Quelques hypothèses et formulation variationnelle

Analyse d’un problème

antiplan

électro-viscoélastique de

contact avec frottement

à mémoire longue

Chapitre 4: Anal yse d’un pr oblème antiplan électr o-viscoélastique de cont a ct a vec fr ottement à mémoire longue

Ce chapitre intitulé ”Analyse d’un problème antiplan électro-viscoélastique de contact avec frottement à mémoire longue” com-porte une construction d’une formulation variationnelle (ou faible) associée au problème continu. Par la suite, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité en se basant sur la théorie des inéquations variationnelles et le Théorème du point-fixe de Banach.

Contents

4.1 Cadre physique et requis . . . . 42

4.2 Position du problème continu Pélectro−viscoélastique . . . 47

4.3 Quelques hypothèses et formulation variationnelle . . 48

4.3.1 Quelques hypothèses . . . 48

4.3.2 Formulation variationnelle . . . 51 4.4 Un résultat d’existence et d’unicité . . . . 53

4.5 Preuve du théorème 3 . . . . 54

D

ans cette section, on considère que le matériel est électro-viscoélastique avec des conditions aux limites avec frottement de Tresca. On commence cette étude par donner la formulation du problème, ensuite on indique la formulation variationnelle (ou faible) associée. Ensuite, nous établissons les résultats d’existence et d’unicité en se basant sur la théorie des inéquations variationnelles et le Théorème du point-fixe de Banach. La rédaction de ce chapitre s’inspire d’une publication.³²

La structure de ce chapitre est la suivante. À la section4.1, nous présentons le problème électro-viscoélastique considéré. À la section4.2, nous faisons la position du problème continu de notre phynomène électro-mécanique. À la section

4.3, nous listons les hypothèses et nous dérivons la formulation variationnelle de ce modèle qui est sous la forme d’un système couplé en premier temps; une inéquation variationelle d’evolution pour le champ des déplacements avec une équation variationnelle dépendant du temps pour le champ électrique. À la dernière section, nous prouvons l’existence et l’unicité de la solution faible pour ce modèle. La démonstration est basée sur les arguments des inéquations variationnelles d’evolution et l’opérateur de point fixe.

4.1 Cadre physique et requis

D

ans la deuxième section intitulé ”Cadre physique et requis” du chapitre

4, nous considérons un corps cylindrique B de R3, rapporté dans le repère orthogonal cartésien Ox₁x₂x₃, situé dans une configuration d’origine fixe et non déformée. Nous admettons que les génératrices de ce cylindre B sont parallèles à l’axe Ox3. Sa coupe transversale est un domaine borné Ω ⊂ R²; repéré dans le plan (Ox₁x₂). Le corps cylindrique est supposé suffisamment long afin de négliger les effets dans la direction axiale.

Thèse de Do ctorat en-Sciences, F évrier 2016

Nous pouvons alors écrire que B = Ω × (−∞, +∞). Notons ∂Ω = Γ la frontière du domaine Ω, divisée en trois parties disjointes et mesurables Γ₁, Γ₂ et Γ₃ avec mes Γ1 > 0. Le cylindre est bloqué sur cette partie Γ1× (−∞, +∞), subit à la fois des forces volumiques f0 dans B et des forces surfaciques f2sur Γ2× (−∞, +∞) et est en contact avec une fondation tout au long de la partie Γ₃× (−∞, +∞).

Le contact est en forttement et de plus,il est modélisé par la loi de Tresca cité dans le chapitre3. Nous supposons que les forces volumiques f0 dans B et les

4.1. Cadre physique et requis 43

forces surfaciques f2 sur Γ2× (−∞, +∞) sont telles que

f₀ |{z}

Les F orces V olumiques

= (0, 0, f₀) avec f₀= f₀(x₁, x2) : Ω → R, (4.1)

f₂ |{z}

Les F orces Surf aciques

= (0, 0, f₂) avec f₂= f₂(x₁, x₂) : Γ₂→ R, (4.2)

Nous supponsons aussi que la charge volumique q0et surfacique de densité q2 appliquée sur Γb est telle que

q0 |{z}

La Charge V olumique

= q0(x1, x2) : Ω → R, (4.3)

On exerce sur le corps un champ électrique de densité volumique q0 tel que q₂

|{z}

La Charge Surf acique

= q₂(x₁, x₂) : Γ_b → R. (4.4)

Ensuite, nous supposons que les deux forces f₀et f₂définies par les relations (4.1) et (4.2) et les charges q0 et q2définies par les formules (4.3) et (4.4) engendrent une déformation sur le cylindre avec un déplacement u tel que

u |{z}

Le champ de Déplacements

= (0, 0, u) avec u = u (x1, x2) : Ω → R, (4.5)

ϕ = ϕ (x1, x2) : Ω → R. (4.6) Les deux indices i = 1, 2, 3 et j = 1, 2, 3 désignent les composantes des vecteurs des tenseurs. On utilise l’espace S3 qui représente l’espace lineaire des tenseurs symétriques du second ordre dans l’espace R³, et “ · ”, k · k représentent le produit

scalaire et la norme Euclidien dans les deux espaces R³ et S³ respectivement; on a donc :

u · v = uivi, kvk = (v · v)^1/2 pour tout u = (ui) , v = (vi) ∈ R³ et

σ · τ = σijτij, kτ k = (τ · τ )^1/2 pour tout σ = (σij) , τ = (τij) ∈ S³.

Maintenant, nous nous rappelons la relation déformation-déplacement dans l’hypothèse des petites déformations qui est noté ε (u) = (εij(u)) et le tenseur des contraintes σ = (σ_ij). On note souvent par E (ϕ) = (E_i(ϕ)) le champ électrique et par D = (Di) le champ électrique des déplacements. Par ailleurs rappelons la définition du champ électrique

E(ϕ) = −∇(ϕ).

Soit maintenant

εij(u) = ¹

2 ^{(ui,j+ uj,i) , Ei(ϕ) = −(ϕ,i).}

Dans le cas électro-viscoélastiquei, on sait que le champ des contraintes σ est donné par: σ = λ( tr ε(u)) I + 2µε(u) + 2 Z t 0 θ(t − s) ε(u(s))ds − E^∗E(ϕ), (4.7) D = E ε(u) + βE(ϕ), (4.8)

où σ est le tenseur des contraintes, ε(u) = (εij(u)) est le tenseur des déformations, λ > 0 et µ > 0 les constantes de Lamé et Id le tenseur unité de R³. Nous nous plaçons dans le cas statique. En considérant les relations (4.1), (4.3) et (4.4), l’équation d’équilibre se réduit à la forme scalaire suivante:

σ =   0 0 σ13 0 0 σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ 0  , (4.9)

iM. Sofonea, M. Dalah, Antiplane Frictional Contact of Electro-Viscoelastic Cylinders, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2007(2007), No. 161, pp. 114.

4.1. Cadre physique et requis 45 D =   eu,₁−αϕ,1 eu,₂−αϕ,₂ 0   (4.10) où σ₁₃= σ₃₁= µ∂_x1u et σ23= σ32= µ∂x₂u. On suppose que Eε =   e (ε₁₃+ ε₃₁) e (ε23+ ε32) eε33   ∀ε = (εij) ∈ S³, (4.11)

où e est le coefficient piezoelectrique. Souvent, nous supposons que les coefficients µ, α et e dépendent de la variable spatial x1, x2, et ne dépendent pas de la variable spatial x3. De plus E ε · v = ε · E^∗v pour tout ε ∈ S³, v ∈ R³, il suit que de (4.11) que E∗v =   0 0 ev1 0 0 ev₂ ev₁ ev₂ ev₃   ∀v = (v_i) ∈ R³. (4.12)

On suppose que le processus est électro-mécanique et statique le long du processus et donc il est gouverné par la loi d’équilibre:

Div σ + f0= 0, Di,i− q0= 0 dans B,

où Div σ = (σij,j) représente la divergence concernant le champ du tenseur σ. En tenant compte des relations (4.1), (4.2), (4.5), (4.6), (4.9) et (4.10), l’équation d’équilibre sera réduite sous la forme d’une équation scalaire:

div(µ∇u) + Z t

0

θ(t − s) div(∇u(s))ds + div(e∇ϕ) + f₀= 0, dans Ω × (0, T ), (4.13)

div(e∇u − β∇ϕ) = q0. (4.14)

Dans ce qui suit, nous utilisons les notations :

et

∇v = (v,1, v_,2) , ∂_νv = v,₁ν₁+ v,₂ν₂pour v = v (x₁, x₂) .

Maintenant, nous voulons d’écrire les conditions aux bords (sur la frontière). Les déplacements étant bloqués sur la frontière Γ1× (−∞, +∞) et le potentiel électrique devient nul sur Γ1× (−∞, +∞); alors, (4.5) et (4.6) implique que:

u = 0 sur Γ1, (4.15)

ϕ = 0 sur Γ_a. (4.16)

Soit ν désigne la normale unitaire sur Γ × (−∞, +∞). Nous avons

ν = (ν₁, ν₂, 0) avec ν_i= ν_i(x₁, x2) : Γ → R, i = 1, 2. (4.17) Pour le vecteur v on désigne par vν et vτ les composantes normale et tangentielle sur la frontière, définit par:

vν = v · ν, vτ = v − vνν. (4.18) respectivement. Dans (4.18) et dans le reste de ce chapitre on note par “ · ” le produit scalaire sur l’espace R^d (d = 2, 3). De plus, pour le champ des contraintes σ on désigne par σ_ν et σ_τ la composante normale et la composante sur la frontière, avec

σ_ν= (σν) · ν, σ_τ = σν − σ_νν. (4.19) Des relations (4.9), (4.10) et (4.17) on déduit que le vecteur-champ du Cauchy et la composante normale du champ des déplacements sont donnés par:

σν =  0, 0, µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ  , D · ν = e∂νu − α∂νϕ. (4.20) En tenant compte des relations (4.2), (4.4) et (4.20), la condition de traction sur Γ₂× (−∞, ∞) et la condition électrique sur Γ_b× (−∞, ∞) sont:

µ∂νu + Z t

0

θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ = f2 sur Γ2× (0, T ), (4.21)

e∂νu − β∂νϕ = q2 sur Γb× (0, T ). (4.22) Maintenant, nous décrivons la condition de contact frottant et la condition électrique sur la partie Γ3× (−∞, +∞). Premierement, de l’équation (4.5) et

4.2. Position du problème continu P^{électro−viscoélastique} 47

la relation (4.17) on déduit que le déplacement normale est nul, uν= 0, ce qui montre que le contact est bilatéral. Utilisons les formules (4.5) et (4.17)-(4.19) on déduit que: uτ = (0, 0, u) , στ= (0, 0, στ) (4.23) où στ=  0, 0, µ∂νu + Z t 0 θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ  .

On suppose que le frottement est invariant le long de l’axe x3 et de plus, il est modélisé la loi de frottement de Tresca:

  

|σ_τ| ≤ g,

σ_τ= −g_|u|^u si u 6= 0 sur Γ3. ^(4.24) Ici g : Γ₃→ R+ est une fonction donnée. Utilisons la relation (4.23), il suit que la loi de frottement (4.24) implique que:

     µ∂νu +Rt 0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ ≤ g, µ∂_νu +Rt

0θ(t − s) ∂_νu(s)ds + e∂_νϕ = −g_|u|^u si u 6= 0 sur Γ₃.

(4.25)

Il ne reste plus qu’à compléter ces équations en donnant le déplacement initial

u(0) = u₀, dans Ω. (4.26)

E

n conclusion, en réunissant les équations et les conditions aux limites ci-dessus, nous obtenons que dans un processus antiplanii d’un corps électro-viscoélastique, le champ des déplacements u et le potentiel électrique ϕ satisfont le problème suivant :

4.2 Position du problème continu P

^{électro−viscoélastique}

Problème Pélectro−viscoélastique. Trouver le champ des déplacements u : Ω → R et le potentiel électrique ϕ : Ω → R tel que

div(µ∇u) + Z t

0

θ(t − s) div(∇u(s))ds + div(e∇ϕ) + f0= 0, (4.27)

iiM. Sofonea, M. Dalah, Antiplane Frictional Contact of Electro-Viscoelastic Cylindersⁱⁱⁱ, Electronic Journal of Differential Equations, Vol. 2007(2007), No. 161, pp. 114.

dans Ω × (0, T ), div(e∇u − β∇ϕ) = q₀, dans Ω × (0, T ), (4.28) u = 0 sur Γ1, (4.29) µ∂_νu + e∂_νϕ = f₂ sur Γ₂, (4.30)      µ∂νu +^R₀^tθ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ   ≤ g, µ∂νu +Rt

0θ(t − s) ∂νu(s)ds + e∂νϕ = −g_|u|^u si u 6= 0 sur Γ3,

(4.31)

ϕ = 0 sur Γ_a, (4.32)

e∂νu − α∂νϕ = q2 sur Γb, (4.33)

u(0) = u₀, dans Ω. (4.34)

On note que le champ des dépalcements u et le champ électrique ϕ qui résout le Problème Pélectro−viscoélastique sont connues, alors le tenseur des contraintes σ et le champ des déplacements électriques D peuvent obtenir par utilisation des lois (4.7) et (4.8), respectivement.

4.3 Quelques hypothèses et formulation variationnelle

Nous commençons par citation de quelques hypothèses qui pourraient êtres néces-saires et utiles pour étudier la solution faible du problème Pélectro−viscoélastique.

4.3.1 Quelques hypothèses

D

ans cette section, nous allons essayer de dériver la formulation variationnelle du problème précédent Pélectro−viscoélastique. A cet effet, nous allons introduire les espace suivants:

V = {v ∈ H¹(Ω) : v = 0 sur Γ1}, et

4.3. Quelques hypothèses et formulation variationnelle 49

Il est bien connu que V et W sont des espaces réels de Hilbert muni du produit scalaire : (u, v)V = Z Ω ∇u · ∇v dx ∀u, v ∈ V, (ϕ, ψ)W = Z Ω ∇ϕ · ∇ψ dx ∀ϕ, ψ ∈ W.

De plus, la norme associée est de la forme :

kvkV = k∇vkL2(Ω)2 ∀v ∈ V, kψkW = k∇ψkL2(Ω)2 ∀ψ ∈ W, (4.35) qui sont toujours équivalentes sur V et W , respectivement, avec la norme usuelle k · kH1(Ω). Par le théorème de trace de Sobolev on peut déduire qu’il existe deux constantes positives c_V > 0 et c_W > 0 telles que :

kvkL2(Γ₃)≤ cVkvkV ∀v ∈ V, kψkL2(Γ₃)≤ cWkψkW ∀ψ ∈ W. (4.36) Pour l’espace réel (X, k · kX) on utilise la notation usuelle pour l’espace Lp(0, T ; X) et Wk,p(0, T ; X) où 1 ≤ p ≤ ∞, k = 1, 2, . . . ; souvent, on note par C([0, T ]; X) l’espace des fonctions continues et les fonctions différentiables continues sur l’intervalle [0, T ] et à valeurs dans l’espace produit X, avce la norme :

kxk_{C([0,T ];X)}= max

t∈[0,T ]

kx(t)k_X,

et on utilise les notations standart pour l’espace de Lebesgue L2(0, T ; X) comme dans l’espace de Sobolev W1,2(0, T ; X). En particulier, et par la suite, on peut déduire que la norme sur l’espace de L²(0, T ; X) est donnée par la relation :

kuk2 L2(0,T ;X)= Z T 0 ku(t)k2 Xdt.

et la norme sur l’espace W2(0, T ; X) est donnée par la formule :

Pour étudier le problème Pélectro−viscoélastique, on suppose que le coefficient de viscosité satisfait :

θ ∈ W^1,2(0, T ), (4.37)

et le coefficient de permitivité électrique vérifie :

α ∈ L^∞(Ω) et il existe α^∗> 0 tel que α(x) ≥ α^∗ p.p. x ∈ Ω. (4.38) Souvent, on suppose que le coefficient de Lamé et le coefficient piézoéelectrique satisfaites :

µ ∈ L^∞(Ω) et µ(x) > 0 p.p. x ∈ Ω, (4.39)

Les forces de tractions et volumiques sont supposées de la forme :

f0∈ W1,2(0, T ; L²(Ω)), (4.41) et

f2∈ W1,2(0, T ; L²(Γ2)). (4.42)

Les forces surfaciques satisfont aussi :

q0∈ W1,2(0, T ; L²(Ω)), (4.43) et

q2∈ W1,2(0, T ; L²(Γb)). (4.44)

Le coefficient de conductivité électrique et la fonction seuil du frottement g vérifient les propriétés :

k ∈ L^∞(Γ3) et k(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ3, (4.45) g ∈ L^∞(Γ₃) et g(x) ≥ 0 p.p. x ∈ Γ₃. (4.46)

Finalement, on suppose que le potentiel électrique et le déplacement initial sont de la forme :

ϕF ∈ W1,2(0, T ; L²(Γ3)). (4.47)

La donnée initiale est choisit telle que :

u₀∈ V (4.48)

et, de plus,

aµ(u0, v)V + j(v) ≥ (f (0), v)V ∀v ∈ V. (4.49)

Maintenant, on définit la fonctionnelle j : [0, T ] −→ R+ par la formule : j(v) =

Z Γ₃

g|v| da ∀v ∈ V. (4.50)

Souvent nous définissons les applications f : [0, T ] → V et q : [0, T ] → W , respectivement, par (f (t), v)V = Z Ω f0(t)v dx + Z Γ2 f2(t)v da, (4.51)

4.3. Quelques hypothèses et formulation variationnelle 51 (q(t), ψ)W = Z Ω q0(t)ψ dx − Z Γb q2(t)ψ da + Z Γ3 k ϕF(t)ψ da, (4.52) pour tout v ∈ V , ψ ∈ W et t ∈ [0, T ]. La définition des opérateurs f et q sont basées sur le théorème de représentation de Riesz; de plus, il suit des hypothèses (4.41)-(4.42) et (4.43)-(4.44), que les intégrales précédentes sont bien définies

et

f ∈ W^1,2(0, T ; V ), (4.53) q ∈ W^1,2(0, T ; W ). (4.54) Par la suite, on définit les formes bilinéaires aµ: V × V → R, ae: V × W → R, a^∗_e: W × V → R, et aα: W × W → R, par les égalités :

aµ(u, v) = Z Ω µ ∇u · ∇v dx, (4.55) ae(u, ϕ) = Z Ω e ∇u · ∇ϕ dx = a^∗_e(ϕ, u), (4.56) et aα(ϕ, ψ) = Z Ω β ∇ϕ · ∇ψ dx + Z Γ3 k ϕψ dx, (4.57) pour tout u, v ∈ V , ϕ, ψ ∈ W .

Les hypothèses (4.37)-(4.57) impliquent que les intégrales précédentes sont bien définies et, en utilisant la relation (4.35) et (4.36), il suit que les formes bilinéaires aµ, aeand a^∗_e sont continues; de plus, les formes aµ et aα sont symétriques et, la forme aαest W -elliptique, alors on obtient :

aα(ψ, ψ) ≥ α^∗kψk2

W ∀ψ ∈ W. (4.58)

4.3.2 Formulation variationnelle

La formulation variationalle du Problème P^{électro−viscoélastique} est basée sur le résultat suivant :

Lemme 2 Si le couple (u, ϕ) désigne une solution lisse du problème Pélectro−viscoélastique, alors on a (u(t), ϕ(t)) ∈ X et de plus on obtient :

aµ(u(t), v − ˙u(t)) + ( Z t

0

θ(t − s)u(s) ds, v − ˙u(t))V + a^∗_e(ϕ(t), v − ˙u(t)) + j(v) − j( ˙u(t)) ≥ (f (t), v − ˙u(t))V ∀v ∈ V, t ∈ [0, T ],

aα(ϕ(t), ψ) − ae(u(t), ψ) = (q(t), ψ)W ∀ψ ∈ W, t ∈ [0, T ], (4.60)

u(0) = u₀. (4.61)

Preuve.

Soit (u, ϕ) désigne la solution lisse du Problème Pélectro−viscoélastique, nous avons u(t) ∈ V , ˙u(t) ∈ V et ϕ(t) ∈ W p.p. t ∈ [0, T ] et, de (4.27), (4.29) et (4.30), on obtient : Z Ω µ ∇u(t) · ∇(v − ˙u(t)) dx + ( Z t 0 θ(t − s)u(s) ds, v − ˙u(t))V+ Z Ω e ∇ϕ(t) · ∇(v − ˙u(t)) dx = Z Ω f0(t) (v − ˙u(t)) dx + Z Γ₂ f2(t) (v − ˙u(t)) da+ Z Γ3 (|µ∂νu(t) + Z t 0

θ(t − s)∂νu(s) ds + e∂νϕ(t)|)(v − ˙u(t)) da, ∀v ∈ V t ∈ (0, T ),

et à partir des relations (4.28), (4.32) et (4.33) on obtient aussi : Z Ω α ∇ϕ(t) · ∇ψ dx − Z Ω e ∇u(t) · ∇ψ dx = Z Ω q0(t)ψ dx − Z Γb q2(t)ψ da+ Z Γ₃ k ϕF(t)ψ da, ∀ψ ∈ W t ∈ (0, T ). (4.62) En utilisant les relations (4.31), (4.55)-(4.56) on obtient donc :

a_µ(u(t), v − ˙u(t)) + ( Z t

0

θ(t − s)u(s) ds, v − ˙u(t))_V + a^∗_e(ϕ(t), v − ˙u(t))− Z

Γ3

(|µ∂_νu(t) + Z t

0

θ(t − s)∂_νu(s) ds + e∂_νϕ(t)|)(v − ˙u(t)) da = (f (t), v − ˙u(t))V, ∀v ∈ V, t ∈ [0, T ].

(4.63) En tenant compte des relations (4.52) et (4.56)-(4.57), on trouve la seconde inégalité dans le lemme (2), i.e.,

a_α(ϕ(t), ψ) − a_e(u(t), ψ) = (q(t), ψ)_W ∀ψ ∈ W, t ∈ [0, T ]. (4.64) Utilisons la condition de frottement de contact et la formule de la fonctionnelle j(.) sur Γ₃× (0, T ), on déduire que pour tout t ∈ [0, T ]

j( ˙u(t)) = − Z Γ3 (|µ∂νu(t) + Z t 0

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