Méthodes exactes pour le modèle d'exclusion asymétrique

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asymétrique

Sylvain Prolhac

To cite this version:

Sylvain Prolhac. Méthodes exactes pour le modèle d’exclusion asymétrique. Physique mathématique

[math-ph]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2009. Français. �tel-00423952�

DE L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Spé ialité PHYSIQUE THÉORIQUE É oledo torale107 présentéepar M. Sylvain Prolha

pour obtenir letitrede

DOCTEUR de l'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE

Sujetde lathèse:

Méthodes exa tes

pour le

modèle d'ex lusion asymétrique

soutenue le23septembre 2009

devantle jury omposé de:

M. Olivier Babelon Président

M. ThierryBodineau Examinateur

M. David Dean Rapporteur

M. NikolaiKitanine Rapporteur

M. Jean-Mar Lu k Examinateur

Table des matière i

Remer iements v

Introdu tion 1

I Résultats généraux sur le modèle d'ex lusion asymétrique 3

1 Le modèled'ex lusion asymétrique 5

1.1 Dénition du modèled'ex lusion asymétrique . . . 5

1.1.1 Modèle deKatz-Lebowitz-Spohn . . . 5

1.1.2 Modèle d'ex lusionasymétrique surunanneau . . . 7

1.1.3 Conditionsauxbords . . . 8

1.1.4 Variantesdu modèle . . . 10

1.2 Modèles reliés aumodèle d'ex lusion . . . 10

1.2.1 Modèles de roissan e . . . 10

1.2.2 Équationsd'Edwards-Wilkinsonetde Kardar-Parisi-Zhang . . . 12

1.2.3 Polymère dirigéen milieu aléatoire . . . 14

1.2.4 Modèle àsixvertex. . . 17

1.2.5 Pro essus zerorange . . . 19

2 Quelques résultats onnus pourle modèle d'ex lusion asymétrique 23 2.1 Dynamique dumodèled'ex lusion . . . 23

2.1.1 Équationmaîtresse . . . 23

2.1.2 Graphede ladynamique . . . 24

2.1.3 Relaxationversl'état stationnaire . . . 26

2.2 Mesure stationnaire. . . 27

2.2.1 Bilandétaillé . . . 27

2.2.2 Modèle surunanneau . . . 29

2.2.3 Modèle ouvert . . . 30

2.3 Flu tuations de ladensitélo ale. . . 30

2.3.1 Lienave l'énergielibre pour un systèmeà l'équilibre. . . 30

2.3.2 Modèle surunanneau . . . 32

2.3.3 Modèle ouvert . . . 33

2.4 Valeur moyenne du ourant . . . 34

2.4.1 Modèle surunanneau . . . 35

2.4.2 Modèle ouvert . . . 35

2.5 Flu tuations du ourant . . . 37

2.5.1 Équation maîtressedéformée . . . 37

2.5.2 Cumulants du ourant . . . 38

2.5.4 Cal ul desu tuations du ourant . . . 41

2.5.5 Symétries naturellesdu modèled'ex lusion . . . 42

3 Ansatz de Bethe pour lemodèle d'ex lusion asymétrique 47 3.1 Ansatz de Betheen oordonnées . . . 47

3.1.1 Intégrabilité dumodèle d'ex lusionasymétrique . . . 47

3.1.2 Ansatz de Betheen oordonnées pourdiagonaliser lamatri e

M (γ)

. . . 49

3.1.3 Modèletotalement asymétrique . . . 54

3.1.4 Invarian es deséquations de Bethe . . . 56

3.2 Flu tuations du ourant pour un systèmeàune parti ule . . . 58

3.2.1 Cal ul dire t . . . 58

3.2.2 Cal ul par Ansatz deBethe . . . 59

3.2.3 Propriétés de lafon tion de grandesdéviations du ourant . . . 60

3.3 Flu tuations du ourant dumodèle totalement asymétrique . . . 61

II Flu tuations du ourant dans le modèle partiellement asymétrique 67 4 Résumé des résultats sur les umulants du ourant du modèle d'ex lusion 69 4.1 Régimede faible asymétrie etrégimede forteasymétrie . . . 69

4.2 Cumulants du ourant . . . 70

4.2.1 Constante dediusion . . . 70

4.2.2 Troisième umulant . . . 71

4.2.3 Cumulants d'ordre plusélevé . . . 72

4.3 Modèlefaiblement asymétrique . . . 73

4.3.1 Transition de phase. . . 75

4.3.2 Positionde latransitionde phase . . . 78

4.4 Expression ombinatoire pour les umulantsdu ourant . . . 79

5 Ansatz de Bethe fon tionnel pour le modèle d'ex lusion asymétrique 81 5.1 Formulationfon tionnelle deséquations deBethe . . . 81

5.1.1 Passage àl'équation fon tionnelle . . . 81

5.1.2 Invarian es de l'équationde Bethe fon tionnelle . . . 84

5.1.3 Solutions de l'équationde Bethe fon tionnellepour

n = 1

. . . 87

5.1.4 Appli ation au modèle totalement asymétrique . . . 87

5.2 Développement perturbatif de l'équationde Bethe fon tionnelle . . . 90

5.2.1 Premier ordre . . . 92

5.2.2 Deuxièmeordre . . . 92

5.2.3 Valeur moyenne du ourant et onstantedediusion . . . 93

5.3 Résolution systématique ordrepar ordre . . . 93

5.3.1 Reformulationde l'équationde Bethe fon tionnelle . . . 94

5.3.2 Développement perturbatif en

γ

etélimination de

R(t)

. . . 94

5.3.3 Résolution itérative de l'équationpour

A(t)

. . . 95

5.3.4 Reformulationde lasolutionitérative. . . 96

5.3.5 Expressionexa te pour les troispremiers umulants du ourant . . . 97

5.3.6 Expressiondes umulantsdu ourant à lalimitethermodynamique . . . 98

5.4 Flu tuations du ourant danslalimitefaiblement asymétrique . . . 100

5.4.1 Régularisation de l'équationfon tionnelle en

x = 1

. . . 101

5.4.2 Équation fon tionnellepour

A(y)

˜

. . . 102

5.4.3 Inversionde l'opérateur

∆

. . . 103

5.5 Résolution numérique deséquations deBethe . . . 108

5.5.1 Résolution numérique del'équation de Bethefon tionnelle . . . 108

5.5.2 Évolutiondesra inesde Bethe enfon tion de

γ

. . . 109

5.5.3 Argument pour l'annulation desra inesde Bethe . . . 111

6 Formule ombinatoire pourles umulants du ourant 113 6.1 Stru ture del'expression despremiers umulants . . . 114

6.1.1 Formules de taillenie . . . 114

6.1.2 Limite thermodynamique . . . 116

6.1.3 Quatrième umulant du ourant . . . 117

6.2 Expression paramétrique desu tuationsdu ourant . . . 120

6.2.1 Dénition desarbres . . . 120

6.2.2 Fon tionsagissant surdesarbres . . . 122

6.2.3 Sommation sur lesarbres . . . 125

6.2.4 Conje ture pour lepolynme

Q

. . . 129

6.2.5 Forme paramétriquepour lafon tion

E(γ)

. . . 130

6.2.6 Limite totalement asymétrique . . . 133

6.2.7 Limite thermodynamique(

1 − x

ni) . . . 134

6.3 Expression exa tedes umulants du ourant . . . 135

6.3.1 Dénition desforêts . . . 136

6.3.2 Sommation sur lesforêts . . . 137

6.3.3 Forme expli itedes umulants du ourant . . . 139

6.3.4 Limite thermodynamique(

1 − x ∼ 1/

√

L

) . . . 140

6.A Preuve de l'équivalen edes deuxdénitions de

W

η,ξ

ϕ

(g)

. . . 142

6.A.a Changementsde variables orrespondant à des hangements d'arbres . . 142

6.A.b Exemple 1 :arbrelinéaire ave desn÷uds ompositesde taille

1

. . . . 143

6.A. Exemple 2 :arbreramié ave desn÷uds omposites detaille

> 1

. . . 145

6.B Indépendan ede

W

η,ξ

ϕ

(g)

par rapportau hoix de lafon tion

θ

. . . 146

6.C Dérivationde l'expressionexpli ite de

E(γ)

. . . 147

6.C.a Élimination de

B

λ

dansl'expression paramétriquede

E(γ)

. . . 147

6.C.b Expression de

E(γ)

ommeune sommesurdes forêts . . . 148

III Modèle d'ex lusion asymétrique à plusieurs lasses de parti ules 153 7 Le modèled'ex lusion asymétrique à plusieurs lasses de parti ules 155 7.1 Dénition du modèle . . . 155

7.2 Couplage entredeuxmodèlesd'ex lusion . . . 156

7.3 Cho s . . . 157

7.4 Matri e deMarkov . . . 158

7.5 Mesure stationnaire. . . 158

7.6 Flu tuations du ourant . . . 159

7.7 Intégrabilité . . . 161

8 Mesure stationnaire du modèle d'ex lusion asymétrique 163 8.1 Modèleouvert. . . 163

8.1.1 Ansatzmatri iel . . . 163

8.1.2 Preuve de l'Ansatz matri iel:matri es hapeau. . . 164

8.1.3 Représentation expli ite de l'algèbre desmatri es

D

et

E

. . . 166

8.1.4 Cal ul expli ite desprobabilités stationnaires . . . 169

8.2 Modèleà deux lasses de parti ules . . . 172

8.2.1 Ansatz matri iel . . . 172

8.2.2 Preuve del'Ansatz matri iel . . . 173

8.2.3 Représentation expli ite desmatri es

D

,

A

et

E

. . . 174

8.2.4 Cal ul expli ite desprobabilitésstationnaires . . . 175

8.3 Modèleà

N

lasses de parti ules . . . 177

8.3.1 Modèletotalement asymétrique: onstru tion deFerrarietMartin . . . 177

8.3.2 Modèlepartiellement asymétrique :Ansatzmatri iel . . . 179

8.3.3 Preuve del'Ansatz matri iel . . . 180

8.3.4 Cal ul expli ite desprobabilitésstationnaires . . . 181

8.3.5 Matri ede transfert . . . 181

9 Ansatz de Bethe algébrique pour le modèle d'ex lusion asymétrique 185 9.1 Lien entre lamatri e deMarkovet lehamiltoniende la haînede spinXXZ . . 185

9.1.1 Matri ede Markovlo ale . . . 185

9.1.2 Chaînede spin XXZ . . . 186

9.2 Famille de matri esde transfert pour lemodèle àune lassede parti ules . . . 188

9.2.1 Opérateurs lo aux:opérateur de Laxetmatri e

R

. . . 188

9.2.2 Matri ede monodromie etmatri ede transfert . . . 191

9.2.3 Lien ave lemodèleà sixvertex. . . 192

9.2.4 Lien ave lamatri e de Markov . . . 193

9.2.5 Relation deYang-Baxteret ommutation des matri esdetransfert . . . 194

9.2.6 Opérateurs de lamatri ede monodromie . . . 196

9.2.7 Matri ede transfert inhomogène . . . 196

9.3 Ansatz de Bethealgébrique . . . 197

9.3.1 Ansatz de Bethealgébrique pour lamatri e de transferthomogène . . . 197

9.3.2 Appli ation de

t(λ)

surleve teur

|ψ({˜z})i

. . . 198

9.3.3 Équations de Bethe. . . 199

9.3.4 Ansatz de Bethealgébrique pour lamatri e de transfertinhomogène . . 201

9.3.5 Valeur proprede

t(λ)

etéquationde Bethefon tionnelle . . . 201

9.4 Matri ede transfertpour lemodèle à

N

lassesde parti ules . . . 202

9.4.1 Opérateur de Laxetmatri e

R

. . . 203

9.4.2 Matri ede monodromie etmatri ede transfert . . . 204

9.4.3 Equation deYang-Baxter . . . 204

9.4.4 Opérateurs de lamatri ede monodromie . . . 205

9.5 Ansatz de Betheemboîté. . . 207

9.5.1 Constru tion du ve teurpropre :première étape . . . 207

9.5.2 Itération delapro édure :Ansatz deBethe emboîté . . . 214

9.5.3 Équation deBethe fon tionnelle. . . 217

9.A Algèbredesopérateursde lamatri e de monodromie . . . 219

9.A.a Une lasse departi ules . . . 219

9.A.b Plusieurs lasses de parti ules . . . 219

Con lusion 221

Bibliographie 223

Résumé 231

J'aimeraistoutd'abordremer ierDavidDeanetNikolaiKitanined'avoirbienvouluêtreles

rapporteurs de ette thèse. Je remer ie aussiOlivier Babelon, ThierryBodineauetJean-Mar

Lu k pour avoira epté de fairepartie de monjury dethèse.

Je remer ie les membres de l'IPhT de m'avoir a ueilli dans e laboratoire, en

parti u-lier HenriOrland, Catherine Cataldi, Jean-Yves Ollitrault, LaureSauboyetSylvie Zaanella.

Je tiens à exprimer ma gratitude à Kirone Malli k pour avoir en adré ma thèse. Sa

gen-tillesse et sa patien em'ont permis d'ee tuer ette thèse dans des onditions idéales. Cela a

étéunplaisir de résoudredesproblèmes ave luidurant es troisdernières années.

Je remer ie également Olivier Golinelli, Martin Evans et Arvind Ayyer pour les

dis us-sionsfru tueusesque j'aieues ave eux.

Je salue enn tous les thésards présents à l'IPhT pendant mes trois années de thèse :

Alexei, Pierre, Ni olas, Cristian, Constantin, Adel, Guillaume, Mi haël, Jean-Emile, Thomas,

Emmanuel, Dmytro, Jérme, Clément, Olivier, Laura, Jeanne, Clément, Jean-Marie, Gaëtan,

Àl'é hellemi ros opique,unsystèmephysiqueestdé ritparuntrèsgrandnombrededegrés

deliberté.Àl'é hellema ros opique,unpetitnombredevariablessutenrevan heà

ara téri-serl'étatdusystème.Lepassagedelades riptionmi ros opiqueàlades riptionma ros opique

estl'objet de laphysique statistique. Pour les systèmes àl'équilibre thermodynamique, le lien

entre esdeuxé hellesestfournipar lamesuredeBoltzmann-Gibbs, quispé ielaprobabilité

d'observer unmi ro-état donnédu systèmeà une ertaine température.Pour lessystèmes loin

del'équilibre,par ontre,au unethéoriegénéralenepermetpourl'instantd'exprimerla

proba-bilité d'observerles mi ro-états. Même dans un état stationnaire, pour lequel es probabilités

nedépendent pasdu temps,lamesurestationnaire n'est danslaplupart des aspas onnue.

L'analysedemodèlessimplesasouvent étéutilepourappréhender laphysique dessystèmes

à l'équilibre thermodynamique. Par exemple, le modèle d'Isinga joué un rle majeur dansla

ompréhension des phénomènes olle tifs. En parti ulier, la solution du modèle

bidimension-nel par Onsager a dénitivement établi que les transitions de phase d'un système physique

pouvaient être expliquées par la variation ontinue d'un paramètre du modèle mi ros opique

sous-ja ent. Plus tard, le groupe de renormalisation a formalisé le on ept d'universalité et a

permis de omprendre que la résolution d'un modèle parti ulier donnait a ès, dansla limite

thermodynamique,àun omportementpartagépartouteune lassedemodèlesayantlesmêmes

symétries.

Danslebutdemieux onnaîtrelaphysiquedessystèmeshorsd'équilibre,ilestainsinaturel

de onsidérer des modèles simples pouvant jouer le même rle que le modèle d'Ising pour les

systèmes à l'équilibre. Les gaz sur réseau font partie des modèles les plus étudiés à et eet.

Ilsfont intervenir des parti ules lassiquesse déplaçant de manière aléatoire sur les sites d'un

réseau.Ces modèles sont engénéral dénis par leurdynamique, 'està direpar l'ensembledes

tauxave lesquelslesparti ulessedépla entsurleréseau.Dansle asparti ulierdespro essus

d'ex lusion,lesparti ulessontdesparti ulesà ÷urdurquisontsoumisesàla ontraintequ'un

site nepeutêtreo upé quepar auplus uneparti ule à lafois.

Laprésentethèsetraiteessentiellementdumodèled'ex lusionasymétriqueunidimensionnel,

quipossède lapropriététrès intéressante d'être exa tement soluble.Nous verrons eneet qu'il

est reliéà des haînes de spin intégrables ainsi qu'à des modèles de vertex, etqu'il peut ainsi

être analysé par l'Ansatz de Bethe introduit par Hans Bethe en 1931 pour la haîne de spin

de Heisenberg. Ce i nous permettra d'obtenir des expressions exa tes pour diverses quantités

importantes relativesà e modèle.

Cette thèse est dé oupée en quatre parties. La première partie rappelle quelquesrésultats

généraux on ernant le modèle d'ex lusion asymétrique. La deuxième partie est onsa rée au

al uldesu tuations du ourant danslemodèle partiellement asymétrique surun anneau.La

troisième partie traite ertains aspe ts du modèle d'ex lusion à plusieurs lasses de parti ules.

Enn,laquatrièmepartieregroupeles inqarti lesprésentantlesrésultatsobtenusdurant ette

thèse.

La première partie est omposée de trois hapitres. Dans le hapitre 1, nous dénirons

le modèle d'ex lusion asymétrique et nous montrerons qu'il est relié à un ertain nombre de

modèlesimportantsdelaphysiquestatistique.Nousverrons enparti ulierqu'ilpeut être

inter-prété ommeunmodèlede roissan e,etappartient ainsiàla lassed'universalitédel'équation

Kardar-Parisi-Zhang. Dans le hapitre 2, nous rappellerons que l'évolution dans le temps de

laprobabilité d'observerun mi ro-état donné du système s'é rit sous la forme d'une équation

maîtresse.Nousverronsaussiquele al uldesu tuationsdu ourantseramèneau al uldela

valeur propremaximale d'unedéformationde lamatri ede Markovdusystème. Enn, dansle

hapitre 3,nousmontreronsquel'AnsatzdeBethepeutêtreutilisépourdiagonaliserlamatri e

deMarkovdumodèled'ex lusion.Nousrappelleronsalors le al uldesu tuationsdu ourant

à la fois vers l'avant et vers l'arrière, maisave un biais de telle sorte qu'il s'établisse un

ou-rant global dansle système. Cette partie sedivise en trois hapitres. Le hapitre 4 résume les

résultats qui seront obtenus dans la suite de ette partie pour les u tuations du ourant du

modèled'ex lusionpartiellement asymétrique.Le hapitre 5de ettepartieexpliqueensuiteles

résultatsexa tsobtenus danslesarti les[1,2,3℄pourles umulantsdu ourant enutilisant une

formulation fon tionnelledes équations de Bethe.Enn, le hapitre 6 présente une expression

exa te onje turée pour tous les umulants du ourant du modèle partiellement asymétrique

[4℄.Cette onje turefaitintervenir desobjets ombinatoires (arbresetforêts).

La troisième partie de ette thèse est onsa rée prin ipalement au modèle d'ex lusion à

plusieurs lasses de parti ules. Elle est aussi omposée de trois hapitres. Dans le hapitre 7,

nous présenterons le modèle d'ex lusion à plusieurs lasses de parti ules, et les raisons pour

lesquelles e modèle a été étudié. Dans le hapitre 8 , nousdé rirons l'Ansatz matri iel utilisé

pour exprimer les probabilités stationnaires du modèle d'ex lusion asymétrique. Après avoir

rappelé le asdumodèle ouvertave une seule lasse departi ules, nousdonnerons lasolution

dans le as du modèle à plusieurs lasses de parti ules sur un anneau qui a été obtenue dans

[5℄.Enn, dansle hapitre 9,nousprésenteronslaformulation algébriquede l'AnsatzdeBethe.

Nous ommen eronspardé rirele asdumodèleàune lassedeparti ules,puisnousdonnerons

Résultats généraux sur le modèle

Le modèle d'ex lusion asymétrique

Dans epremier hapitre,nousprésentonslemodèled'ex lusionasymétrique,quenousallons

étudierdans ette thèse. Aprèsavoir dénile modèleainsi quequelquesunes de sesvariantes,

nous verrons qu'il est relié à plusieurs autres modèles très étudiés de la physique statistique.

Nous é rirons ensuite l'équation maîtresse gouvernant l'évolution de la probabilité de ha un

des mi ro-états du système, et nous nous intéresserons en parti ulier à l'état stationnaire du

systèmeetauxu tuations du ourant.

1.1 Dénition du modèle d'ex lusion asymétrique

Le modèle d'ex lusion asymétrique (ASEP, pour Asymmetri Simple Ex lusion Pro ess)

est l'un des modèles les plus simples de parti ules en intera tion présentant un état

station-naire hors d'équilibre. Il s'agit d'un pro essus sto hastique dé rivant l'évolution de parti ules

lassiquessedéplaçant lo alement surles sitesd'unréseau unidimensionnel, ave la ontrainte

d'ex lusion qui impose que haque site ne peutêtre o upé que par au plus une parti ule. Il

faitainsipartie desmodèles de gaz surréseau dénispar Katz,LebowitzetSpohndans[6, 7℄.

Ila étébeau oupétudié parlepassé,à lafoispar desmathémati iens [8,9,10 ℄, desphysi iens

[11 , 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , 17, 18, 19℄ et des biophysi iens [20, 21, 22℄, en parti ulier par e qu'il

s'agitde l'un desrares modèles de laphysique statistique hors d'équilibre qui soit exa tement

soluble, e qui signie que ertaines de ses propriétés peuvent être al ulées exa tement. Il a

aussiétéutilisé ommepoint dedépartpourmodéliser ertainsphénomènesphysiques, omme

par exemple la ondu tivité par saut dans desmilieux unidimensionnels [23 ℄, pour dé riredes

systèmesàl'interfa eentrelaphysiqueetlabiologie, ommelesmoteursmolé ulaires ellulaires

[24 ℄,ou en orepour étudierdesproblèmes detra routier[25 ℄.

Dans ette se tion, nous allons tout d'abord dénir le modèle de gaz sur réseau de

Katz-Lebowitz-Spohn,puis le modèle d'ex lusion asymétrique surun anneau qui en est un as

par-ti ulier.Nous introduirons ensuite lemodèled'ex lusion ave d'autres types de onditions aux

bords. Enn, nousmentionnerons brièvement quelquesvariantes dumodèle.

1.1.1 Modèle de Katz-Lebowitz-Spohn

Le modèle d'Ising, introduit à l'origine pour étudier les propriétés de ertains matériaux

ferromagnétiques, ajouéun rleimportant dansla ompréhensionde laphysique dessystèmes

à l'équilibre thermodynamique. On onsidérera i i le modèle d'Ising surun réseau ubique de

dimension

d

ave des onditionsauxbordspériodiques. À haquen÷ud

i

du réseauest asso ié un spin lassique

S

i

pouvant prendre les valeur

+1

et

−1

.À haque onguration

C

des spin spé iéepar les valeursdes

S

i

,on asso ie uneénergie

H(C) = −

J

₄

X

hi,ji

lasomme étant ee tuéesur lesliens

hi, ji

duréseau. Si

J > 0

,le modèleest ferromagnétique, tandis que pour

J < 0

ils'agit dumodèle antiferromagnétique.On onsidèrele modèled'Ising àl'équilibrethermodynamique, en onta tave unthermostatàtempérature

T

.Laprobabilité d'observerune onguration

C

des spinsest alors donnéepar lefa teur deBoltzmann

Peq

_{(C) =}

e

−H(C)/kT

Z

.

(1.2)

Le modèle d'Ising peut être vu omme un modèle dé rivant un gaz de parti ules à ÷ur dur

sur réseau. Onpeuten eet poser

S

i

= 2τ

i

− 1

, etinterpréter lavariable

τ

i

ommele nombre d'o upation du site

i

:

τi

= 0

orrespondraà un site vide et

τi

= 1

à un site o upé par une parti ule. Enfon tion desvariables

τ

i

,l'énergie d'une onguration

C

s'é rit

H(C) − H(0) = −J

X

hi,ji

τ

i

τ

j

,

(1.3)

où la onstante

H

0

est indépendante de

C

si l'on ne onsidère que des ongurations ave un nombre

n =

P

i

τ

i

xédeparti ules. On onstatequepourlemodèle ave

J > 0

,lesparti ules s'attirent,tandis qu'elles serepoussent si

J < 0

.

Le modèle de gaz surréseau quenous venonsde présenter dé ritex lusivement lesystème

physique à l'équilibre thermodynamique. La dynamique sous-ja ente qui permet au système

d'atteindre et état d'équilibre n'est pas spé iée. Nous allons maintenant dénir une

dyna-mique pour e modèle. Nous modierons ensuite ette dynamique de telle sorte que l'état

stationnaire atteint auxtemps longs ne soit pasun état d'équilibre. Nous obtiendrons alors le

modèlede gaz surréseau deKatz-Lebowitz-Spohn.

Onintroduit une dynamiqueen temps ontinu surl'espa e des ongurations du système,

ave des taux de transition

w

C

′

_←C

entre les ongurations.Dans un intervalle de temps inni-tésimal

dt

,la probabilitéde passer de la onguration

C

à la onguration

C

′

est alors égale à

dt w

_C

′

_←C

. Cette dynamique doit être telle que le système atteigne aux temps longs l'état sta-tionnaire dénipar les poids deBoltzmann (1.2 ). Unemanière simple d'assurer ela onsiste à

hoisir destauxde transitionqui vérient lebilandétaillé (voirlase tion 2.2du hapitre 2) :

w

_C←C

′

w

_C

′

_←C

=

P

_eq(C)

P

_eq(C

′

₎

= e

−(H(C)−H(C

′

_))/kT

.

(1.4)

Commeon her heàdé rirelesdépla ementsdeparti ules,ilestnatureld'imposerla ontrainte

supplémentaire qu'une parti ule au site

i

ne puissesedépla er dansunintervalle de temps in-nitésimal que surl'un des

2d

sites voisins dusite

i

(voir gure1.1 ).On onsidérera alors que les seulstaux detransitionnon nuls sont euxqui é hangent lesnombres d'o upation

τ

i

et

τ

j

de deuxsites voisins

i

et

j

si

τ

i

6= τj

.

Nous venons de dénir la dynamique d'un système atteignant aux temps longs un état

d'équilibre.Nousallonsmaintenant lamodierdetellesortequelesystèmeatteigneauxtemps

longs un état stationnaire hors d'équilibre, ara térisé par la présen e de ourants

ma ros o-piques. Ce i peut être ee tué en ajoutant un hamp externe

~

E

au modèle, qui va tendre à dépla erlesparti ulesselonune ertainedire tionprivilégiée.Pour desparti ules hargées

éle -triquement,onpeutparexemple voirle hamp

E

~

ommeun hampéle triqueexterneappliqué au système. Une manièrenaturelle d'in orporer un tel hamp externe au modèleest d'ajouter

dans l'équation (1.4) du bilan détaillé le travail de la for e éle trique, en plus de la variation

d'énergie

∆H(C) = H(C) − H(C

′

₎

entre deux ongurations.Onest alors onduità hoisirdes

taux de transitionquivérient

w

_C←C

′

w

_C

′

_←C

= e

−(∆H+ ~

E. ~

∆l)/kT

_,

(1.5)

où

∆l

~

estleve teur dépla ement delaparti ulequia hangéde siteentrela onguration

C

et la onguration

C

′

.Il s'agitdu modèle introduitpar Katz, Lebowitz etSpohn dans[6 , 7 ℄pour

Fig. 1.1  Dépla ements possibles des parti ules dans le modèle de Katz-Lebowitz-Spohn à

deuxdimensions.Leslignes grisesreprésentent leréseau dualduréseau surlequelsedépla ent

lesparti ules.

dé rire ertains typesde ondu teurs ioniques.

Le hampexterne

~

E

impliquelaprésen ed'un ourantde parti ulesdanslesystème,même dansl'étatstationnaire.Cemodèlenedé ritdon plusauxtempslongsunsystèmeàl'équilibre

thermodynamique. De plus, les probabilités stationnaires ne s'expriment plus simplement en

fon tion destauxde transition.

Le asparti ulier

J = 0

du modèleKatz-Lebowitz-Spohn est lemodèle d'ex lusion asymé-trique. Il est déni entièrement en se donnant les

2d

taux de transition orrespondant aux

2d

sitesqu'uneparti ule peutatteindreensedéplaçant.Onnotequ'il s'agittoujoursd'unmodèle

de parti ules en intera tion, les intera tions des parti ules s'ee tuant à travers la ontrainte

d'ex lusionqui empê hedeux parti ulesdesetrouversurlemême site.Dans ettethèse,nous

nousintéresseronsau modèle unidimensionnel,qui estexa tement soluble.

1.1.2 Modèle d'ex lusion asymétrique sur un anneau

On onsidèreunréseauunidimensionnel de

L

sites,numérotésde

1

à

L

,ave des onditions aux bords périodiques. Le réseau a ainsi la forme d'un anneau orienté, sur lequel on pla e

n

parti ules lassiques. La ontrainte d'ex lusion imposequ'un site ne peutpas être o upé par

plusd'une parti ule à la fois.Un site

i

donné du réseau possède don deuxétats possibles :il peutsoitêtrevide,etonluiasso ieradans e aslenombred'o upation

τ

i

= 0

,soitêtreo upé parune uniqueparti ule,etonluiasso ieraalors lenombre d'o upation

τ

i

= 1

.L'ensemble

Ω

des ongurations du système orrespond au nombre de façons possibles de hoisir les

n

sites o upéspar desparti ules. Le nombre de ongurations estdon donné par

|Ω| =

L

n

.

On dénit maintenant sur et ensemble de ongurations la dynamique sto hastique en

temps ontinu du modèle d'ex lusion asymétrique (voir gure 1.2 ). Pendant un intervalle de

temps innitésimal

dt

, une parti ule entourée de deux sites vides se dépla e d'un site vers l'avant ave une probabilité

p dt

,d'un site vers l'arrière ave une probabilité

q dt

,et ne bouge pasave uneprobabilité

1−(p+q)dt

.Quanduneparti ulesetrouvesurunsitevoisind'unautre site o upé,la dynamiqueest modiée pour respe ter la ontrainte d'ex lusion.Une parti ule

pré édée d'un site o upé et suivie d'un site vide se dépla e seulement d'un site vers l'avant

ave une probabilité

p dt

, et ne bouge pas ave une probabilité

1 − p dt

. Ré iproquement, une parti ule pré édée par unsite vide etsuivie par un site o upé sedépla e seulement d'un site

versl'arrièreave uneprobabilité

q dt

,etne bouge pasave uneprobabilité

1 − q dt

.Enn, une parti uleentourée de deuxsiteso upésne peutpassedépla er.

Ondiraalorsquelesparti ulessedépla entversl'avantave untaux

p

etversl'arrière ave un taux

q

si le site de destination est vide. Comme les probabilités de dépla ement sont

q

p

q

p

Fig. 1.2 Tauxdetransitiondumodèled'ex lusionasymétriquesurunanneau.Lesparti ules

se dépla ent dansle sens horaireave untaux

p

et dansle sens anti-horaire ave un taux

q

si le sitede destination est vide.

innitésimalesdanstoutintervalledetempsinnitésimal,deuxparti ulesnepeuventpasbouger

en même temps, e qui évited'avoir à onsidérer les situationspour lesquellesdeux parti ules

pourraient sedépla er enmême temps surlesite vide qui les sépare.On notequesi l'on avait

déni ladynamiquedu modèled'ex lusion asymétrique omme unpro essusen temps dis ret,

il aurait fallutraiter e as, enrajoutant unerègle spé ique.

La diéren e entre les taux

p

et

q

joue le rle d'un hamp externe qui impose un sens de par ours privilégié aux parti ules. On appelle modèle d'ex lusion totalement asymétrique, ou

TASEP(pourTotally Asymmetri Simple Ex lusionPro ess) le asparti ulieroùlesparti ules

se dépla ent uniquement dans une dire tion. Par onvention, on prendra alors

q = 0

. Le as où les deux taux

p

et

q

sont égaux est appelé le modèle d'ex lusion symétrique, ou SSEP (Symmetri Simple Ex lusion Pro ess). Enn, le as général où les taux

p

et

q

sont non nuls et diérents est parfois appelé le modèle d'ex lusion partiellement asymétrique, ou PASEP

(Partially Asymmetri Simple Ex lusion Pro ess). On introduira le paramètre d'asymétrie

x

déni par

x =

q

p

.

(1.6)

Nousverronsplusendétaildanslasuitede e hapitrequelemodèlesymétrique

x = 1

vériele bilan détaillé,et atteint aux temps longsun étatstationnaire d'équilibre,tandis quele modèle

asymétrique

x 6= 1

atteint unétatstationnairehorsd'équilibre, ara tériséparlaprésen ed'un ourantma ros opique.Une partiedesrésultatsde ettethèse ont eupour objetde généraliser

des résultats onnus pour le modèle totalement asymétrique

x = 0

au modèle partiellement asymétrique ave une asymétrie arbitraire

x

,permettant ainside sonder la transitionentre le système loinde l'équilibreetle systèmeàl'équilibre.

1.1.3 Conditions aux bords

Les onditions aux bords jouent un rle ru ial dans la physique du modèle d'ex lusion

asymétrique. Deuxsystèmesdiérant uniquement parleurs onditionsauxbordspeuvent avoir

des omportements omplètement diérents, ave en parti ulier la présen e de transitions de

phase lorsque l'on fait varier ontinûment les paramètres asso iés à la dynamique du modèle

surlesbordsdusystème.Le asdes onditionsauxbordspériodiquespourlequellesparti ules

γ

α

q

p

δ

β

Fig. 1.3Tauxde transition dumodèle d'ex lusion asymétriqueouvert. Aupremier site, une

parti ule rentre dans le système ave un taux

α

et en sort ave un taux

γ

. Au dernier site, uneparti ule rentre danslesystèmeave untaux

δ

etensort ave untaux

β

.À l'intérieur du système,lesparti ulessedépla ent versladroiteave un taux

p

etverslagau he ave untaux

q

.

Modèle ouvert

Dans le as du modèle ave des bords ouverts, on rajoute aux deux taux de transition

p

et

q

à l'intérieur du systèmeun taux d'entrée et un taux de sortie pour ha un desbords du système, soit quatre taux supplémentaires, notés habituellement

α

,

β

,

γ

et

δ

(voir gure 1.3). La ontrainte d'ex lusion impose qu'une parti ule ne peut entrer dans le système au premier

ou au dernier site que si elui- i est vide. Il n'y a pas de ontrainte empê hant les parti ules

de sortir du système. Dans le as du système ave des bords ouverts, le nombre de parti ules

danslesystème ne reste pas onstant lors de l'évolution sto hastique :le systèmeé hange des

parti ules ave desréservoirs ontenant un nombre inni de parti ules situés aux deux bords

dusystème.

Silestaux

p

et

q

sontégaux,lesparti ulessedépla entdemanièresymétriquedansl'intérieur du système, et lemodèle d'ex lusion peut être interprété omme un modèle de ondu tion de

la haleur[19℄.Lesparti ulesreprésentent alorsdesquanta d'énergiediusantdanslesystème,

tandis queles deuxréservoirs departi ules s'interprètent ommedes thermostats.Lestaux de

transitionssurlesbordsdusystèmeinduisent un ourantde haleurentrelesdeuxthermostats.

Modèle inni

Onpeutaussidénirlemodèled'ex lusion suruneligne innie. Dans e as, lesparti ules

ne peuvent plus quitter le système et le nombre de parti ules est une quantité onservée par

ladynamique. Cenombre de parti ulespeutêtre ni, ouinni ave une densitémoyenne

ρ

de parti ulesdanslesystème.

Lemodèled'ex lusionsuruneligne inniepeutêtre vu ommelalimite

L → ∞

dumodèle sur un anneau de taille

L

. Par ontre, les propriétés de l'état stationnaire du modèle sur une ligneinnie nes'obtiennent pasengénéral en prenant lalimite

L → ∞

despropriétés del'état stationnairedumodèlesurunanneaudetaille

L

.Eneet,l'étudedel'étatstationnairené essite de onsidérerlesystèmeauxtemps

t

longs,alorsqueleslimites

t → ∞

et

L → ∞

ne ommutent pasen général. Enparti ulier, l'état stationnaire estindépendant de la ondition initialepour

lemodèlesur unanneau, equi n'est pasle as pour lemodèle surune ligne innie.

Les méthodes utilisées dans l'étude du modèle d'ex lusion sur une ligne innie et sur un

anneausont assezdiérentes. Enparti ulier, l'étudedumodèleinni estreliéeàdesproblèmes

dematri es aléatoires[26 , 27,28,29 ℄, dont nousne parlerons pasdans ettethèse. Danstoute

1.1.4 Variantes du modèle

Plusieurs variantes du modèle d'ex lusion asymétrique ont été étudiées par le passé, ave

pour obje tifs de tester la robustesse du omportement du modèle, d'en enri hir la physique,

ou en ore dedé rire plusdèlement un systèmephysique parti ulier.

Il est par exemple possible de réduire les taux de dépla ement des parti ules entre deux

sites parti uliers

i

0

et

i

0

+ 1

[30 ℄ et d'en étudier les onséquen es sur le ourant qui traverse le système. On peut aussi onsidérer des modèles où toutes les parti ules se dépla ent à des

taux diérents [31℄, ou en ore des modèles faisant intervenir des parti ules étendues ouvrant

plusieurs sites [32℄,ou une hiérar hie de parti ules de diérentes lasses [33 ℄ (voir latroisième

partie de ette thèse).Onpeutaussiintroduiredesphénomènesd'évaporation etdedéposition

de parti ulesfaisant varier le nombre de parti ulesdansl'intérieur dusystème[34℄.

Ilfaut ependant noterquelaplupartde esmodèles ne sontplussolubles exa tement.On

doitalors re ouriràdesapproximationsdetype hampmoyenouàdessimulationsnumériques

pour en étudierle omportement.

1.2 Modèles reliés au modèle d'ex lusion

Nousprésentons dans ette se tion divers modèles de la physique statistiquereliés au

mo-dèle d'ex lusion asymétrique, en parti ulier un modèle de roissan e d'interfa e, un modèle

de polymère dirigé en milieu aléatoire, un modèle de vertex, et un pro essus de zero range.

Nous expliquons aussi le lien entre la limite ontinue du modèle d'ex lusion et les équations

d'Edwards-Wilkinson etdeKardar-Parisi-Zhang.

1.2.1 Modèles de roissan e

Lesmodèlesde roissan efontpartiedesmodèlestrèsétudiésdelaphysiquestatistiquehors

d'équilibre [35 , 36, 12, 14, 37℄. Ils dé rivent de manière simpliée des phénomènes physiques

étudiésexpérimentalement ommela roissan ede ristaux,de oloniesdeba téries,ou en ore

la propagation du feu sur une feuille de papier. Ces phénomènes ont en ommun la présen e

d'une interfa e (surfa e du ristal, de la olonie de ba téries, de la région non brûlée du

pa-pier,...)séparantdeuxmilieux,etsedéplaçantdemanièreirrégulièreà ausedesinhomogénéités

présentes danslesystèmephysique.

On onsidère i i un modèle de roissan e d'interfa e unidimensionnelle par déposition de

parti ules. À haque site

i

(

1 ≤ i ≤ L

) d'un réseau unidimensionnel de taille

L

paire ave des onditions auxbordspériodiques,onasso ieune hauteur

h

i

demême parité que

i

(

h

i

est paire si

i

est pair, et impaire si

i

est impair). On impose de plus la ontrainte

|hi+1

− hi| = 1

sur l'ensembledeshauteurs.Celle- iimpliquequeleshauteursvarientlentementd'unsite àl'autre.

L'ensembledeshauteurs

h

i

dénit laposition d'uneinterfa e unidimensionnelle entrelapartie hauteetlapartie basseduplan. On onsidérera quelarégionduplansituéesousl'interfa e est

onstituée d'unempilement de parti ulesde forme arrée (voir gure1.4).

Larégion sousl'interfa e évolue alorspar dépositionetévaporationdesparti ulesà sa

sur-fa e(voirgure1.4 ).Uneparti ulepeutsedéposerausite

i

ave untaux

p

silesite

i

orrespond à unevalléede l'interfa e (

h

i−1

= hi+1

= hi

+ 1

).Au site

i

,lahauteurdel'interfa e passealors de

h

i

à

h

i

+ 2

. Une parti ule peutaussi s'évaporer ave un taux

q

si le site

i

orrespond à un sommet de l'interfa e (

h

i−1

= h

i+1

= h

i

− 1

). Ausite

i

,lahauteurde l'interfa e passe alors de

hi

à

hi

− 2

.

Cemodèlede roissan epeutêtrereliéaumodèled'ex lusionasymétrique[12℄ave

n = L/2

parti ules.À haquelien

(i, i+1)

dumodèlede roissan e,onasso ieunsite

i

dumodèle d'ex lu-sion.Le réseaupériodique de

L

sitesdumodèlede roissan edonne alorsun réseaupériodique de

L

sitespourlemodèled'ex lusion.Àune ongurationdumodèlede roissan espé iéepar les hauteurs

h

i

,on asso iela ongurationdu modèle d'ex lusion telleque lesite

i

du modèle

h

1

h

2

h

3

h

4

h

5

h

6

h

7

h

8

h

9

h

10

h

11

h

12

h

13

= h

1

p

q

p

q

Fig.1.4Dynamiqued'unmodèle de roissan ereliéaumodèled'ex lusion asymétrique. Une

parti ule(deforme arrée)peutsedéposerdansune valléeave untaux

p

,etun sommetpeut s'évaporer ave un taux

q

.

d'ex lusionest vide si

h

i+1

− hi

= 1

,etesto upé par une parti ule si

h

i+1

− hi

.On onstate alors que la dynamique du modèle de roissan e induit sur les sites du modèle d'ex lusion la

dynamiquesuivante :une parti ule peutavan erave untaux

p

et re ulerave untaux

q

sile site de destination estvide. Il s'agit bien de ladynamique du modèle d'ex lusion asymétrique

déniepré édemment à lase tion1.1.2 .

Ilestpossibledegénéraliserlemodèlede roissan edetellesortequ'ilsoitalorsreliéau

mo-dèled'ex lusionave unremplissage

ρ = n/L

quel onque.Pour ela,onpeutparexemple hoisir des onditionsauxbordsnonpériodiques

h

L+1

= h

1

+ (1 −2ρ)

.Dans e as,l'interfa en'estpas planeen moyenne maisprésenteune dérive.Onpeutaussi hoisir degarder les onditionsaux

bordspériodiqueset hangerles ontraintes

|hi+1

− hi

| = 1

en

|hi+1

− hi

+ (1 − 2ρ)| = 1

.Entre lesite

i

etlesite

i + 1

,l'interfa epeutalorssoitmonterde

2ρ

,soitdes endrede

2(1 − ρ)

.Sil'on imposeen oreàlahauteur

h

1

d'êtreunentierimpair, alors

h

i

estdelaforme

2k + 1 + 2(i − 1)ρ

ave

k

entier. Lesparti ules qui omposent le milieu sous l'interfa e ont alors la forme de pa-rallélogrammes.

On note ependant une diéren e entre le modèle de roissan e qui vient d'être déni et

le modèle d'ex lusion asymétrique. Partant d'une onguration

C

du modèle d'ex lusion ave des parti ules aux positions

1 ≤ x1

< x

2

< . . . < x

n

≤ L

, on dépla e haque parti ule vers l'avant jusqu'à e qu'elle se trouve à laposition initiale de la parti ule qui la pré ède (i.e. la

parti ule en

x

1

fait

x

2

− x1

pas vers l'avant jusqu'à e qu'elle se trouve en

x

2

, et les autres parti ulessedépla ent de manière similaire). Onseretrouve alors dans lamême onguration

C

du modèle d'ex lusion. Par ontre, sur le modèle de roissan e, ette évolution orrespond à augmenter toutes les hauteurs d'une quantité

2

, e qui ne préserve pas la onguration du modèle de hauteur :une ou he de parti ules aété rajoutée au niveau de l'interfa e. On peut

remédier à e problème en dénissant pour le modèle d'ex lusion une onguration ommela

donnéedespositions desparti ules etdeleur dépla ement total depuis l'instant initial.

Nous avons déni i i une orrespondan e entre lemodèle d'ex lusion surun anneau de

L

sitesetun modèle de roissan ed'uneinterfa e dis rète onstituée de

L

points. Onpeut aussi relierlemodèled'ex lusionave

n

parti ulessurunanneauàunmodèlede roissan eave une interfa e onstituée de

n

points[38 ℄.Onasso iepour ela les

n

hauteurs

h

j

= x

j

− jL/n

àune onguration du modèle d'ex lusion spé iée par les positions

1 ≤ x1

< x

2

< . . . < x

n

≤ L

p

q

p

q

h = −3

h = −2

h = −1

h = 0

Fig. 1.5 Dynamiqued'unmodèle de roissan ereliéaumodèled'ex lusionasymétrique,ave

L/n = 2

. Une parti ule (de forme arrée) peut se déposer ave un taux

p

et s'évaporer ave un taux

q

si la ontrainte

hj

− h

j+1

≤ L/n − 1

sur les hauteurs des points de l'interfa e est préservée.

des

n

parti ules(voirgure 1.5 ).Ces hauteursvérient la ontrainte

h

j

− hj+1

≤ L/n − 1

,qui signiequeles hauteurs nepeuventpasdé roître tropvitequandonpasse delaposition

i

àla position

i + 1

. La dynamique du modèle d'ex lusion ave des taux

p

et

q

se traduit alors sur les hauteurs

h

j

par ladynamiquesuivante:lahauteur

h

j

peutaugmenterd'une unitéave un taux

p

,sila ontrainte

1 − L/n < hj+1

− hj

estvériée;elle peut diminuerd'uneunitéave un taux

q

si la ontrainte

1 − L/n < h

j

− hj−1

est vériée. Les onditions aux bords périodiques

x

j+n

= x

j

+ L

pour le modèle d'ex lusion se traduisent sur les hauteurs par

h

j+n

= h

j

. Le modèle de hauteur que l'on vient de dénir est don périodique :le hoix du premier site est

arbitraire.

1.2.2 Équations d'Edwards-Wilkinson et de Kardar-Parisi-Zhang

L'équation d'Edwards-Wilkinson (EW) a été introduite dans [39 ℄ pour dé rire à la limite

ontinuelesu tuationsdansletempsdelahauteur

h(x, t)

d'uneinterfa eautourd'unesurfa e moyenne.En unedimension, ette équations'é rit

∂h

∂t

= ν

∂

2

h

∂x

2

+ η(x, t) ,

(1.7)

où le bruit

η

esten général hoisi ommeétant lebruit blan gaussiende moyenne nulle et de se ond moment

hη(x, t)η(x

′

, t

′

_{)i = 2Dδ(x − x}

′

_{)δ(t − t}

′

) .

(1.8) Lepremiertermedel'équationd'Edwards-Wilkinson(1.7 ),positifautourdesminimalo auxde

lahauteur

h

etnégatif autourde ses maxima lo aux, gouvernelarelaxation de l'interfa e vers une surfa e plane. Il modéliseainsi l'a tion de for es de tensionde surfa e. Le termede bruit,

quant àlui, modéliseles u tuations aléatoires de l'interfa e,résultant par exemple de

phéno-mènes de déposition et d'évaporation qui se ompensent en moyenne. L'équation

d'Edwards-Wilkinson est ainsiune des riptionà grandeé helle du modèledéni àla se tion1.2.1 dansle

l'interfa e. La modi ation la plus simple onsiste à ee tuer le hangement de référentiel

h → h − ct

,etaboutità l'équationsuivante :

∂h

∂t

= c + ν

∂

2

h

∂x

2

+ η(x, t) .

(1.9)

Le terme

c

est la vitesse moyenne à laquelle se dépla e l'interfa e. Cette équation ne dé rit ependant pasune interfa e en roissan e :elle dé rit seulement une interfa e en mouvement.

Enparti ulier, sil'on éteint letermede diusion proportionnel à

ν

etleterme de bruit

η

(qui nedé rivent pasla roissan ede l'interfa e), on onstatequel'interfa e se translate justesans

que sa forme ne hange, e qui ne onvient pas pour dé rire un phénomène de roissan e :

lo alement, la roissan edoiten eet s'ee tuerde manièreperpendi ulaireà l'interfa e.

Une manière plus orre te d'ajouter un terme de roissan e dans l'équation

d'Edwards-Wilkinson onduit à l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), introduite dans [40℄. En une

dimension,laversionave bruit de ette équation s'é rit

∂h

∂t

= ν

∂

2

_h

∂x

2

+

λ

2



∂h

∂x

2

+ η(x, t) .

(1.10)

En

λ = 0

,on retrouve l'équationd'Edwards-Wilkinson. Le termenon linéaire proportionnel à

λ

quel'onarajoutédé ritune roissan edelasurfa e quis'ee tuedemanièrelatérale.En eet,les minima etmaxima lo aux de la

h

n'évoluent pas dansle temps par e terme, tandis queles zonesde pente maximale sont ellesqui roissent le plusvite.

Si l'on suppose que la roissan e de la hauteur

h

de l'interfa e s'ee tue en tout point de manière normale à la surfa e, ave un dépla ement

λδt

perpendi ulairement à l'interfa e au point d'abs isse

x

pendant un intervalle de temps innitésimal

δt

, alors la hauteur

h(x, t)

augmentependantladurée

δt

de

λδt/ cos θ

.Onadénil'angle

θ

ommel'angleentrel'interfa e au point

x

et l'horizontale (voir gure 1.6 ). Sa tangente est égale à

∂h/∂x

. Pour un angle

θ

petit,ontrouvealorsquela roissan enormaleàlasurfa e ontribue

λ+λ(∂h/∂x)

2

àladérivée

temporellede

h

aupoint

x

.Lepremier termede etteexpression,indépendant de

h

,peutalors êtreabsorbé dansla transformation

h(x, t) → h(x, t) + λt

,qui orrespond à sepla er dansun référentiel sedéplaçant à vitesse

λ

en hauteur.

L'équation KPZ peut être vue omme une des ription à grande é helle du modèle de

roissan e déni à la se tion 1.2.1 pour

p 6= q

, mais aussi de nombreux autres modèles de roissan e,parexemplelemodèlede roissan epolynu léaire[41℄.Cemodèledé ritla roissan e

dela surfa ed'un ristal par la ombinaisond'un phénomène dedéposition aléatoire d'atomes

surlasurfa e du ristal,etd'une roissan elatéraleàvitesse onstantede ha unedes ou hes

atomiques.

Parlelienquenousavonsexpliquéàlase tion1.2.1entrelemodèled'ex lusionasymétrique

et un modèle de roissan e, on obtient alors que le dépla ement total des parti ules dans le

modèle d'ex lusion asymétrique est dé rit à grande é helle par l'équation KPZ. Le modèle

d'ex lusion symétrique (

p = q

), par ontre, appartient à la lasse d'universalité de l'équation EW:eneet,ledépla ementtotaldesparti ulesne roîtpasenmoyenne,maisu tueseulement

autourde zéro.

Une quantité importante pour lesmodèles de roissan ede typeKPZ ouEWest lalargeur

del'interfa e

w(L, t)

pour un systèmede taille

L

à l'instant

t

[12, 35℄.Elle est déniepar

w(L, t) =

s

1

L

Z

L

0

dx



_{h(x, t) − h(t)}

2

,

(1.11)

où

h

est lahauteurmoyenne del'interfa e

h(t) =

1

L

Z

L

0

h(x, t)

x

λδt θ

δh

Fig. 1.6  Origine du terme non linéaire dans l'équation Kardar-Parisi-Zhang, à partir de

l'hypothèsed'une roissan edel'interfa e normaleàlasurfa e:pendant laduréeinnitésimale

δt

,unpointde l'interfa esedépla e de

λδt

de manièrenormaleàl'interfa e, equi orrespond à undépla ement

δh

dehauteur, égalà

λδt/ cos θ

.

Diversesobservationsnumériquesont onduitFamilyetVi sekàproposer[42 ℄laformed'é helle

suivante pour lafon tion

w(L, t)

:

w(L, t) ∼ L

χ

f



t

L

z



,

(1.13)

où lafon tion

f

a le omportement asymptotique suivant :

f (u) ∼ u

χ/z

si

u ≪ 1

(1.14)

f (u) →

onstante quand

u → ∞ .

(1.15)

Cette forme d'é helle dépend de deux exposants

χ

et

z

. L'exposant

χ

est appelé exposant de rugosité. Il ontrle la roissan e de la largeur de l'interfa e ave la taille du système. Un

ex-posant de rugositéfaible orrespond à uneinterfa e qui reste approximativement plane lors de

sa roissan e, tandis qu'un exposant de rugosité élevé orrespond à une interfa e qui u tue

beau oupautourde savaleurmoyenne.L'exposant

z

estappeléexposant dynamique.Ilindique où se trouve laséparation entre le omportement du systèmeaux temps ourts (

t ≪ L

z

) et le

omportement aux temps longs (

t ≫ L

z

). Pour

t ≪ L

z

, la largeur de l'interfa e roît omme

t

χ/z

.Pour

t ≫ L

z

,elle sature àune valeurd'ordre

L

χ

.

Lesexposants

χ

et

z

sont onnusexa tementpourl'équationEWendimension quel onque. En parti ulier, en dimension

1

, on a

χ = 1/2

et

z = 2

. Par ontre, pour l'équation KPZ, les exposantsnesont onnus exa tementqu'en

d = 1

.Ona

χ = 1/2

et

z = 3/2

.Uneméthode per-mettant dedéterminersiunmodèleunidimensionneldonné appartient àla lassed'universalité

de l'équationKPZ ouEWpasse don par ladétermination de l'exposant dynamique

z

.

Onnotequel'équationEWestinvariante par latransformation

h → −h

, equisignieque les deuxrégions de part et d'autre de l'interfa e se omportent de lamême manière. Ce n'est

plus le aspour l'équationKPZ, oùles deuxrégions séparéespar l'interfa e sont distinguées.

1.2.3 Polymère dirigé en milieualéatoire

Lesmodèlesdepolymèredirigéenmilieu aléatoiresont desmodèles dephysique statistique

i

j

A

B

ǫ

0,0

ǫ

_i−1,j−1

ǫ

i,j

ǫ

_i+1,j−1

(a

′

_{, b}

_{− 1)}

(a, b)

(a

′′

_{, b}

_{+ 1)}

Fig. 1.7  Modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire. On a représenté en trait plein un

hemin entreles points

A = (0, 0)

et

B = (i, j)

.

modèles deverre de spin.

Dans es modèles de polymère dirigé, on onsidère un réseau dont les sites portent des

énergiesaléatoires.Ons'intéresseaux heminsdirigéssur eréseaupartantdusite

A

etarrivant ausite

B

detellesortequetouteslesportionsdu heminserappro hentstri tementdupoint

B

(pour une ertaine distan edénie entreles sites duréseau). Un tel hemin, quine sere oupe

jamais, est appelé un polymère dirigé (voir gure 1.7). On lui asso ie une énergie égale

à la somme des énergies des sites sur lequel il passe. Si l'on onsidère que le polymère dirigé

est un système à l'équilibre à la température

T

, la probabilité d'observer une onguration du polymère est alors donnée par le fa teur de Boltzmann

e

−E/kT

/Z

. À température nulle,la ongurationd'énergie minimaleest observée ave uneprobabilité

1

.

Lesmodèlesdepolymèredirigésontreliésàdesproblèmesétudiésexpérimentalement [12℄.

Unpremierexempleprovientdumodèled'Isingbidimensionnel ave des ouplagesdésordonnés,

ave des bords libres dans une dire tion, et des bords xes dans l'autre (spin

+

d'un oté et spin

−

de l'autre, voir gure 1.8).À température nulle et en l'absen e de désordre, l'interfa e entre la phase omportant uniquement des spin

+

et la phase omportant uniquement des spins

−

est une ligne droite. Quandle désordre est non nul, maisreste susamment faible,le système est en ore onstitué de deux phases séparées par un hemin sur le réseau arré. Ce

hemin possède despropriétésstatistiques analoguesà laforme d'unpolymèredirigé. Unautre

exempleest eluidelaformedeladé hirure d'unmor eaudepapier.Ledésordreprovient alors

de l'inhomogénéité du papier, en parti ulier de sadensité. Dans e as, même si la dé hirure

provient d'unphénomène dynamique(i.e. elle sepropageà mesurequel'on tire surlepapier),

elle possède aussidespropriétés similaires à elles d'unpolymère dirigé.

Nousallonsmaintenant montrerquelemodèled'ex lusiontotalement asymétriqueestrelié

à un modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire à température nulle [43℄. On onsidère

pour ela le réseau arré de la gure 1.7. À haque site de oordonnées

(i, j)

du réseau, on asso ie une énergie lo ale

ǫ

i,j

< 0

, hoisie aléatoirement ave une distribution

ρ

exponentielle et indépendante du site : la probabilité pour que

ǫ

i,j

soit omprise entre

ǫ

et

ǫ + dǫ

est don égaleà

ρ(ǫ)dǫ = pe

pǫ

dǫ .

(1.16)

Les diérents

ǫ

i,j

étant donnés, on s'intéresse aux diérents hemins dirigés vers le haut qui relient le point de oordonnées

(0, 0)

du réseau au point de oordonnées

(i, j)

. Si un site de oordonnées

(a, b)

appartientàl'unde es hemins(maisn'estpasl'unedesdeuxextrémitésdu hemin), alors le hemin reliele site

(a, b)

à deuxsites de oordonnées

(a

′

, b − 1)

et

(a

′′

, b + 1)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

+ +

+ +

+ −

− −

− −

+ −

+ −

− −

+ −

− −

Fig. 1.8 Polymère dirigéetmodèle d'Isingbidimensionnel. L'interfa e entrele domaineave

des spins

+

etle domaine ave des spins

−

peutêtre modélisépar un polymère dirigé.

τ

i,j

T

_i−1,j−1

T

_i+1,j−1

Fig. 1.9  Lien entre un modèle de roissan eet un modèle de polymère dirigé. Le temps

né- essaire

Ti,j

pourquel'interfa e atteignelahauteur

j

àl'abs isse

i

estné essairementsupérieur auxtemps

T

i−1,j−1

et

T

i+1,j−1

.Ilvérielamêmerelationderé urren equel'opposédel'énergie du polymère.

ave

|a − a

′

| = |a − a

′′

| = 1

.

Àun hemin,onasso ieuneénergieégaleàlasommedesénergieslo alesdessites omposant

le hemin. On appelle alors

E

i,j

le minimum de es énergies pour tous les diérents hemins reliant

(0, 0)

à

(i, j)

.Cetteénergie orrespondàunouplusieurs heminsreliant

(0, 0)

à

(i, j)

.Par onstru tion,un hemin arrivantausite

(i, j)

passené essairement soitparlesite

(i − 1, j − 1)

, soit par lesite

(i + 1, j − 1)

.Ona don larelation de ré urren esuivantesurles

E

i,j

:

E

i,j

= ǫ

i,j

+ min(E

i−1,j−1

, E

i+1,j−1

) .

(1.17) Cette relation de ré urren e va nous permettre de relier e modèle de polymère dirigé à un

modèlede roissan e.Nous allonspour ela devoir interpréter lesénergies

ǫ

i,j

et

E

i,j

(qui sont négatives) ommel'opposéd'intervalles de temps (positifs).

Onrevient àprésent aumodèlede roissan eprésentéàlase tion1.2.1 ,en prenantletaux

d'évaporation

q

égalà zéro de telle sorte que lahauteur de l'interfa e ne dé roisse jamais. On s'intéresse alors au temps

Ti,j

né essaire pour quela hauteur

hi

au point d'abs isse

i

atteigne lavaleur

j

.Ladynamiquedumodèle de roissan eimposealors que, justeavantque

h

i

nesoit égal à

j

, on ait

h

i

= j − 2

et

h

i+1

= h

i+1

= j − 1

(voir gure 1.9 ). Le temps né essaire pour

que

hi

atteigne lavaleur

j

estdon égal au temps né essaire pour que

hi+1

et

h

i−1

atteignent lavaleur

j − 1

, plus le temps né essaire pour déposer un arré à l'abs isse

i

,faisant passer

h

i

de

j − 2

à

j

.Onpeutdon é rire

T

i,j

= τ

i,j

+ max(T

i−1,j−1

, T

i+1,j−1

) ,

(1.18) où

τ

i,j

est le temps pour qu'un arré se dépose à l'abs isse

i

, sa hant que

h

i

= j − 2

et

h

i+1

= h

i+1

= j − 1

. Commela probabilité que

h

i

passe de

j − 2

à

j

pendant un intervalle de temps innitésimal

dτ

(après l'instant

max(T

i−1,j−1

, T

i+1,j−1

)

) est égale à

pdτ

, la probabilité que

h

i

passede

j − 2

à

j

entreles instants

t

et

t + dτ

est donnéepar

lim

dτ →0

(1 − pdτ)

τ /dτ

_{× pdτ = pe}

−pτ

_{dτ = ρ(−τ)dτ .}

(1.19)

Lestemps

−τi,j

sontdon distribués suivant lamême loi exponentielle

ρ

(1.16 )que les

ǫ

i,j

. On onstatenalementquelarelationderé urren epour

T

i,j

et ellepour

E

i,j

sedéduisent l'unedel'autresil'oné rit

T

i,j

= −Ei,j

et

τ

i,j

= −ǫi,j

, equinousdonneunlienentrelemodèle de polymère dirigé etle modèle de roissan e. Cela fournit don aussiun lien entre le modèle

depolymère dirigéetlemodèle d'ex lusion totalement asymétrique.

1.2.4 Modèle à six vertex

Le modèle à six vertex a été introduit à l'origine omme un modèle simplié permettant

de dé rire la physique de ertains ristaux à l'équilibre thermodynamique, en parti ulier les

ristauxdegla e [44, 45 ,46℄.

Sous une pression atmosphérique normale, haque molé ule d'eau d'un ristal de gla e se

trouve au entre d'untétraèdre dequatre autres molé ulesd'eau ave lesquelles elle formedes

liaisons hydrogène [47℄. S hématiquement, dans une liaison hydrogène entre deux molé ules

d'eau

H

2

O

, un atome d'hydrogène de l'une des molé ule d'eau s'oriente dans la dire tion de l'atome d'oxygène de l'autre molé ule d'eau. Comme la harge éle trique n'est pas répartie

uniformément dansune molé ule d'eau (lamolé ule d'eau est ditepolaire;un ex ès de harge

positiveestsituésurlesnoyauxd'hydrogène, etunex èsde hargenégativesurlenoyau

d'oxy-gène), e i implique laprésen e d'undiple éle trique entre les deuxmolé ules d'eau. Chaque

molé ule d'eaud'un ristal de gla eest don entourée de quatrediples éle triques, dont deux

pointent versla molé ule en question etles deux autres vers d'autresmolé ules d'eau à

proxi-mité.

Le réseau formé par les molé ules d'eau dans la gla e possède une stru ture

tridimension-nelle relativement ompliquée, les tétraèdres de molé ules d'eau qui interagissent par liaison

hydrogène étant eux mêmes assemblés selon une stru ture hexagonale. Une simpli ation de

ette stru ture qui, tout en permettant d'obtenir un modèle exa tement soluble préserve

er-tainespropriétés du système réel, onsiste à rempla er le réseau ristallin par un réseau arré

bidimensionnel dont lesn÷uds représentent les molé ulesd'eau. Lesarêtes de e réseau seront

orientéespourreéterlaprésen edesdipleséle triquesentrelesmolé ulesd'eau.L'orientation

desarêtesdoit alors obéir à la ontrainte (i e rule) qu'exa tement deux arêtesdoivent pointer

vers haquen÷ud. Il yaainsi sixpossibilités d'orientation desarêtesautour d'unn÷ud:

On asso ie à ha un de essixvertex une énergie

ǫ1

,...,

ǫ6

etun fa teur de Boltzmann

ω1

=

e

−ǫ

1

/kT

, ...,

ω

6

= e

−ǫ

6

/kT

.Pour lagla e, es sixénergies sont égales arles six ongurations

des atomes d'hydrogène autour d'un atome d'oxygène sont équivalentes d'un point de vue

ristallographique. Cen'est pasle aspour d'autres ristauxdu même type,par exemple pour

les ristauxde

KH

2

P O

4

[44 ℄.

Ondénitalorsl'énergieinterne

E

d'une ongurationdesvertex(i.e.l'énergieinternedela gla edansune ertaine ongurationdesmolé ulesd'eau,pour emodèletrèssimplié) omme

la somme des énergies des diérents vertex. Le fa teur de Boltzmann asso ié est simplement

égal auproduit desfa teursde Boltzmann desdiérentsvertex.

Ilestutiledemodierunpeulareprésentationdesvertexentransformantlesarêtesorientées

par desarêtesen traitplein ou enpointillés selon la orrespondan esuivante:

↓

↓

↓

↓

.

(1.21)

Les sixvertexpossiblessont alors représentés sous laforme

1

p

_{1 − p}

1

q

_{1 − q}

,

(1.22)

où l'onadonnéau dessousde haquevertexunpoidsdeBoltzmann asso iéauvertex. Ave les

poidspré édentspourlesvertex,nousallonsvoirqu'ilexisteunlienentrelemodèleàsixvertex

etlemodèled'ex lusionasymétrique.Nousdonnerons i iunepremière orrespondan eave un

modèled'ex lusion asymétrique en temps dis ret [48℄.Nous verrons ensuite aux hapitres3 et

9 une autre orrespondan e entre le modèle à six vertex, la haîne de spin XXZ et le modèle

d'ex lusion asymétriqueen temps ontinu, reliéeà l'intégrabilité de estrois modèles.

Ondénitmaintenantunmodèled'ex lusionasymétriqueentempsdis ret.À haquetemps

t

entier pair,touteparti ulesituéesurunsitepairpeutre ulerave uneprobabilité

q

(etnepas bouger ave une probabilité

1 − q

), tandis que haque parti ule situéesur unsite impair peut avan erave uneprobabilité

p

(etnepasbougerave uneprobabilité

1 −p

).Demême,à haque temps

t

entier impair, touteparti ule situéesur unsite pair peutavan erave une probabilité

p

(et ne pasbougerave une probabilité

1 − p

),tandis que haqueparti ule situéesurun site impair peut re ulerave uneprobabilité

q

(et nepasbougerave une probabilité

1 − q

). L'en-sembledessitesestdon partitionné enpairesde sites onsé utifs,lesdeuxpartitionspossibles

orrespondant respe tivement aux temps pairs et impairs. Les parti ulespeuvent uniquement

1 − p

q

p

q

_{1 − q}

_{1 − p}

t = 0

t = 1

t = 0

t = 1

t = 2

t = 3

t = 4

t = 5

Fig. 1.10  Conguration du modèle à six vertex, reliée à l'histoire des ongurations d'un

modèled'ex lusion asymétriqueen temps dis retpour unsystème omportant

3

parti ulessur

12

sites.

ongurationssu essivesdumodèled'ex lusionen tempsdis ret. À haqueensembledelignes

situées à lamême hauteur surla onguration du modèle à sixvertex représentée gure 1.10,

on asso ie un temps entier (qui augmente en allant vers le haut) et une onguration du

mo-dèled'ex lusion, en interprétant les lignesen trait plein ommedes parti ules, etles lignes en

pointillés omme dessitesvides. On onstate alors quelaprobabilité d'une histoire donnéedu

modèled'ex lusion estpré isément égaleau poids de la ongurationdesvertex.

1.2.5 Pro essus zero range

Le pro essus zero range (ZRP, pour Zero Range Pro ess) fait partie, tout omme le

modèled'ex lusionasymétrique,desmodèlesdephysique statistiquedontl'étudeapourbutde

mieux omprendrelaphysiquedesphénomèneshorsd'équilibre[49 ,50,51,52 ℄.Lepro essuszero

rangedé ritlemouvementdeparti ulessurlessitesd'unréseau,engénéralunidimensionnel,le

nombredeparti ules

m

i

ausite

i

pouvantêtre arbitrairement grand. La ontrainted'ex lusion estdon absentedans le as du modèle zerorange. Il s'agitd'une diéren e essentielle ave le

modèled'ex lusion.

On onsidèrequeles parti ulesen un site dumodèle zerorangesont empilées lesunessur

lesautres ommedanslagure1.11 .Ladynamiqueestalorslasuivante:laparti uleausommet

delapile au site

i

peutsedépla erau site

i + 1

ave un taux

q u(m

i

)

,ou ausite

i − 1

ave un taux

p u(m

i

)

.Lesparamètres

u(m)

sontderéelspositifsarbitraires.Demanièreéquivalente,on peut aussi dénir la dynamique de telle sorte que laparti ule située au sommet de la pile ne

soit pasdistinguée desautres parti ulesau même site :il sut pour ela de prendre destaux

q u(m

i

)/m

i

et

p u(m

i

)/m

i

pour lesdépla ementsdes parti ulessetrouvant ausite

i

.

Onnote que ontrairement au as dumodèle d'ex lusion,les dépla ements d'une parti ule

q

p

q

p

Fig. 1.11 Pro essus zerorangeetmodèle d'ex lusionasymétrique. Un site dupro essuszero

rangeo upépar

m

parti ules orrespondà

m+1

sitesdumodèled'ex lusion,lepremierd'entre eux étant o upé etles

m

autres vides.

d'ex lusion.

Le modèlezerorange possède une mesurestationnaire fa torisée.Onpeuten eetmontrer

que laprobabilité que lesystème setrouve dans une onguration

C

spé iée par les nombres d'o upation

m

i

estdonnéepar

P (C) =

_Z

1

L

Y

i=1

f (m

i

) ,

(1.23)

où la normalisation

Z

assure que la somme des probabilités est égale à

1

, la fon tion

f

étant dénie par

f (m) =

m

Y

j=1

1

u(j)

.

(1.24)

Cettefa torisationdelamesurestationnaire n'estpasune propriétégénéraledessystèmeshors

d'équilibre. Nous verrons en parti ulier qu'elle n'est pas vériée pour plusieurs variantes du

modèle d'ex lusion asymétrique. Dans le as de modèles de transport de masse sur un réseau

périodique, une ondition né essaire et susante sur les taux de transition pour que l'état

stationnaire soit fa toriséa étédérivée dans[53 ℄.

Suivant la valeur des taux

u(m)

, il est possible que la mesure stationnaire du pro essus zero rangefavoriseles ongurationspour lesquellesune fra tionma ros opique desparti ules

se trouve dans un seul site. Il s'agit du phénomène de  ondensation en espa e réel , la

ondensationayantlieuauniveaudelapositiondesparti ules.Cephénomèneprésente ertaines

similitudesave la ondensationdeBose-Einsteinpourdesbosonsàtrèsbassetempérature,qui

est une ondensation dansl'espa e des impulsions :une fra tion ma ros opique desparti ules

se trouve dansl'état fondamental dusystème, ave uneimpulsion nulle.

Le modèle d'ex lusion asymétrique surun anneau de

L

sites ave

n

parti ules est relié au pro essuszerorangesurunanneau de

n

sitesave

L − n

parti ulessilestaux

u(m)

sontégaux. On prendra

u(m) = 1

. La orrespondan e entre les deux modèles s'ee tue en remplaçant haque site du pro essus zerorange ontenant

m

parti ulespar unsite du modèle d'ex lusion o upé par une parti ule, suivi de

m

sites vides (voir gure 1.11 ). On onstate alors que la dynamiquequenousavonsdéniepour lepro essuszerorangeinduit surles

L

sitesdumodèle

d'ex lusionladynamiquehabituelle,pour laquelleunparti ule avan eave untaux

p

etre ule ave un taux

q

silesite de destination estvide.