Étude et analyse d’un problème antiplan électro-viscoélastique de contact avec frottement

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Frères Mentouri Constantine

Faculté des Sciences Exactes Département de Mathématiques

Numéro d’ordre:... Numéro de série:...

En vue de l’obtention du: Grade de Docteur en Sciences

Présenté et soutenue le 04/Février/2016 par: Amar Megrous

ÉTUDE ET ANALYSE D’UN PROBLÈME ANTIPLAN

ÉLECTRO-VISCOÉLASTIQUE DE CONTACT AVEC FROTTEMENT

Devant le Jury:

Salah Djezzar : Prof. Université Constantine • Président M ohamed Dalah : Prof. Université Constantine • Rapporteur M ohamed Denche : Prof. Université Constantine • Examinateur Boubakeur M erouani : Prof. Université de Sétif • Examinateur Abdelhamid Ayadi : Prof. Université Oum-Bouaghi • Examinateur Kamel Haouam : Dr. Université de Tébessa • Examinateur

Intitulé de la Thèse:

ÉTUDE ET ANALYSE D’UN PROBLÈME ANTIPLAN

ÉLECTRO-VISCOÉLASTIQUE DE CONTACT AVEC

FROTTEMENT

• Réalisé par Monsieur: Amar Megrous

• Année: Février 2016 Thèse

de

Do

ctorat

Liste des Figures

Liste

des

figures

• Figure 1 , section 3.1: Cadre physique et modèle mathématique, Chapitre 3: ”Analyse d’un problème antiplan viscoélastique de contact avec frotte-ment à mémoire longue”.

• Figure 2 & 3, section 4.1: Cadre physique et requis, Chapitre 4: ”Analyse d’un problème antiplan électro-viscoélastique de contact avec frottement à mémoire longue”.i

i_{M. Sofonea and A. Matei, Variational inequalities with applications. A study of antiplane}

frictional contact problems, Advances in machanics and mathematics, Springer, 2009 (230 pages), 2009

Contents

Résumé vii

Abstract ix

Remerciements xiii

Introduction Générale xv

I

Modélisation des problèmes de contact avec frottement

1

1 Préliminaires mathématiques 3

1.1 Introduction. . . 4

1.2 Opérateur formel gradient . . . 4

1.3 Opérateur de divergence . . . 5

1.4 Opérateur rotationnel . . . 5

1.5 Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert . . . 5

1.6 Espaces de Sobolev . . . 12

1.6.1 Espace H1_{(Ω). . . . 13}

1.6.2 Espace Hk(Ω) . . . 13

1.6.3 Espace H1 0(Ω). . . 14

2 Modélisation des problèmes antiplan de contact avec frottement à mémoire longue 17 2.1 Introduction. . . 18

2.2 Lois de comportement . . . 18

2.2.1 Lois de comportement des matériaux viscoélastiques . . . 18

2.2.2 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 19 2.3 Conditions de contact . . . 19

2.3.1 Contact bilatéral . . . 20

2.4 Lois de frottement . . . 20

2.4.1 Contact sans frottement . . . 20

II

Problème viscoélastique

25

3 Analyse d’un problème antiplan viscoélastique de contact avec

frot-tement à mémoire longue 27

3.1 Cadre physique et modèle mathématique. . . 28

3.1.1 Cadre physique . . . 28

3.1.2 Modèle mathématique . . . 33

3.2 Position du problème continu Pviscoélastique _{. . . . 33}

3.3 Quelques hypothèses . . . 33

3.4 Formulation variationnelle . . . 36

3.5 Résultat d’existence et d’unicité. . . 36

3.6 Conclusion . . . 38

III

Problème électro-viscoélastique

39

4 Analyse d’un problème antiplan électro-viscoélastique de contact avec frottement à mémoire longue 41 4.1 Cadre physique et requis. . . 42

4.2 Position du problème continu Pélectro−viscoélastique _{. . . . 47}

4.3 Quelques hypothèses et formulation variationnelle. . . 48

4.3.1 Quelques hypothèses . . . 48

4.3.2 Formulation variationnelle . . . 51

4.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . 53

4.5 Preuve du théorème 3 . . . 54

4.6 Conclusion . . . 61

5 Conclusion générale et perspectives 63 5.1 Conclusion générale . . . 63

5.2 Perspectives . . . 63

6 Annexe A: Quelques inégalités 65

IV

Bibliographies

67

Résumé

Thèse de Doctora t en-Sciences, Février 2016

Résumé:

C

ette thèse traite des méthodes pour la solution faible d’un problème antiplan de contact avec frottement pour un matériau électro-viscoélastique à mémoire longue. Nous présentons deux formulations variationnelles, notées tout au long de cette thèse PVviscoélastique et PVélectro−viscoélastiquerespectivement, pour les deux problèmes considérés. Dans un premier temps, on étudiera un problème viscoélastique antiplan de contact avec frottement à mémoire longue et leurs propriétés concernant le cadre physique et le modèle mathématique. Nous construisons la formulation variationnelle associée au problème continu. Ensuite, nous étudions l’exsitence et l’unicité de la solution faible grâce à un bagage de l’analyse fonctionnel cité dans le chapitre 1. Pour le deuxième problème PVélectro−viscoélastique, nous construisons aussi une formulation variationnelle du modèle qui est donnée par un système couplé d’une inéquation variationnelle dont le champ de déplacements u est considéré comme inconnu avec une équation qui dépend uniquement d’un potentiel électrique. Finalement, nous étudions l’existence et l’unicité de la solution faible en se basant sur le théorème du Point-Fixe-de-Banach.

Mots-Clefs:

Mémoire longue; Antiplan; Matériau viscoélastique; Matériau électro-viscoélastique; Loi de contact; Loi de frottement; Formulation vari-ationnelle; Inéquation variationnelle; Solution faible; Point Fixe.

Abstract

Thèse de Doctora t en-Sciences, Février 2016

Abstract:

T

his thesis deals with methods for the weak solution of an antiplan electro vis-coelastic contact problem with friction and with long-term memory. We present two variational formulations, noted PVviscoelastic and PVelectro−viscoelastic re-spectively, of the considered problem, where PVviscoelastic depends only on the displacement field u and PVelectro−viscoelasticdepends on the displacement field u and on the electric potential ϕ. For the PVelectro−viscoelastic problem, we derive a variational formulation of the model which is given by a system coupling an evolutionary variational equality for the displacement field u, a time-dependent variational equation for the electric potential field ϕ(.) and a differential equation for the bonding field. We construct the variational formulation associated to this problem. Finally, we study the existence and uniqueness of the weak solution based on the Fixed-Point Theorem of Banach.

Key-Words:

Long-memory; Antiplan; Viscoelastic material; Electo-viscoelastic material; Contact law; Friction law; Variational formula-tion; Variational inequality; Weak solution; Fixed-Point.

C

ette thèse est dédiée à Maman et Papa

ii

,

sans lesquels je n’aurais jamais vu le jour.

Remerciements

Remerciements:

J

e tiens à remercier mon directeur de thèse Monsieur M. Dalah, professeur à l’Université Frères Mentouri Constantine pour m’avoir choisi et confié ce travail. Votre compréhension et votre soutien moral durant les moments difficiles m’ont beaucoup marqué. J’espère que ce travail témoigne de ma profonde reconnaissance et de ma haute considération. Je ne lui serai jamais assez reconnaissant.

Je remercie le Professeur S. Djezzar qui a bien accepté de présider cette soute-nance. Un remerciement particulier au président du jury pour ses encouragements et ses conseils. Je remercie aussi Les Professeurs: B. Merouani de l’université de Sétif, A. Ayadi de l’université d’Oum-el-Bouaghi, M. Denche de l’université Frères Mentouri Constantine et K. Haouam de l’université de Tébéssa pour avoir accepté d’examiner ce travail. Je tiens à exprimer ma gratitude au Professeur M. Sofonea de l’Université de Perpignan, France, qui malgré la distance a été toujours présent sur Internet par ses suggestions, remarques, rédaction des publications et ses conseils.

Je souhaite remercier, toute l’équipe pédagogique du département de mathéma-tiques de l’Université Frères Mentouri Constantine et en particulier, le premier responsable du département, Monsieur le Professeur N. Kechkar pour sa pa-tience, sa disponibilité et surtout ses judicieux conseils, qui ont contribué à alimenter ma réflexion. Un grand merci à Monsieur le Chef du département de Mathématiques.

Enfin, j’adresse mes plus sincères remerciements à tous mes collègues enseignants et enseignantes de l’EPSE-CSG, qui m’ont toujours soutenue et encouragé au cours de la réalisation de ce nouveau né. Merci à tous et à toutesiii_.

Amar Megrous

Constantine, Algérie, Février 2016

Introduction Générale

L

e domaine de mécanique de contact avec ou sans frottement (voir14–15 et16) entre les corps élastiques2_-13 _{et électro-élastiques}34_-37_{à mémoire longue et les}

fondations électrifiées concernent plus particulièrement la modélisation et la simulation numérique (pour plus de détails voir23_{) des problèmes non linéaires}

issus de la mécanique des solides. Elles portent sur plusieurs axes : • l’existence,

• l’unicité de la solution faible, de différents types de problèmes en utilisant les méthodes des couplages des inconnues et les propriétés des inéquations variationnelles (pour plus de détails consulter19_et28_).

Le principal objectif de la thèse est d’étudier deux types des problèmes: • pour les matériaux viscoélastiques à mémoire longueiv_,

• pour les matériaux électro-viscoélastiques à mémoire longue.

En effet, nous considérons des lois de comportement non linéaires pour des matériaux élastiques et électro-viscoélastiques, dans le processus statique. Cette étude comporte diverses lois de frottement qui sont définies par des versions de la loi de Tresca.

Cette thèse est constituée de trois chapitres principaux, d’une conclusion générale, d’une annexe et, d’une bibliographie détaillée et riche.

Le premier chapitre s’appuie sur une présentation de quelques outils de l’analyse fonctionnelle et quelques propriétés des espaces vectoriels normés et espaces de Sobolev. Ce chapitre contient essentiellement quelques éléments d’analyse dans les espaces de Hilbert et quelques inégalités dans lesquels on étudiera les problèmes antiplans viscoélastiques et électro-viscoélastiques à mémoire longue. Ce bagage sera utilisé dans les chapitres3et4.

Penchons-nous maintenant plus en détail sur les chapitres3et4, dans lequel nous étudions deux problèmes viscoélastiques et électro-viscoélastiques respec-tivement37 _{aux limites antiplans de contact avec frottement à mémoire longue}

qui décrivent l’évolution statique d’un corps cylindrique soumis à des forces surfaciques, des forces volumiques et, des charges électriques, en contact avec

iv_{M. Sofonea and A. Matei, Variational inequalities with applications. A study of antiplane}

frictional contact problems, Advances in machanics and mathematics, Springer, 2009 (230 pages), year: 2009

frottement. Par la suite, nous présentons dans chaque chapitre une formulation variationnelle du problème PVviscoélastique ou PVélectro−viscoélastique et, nous démontrons l’existence et l’unicité de la solution faible de chaque modèle. Fi-nalement, nous étudions la dépendance de la solution avec une perpturbation dans la condition de frottement. La rédaction de cette section s’inspire de deux publications32_–.33 _{Les résultats montrent que dans la plupart des cas, l’existence}

et l’unicité de la solution faible est généralement garentie et assuré sous des conditions et des hypothèses sur les paramètres cités dans les chapitres3 et4. La dernière partie de conclusion de la thèse met l’accent sur les contributions scientifiques de ce travail, référentiel du domaine et cadre méthodologique, souligne les noveaux résultats obtenus concernant l’existence et l’unicité de la solution faible.

Nous clôturons cette thèse par une conclusion générale, un perspective, une annexe et une bibliographie détaillée.

Part

I

Modélisation

des

problèmes

de

1

Préliminaires

mathématiques

Le chapitre intitulé ”Préliminaires mathématiques” comporte un bref rappel sur les espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert et les espaces de Sobolev.

Chapitre 1: Préliminaires ma théma tiques

Contents

1.1 Introduction . . . . 4

1.2 Opérateur formel gradient . . . . 4

1.3 Opérateur de divergence . . . . 5

1.4 Opérateur rotationnel. . . . 5

1.5 Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert . . . . 5

1.6 Espaces de Sobolev . . . . 12

1.6.1 Espace H1(Ω). . . 13

1.6.2 Espace Hk(Ω) . . . 13

1.1

Introduction

D

ans cette partie de la thèse nous rappelons ici quelques préliminaires mathé-matiques et définitions contenant des rappels sur quelques outils de l’analyse fonctionnelle, plus particulièrement les opérateurs différentiels; ainsi que l’étude de quelques espaces et leurs propriétés.

Nous allons définir dans ce chapitre les trois principaux opérateurs: • Le gradient,

• la divergence, • le rotationnel.

Ces derniers sont considérés comme des opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. On les rencontre en particulier en mécanique de contact avec ou sans frottement entre les corps élastiques ou électro-élastiques, viscoélastiques ou électro-viscoélastiques, où ils permettent d’exprimer les propriétés du champ de contraintes.

Nous allons présenter dans ce chapitre quelques outils de l’ analyse-fonctionnel.1,8,9 _{Au début de ce chapitre, nous citons quelques}

opérateurs1,9 _{qui pourraient êtres nécessaires et utiles pour la réalisation des}

chapitres3et4. Ensuite, nous faisons un bref rappel sur les espaces vectoriels normés, les espaces de Hilbert et, finalement nous terminerons par les espaces de Sobolev.

1.2

Opérateur formel gradient

Définition 1. Le gradient est un opérateur qui s’applique à un champ de scalaires et décrit un champ de vecteurs qui représente la variation de la valeur du champ scalaire dans l’espace. Le gradient obtenu est lui un champ vectoriel définit par la formule mathématique suivante :

gradient : ∇S =    ∂S ∂x ∂S ∂y ∂S ∂z   . (1.1)

1.3. Opérateur de divergence 5

Notation. La notation nabla ∇ fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes. On écrit aussi ∇ sous forme vecteur que formellement, l’opérateur ∇ a les caractéristiques d’un vecteur.

1.3

Opérateur de divergence

Définition 2. La divergence est obtenue en faisant le produit scalaire entre l’opérateur nabla ∇ et le champ vectoriel. Pratiquement, la divergence d’un champ de vecteurs sera exprimé par la relation suivante :

∇S = ∂Sx ∂x + ∂Sy ∂y + ∂Sz ∂z . (1.2)

1.4

Opérateur rotationnel

Définition 3. Le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Pratiquement, dans un espace à 3 dimensions et en coordon-nées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation :

rot(S) = (∂Sz ∂y − ∂Sy ∂z , ∂Sx ∂z − ∂Sz ∂x , ∂Sy ∂x − ∂Sx ∂y ) t (1.3) où S = (Sx, Sy, Sz) désigne le champ de vecteurs auquel est appliqué l’opérateur

rotationnel et t représente la transposée d’un vecteur.

1.5

Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert

Les espaces de Hilbert apparaissent fréquemment en mathématiques, en physique et en mécanique, essentiellement en se sont des outils indispensables dans les théories des équations aux dérivées partielles et l’étude les problèmes antiplans de contact avec ou sans frottement.

Définition 4. Soit X un ensemble non-vide. La fonction k.kX: X −→ R+ est dite norme si et seulement si

1. kvkX= 0 si et seulement si v = 0, ∀v ∈ X,

2. kλvkX= |λ|.kvkX, ∀v ∈ X, ∀λ ∈ R,

3. kv + wkX ≤ kvkX+ kwkX, ∀v, w ∈ X.

Remarque 1. On a les deux remarques suivantes: 1. L’élément 0X désigne l’élément zéro de l’espace X.

2. L’espace X muni de la norme k.kX est appelé "espace normé" et sera noté

(X, k.kX).

Définition 5. Soit X et Y deux ensembles non-vides, et soient k.kX et k.kY

deux normes associées respectivement aux espaces X et Y . L’opérateur noté T : X −→ Y est dite :

1. Continu au point a ∈ X si la suite (an)n∈N converge vers a dans l’espace

X alors la suite (Tn)n∈N converge vers T (a) dans l’espace Y .

2. Continu s’il est continu à tous point de l’espace X.

3. Continu au sens de Lipschitz s’il existe une constante positive LT > 0 tel

que

kT (u) − T (v)kY ≤ LTku − vkX, ∀u, v ∈ X. (1.4)

Définition 6. Soient (X, k.kX) et (Y, k.kY) deux espaces normés. L’opérateur

T : X −→ Y est dite linéaire si

T (αu + λv) = αT (u) + λT (v), ∀u, v ∈ X, ∀α, λ ∈ R. (1.5)

Notation. On note par Lu au lieu L(u) pour tout u ∈ X.

Théorème 1. Soient (kX, k.kX) et (kY, k.kY) deux espaces normés et, soit

l’opérateur linéaire L : X −→ Y . Alors, l’opérateur L est continu sur l’espace X s’il existe une constante M > 0 tel que

kLukY ≤ M kukX, ∀u ∈ X. (1.6)

Notations. Soient les notations suivantes :

1. On note par L(X, Y ) l’espace des opérateurs linéaires et continus de l’espace normé X vers l’espace normé Y.

2. L’espace L(X, Y ) dans le cas spécial lorsque X = Y devient L(X, X), ou bien L(X).

1.5. Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert 7

3. L’espace L(X, Y ) muni par la norme kLkL(X,Y )= sup

u6=0

kLukY

kukX

. (1.7)

Définition 7. Soit X et Y deux ensembles non-vides, et soient k.kX et k.kY

deux normes associées respectivement aux espaces X et Y . L’application notée a(., .) : X × Y −→ R est dite une fome bilinéaire si pour tout u1, u2, u ∈ X, v1, v2, v ∈ Y , et pour tout α1, α2∈ R elle vérifiée les deux propriétés suivantes:

a(α1u1+ α2u2, v) = α1a(u1, v) + α2a(u2, v), (1.8) et

a(u, α1v1+ α2v2) = α1a(u, v1) + α2a(u, v2). (1.9) Remarque 2. Dans le cas spécial où X = Y , on peut dire que la forme a(., .) est une forme bilinéaire symétrique, et on a :

a(u, v) = a(v, u), ∀u, v ∈ X. (1.10)

Définition 8. Soient (X, k.kX) et (Y, k.kY) deux espaces normés et, soit la

forme bilinéaire a(., .) : X × Y −→ R. La forme a(., .) est dite continue s’il existe une constante M > 0 tel que

|a(u, v)| ≤ M kukX.kvkY, ∀u ∈ X, ∀v ∈ Y. (1.11)

Remarque 3. Dans le cas spécial où X = Y , on peut dire que la forme bilinéaire a(., .) est une forme X-elliptique s’il existe une constante m > 0 tel que

|a(u, u)| ≥ mkuk2

X, ∀u ∈ X. (1.12)

Définition 9. Soit (X, k.kX) un espace normé et, soit K un sous-ensemble de

l’ensemble X. K est dite convexe s’il vérifie la propriété suivante:

si pour tout u, v ∈ K alors (1 − t)u + tv ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]. (1.13)

Théorème 2. Soit (X, k.kX) un espace de Banach et, soit le sous-espace fermé

Y de l’ensemble X. Alors on a les propriétés suivantes :

• Le sous-espace fermé Y est un espace de Banach muni de la norme k.kX.

• Si l’espace X est réflexif, alors le sous-espace fermé Y l’est aussi. Définition 10. L’application (., .)X vérifié les propriétés:

1. (u, u)X≥ 0, ∀u ∈ X et (u, u)X = 0X si et seulement si u = 0X.

2. (u, v)X= (v, u)X, ∀u, v ∈ X.

3. (αu + βv, w)X= α(u, w)X+ β(v, w)X, ∀u, v, w ∈ X, ∀α, β ∈ R.

Donc, on a d’après la définition précédente les remarques suivantes:

Remarques 4. Soit (X, k.kX) un espace normé. Le produit scalaire (., .)X

est une application définie (., .)X : X × X −→ R qui vérifie les propriétés

suivantes :

1. Le couple (., .)X est appelé produit scalaire sur l’espace X.

2. |(u, v)X≤p(u, u)X.(v, v)X, ∀u, v ∈ X.

3. Le produit scalaire (., .)X définit une norme comme suit

kukX=

p

(u, u)X, ∀u ∈ X.

Définition 11. L’espace X muni du produit scalaire (., .)X et de la norme

k.kX est appelé espace de Hilbert.

Théorème 3. (Le Théorème de Représentation de Riesz) Soit X un espace de Hilbert et, soit l ∈ X0 avec X0 est le dual de l’espace X. Alors, il existe un unique élément u ∈ X tel que

l(v) = (u, v)X, ∀v ∈ X. (1.14)

Théorème 4. (Le Théorème de Projection.) Soit K un sous-ensemble non vide, fermé et, convexe de l’espace de Hilbert X. Alors, pour tout élément u ∈ X, il existe un élément u0= PKu ∈ K tel que

ku − u0kX= min

v∈Kku − vkX, ∀u ∈ X. (1.15)

Remarques 4. On a quatre remarques concernant l’opérateur de projection PK:

1. PK est appelé opérateur de projection défini de l’espace X vers le

1.5. Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert 9

2. L’élément u0= PKu ∈ K est appelé la projection de l’élément u sur le

sous-ensemble non vide, fermé et, convexe K. De plus, cet élément sera caractérisé par l’inégalité suivante :

(u0− u, v − u0)X≥ 0, ∀v ∈ K. (1.16)

3. En utilisant l’inégalité 1.16, alors, on peut tirer la majoration suivante : kPKu − PKvkX≤ ku − vkX, ∀u, v ∈ X. (1.17)

4. De plus, il est monotone, car on a :

(PKu − PKv, u − v)X ≥ 0, ∀u, v ∈ X. (1.18)

Définition 12. Soient (X, (., .)X) et (Y, (., .)Y) deux espaces de Hilbert. Le

produit de deux espaces X par Y noté X × Y sera définit par :

X × Y = {(a, b) tel que a ∈ X, b ∈ Y }. (1.19)

Définition 13. Soient (X, (., .)X) et (Y, (., .)Y) deux espaces de Hilbert. Le

produit scalaire sur l’espace produit X × Y sera définit par :

(a1, a2)X×Y = (x1, x2)X+ (y1, y2)Y, ∀a1= (x1, y1) ∈ X, ∀a2= (x2, y2) ∈ Y. (1.20) Définition 14. La norme sur l’espace produit X × Y notée par kakX×Y sera

définie par : kak2 X×Y = kxk 2 X+ kyk 2 Y, ∀a = (x, y) ∈ X × Y . (1.21)

Définition 15. La fonctionnelle ϕ : X −→ (−∞, +∞) est dite semi-continue inférierement (s.c.i) au point x ∈ X si elle vérifie la propriété suivante :

lim inf

n→∞ϕ(un) ≥ ϕ(u). (1.22)

Proposition 1. Soit (X, (., .)X) un espace de Hilbert muni du produit scalaire

(., .)Xet, soit a(., .)X : X ×X −→ R une forme bilinéaire, continue, symétrique et

X-elliptique. Alors, la fonction a : v 7−→ a(v, v) est convexe, et, semi-continûment

inférierement. Thèse

de

Do

ctorat

en-Sciences

Définition 16. _{Soit la fonction ϕ : X −→ R et, soit un élément x ∈ X. Alors,} la fonction ϕ est Gâteaux différentiable au point x et de plus, il existe un élément

∇ϕ(x) ∈ X tel que

lim

t→0

ϕ(x + tv) − ϕ(x)

t = (∇ϕ(x), v)X, ∀v ∈ X.(1.23)

Définition 17. _{La fonction ϕ : X −→ R est dite Gâteaux différentiable sur} l’espace X si elle est Gâteaux différentiable à tout point x.

Proposition 2. _{Soit la fonction ϕ : X −→ R et, soit un élément x ∈ X. Alors} ϕ est une fonction convexe si et seulement si

ϕ(v) − ϕ(u) ≥ (∇ϕ(u), v − u)X, ∀u, v ∈ X. (1.24)

On a alors le premier résultat.

Corollaire 1. _{Soit ϕ : X −→ R une fonction Gâteaux différentiable. Alors, la} fonction ϕ est semi-continûment inférierement.

Maintenant, Nous citons un théorème très important dite Théorème de Point Fixe de Banach associé à une application donnée.

Théorème 5. _{(Théorème de Point Fixe de Banach) Soit K un sous-ensemble} non vide et fermé de l’espace de Hilbert (X, k.kX). On suppose que l’opérateur

Λ : K −→ K est opérateur contractant, c’est-à-dire, il existe une constante positive α ∈ [0, 1) tel que

kΛu − ΛvkX≤ αku − vkX, ∀u, v ∈ K. (1.25)

Alors, il existe un et un seul élément noté u ∈ K tel que

Λu = u. (1.26)

Théorème 6. Soit K un sous-ensemble non vide et fermé de l’espace de Banach (X, k.kX) et, soit l’opérateur Λ : K −→ K. On suppose que l’opérateur

Λm

: K −→ K est contractant pour certains valeurs de m > 0. Alors, l’opérateur Λ admet un point-fixe noté u∗ tel que

Λ(u∗) = u∗. (1.27)

Définition 18. Soit (X, k.kX) un espace de Banach, et on suppose que la

1.5. Espaces vectoriels normés et espaces de Hilbert 11

et continues sur l’intervalle [0, T ] et à valeurs dans l’espace X. De plus, l’espace C([0, T ]; X) est un espace de Banach et, muni de la norme :

kvkC([0,T ];X)= max

t∈[0,T ]kv(t)kX. (1.28)

Lemme 1. Soit Λ : C([0, T ]; X) −→ C([0, T ]; X) un opérateur qui satisfie la propriété suivante :

il existe une constante c > 0 telle que

kΛη1(t) − Λη2(t)kX ≤ c

Z t 0

kη1(s) − η2(s)kXdt, (1.29)

∀η1, η2∈ C([0, T ]; X), ∀t ∈ [0, T ]. Alors, il existe un unique élément noté η∗∈ C([0, T ]; X) tel que

1.6

Espaces de Sobolev

Un espace de Sobolev est un espace vectoriel de fonctions muni de la norme obtenue par la combinaison de la norme Lp _{de la fonction elle-même ainsi que}

de ses dérivées jusqu’à un certain ordre. Les dérivées sont comprises dans un sens faible, au sens des distributions afin de rendre l’espace complet. Les espaces de Sobolev sont donc des espaces de Banach.

Définition 19. ( L’espace Lp_{(Ω)) Pour tout nombre p ∈ [1, ∞) on note par}

Lp

(Ω) l’espace des fonctions linéaires et mesurables notées v : Ω −→ R qui est muni par la norme :

kvkLp_(Ω)= (

Z Ω

|v(x)|pdx)1p. _(1.31)

Définition 20. (L’espace Lp_{(Ω)) Pour tout nombre p = ∞ on note par L}∞_(Ω) l’espace des fonctions mesurables notées v : Ω −→ R qui est muni par la norme :

kvkL∞_(Ω)= inf {M ∈ [0, ∞] : |v(x)| ≤ M tel que x ∈ Ω}. (1.32)

Théorème 7. _{Soit Ω un ensemble ouvert et borné de l’espace R}d _{et soit}

p ∈ [1, ∞]. Alors, on a les résultats suivants : 1. Lp(Ω) est un espace de Banach.

2. Toute suite de Cauchy de l’espace Lp(Ω) admette une sous-suite qui converge presque partout dans Ω.

3. Pour 1 ≤ p < ∞, l’espace Lp_{(Ω) est un espace séparable.}

Corollaire 2. L’espace L2_{(Ω) est un espace de Hilbert muni du produit} scalaire :

(u, v)L2_(Ω)=

Z Ω

u(x)v(x)dx, ∀u, v ∈ L2(Ω). (1.33) De plus, l’espace L2_{(Ω) est séparable et vérifié l’inégalité de Cauchy-Schwarz}

| Z

Ω

1.6. Espaces de Sobolev 13

1.6.1

Espace H

1

_(Ω)

Soit Ω un ouvert de Rn_{. Nous allons citer quelques définitions et propriétés de}

l’espace H1_(Ω).

Définition 21. L’espace H1_{(Ω) est définit par :} H1(Ω) = {u ∈ L2(Ω) telles que ∀i ∈ [1, d] ∂u

∂xi

∈ L2_{(Ω)}. (1.35)}

La dérivée ici est considérée au sens des distributions (Pour plus des détailles voir1et9).

Théorème 7. H1(Ω) est un espace vectoriel muni du produit scalaire :

(u, v)H1(Ω)= Z Ω u(x).v(x)dx + i=d X i=1 Z Ω ∂u(x) ∂xi .∂v(x) ∂xi dx. (1.36)

De plus, l’espace H1_{(Ω) est un espace de Hilbert muni de la norme notée} k.kH1(Ω).

Corollaire 3. On a les résultats suivants :

kukL2_(Ω)≤ kukH1, (1.37)

k∂uikL2_(Ω)≤ kuk_H1, (1.38)

et pour tout Ω ouvert de Rd, avec d = 1, 2, on a:

D ⊂ H1_{(Ω) ⊂ L}2_{(Ω). (1.39)}

1.6.2

Espace H

k

_(Ω)

Soit Ω un ouvert de Rn. Nous allons définir l’espace Hk(Ω) ainsi, le produit scalaire et la norme associée.

Définition 22. Hk_{(Ω) est un espace définit par :}

La dérivée ici est considérée au sens des distributions (Pour plus des détailles voir9_).

Théorème 8. Hk_{(Ω) est un espace vectoriel muni du produit scalaire :}

(u, v)Hk_(Ω)= Z Ω u(x).v(x)dx + X 1≤α≤k Z Ω ∂αu(x).∂αv(x)dx. (1.41)

De plus, l’espace Hk_{(Ω) est un espace de Hilbert muni de sa norme notée}

k.kHk_(Ω).

Remarques 5. Le produit scalaire associé à l’espace H2_{(Ω) est définit par :}

(u, v)H2_(Ω)= Z Ω u(x).v(x)dx+ i=d X i=1 Z Ω ∂u(x) ∂xi .∂v(x) ∂xi dx+X i,j Z Ω ∂2_u(x) ∂xi.∂xj .∂ 2_v(x) ∂xi.∂xj dx. (1.42)

1.6.3

Espace H

1 0

(Ω)

Définition 23. On définit l’espace H1

0(Ω) comme étant la fermeture de l’espace D(Ω) dans H1_{(Ω) pour la norme de H}1_{(Ω). Autrement dit,}

H₀1(Ω) = {u ∈ H1(Ω) ∃ϕn ∈ D(Ω) tel que ϕn −→ u dans H1(Ω)}. (1.43)

Corollaire 4. L’espace H1

0(Ω) vérifie les deux propriétés suivantes :

D(Ω) est dense dans l’espace H1_{(Ω), (1.44)} H₀1(Ω) est fermé dans l’espace H1(Ω), (1.45) et de plus, H1

0(Ω) est un espace de Hilbert pour le produit scalaire (1.36). Définition 24. _{(Inégalité de Poincaré) Soit Ω un ouvert borné de l’espace R}d pour d = 1, 2, il existe une constante notée cΩ telle que

∀u ∈ H01(Ω), kukL2_(Ω)≤ cΩk∇uk_L2_(Ω). (1.46)

Définition 25. Soit u une fonction de l’espace C0_{(Ω). On définit la trace de} la fonction u sur l’espace frontière ∂Ω par :

∀u ∈ C0_{( ¯Ω), on a ϑ(u) = u|}

1.6. Espaces de Sobolev 15

Corollaire 5. L’espace H₀1(Ω) est définit aussi par :

H₀1(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : ϑ(u) = 0}, (1.48) c’est-à-dire, H₀1(Ω) est l’espace des fonctions de H1(Ω) qui s’annulent sur le bord de Ω.

2

Modélisation des

problèmes antiplan de

contact avec frottement

à mémoire longue

Le chapitre intitulé ”Modélisation des problèmes antiplan de con-tact avec frottement à mémoire longue” expilque d’une façon dé-taillée le cadre physique et le modèle mathématique contenant les différentes équations et conditions de contact concernant le champ des déplacements, le champ des déplacements électrique. Chapitre

2: Modélisa tion des pr oblèmes antiplan

Contents

2.1 Introduction . . . . 18 2.2 Lois de comportement . . . . 18

2.2.1 Lois de comportement des matériaux viscoélastiques . . 18

2.2.2 Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques 19 2.3 Conditions de contact. . . . 19

2.3.1 Contact bilatéral . . . 20 2.4 Lois de frottement . . . . 20

2.4.1 Contact sans frottement . . . 20 2.5 Conditions aux limites avec frottement . . . . 23

2.1

Introduction

La section intitulée ”modélisation des problèmes de contact avec frottement” introduite la modélisation du contact piézoélectrique. On rappelle d’une façon détaillée le cadre physique et le modèle mathématique contenant les différentes équations et conditions de contact concernant le champ des déplacements, le champ des déplacements électrique et le champ des contaraintes, ainsi que des constructions des lois de frottement.24,25

Ensuite, nous présentons une modélisation des problèmes antiplans. Nous citons quelques hypothèses sous-forme des équations associées à chaque probème posé à l’étude. Finalement, nous terminons par une présentation des conditions aux limites avec frottement.

2.2

Lois de comportement

Dans cette section, nous présentons quelques lois de comportementi

concer-nant :

• Les matériaux élastiques

• Les matériaux électro-élastiques34_–35

• Électro-viscoélastiques.

Nous citons dans ce paragraphe la relation entre le tenseur des contraintes σ et le tenseur des déformations infinitésimales ε d’un côté, et le champ des déplacements électrique D et le champ électrique E(ϕ). Finalement, nous décrivons les lois des comportements qui interviennent dans cette thèse.

2.2.1

Lois de comportement des matériaux viscoélastiques

Les lois de comportement pour les matériaux viscoélastiques sont utilisées pour d’écrire le comportement des différents matériaux comme les métaux, les

i_{M. Dalah, Thèse de Doctorat, P.P. 1-133, Sous la direction de : Pr. M. Sofonea & A. Ayadi,}

2.3. Conditions de contact 19

polymères et les roches. Ces lois peuvent s’écrire sous la forme :

σ = Aε(u) − F ε(u). (2.1) Dans ces équations A = (aijkh) est le tenseur des coefficients viscoélasiques et,

F est le tenseur des coefficients élastiques.

2.2.2

Lois de comportement des matériaux électro-viscoélastiques

Les lois de comportement pour les matériaux électro-viscoélastiques sont utilisées pour d’écrire le comportement des différents matériaux. Le comportement des corps électro-viscoélastique est décrit par les équations suivantes :

σ

|{z}

Loi de Comportement

= Aε( ˙u) + F ε(u) − ET_E(ϕ), (2.2)

et

D = E ε(u) + βE(ϕ). (2.3)

Dans ces équations A = (aijkh) est le tenseur des coefficients viscoélasiques, F

est le tenseur des coefficients élastiques, E = (eijk) est le tenseur des constantes

piézoélectriques et, β = (βij) est le tenseur de la permitivité éléctrique.

2.3

Conditions de contact

Nous présentons dans cette section quelques conditions aux limites de contact utilisées dans la section précédente; les lois de frottementii associées seront présentées dans la section suivante. De façons générale, nous comprenons par condition de contact une relation impliquant les composantes normales du champ des déplacements, des vitesses ou des contraintes et nous comprenons par loi de frottement une relation entre la contrainte tangentielle στ et la vitesse

tangentielle u.

τou bien le déplacement tangentiel uτ . La contrainte στ s’appelle

aussi force de frottement.

ii_{M. DALAH, Étude des Problèmes Paraboliques à Données Manquantes, Thèse de Doctorat,}

P.P. 1-133, Sous la direction de Mr. le Prof. Mircea Sofonea & A. Ayadi, Université de Perpignan, France & Université de Constantine, Année 2008.

2.3.1

Contact bilatéral

Le contact se fait d’une façon bilatérale c’est-à-dire le contact est maintenu pendant le mouvement et il n’y a pas de séparation entre le corps et l’obstacle. La composante normale du champ des déplacements s’annule sur la surface de contact et donc :

uν = 0. (2.4)

2.4

Lois de frottement

Nous décrivons dans cette section les conditions dans la direction tangentielle appelées généralement conditions de frottement ou lois de frottement.

2.4.1

Contact sans frottement

Nous supposons qu’on a un glissement parfait, ou sans frottement. Ceci se traduit par la relation :

σ = 0. (2.5)

Dans le cas du processus d’équilibre, nous considérerons une version statique de ces lois qui sont obtenues par remplacement de la vitesse tangentielle avec le déplacement tangentiel. Alors, nous considérons des matériaux de type viscoélastique et les matériaux électro-viscoélastique à mémoire longue, dont le comportement est décrit par les deux lois de comportement suivantes :

Lois de comportement pour un matériaux de type viscoélastique à mémoire longue : Nous considérons des matériaux de type viscoélastique à mémoire longue, dont le comportement est décrit par la loi de comportement suivante : σ |{z} Loi de Comportement = λ( tr ε(u)) I + 2µε(u) + 2 Z t 0 θ(t − s) ε(u(s))ds. (2.6)

Lois de comportement pour un matériaux de type électro-viscoélastique à mémoire longue :

2.4. Lois de frottement 21

Nous considérons des matériaux de type électro-viscoélastique à mémoire longue, dont le comportement est décrit par la loi de comportement suivante :

σ |{z} Loi de Comportement = λ( tr ε(u)) I + 2µε(u) + 2 Z t 0 θ(t − s) ε(u(s))ds − E∗E(ϕ), (2.7) D = E ε(u) + βE(ϕ), (2.8)

où λ et µ sont les coefficients de Lamé, θ : [0, T ] −→ R est le coefficient de viscosité, tr ε(u) = εii(u) et I est le tenseur d’unité dans R3

Pour le frottement, et lorsque le matériau est viscoélastique, nous consid-érons la loi de frottement de Tresca :

       |στ(t)| ≤ g, |στ(t)| < g ⇒ ˙uτ(t) = 0, sur Γ3× (0, T ). |στ(t)| = g ⇒ ∃ β ≥ 0 tel que στ= −β ˙uτ (2.9)

Ici g : Γ3→ R+est une fonction donnée, le seuil de frottement, et ˙uτ représente

la vitesse tangentielle sur la région "frontière de contact", voir pour plus des détailles.34

En tenant compte de la spécificité du problème antiplan, le contact frottant peut être modelisé sur Γ3 pour tout t ∈ [0; T ] comme suit :

               |µ∂νu +R t 0θ(t − s) ∂νu(s)ds| ≤ g, |µ∂νu + Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds| < g ⇒ ˙u(t) = 0, sur Γ3× (0, T ). |µ∂νu +

Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds| = g ⇒ ∃ β ≥ 0 tel que µ∂νu +

Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds = −β ˙u

(2.10)

Pour le frottement, et lorsque le matériau est électro-viscoélastiqueiii, nous considérons la loi de frottement de Tresca :

       |στ(t)| ≤ g, |στ(t)| < g ⇒ ˙uτ(t) = 0, sur Γ3× (0, T ). |στ(t)| = g ⇒ ∃ β ≥ 0 tel que στ= −β ˙uτ (2.11)

Ici g : Γ3→ R+est une fonction donnée, le seuil de frottement, et ˙uτ représente

iii_{M. DALAH, Étude des Problèmes Paraboliques à Données Manquantes, Thèse de Doctorat,}

P.P. 1-133, Sous la direction de : Pr. M. Sofonea & A. Ayadi, Université de Perpignan, France & Université de Constantine, Année 2008

la vitesse tangentielle sur la région "frontière de contact", (voir pour plus des détailles35_{). Finalement, l’écriture scalaire devient sous la forme la plus simple}

suivante :                |µ∂νu +R t 0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ| ≤ g, |µ∂νu +R t

0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ| < g ⇒ ˙u(t) = 0, sur Γ3× (0, T ). |µ∂νu +

Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ| = g ⇒ ∃ β ≥ 0 tel que µ∂νu +

Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ = −β ˙u

(2.12) Remarque 1.

Parfois, le modèle présenté ci-dessus est modélisé par la loi de frottement de Tresca :

(

|στ(t)| ≤ g,

στ(t) = k(t, u) si u(t) 6= 0 dans Γ3..

(2.13) Ici g : Γ3→ R+est une fonction donnée qui représente le seuil de frottement, et k(t, u) = −g_|u(t)|u(t) , (pour plus des détailles voir31_).

En tenant compte de la spécificité du problème antiplaniv_{, le contact frottant}

peut être modélisé sur Γ3pour tout t ∈ [0; T ] comme suit :    |µ∂νu +R t 0θ(t − s) ∂νu(s)ds| ≤ g, µ∂νu + Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds = k(t, u) si u(t) 6= 0 dans Γ3.

(2.14)

Ici k(t, u) = −g_|u(t)|u(t). Remarque 2.

Si on rajoute dans les relations2.13-2.14le champ électrique ϕ(.) alors, le modèle présenté ci-dessus sera modélisé par la loi de frottement suivant :

   |στ| ≤ g, στ = −g_|u|u si u 6= 0 sur Γ3. (2.15)

Toujours la fonction g : Γ3→ R+ est donnée. Utilisons la relation2.15, il suit que la loi de frottement devient sous la forme suivante :

iv_{T.-V. Hoarau-Mantel, A. Matei, Analysis of a viscoelastic antiplane contact problem with}

2.5. Conditions aux limites avec frottement 23      µ∂νu + Rt 0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ   ≤ g, µ∂νu +R t 0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ = −g u |u| si u 6= 0 sur Γ3. (2.16)

2.5

Conditions aux limites avec frottement

Nous tournons maintenant vers la description des diverses conditions sur la surface de contact. Pour les d’écrires nous dénotons par uν et uτ la composante

normale et la composante tangentielle :

uν = u.ν, (2.17)

et

Part

II

Problème

3

Analyse d’un problème

antiplan viscoélastique de

contact avec frottement

à mémoire longue

Chapitre 3: Anal yse d’un pr oblème antiplan visco él astiq ue

Dans ce chapitre nous considérons que le processus est statique et le frottement est modélisé par la loi de Tresca. Ensuite, nous construisons une formulation variationnelle associée au problème continu noté Pviscoélastique. Finalement, nous établissons les résul-tats d’existence et d’unicité.

Contents

3.1 Cadre physique et modèle mathématique . . . . 28

3.1.1 Cadre physique . . . 28

3.1.2 Modèle mathématique . . . 33 3.2 Position du problème continu Pviscoélastique . . . . 33

3.3 Quelques hypothèses . . . . 33

3.4 Formulation variationnelle . . . . 36

3.5 Résultat d’existence et d’unicité . . . . 36

D

ans cette section de la thèse, on considère que le matériau est de type viscoélastiqueà mémoire longue et qui se conclue dans une déformation d’un cylindre en contact avec frottement avec une fondation régide. Cette fois ci, le matériel est supposé viscoélastique, le processus est statique, le frottement est modélisé par la loi de Tresca et, la fondation est non-connectée par le champ électrique. Au premier temps, nous construisons une formulation variation-nelle associée au problème continu Pviscoélastique. Ensuite, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité de la solution faible.

La structure de ce chapitre est la suivante. À la section3.1, nous présentons le cadre physique, le modèle mathématique et l’équation d’équilibre, puis, nous posons les conditions aux limites avec frottement et la loi de frottement. À la section 3.2, nous regroupons toutes les équations obtenues dans la section précédente pour construire le problème continu Pviscoélastique_{. À la section}

3.3, nous listons les hypothèses et donnons la formulation variationnelle. À la section3.4, nous présentons notre principal résultat d’existence, d’unicité et de convergence de la solution faible, à savoir le Théorème principal cité dans ce chapitre, ainsi que les étapes de la démonstration de ce Théorème.

3.1

Cadre physique et modèle mathématique

3.1.1

Cadre physique

D

ans la deuxième section intitulé ”Cadre physique et modèle mathématique” , nous considérons un corps cylindrique B de R3_{, rapporté dans le repère orthogonal} cartésien Ox1x2x3, situé dans une configuration d’origine fixe et non déformée. Nous admettons que les génératrices de ce cylindre B sont parallèles à l’axe Ox3. Sa coupe transversale est un domaine borné Ω ⊂ R2; repéré dans le plan (Ox1x2). Le corps cylindrique est supposé suffisamment long afin de négliger les effets dans la direction axiale. Nous pouvons alors écrire que B = Ω × (−∞, +∞). Notons ∂Ω = Γ la frontière du domaine Ω, divisée en trois parties disjointes et mesurables Γ1, Γ2 et Γ3 avec mes Γ1 > 0. Le cylindre est bloqué sur cette partie Γ1× (−∞, +∞), subit à la fois des forces volumiques f0 dans B et des forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞) et est en contact avec une fondation tout au long de la partie Γ3× (−∞, +∞).

3.1. Cadre physique et modèle mathématique 29

Le contact est en forttement et de plus, il est modélisé par la loi de Tresca cité dans le chapitre3. Nous supposons que les forces volumiques f0dans B et les forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞) sont telles que

f0 |{z}

Les F orces V olumiques

= (0, 0, f0) avec f0= f0(x1, x2) : Ω → R, (3.1)

f2 |{z}

Les F orces Surf aciques

= (0, 0, f2) avec f2= f2(x1, x2) : Γ2→ R, (3.2)

Ensuite, nous supposons que les deux forces f0 et f2 définies par les relations (3.1) et (3.2) engendrent une déformation sur le cylindre avec un déplacement u

tel que

u |{z}

Le champ de Déplacements

= (0, 0, u) avec u = u (x1, x2_{) : Ω → R,} (3.3)

Les deux indices i = 1, 2, 3 et j = 1, 2, 3 désignent les composantes des vecteurs des tenseurs. On utilise l’espace S3 _{qui représente l’espace lineaire des tenseurs} symétriques du second ordre dans l’espace R3_{, et “ · ”, k · k représentent le produit} scalaire et la norme Eucludiènne dans les deux espaces R3et S3respectivement; on a donc : u · v = uivi, kvk = (v · v) 1/2 pour tout u = (ui) , v = (vi) ∈ R3 et σ · τ = σijτij, kτ k = (τ · τ )1/2 pour tout σ = (σij) , τ = (τij) ∈ S3.

Maintenant, nous nous rappelons la relation déformation-déplacement dans l’hypothèse des petites déformations qui est noté ε (u) = (εij(u)) et le tenseur

Nous considérons des matériaux de type viscoélastiqueà mémoire longuei. Dans le cas viscoélastique, on sait que le champ des contraintes σ est donné par :

σ = λ( tr ε(u)) I + 2µε(u) + 2

Z t 0

θ(t − s) ε(u(s))ds, (3.4)

où λ et µ sont les coefficients de Lamé, θ : [0, T ] −→ R est le coefficient de viscosité, tr ε(u) = εii(u) et I est le tenseur d’unité dans R3. Nous nous plaçons

dans le cas statique. En considérant la relation (3.1), l’équation d’équilibre se réduit à la forme scalaire suivante:

σ =   0 0 σ13 0 0 σ23 σ31 σ32 0  , (3.5) où σ13= σ31= µ∂x1u et σ23= σ32= µ∂x2u. On suppose que Eε =   e (ε13+ ε31) e (ε23+ ε32) eε33   ∀ε = (εij) ∈ S3. (3.6)

Souvent, nous supposons que les coefficients µ dépendent de la variable spatial x1, x2, et ne dépendent pas de la variable spatial x3. De plus E ε · v = ε · E∗v pour tout ε ∈ S3

, v ∈ R3_{, il suit que de (3.6) que} E∗v =

 

0 0 ev1

0 0 ev2 ev1 ev2 ev3



 ∀v = (vi) ∈ R3. (3.7)

On suppose que le processus est mécanique et statique le long du processus et donc il est gouverné par la loi d’équilibre; où Div σ = (σij,j) représente la

divergence concernant le champ du tenseur σ. Par la suite et, en tenant compte des relations (3.1), (3.2), (3.3) et (3.5), l’équation d’équilibre sera réduite sous

i_{M. Sofonea and A. Matei., Variational inequalities with applications. A study of antiplane}

frictional contact problems, Advances in machanics and mathematics, Springer, 2009 (230 pages), year (2009)

3.1. Cadre physique et modèle mathématique 31

la forme d’une équation scalaire:

div(µ∇u) + Z t

0

θ(t − s) div(∇u(s))ds + f0= 0, dans Ω × (0, T ), (3.8) Dans tout ce qui suit, on utilise les notations suivantes :

div τ = τ1,1+ τ2,2 dans τ = (τ1(x1, x2) , τ2(x1, x2)) et

∇v = (v,1, v,2) , ∂νv = v,1 ν1+ v,2 ν2 pour v = v (x1, x2) .

Maintenant, nous voulons décrire les conditions aux bords (sur la frontière). Les déplacements étant bloqués sur la frontière Γ1× (−∞, +∞) et donc la relation (3.3) implique que :

u = 0 sur Γ1. (3.9)

Soit ν désigne la normale unitaire sur Γ × (−∞, +∞). Nous avons

ν

|{z}

La N ormale U nitaire

= (ν1, ν2, 0) avec νi= νi(x1, x2) : Γ → R, i = 1, 2. (3.10) Pour le vecteur v on désigne par vν et vτ sont les composantes normale et

tangentielle composante sur la frontière, définit par:

vν = v · ν, vτ = v − vνν, (3.11)

respectivement. Dans (3.11) et dans le reste de ce chapitre on note par “ · ” le produit scalaire sur l’espace Rd _{(d = 2, 3). De plus, pour le champ des}

contraintes σ on désigne par σν et στ la composante normale et la composante

sur la frontière, avec

σν = (σν) · ν, στ = σν − σνν. (3.12)

Des relations (3.5) et (3.10) on déduit que le vecteur-champ du Cauchy et la composante normale du champ des déplacements sont donnés par:

σν =  0, 0, µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds  , (3.13)

Γ2× (−∞, ∞) prend la forme suivante : µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds = f2 sur Γ2× (0, T ), (3.14) avec στ= µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds. (3.15)

Maintenant, nous décrivons la condition de contact frottant et la condition électrique sur la partie Γ3× (−∞, +∞). Dans un premier temps, de l’équation (3.3) et la relation (3.10) on déduit que le déplacement normale est nul, uν= 0, ce

qui montre que le contact est bilatéral. Utilisons les formules (3.3) et (3.10)-(3.12) on déduit que :

uτ= (0, 0, u) , στ = (0, 0, στ) , (3.16)

où στ est définit par la relation (3.15).

On suppose que le frottement est invariant le long de l’axe x3 et de plus, il est modélisé la loi de frottement de Tresca :

(

|στ(t)| ≤ g,

στ(t) = k(t, u) si u(t) 6= 0 dans Γ3.

(3.17)

Ici g : Γ3→ R+est une fonction donnée qui représente le seuil de frottement, et k(t, u) = −g_|u(t)|u(t) , (pour plus des détailles voir34_-35_).

En tenant compte de la spécificité du problème antiplan, le contact frottant peut être modélisé sur Γ3 pour tout t ∈ [0; T ] comme suit :

   |µ∂νu + Rt 0θ(t − s) ∂νu(s)ds| ≤ g, µ∂νu + Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds = k(t, u) si u(t) 6= 0 dans Γ3.

(3.18)

Ici k(t, u) = −g_|u(t)|u(t). Finalement, en conclusion et, en réunissant les équations et les conditions aux limites ci-dessus, nous obtenons que dans un processus antiplan d’un corps viscoélastique, le champ des déplacements u satisfait le problème suivant :

3.2. Position du problème continu Pviscoélastique 33

3.1.2

Modèle mathématique

Par conséquent, notre problème antiplan de contact avec frottement à mémoire longue31 _{peut se formuler comme suit.}

3.2

Position du problème continu P

viscoélastique

Problème Pviscoélastique. Trouver le champ de déplacements u : Ω × [0, T ] → R tels que div(µ∇u) + Z t 0 θ(t − s) div(∇u(s))ds + f0= 0 dans Ω × (0, T ), (3.19) u = 0 sur Γ1× (0, T ), (3.20) µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds = f2 sur Γ2× (0, T ), (3.21) Pr oblème P v isco é lastiq ue    |µ∂νu +R t 0θ(t − s) ∂νu(s)ds| ≤ g, µ∂νu +R t

0θ(t − s) ∂νu(s)ds = k(t, u) si u(t) 6= 0 dans Γ3.

(3.22)

On note que le champ des dépalcements u qui résout le Pviscoélastique est connu, alors le tenseur des contraintes σ peut obtenus par utilisation de la loi (3.4). Remarque 1.

On peut résumer le problème Pviscoélastique sous la forme suivante :

Problème Pviscoélastic. _{Trouver le champ de déplacements u : Ω × [0, T ] → R} tels que (3.19)–(3.22) sont vérifiés.

3.3

Quelques hypothèses

Dans cette section, Pour étudier le problème Pviscoélastique _{nous avons besoin}

les notations utilisées et, nous dérivons par la suite la formulations variationnelle du problème mécanique envisagé Pviscoélastique_.

Nous citons les hypothèses ci-après. Les forces volumiques et de tractions sont supposées avoir la régularité :

f2∈ C [0, T ], L2(Γ2)
, (3.23) et

f0∈ C [0, T ], L2(Γ2)
. (3.24) Nous supposons que la viscosité θ satisfaite :

θ ∈ C ([0, T ], L∞(Ω)) . (3.25) Nous introduisons ensuite l’espace V de la manière suivante :

V = {v ∈ H1(Ω) : v = 0 on Γ1}.

Dans tout ce qui suit, on note par la trace γw de la fonction w ∈ H1_{(Ω) sur Γ.} Puisque mesΓ1> 0. Il est bien connu que V est un espace de Hilbert muni par le produit scalaire :

(u, v)_V = Z

Ω

∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V.

De plus, la norme associée à l’espace V sera définie par :

kvk_V = k∇vk_L2_(Ω)2 ∀v ∈ V, (3.26)

qui est équivalente sur V , par la norme usuelle k · k_H1_(Ω). Par le théorème de

trace de Sobolev, on déduit qu’il existe une constante positive cV > 0 telle que

kvk_L2_(Γ3)≤ cV kvk_V ∀v ∈ V. (3.27)

On suppose que le coefficient de Lamé satisfait :

µ ∈ L∞(Ω) et µ(x) > 0 p.p. x ∈ Ω. (3.28)

Finalement, on suppose que le seuil de frottement g satisfait ce qui suit : g ∈ L2(Γ3) et g(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ3. (3.29)

3.3. Quelques hypothèses 35

Soit la fonctionnelle j : V −→ R+ définie par la relation : j(v) =

Z Γ3

g|v| da ∀v ∈ V. (3.30)

On définit souvent l’application f ∈ V par l’expression mathématique : (f (t), v)_V = Z Ω f0(t)v dx + Z Γ2 f2(t)v da, (3.31)

pour tout v ∈ V . La définition de f est basée sur le théorème de représentattion de Riesz.

Par la suit, nous définissons la forme bilinéaire suivante aµ : V × V → R par

l’égalité suivante:

aµ(u, v) =

Z Ω

µ ∇u · ∇v dx, (3.32)

pour tout u, v ∈ V . Les hypothèses (3.31) impliquent que les intégrales précé-dentes sont bien-définies et, nous utilisons (3.26) et (3.27), il suit que la forme bilinéaire aµ(., .) est continue et symétrique.

Lemme 1 Sous les hypothèses (3.23)-(3.32). Alors; on peut définir l’opérateur A(.) par :

(A(t)u, v)V =

Z Ω

θ∇u∇vdx, ∀u, v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ]. (3.33) De plus, sous les relations (3.31)-(3.33) et (3.27), alors, l’opérateur A(.) vérifie :

kA(t1) − A(t2)kL(V )≤ kθ(t1) − θ(t2)kL∞_(Ω).kf (t₁) − f (t₂)k_V, (3.34)

∀t1, t2∈ [0, T ],

Preuve.

L’opérateur A(.) est obtenue à partir du théorème de représentation de Riesz, et donc on peut donc définir cet opérateur de la manière suivante :

A(.) : [0, T ] → L(V )

(A(t)u, v)V =

Z Ω

θ∇u∇vdx, ∀u, v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ].

Pour la deuxième inégalité, il suffit d’utiliser les relations (3.23)–(3.24) et la norme définie sur l’espace V .

En tenant compte (3.25) et (3.23)-(3.24), on peut déduire que l’opérateur A(.) est continu sur l’intervalle [0, T ] et que la fonction f (.) est continue sur [0, T ] et à valeurs dans l’espace V . En se basant sur la formule de Green et, par utilisation des conditions aux bords sur Γ1, Γ2 et Γ3, on obtient donc la formulation variationnelle du problème Pviscoélastique.

3.4

Formulation variationnelle

Problème P Vviscoélastique. Trouver le champ de déplacement u : Ω×[0, T ] → R tel que aµ(u(t), v −u(t))+ Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds  V +j(v)−j(u(t)) ≥ (f (t), v − u(t))_V , (3.35) ∀v ∈ V, t ∈ [0, T ].

Nous avons un résultat d’existence et d’unicité concernant le problème P Vviscoélastique.

3.5

Résultat d’existence et d’unicité

Théorème 1 On suppose que les hypothèses (3.23)-(3.32) sont satisfaites, alors le problème P Vviscoélastique possède une et une seule solution notée u ∈ C([0, T ]; V ).

On note qu’un élément u qui résout le problème P Vviscoélastique est appelé solution faible du problème antiplan de contact avec frottement à mémoire longue qui est aussi solution du problème Pviscoélastique _{à condition que les}

hypothèses (3.23)-(3.32) sont satisfaites. Preuve.

La forme bilinéaire aµ(., .) est symétrique et, en utilisant la condition (3.28), on

peut déduire que :

3.5. Résultat d’existence et d’unicité 37

et

aµ(v, v) ≥ µ∗.kvk2V, ∀v ∈ V. (3.37)

En utilisant (3.29), il suit que la fonctionnelle j(.) est une semi-norme continue sur l’espace V , alors, la fonctionnelle j(.) est convexe et s.c.i. On combine avec les propriétés de régularité citées ci-dessous et un résultat concernant les inéquations variationnelles, on obtient donc le résultat du théorème (1). Il suit du théorème (1) que, sous les hypothèses (3.23)-(3.32), le Problème Pviscoélastique _{admet une et une solution notée u. Nous allons prouver dans la}

section qui suit l’exsitence et l’unicité de la solution de ce problème.

Théorème 2 31_{On suppose que les hypothèses (3.23)-(3.32) sont satisfaites et,}

en utilisant le théorème (1), et si il existe un entier p ∈ [1, ∞] telle que f0∈ W1,p 0, T ; L2(Ω)
, (3.38) f2∈ W1,p _{0, T ; L}2_{(Γ3)
, (3.39)} et

θ ∈ W1,p(0, T ; L∞(Ω)) . (3.40) Alors, il existe une et une seule solution notée u telle que

u ∈ W1,p(0, T ; V ) . (3.41)

Voici la démonstration du théorème (2). Preuve.

Nous remarquons d’après (3.34) que la relation (3.38) implique que

f ∈ W1,p(0, T ; V ) . (3.42) De plus, Il est facile d’obtenir :

A ∈ W1,p(0, T ; L(V )) . (3.43) Ce qui conclut la démonstration du théorème (2).

3.6

Conclusion

En conclusion, dans cette partie de la thèse, nous avons considéré que le matériel est viscoélastique avec des conditions aux limites et d’une loi de frottement de type de Tresca. Au premier point, nous avons construit une formulation variationnelle associée au problème posé à l’étude. Finalement, nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution faible pour ce modèle. La démonstration est basée sur les arguments des inéquations variationnelles d’evolution.

Part

III

Problème

4

Analyse d’un problème

antiplan

électro-viscoélastique de

contact avec frottement

à mémoire longue

Chapitre 4: Anal yse d’un pr oblème antiplan électr o-viscoélastique de cont a ct a vec fr ottement à mémoire longue

Ce chapitre intitulé ”Analyse d’un problème antiplan électro-viscoélastique de contact avec frottement à mémoire longue” com-porte une construction d’une formulation variationnelle (ou faible) associée au problème continu. Par la suite, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité en se basant sur la théorie des inéquations variationnelles et le Théorème du point-fixe de Banach.

Contents

4.1 Cadre physique et requis . . . . 42

4.2 Position du problème continu Pélectro−viscoélastique _{. . . 47}

4.3 Quelques hypothèses et formulation variationnelle . . 48

4.3.1 Quelques hypothèses . . . 48

4.3.2 Formulation variationnelle . . . 51 4.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . . 53

4.5 Preuve du théorème 3 . . . . 54