = 1 jk (C+KB)P; (2.8) oùlesymbole 0

désigne ladérivée par rapportàsetK

=(k 2 2 )Æ ,(;) 2N 2 .Lesmatri esB

et C sont données par

B = 1 h h=2 Z h=2 (1 r) (r) (r)d r; (2.9) C = h h=2 Z h=2 0 (r) (r)d r; soit B = 8 > < > : 1 si = A A h 2 (( 1) + 1) 2 + 2 ( 2 2 ) 2 si 6= ; C = 8 > < > : 0 si = A A h (( 1) + 1) 2 2 2 si 6= ;

ellesnedépendent quedesparamètres géométriqueshet etnondek.Iln'est don pasné essairede

les re al ulerpour haquefréquen e.

Pour les raisons évoquées au hapitre pré édent, notamment l'instabilité numérique due à la

présen e de modes évanes ents ( orrespondants à K

(30)

P=ZU: (2.10)

Cettematri eestappeléeimpédan egénéralisée ar,suivantlarelation(2.10),elleestunegénéralisation

à lapropagation multimodale de l'impédan e lassique en ondes planes. Z est solution de l'équation

non-linéaire deRi ati Z 0 = jkB 1 jk Z(C+KB)Z ; (2.11) obtenue en substituant à P 0 et U 0

leurs expressions (2.7) et (2.8) dans la dérivée de (2.10), P

0 = Z 0 U+ZU 0

.Cetteéquation diérentielle ordinaire pour Z peutêtre intégrée numériquement dès lors

qu'une ondition initialeestimposéeen avaldu oude.

2.2.2 Conditions aux limites

Une ondition de rayonnement est imposée en aval du oude sous la forme d'une matri e

Z r

, ondition initiale pour l'intégration de l'équation de Ri ati (2.11). Par exemple, l'impédan e

de rayonnement d'un oude débou hant sur un guide droit semi-inni est la matri e impédan e

ara téristique Z

,diagonale,donnée par:

82N; Z = k k ; ave k = p k 2 2

pour les modes propagatifs,k

= j p 2 k 2

pour les modes évanes ents. Z

r

étantdonnée,lamatri eimpédan eZ est al uléeentoutpointlelongdu oude,qu'ilestalorspossible

de ara tériser, par sonimpédan ed'entrée ou la matri e des oe ients de réexion omme nousle

verrons danslasuite.

Lorsquel'impédan eest onnue dans le oude, le hamp a oustiquepeutà sontour être intégré :

une ondition sur P ou U, dénissant la sour e, est imposée en amont du oude, et les hamps de

pression etdevitesse sont al ulésà l'aidedeséquations (2.7) et(2.8) reformulées ommesuit :

P 0 = jkBYP; (2.12) U 0 = 1 jk (C+KB)ZU; (2.13)

où Y est la matri e admittan e (Y = Z

1

). Du fait de la présen e de la matri e impédan e, es

équations sont numériquement stables [57 ℄. L'une ou l'autre de es équations est don intégrée de

l'entréeà laterminaisondu oudepour obtenir lavitesseou lapression,l'autre quantité étantensuite

al ulée ave larelation(2.10) ou soninverse,U=YP.

2.2.3 Intégration numérique des équations pour Z, P et U

(31)

de Ri ati pour Z est intégrée d'aval en amont dans le oude au moyen d'un algorithme de

Runge-Kutta ave un pas d'intégration adaptatif. L'impédan e Z est alors enregistrée sur un ensemble de

points régulièrement espa és de l'axe du oude, permettant une intégration de l'équation (2.12) ou

(2.13) dansle sens inverse, d'amont en aval. Le nombre de modes susant auquel il est possible

de tronquer les diérentes équations dépend de la fréquen e et de la géométrie du oude, et il n'est

paspossiblede le déterminera priori. Laméthode laplus appropriée onsiste à réitérer les al uls en

augmentant progressivement le nombrede modes, jusqu'à e que la onvergen e soit atteinte ave la

toléran e souhaitée.

Commenousl'avonsvudanslase tionpré édente,la onditionderayonnementestdonnéeparune

matri eimpédan eZ

r

.Ceformalismepermetunedes riptionpré isede la ondition derayonnement,

et n'importe quelle harge peutêtre onsidérée en aval du oude (mis à part un tube fermé par

uneparoi rigide, auquel asil estné essaired'introduireun mé anismedepertesdanslemodèlepour

assurerla onvergen e[57 ℄).Outre e i,ilestégalementpossible,grâ eau al uldel'impédan elelong

duguide,dera orderle oudeave unautreguided'ondes,quellequ'ensoitlagéométrie.Al'inverse,

ave laméthodedesmodesde oude,laformulationetle al uldeséquationsde ontinuitéàl'interfa e

entre le oude et un autre guide d'ondes peut induire des problèmes mathématiques et numériques,

notamment en termede onvergen e(voirpar exemple[44℄).Demanière générale,lera ordement de

solutions développées sur des bases de fon tions de natures diérentes peut être sour e de di ultés

numériques.Le al ulde l'impédan elelong dusystèmepermetde s'aran hir de es di ultés.

2.3 Validation de la méthode multimodale

Deux asparti uliers de propagationa oustiquedansun oudesont onsidérés dans ettese tion,

pourlesquelsunesolution analytiquepeutêtreobtenue:un oudede ourburefaible dansunpremier

temps, puis la propagation du premier mode de oude. Dans haque as les appro hes analytique et

multimodale sont omparées etdis utées,en vuede valider laméthode multimodale.

2.3.1 Coude de ourbure faible

2.3.1.1 Solutionanalytique

Lorsque la largeur du oude et par onséquent la ourbure sont faibles, 'est-à-dire lorsque

~

= h << 1 ave = kR

0

xé, une solution asymptotique de l'équation de Helmholtz pour la

pression 2 r 2 1 r r + 1 (1 r) 2 2 s 2 +k 2 p=0 (2.14)

peutêtre her héesouslaformed'undéveloppementenpuissan esde,~ soitp=

0 +~ 1 +~ 2 2 +:::où 0 , 1 , 2

,:::sontdesfon tionsàdéterminer.Les oordonnéesradialeetlongitudinaleadimensionnées

par h etR

0

respe tivement,l'équation (2.14) donne

(1 ~~r) 2 2 p ~r 2 ~ (1 ~~r) p ~r +~ 2 2 p ~s 2 +~ 2 (1 ~~r) 2 2 p=0: (2.15)

(32)

(p) ~ s =0

=1 (2.16)

est imposée àl'entrée du oude, etla onditionpseudo-ané hoïque simple

( ~ s p) ~ s=~s f = jp (2.17)

est imposée àlasortie. Ces relations impliquent, pour n2N,

( n ) ~ s=0 =Æ n0 et n ~s ~ s=~s f = j n :

Cal ulée paruneméthodedeperturbation( f.annexeB),lapressionestalorsdonnéeause ondordre

par p=e j~s +j ~ 2 24 ~se j~s e j2~s f sin(~s) : (2.18)

A etordre, lasolution estindépendantede r.

2.3.1.2 Appro he multimodale

La formulation multimodale de la ondition pseudo-ané hoïque à la sortie du oude s'obtient en

substituantà

s

psonexpression(2.3)dans(

s p)

s=s f

= jkpetenprojetant etterelationsurlabase

de modes( ) 2N : BU=P;

donnant ainsi la ondition initiale Z = B pour l'intégration de l'équation de Ri ati. La ondition

(p) s=0

= 1, d'autre part, est équivalente à P

= Æ

0

, ondition qui permet l'intégration du hamp

a oustique.

2.3.1.3 Résultats

La valeur de s~

f

, orrespondant à l'angle total du oude, est hoisie égale à =2 et la fréquen e

adimensionnée xée à 1. La pression au point s~ = =4 est donnée sur la gure 2.2 en fon tion

du petit paramètre ~, al ulée ave les deux méthodes : la solution à l'ordre 2 en ~ de l'équation de

Helmholtz, donnée par l'équation (2.18), et la solution du al ul multimodal ave 15 modes pris en

ompte. Une des prin ipales ara téristiques de la propagation du son dans un guide ourbe est la

non-uniformité du hampde pressionsurunese tiontransversalede eguide(voirRostanski[62 ℄ ou

Cummings [15 ℄,par exemple), ou omme lementionne Rostanski[64℄ l'inaptitudedu mode planà

sepropager dansun oude.Toutefoisle hampde pressiontransversaltend àêtreuniformepour de

(33)

multimodale sont reportées sur la gure 2.2 : pour de faibles valeurs de ,~ l'é art entre es valeurs

peut être onsidéré omme négligeable. Pour ~ = 0:1, il est de l'ordre de 0.01%, relativement à la

valeurmoyenne de p surlase tion, etpour ~=0:4, ilest en oreinférieur à1%. Lasolution du al ul

multimodal,dontonreprésentelavaleurmoyennesurlase tion, on ordeparfaitementave lasolution

asymptotique, toutes deux onvergeant vers

0 ( 4 )=1= p 2 lorsque ~dé roît. PSfragrepla ements ~ < e p ( ~s = 4 ) 0 0:2 0:4 0:6 0:6 0:7 0:8 0:8 1

Fig. 2.2:Partieréelledelapressiondansun ouded'angletotal=2aupoint~s==4,enfon tion

dupetitparamètre~donnantla ourburedu oude.Solutionasymptotique( ),méthode

multimodale( ).Les valeurs minimalesetmaximalesduprolde pressionobtenuave

laméthodemultimodalesontreportées,envued'évaluerladépendan edelasolutionen

r.Sont donnéeségalementlavaleur moyenne de lasolutionde laméthode multimodale

(Æ)et lasolutionàl'ordre 0en ,~ 0 ( 4 )=exp( j=4) ( ).

2.3.2 Propagation du premier mode de oude

Nousl'avonsdéjàmentionné,l'équationdeHelmholtzestséparabledanslesystèmede oordonnées

(r;s);dessolutionsàvariablesséparées peuvent don être onstruites:p(r;s)=R (r)S(s).Ces modes

sont ara térisés dansle oudepar unnombre d'onde sansdimension appelé nombre d'onde angulaire

( angular wavenumber [41℄). Pour un oude dont les parois sont rigides et parfaitement

réé his-santes, les nombres d'onde angulaires sont réels ou imaginaires purs, orrespondant, respe tivement,

aux modespropagatifs etévanes ents. Ces nombres étant lassés par ordre dé roissant de leur arré,

ils sont notés

n

,n2N. Nous her hons àdéterminer lepremiermode, ara térisépar

0 .

2.3.2.1 Solutionanalytique

(34)

p(r;s)= X n2N ( n e j n s + + n e j n s ) N 0 n (kR 0 (1 h 2 ))J n (kR 0 (1 r)) (2.19) J 0 n (kR 0 (1 h 2 ))N n (kR 0 (1 r) ;

satisfaisantàla onditiondeNeumannhomogène (

r

p=0)auxparoisr =h=2.Lesnombresd'onde

angulaires

n

sont les solutions delarelation de dispersion

N 0 (kR 0 (1 h 2 ))J 0 (kR 0 (1+ h 2 )) J 0 (kR 0 (1 h 2 ))N 0 (kR 0 (1+ h 2 ))=0 (2.20)

pour une valeur donnéede k =!=

0

,oùJ

etN

sont les fon tionsde Bessel et de Neumann

respe -tivement [41℄. PSfrag repla ements 3:8317 1=2 2 4 6 8 10 kh R 0 =h

Fig. 2.3: Première fréquen e de oupure dans un oude, adimensionnée par h, en fon tion du

paramètre R

0 =h.

Lesfréquen es de oupure desmodes sont les solutions k de l'équation (2.20) ave =0 [55 ℄. La

ourbe de la gure 2.3 montre l'évolution de la première fréquen e de oupure kh ave le paramètre

R 0

=h : elle est toujours supérieure à - sa valeur dans un guide droit - et tend naturellement vers

ette limitepour depetitesvaleursde la ourbure, .-à-d. degrandes valeursdeR

0

=h. Lesfréquen es

de oupure d'un oudedans lequel les solutions de l'équation d'ondesatisfont à la ondition de

Diri- hlet aux parois (guideséle tromagnétiques ou quantiques) sont inférieures à elles d'unguide droit.

Il est don possible de mettre en éviden edes modespiégés dansun oudereliant deuxguides droits

semi-innis [44, 68 , 28℄. Le fait que les fréquen es de oupure dans un oude a oustique soient

supérieures à elles d'un guide droit remet en ause e résultat et il semble beau oup moins aisé de

montrer l'existen e demodespiégés dans e type de géométrie.

(35)

seraabordédanslasuitepour laformulationmultimodalede e problème. Onserestreintmaintenant au premiermode p(r;s)= 0 e j 0 s N 0 0 (kR 0 (1 h 2 ))J 0 (kR 0 (1 r)) (2.21) J 0 0 (kR 0 (1 h 2 ))N 0 (kR 0 (1 r) : 2.3.2.2 Appro he multimodale

Pour pouvoir al uler le premier mode de oude ave la méthode multimodale, la longueur de

l'axedu oude,surlaquelleles équations matri ielles pour l'impédan e etlapression seront intégrées,

doit être nie. Deux onditions aux limites, l'une en amont du oude et l'autre en aval, doivent don

êtredéterminées, quiserontles onditionsinitialespour l'intégrationdeséquationsmultimodales.Une

ondition initialeens=s

f

pour l'intégration de l'équationde Ri atiest obtenue enprojetant surla

base( ) 2N larelation p s = j 0 R 0 p;

déduite dela solutionexa te(2.21); ilvient

Z r = kR 0 0 B:

A l'entrée du oude,P(0) est al uléen projetant l'équation (2.21) ens=0sur (

) 2N : 82N; P (0)=A 0 h=2 Z h=2 N 0 0 (kR 0 (1 h 2 ))J 0 (kR 0 (1 r)) J 0 0 (kR 0 (1 h 2 ))N 0 (kR 0 (1 r) os h (r h 2 ) d r:

Ave esdeux onditionsetleséquations (2.11) et(2.12) ou(2.13) le hampdepression dansle oude

peutêtre al ulé( f. 2.2.3)et omparé ave lasolution exa te(2.21).

2.3.2.3 Résultats

Les paramètres géométriques du oudesont hoisis de telle sorte que R

0 =h = 1 et s f =R 0 = =2,

et la fréquen eest tellequekh ==4; lenombred'onde

0

vaut dans e as0.76. La solution exa te

(2.21) et elle issuedu al ulmultimodal, al ulée ave 17 modes, s'a ordent parfaitement (g.2.4) .

Enoutre, laméthode multimodale donne un hampde pressiondont lemoduleestindépendant dela

oordonnéeaxiale setlaphaseindépendante der, omme 'estle as pour lasolution (2.21) :l'é art

maximumpar rapportà lavaleur moyenne est eneet dans haque as inférieurà 0.001%.

(36)

PSfragrepla ements

(a) (b)

Fig. 2.4: Champde pression(partieréelle)pourlepremiermodede oude, al ulé(a)

analytique-ment,(b)ave laméthode multimodale;R

0 =h=1,s f =R 0 ==2,kh==4.

PSfragrepla ements nombre demodes log 10 ( ) 1 10 20 6 5 4 3 2 1

Fig. 2.5: Convergen e de la méthode multimodale. Le logarithme de l'erreur, log

10

(), est tra é

(37)

= R S kp p ref k 2 d S R S kp ref k 2 dS 1=2 (2.22)

où S est la surfa e représentée sur la gure 2.4. L'erreur est donnée sur la gure 2.5 en fon tion

du nombre N de modes pris en ompte dans le al ul numérique : elle dé roît de façon monotone,

suivant une loi géométrique en 1=N

3:230:1

.La méthode multimodale onverge don rapidement vers

lasolution exa te.

2.3.3 Con lusion

Dans ha un des exemples présentés dans ette se tion, la méthode multimodale a été validée,

donnant des résultats en parfait a ord ave les solutions analytiques. En outre, par e que le se ond

exemple-le al uldupremiermodede oude-n'estpaslimitéàdesvaleursparti ulièresdelafréquen e

et des paramètres géométriques, il onstitue une validation intéressante de la méthode multimodale

dansles oudes de se tion onstante. La solution her hée dans e deuxième exemple est de plus une

solutionnon triviale auregard denotre méthode, etellea été al ulée ave une très grandepré ision.

2.4 Appli ations

Nous présentons dans ette se tion un exemple d'appli ation de laméthode multimodale pour la

ara térisation d'un oude parti ulier, qui a déjà fait l'objet d'études expérimentales et numériques

(diéren es nies)publiées [12 ℄.

Leguideest onstituéd'un oudereliantdeuxguidesdroitssemi-innis(g.2.6) ,ave R

0 =h=0:625 et s f =R 0

=2:62. Le hamp de pression représenté surla gure 2.6est al ulé ave 15 modessuivant

la pro édure dé rite au paragraphe 2.2.3. Le al ul du hamp dans les parties droites est ee tué à

l'aidedeséquations donnéesauparagraphe1.2.1.Une onditionde typepistonenpression(P

=Æ

0 )

est imposée à une distan e 2h en amont du oude, à une fréquen e telle quekh =3.Cette fréquen e

étantinférieure àlapremièrefréquen ede oupure,seul lemodeplanestpropagatifdanslesparties

droites du système onsidéré. L'eet de la ourbure sur leprol de pression dansle oudepeutdon

être appré ié, de même que l'inuen e des modes évanes ents dans les parties droites, même

relati-vement loin des dis ontinuités. Ainsi, malgré la fréquen e, relativement basse, et le type de sour e,

parfaitement uniforme, le hamp a oustiqueobtenu estloin d'êtretrivial.

Le oe ient de réexion en amplitude pour lemode plan ( f. Pagneux et oll. [57 ℄)est al ulé à

l'entréedu oude,danslesystèmedé ritpré édemment,enfon tiondelafréquen e,variantentrezéro

et la première fréquen e de oupure (g. 2.7) . Les résultats numériques et expérimentaux de Cabelli

[12℄ sont également reportés, etmontrent un bona ord dela méthode multimodale ave les mesures

expérimentales. En revan he, alors que la méthode des diéren es nies semble donner des résultats

satisfaisantsauxbassesfréquen es,les valeurspro hesde la oupuresont sous-estimées.Deux raisons

peuventexpliquer esimpré isions.Laformulation dela onditiond'ané hoï ité,toutd'abord:Cabelli

(38)

Fig. 2.6: Champ de pression (partie réelle) dans un oude; R 0 =h = 0:625, s f =R 0 = 2:62. Une

onditiondetypepistonen pressiondefréquen e kh=3 estimposéeàune distan e2h

enamont du oude. PSfragrepla ements kh= jR 00 j 0 0 0:25 0:5 0:75 1 0:05 0:1 0:15 0:2

Fig. 2.7: Variationsdu oe ient de réexion en amplitude pour le mode plan ave la fréquen e

adimensionnée kh=. Méthode multimodale ( ), diéren es nies ( ) [12℄, résultats

expérimentaux(Æ)[12℄; R 0 =h=0:625, s f =R 0 =2:62.

(39)

s'avérer trop simpliste. Enn, le al ul du oe ient de réexion lui-même : Cabelli le déduit du

taux d'onde stationnaire, e qui suppose que l'onde est plane, don qu'il n'y a pas d'eet signi atif

des modes évanes ents. Les résultats donnés pré édemment, le hamp représenté sur la gure 2.6

notamment,montrent quel'eetdesmodesévanes entsesttoutàfaitsigni atifpro hedela oupure.

L'hypothèse d'ondeplaneau niveau desdis ontinuités peutdon êtreunesour enotabled'erreur, que

laméthodemultimodalepermetd'éviterdèslorsqu'unnombresusantde modesévanes entsestpris

en ompte pour obtenir desrésultatspré is.

2.5 Guide ourbe de se tion variable

Dans ette se tion,L'étude initiéeparPagneuxet oll.[57, 4℄pourlesguides d'axere tiligneetde

se tion variable est étendue auxguides ourbes de se tionvariable. Une nouvelle équation de Ri ati

pourl'impédan eest déterminéeetdiérentsrésultatsde ette formulationgénéraliséesontprésentés.

Lesnotations utilessont dénies surlagure2.8.

2.5.1 Formulation PSfragrepla ements h u h d r i (s) r e (s) ^ u s

Fig. 2.8:Guide ourbe de se tionvariableet notations.

Les modes

sont i i fon tionsder ets:

(r;s)= p 2 Æ 0 os r i (s) r r i (s) r e (s) :

D'autrepart, la onditionde Neumann surlesparois supposées rigideset parfaitement réé hissantes

estmaintenant

n

p=0,ndésignantlanormaleàlaparoi.Laproje tiondeséquations(2.3)et(2.4)sur

labasedefon tions(

)

2N

donne,entenant omptedesdeuxremarquespré édentes( f. annexeC),

P 0 = jkBU+(E D)P; (2.23) U 0 = 1 (C+KB)P DU; (2.24)

(40)

où D = 8 > > < > > : 1 Æ 0 2 r 0 i r 0 e r i r e pour = A A r 0 i ( 1) + r 0 e r i r e 2 2 2 pour 6= (2.25) et E =A A r 0 i ( 1) + r 0 e r i r e ; (2.26) ave A = p 2 Æ 0

.L'équation deRi atisatisfaitepar l'impédan eZ,déduitedeséquations (2.23),

(2.24) et(2.10) est dans e as:

Z 0 = jkB 1 jk Z(C+KB)Z+ZD DZ+EZ :

Leséquations(2.7),(2.8)sontdon simplementmodiéesparl'additiondetermes,fon tionsder

0 i etr 0 e ,

'est-à-dire desvariations de lase tion duguide. La même pro édureque elledé rite auparagraphe

2.2.3peutmaintenantêtreutiliséepour al ulerle hampa oustiqueoule oe ientderéexiond'une

telle géométrie.

2.5.2 Résultats

Le guide que nous onsidérons i i est une trompe (g. 2.9) , reliant deux guides droits

semi-innis,dont leslargeursh

u

(enamont)eth

d

(enaval)vérienth

d =h u =0:25.r i (s)etr e (s)sontdonnés par r i (s) = (h d h u ) s s f 3 + 3 2 (h d h u ) s s f 2 + h u 2 ; r e (s) = r i (s); (2.27) où R 0 ets f vérient R 0 =h u =1:25ets f =R 0

=2:62. Le hamp de pressionreprésenté sur ette gure

est al ulé en prenant en ompte 15 modes, ave une fréquen e telle que kh

u

= 3. Une ondition de

type piston enpression (P

=Æ

0

) estimposéeà une distan ed=1:25h

u

en amont du oude.

An de déterminer la vitesse de onvergen e de laméthode reformulée, le hamp al ulé dans e

même guide, enprenant d=0et20modes, estpris ommesolutionderéféren e -on supposedon la

onvergen e atteinte- et l'erreur (2.22) est al ulée en fon tion du nombre de modes pris en ompte

(g. 2.10) . Elle suit une loi géométrique en 1=N

20:5

, N étant le nombre de modes. La vitesse de

onvergen eestdon plusfaiblequedansle asd'unese tion onstante,bienqu'elleresterelativement

élevée, arlesfon tionsde base

nesatisfontplus àla onditionde Neumannimposant unedérivée

normale nulle aux parois. Des travaux sont en ours pour améliorer la onvergen e de la méthode

multimodalepar l'utilisation de bases mixtesdemodes [7℄.

(41)

Fig. 2.9:Champ de pression (partie réelle) dans une trompe; h d =h u = 0:25, R 0 =h u = 1:25, s f =R 0 = 2:62. r i (s) et r e

(s) sont donnés par les équations (2.27). Une ondition de

type piston en pression de fréquen e kh

u

= 3 est imposée à une distan e 1:25h

u en

amont du oude.

la ontribution de es modes à la solution est négligeable, à l'ex eption du premier mode

antisymé-trique (N =2). Ce i est dû vraissemblablement à lanature du ouplage entre les modes. Rappelons

quedeux ausesde ouplagedoivent être onsidéréesdansunetellegéométrie :la ourbureduguideet

les variations de sa se tion. La première ontribue à la génération despremiers modesd'ordres

supé-rieursseulement,leseetsdelase ondeétant ensuiteprépondérants.Orle ouplagedûauxvariations

de lase tion estresponsable de lagénération de modessymétriques uniquement,du fait dela nature

de la sour e - un piston plan - dans notre exemple. D'où sans doute la faible inuen e des modes

antisymétriques.

Coe ient deréexion

Le oe ientderéexionenamplitudepourlemodeplanest al uléàl'entréedelatrompe(s=0)

enfon tiondelafréquen e,variant entrezéroetlapremièrefréquen ede oupuredansletubeamont,

de largeurh

u

(g.2.11) .Sa valeurlimite pour kh

u =0 estnaturellement h u h d h u +h d =0:6;

ette limite orrespond au oe ient de réexion d'une dis ontinuité de se tion dans un tube droit,

danslalimitebassefréquen e.Comme 'étaitle aspour le oudedese tion onstante,leseetsdela

ourbure s'estompent aux bassesfréquen es.

2.6 Con lusion

(42)

-2

-1

-3

PSfragrepla ements nombrede modes log 10 ( ) 1 8 16

Fig. 2.10: Convergen edelaméthodereformulée.Lelogarithmedel'erreur,log

10

(),esttra éen

fon tiondu nombrede modes pour la onguration représentéesur la gure2.9, ave

lasour epla éeàl'entréede lapartie ourbe.

PSfragrepla ements kh u = jR 00 j 0 0 0:25 0:5 0:75 1 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5 0:5 0:6 0:7

Fig. 2.11: Variationsdu oe ientde réexionen amplitudepourlemode planave lafréquen e

adimensionnéekh

u

(43)

de lasour e, et,au ontrairede la méthode desmodesde oude, ellepermetde s'aran hirdu al ul

pour haquefréquen edesnombres d'ondesangulaires, solutions delarelationde dispersionimpli ite

dansle oude,ainsiquedesdi ultésmathématiquesetnumériques dera ordementauxextrémités.

Le ra ordement du oudeave desguides degéométriesvariéespeutdon aisément êtreenvisagé.En

parti ulier, la pertinen e de ette méthode pour la formulation des onditions de rayonnement a été

montrée.

L'observationde l'inuen e desmodesévanes entsau niveau desdis ontinuités aux extrémitésdu

oude montre l'importan e d'une méthode prenant en ompte es modes. L'extension de la méthode

multimodale aux guides ourbes de se tion variable a également été étudiée et met en éviden e son

(44)

Annexe A

Enintégrant sur lase tion duguide l'équation d'Euler jk(1 r)v

s

=

s

p,après multipli ation

de elle- ipar lafon tion propre

,il vient jk h=2 Z h=2 (1 r)v s d r= h=2 Z h=2 p s d r: (2.28) En substituant alors à p etv s

les dé ompositions ensérie (2.5) et(2.6), l'équation(2.28) donne

82N; jk X 2N 0 B h=2 Z h=2 (1 r) dr 1 C A U =h s P ; d'où jkBU=P 0 ;

ave Bdonnéepar(2.9). L'équation (2.8)sedéduit delamême manièrede l'équationde onservation

de lamasse(2.4).

Annexe B

Onsouhaiteétablir par un al ulen perturbation lasolution de l'équation(2.15),soit

(1 2~~r+~ 2 ~ r 2 ) 2 p r~ 2 (~ ~ 2 ~ r) p r~ +~ 2 2 p ~s 2 +(~ 2 2~ 3 ~ r+~ 4 ~ r 2 ) 2 p=0; (2.29)

qui satisfait aux onditions aux limites (2.16) et(2.17) et à la ondition de Neumann homogène aux

parois.Ledéveloppement asymptotiquep=

0 +~ 1 +~ 2 2

+:::estintroduitdansunpremier temps

dansl'équation (2.29),puis lestermes à haque ordrede ~ sont annulés :

ordre0 2 0 r~ 2 =0 ( 0 ) ~ s=0 =1; 0 s~ ~ s=~s f = j 0 ; 0 r~ ~ r=1=2 =0 ordre1 2 1 r~ 2 =0 ( 1 ) ~ s=0 =0; 1 s~ ~ s=~s f = j 1 ; 1 r~ ~ r=1=2 =0

(45)

ordre 2 2 2 ~r 2 + 2 0 ~s 2 + 2 0 =0 ( 2 ) ~ s=0 =0; 2 ~s ~ s=~s f = j 2 ; 2 ~r ~ r=1=2 =0 ordre 3 2 3 r~ 2 + 2 1 ~s 2 + 2 1 2~r 2 0 =0 ( 3 ) ~ s=0 =0; 3 ~s ~ s=~s f = j 3 ; 3 ~r ~ r=1=2 =0 ordre 4 2 4 ~r 2 2~r 2 3 ~r 2 3 r~ + 2 2 s~ 2 + 2 2 2~r 2 1 +r~ 2 2 0 =0 ( 4 ) ~ s=0 =0; 4 ~s ~ s=~s f = j 4 ; 4 ~r ~ r=1=2 =0

Cetensembledeproblèmeslinéairessimplespeutmaintenant êtrerésolupour al ulerlesfon tions

0 , 1 et 2

,et par onséquent lasolution(2.18) à l'ordre2 en ~ .

Annexe C

Lorsque les fon tions propres

dépendent de s, on utilise la règle de Leibniz pour al uler la

proje tion de s p (ou s v s )sur labase( ) 2N : ri Z r e p s d r= s 0 ri Z r e p dr 1 A r 0 i [p ℄ r i +r 0 e [p ℄ re :

Comptetenu de l'égalité

r i Z r e p s dr= r i Z r e p s dr r i Z r e p s dr; ilvient r i Z re p s dr =(r i r e ) P 0 +D P E P ;

(46)

D'autrepart, laproje tion de r

((1 r)

r

p) dansl'équation(2.3) faitapparaître leterme

[(1 r) r p ℄ r i re : (2.30)

La onditionauxparois étant

p n = p r r 0 i;e (1 r i;e ) 2 p s =0; (2.31)

où ndésigne lanormaleà laparoi,on al ule(2.30) en substituant

s pà jk(1 r)v s dans(2.31) : p r = jk r 0 1;2 1 r 1;2 v s : Ainsi, (1 r) p r r i r e = jkE U :

(47)

(48)

Analyse multimodale de la propagation

a oustique dans un oude de se tion

ir ulaire

Ce hapitre estprésenté souslaformed'unarti lepublié danslarevue Wave Motionen août2002

[22℄, traduit,adaptéet omplété.

3.1 Introdu tion

Dans le système de oordonnées toroïdales, adapté à l'expression des onditions aux limites aux

paroisd'un oudedese tion ir ulaire, 'est-à-diredanslequel ettegéométrieestséparable( f.1.1.1),

l'équationdeHelmholtzn'est,quant àelle,passéparable[52 ℄.Larésolution de eproblèmen'est don

pastriviale,et, par onséquent, relativement peude travauxont étépubliéssur e sujet;dansla

plu-part des as des méthodes appro hées ou purement numériques ont été adoptées (voir [64℄ pour une

revue).

Cummings [15 ℄, qui est l'un des premiers à avoir souligné le problème posé par l'impossibilité

de séparer l'équation d'onde dans le système de oordonnées toroïdales, a suggéré, sur la base

de mesures expérimentales, de diviser le domaine - le oude - en une superposition de tran hes

de se tion re tangulaire, toutes dans le plan du oude. Cha une de es tran hes est un oude de

se tion re tangulaire dans lequel une résolution analytique est possible. Plus simplement, toujours

selon Cummings, ilest raisonnablede onsidérer ununique oudeéquivalentde se tionre tangulaire,

dont lalargeurest égaleau diamètre de lase tion ir ulaire originale etlahauteur esttelleque l'aire

de lase tionre tangulaire estégale à ellede lase tion ir ulaire. La méthode par tran hes aété

utilisée en 1983 par Keefe et Benade [34 ℄ pour l'analyse de oudes dont la ourbure est importante,

danslalimite desgrandes longueursd'onde, puispar Nederveen [54℄ en1998. Enlimitant l'étudeaux

guides de ourbure faible, des solutions appro hées de l'équation d'onde ont été onstruites par une

appro he en perturbation [61, 73 ℄.

Outre esméthodesappro hées,desméthodesnumériquesontégalementfaitl'objetdepubli ations,