Réseaux intégrateurs de précision pour les phénomènes à évolution lente

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Réseaux intégrateurs de précision pour les phénomènes

à évolution lente

G. Bonnet

To cite this version:

140 A

RÉSEAUX INTÉGRATEURS

DE

PRÉCISION

POUR LES

PHÉNOMÈNES

A

ÉVOLUTION

LENTE

Par

_{G. BONNET,}

Centre d’Études Nucléaires de Grenoble

Résumé. 2014L’étude du _comportement des réseaux

_{électriques passifs}

destinés à assurer l’inté-gration d’un _signal avec le minimum d’erreur, montre _{que la qualité} de ce _comportement se déduit de la forme du

_{développement}

_asymptotique

de la fonction de transfert. On _peut en tirer la valeur

de l’erreur d’intégration sous une forme _{analytique simple.}

On traite un _exemple de réseau _intégrateur doté de

_{compensation,}

et la _comparaison de ses

caractéristiques avec celles du réseau employé habituellement montre _{qu’on peut} en _obtenir, dans

les mêmes conditions d’erreur, un affaiblissement de transmission _beaucoup moins _important, ce

qui en _{permet l’emploi_ pour} les _{temps longs.}

Abstract. 2014 The

study of the behaviour of _passive electric networks intended to assure the

inte-gration of a _signal with the minimum of error shows that the

_quality

of this behaviour can be deduced from the _{asymptotic expansion} of this transfer function. It is _possible to obtain from it the value of the error of _integration in a

_simple

_analytic form.

We _develop an _example of an _integrator network _equipped with _{compensation, and the} compa-rison of its characteristics with those of the network _usually used shows that one can obtain from _it, with the same conditions of error, a much less _{important weakening} of transmission which allows it to be used for _longer

_periods.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE SUPPLÉMENT AU NO 12

PHYSIQUE APPLIQUÉE ’

TOME _19, DÉCEMBRE 1958, PAGE 140 A.

1. Introduction. - On est souvent amené à restituer une

_grandeur

_physique

à

partir

de sa dérivée

_temporelle,

dont on

_dispose

sous la forme d’un

_{signal électrique.}

Cette restitution

_s’acquiert

avec toute la

préci-sion voulue au _{moyen d’un réseau}

_intégrateur

résistance-capacité,

et sans difficultés

majeures

lorsque

le

_spectre

de Fourier du

_signal

ne s’étend pas vers les

fréquences

très basses. C’est le cas

général

de l’étude en

_{régime permanent}

des

phénomènes périodiques

dont la raie fondamentale

se situe au delà de

quelques

hertz.

Si,

au

contraire,

l’on veut

adapter

ce

_procédé

à des

_phénomènes

d’évolution

_lente,

tout en

res-pectant

une

_précision

_élevée,

on se heurte alors à

des difficultés accrues. Nous _pensons en

_particulier

aux

phénomènes

transitoires dont le

_spectre

de

bande

s’étale,

sinon strictement

_jusqu’à

la fré-quence

zéro,

du moins

_jusqu’à

une

_fréquence

de l’ordre de

_{1/,r, ’t"}

étant la durée de l’observation

qu’il

peut

être nécessaire de

_poursuivre

_pendant

plusieurs

secondes.

Dans ces

_conditions,

on sait

qu’un

réseau

inté-grateur

R-C introduit dans sa

_réponse

un

affaiblis-sement de la transformée du

_{signal, proportionnel}

à sa constante de

_temps,

et les exigences d’une

grande

précision

obligent

cette dernière à être de

beaucoup

supérieure

au

_temps

T. On

dispose

alors d’une terision de sortie très souvent

_{inutilisable,}

dès lors que son niveau est devenu

_comparable

à

celui du bruit d’entrée de

_l’appareil

de mesure

auquel

elle doit être

_appliquée.

Examinons les moyens

susceptibles

de remédier

à cet état de choses :

- Les conditions

physiques

sont souvent telles

qu’on

rencontre

_rapidement

une limite dans la pos-sibilité

_{d’augmenter}

le niveau du

_signal

à

_intégrer

-

L’emploi

d’un

_{amplificateur}

intercalé entre

la source et le réseau est rarement

_possible.

La recherche d’une

_{grande précision}

conduit à

res-pecter

scrupuleusement

la forme du

_signal

à

trans-mettre

et l’introduction d’une distorsion non-linéaire

_comporterait

un

_{grand risque.}

- L’utilisation d’un _«

intégrateur

opération-nel »

_[1],

_{à contre-réaction}

_capacitive,

ou du

_type

«

_bootstrap

_», n’est pas favorable. On

_peut

_montrer

d’abord que le

rapport

signal

sur bruit d’entrée est

le même que dans le cas d’utilisation du réseau

passif,

lorsque

les constantes de

_temps

effectives

sont

_identiques.

Il

_n’y

a _{donc pas} d’amélioration

à attendre. Par

_contre,

une étude détaillée

_indique

que la fonction de transfert de ce

_montage

com-porte,

à côté du terme

_{principal jouant}

le rôle

d’opérateur

intégral,

un terme

_{parasite qui}

introduit un

_signal

_{perturbateur,}

même dans le cas idéal où la distorsion et le retard de transmission de

_{l’amplificateur}

sont

_{négligeables.}

On limitera

l’emploi

de ce

_montage

au seul cas où la valeur nécessaire de la constante de

_temps

effective n’est pas

physiquement

réalisable.

-

Les

_impératifs

de fidélité semblent donc nous restreindre aux seuls réseaux linéaires

_passifs,

et si leur affaissenlent

_apparaît

comme l’écueil

fonda-mental,

il s’avère utile de rechercher une amélio-ration de leur

_comportement

sous ce

_rapport.

2. Recherche d’un critère de

_qualité.

- Soit

v

(t)

le

_signal

_électrique

à

_intégrer.

On

_prend

_par

hypothèse

(t)

= 0 pour

141 A

L’application

de ce

_signal

au réseau linéaire le

plus

général, correspond

à un

opàrateur e

tel _que le

_signal

de sortie soit 5v. On cherchera à définir les

caractéristiques

de 3i

de

_façon

à ce _que

3iv(t)

se

rapproche

le

_plus

_possible

de

_{l’opérateur :}

pour t

compris

entre 0 et une borne

_supérieure

T

donnée à l’avance.

, Il est utile d’autre

part

que les

çaractéristiques

d’intégration

de fi se déduisent directement de la notion de fonction de transfert avec

_{laquelle on est}

familiarisé.

Si

_V(p)

est la transformée de

_{Carson-Laplace}

de

v(t)

et

_C(p)

la fonction de

_transfert,

on aura :

p’t9

est la

_réponse

du réseau à une fonction unité de Dirac.

C’est donc la transformée

_R(p)

de la

_réponse

percussionnelle R

(t)

du réseau.

On obtient alors _par le théorème d’inversion de

Borel : ,

F se

_présente

sous la forme d’un

_opérateur

linéaire

_intégral

de noyau R

(t -

0), réponse

per-cussionnelle.

Pour

_{0 fi t fi}

T inférieur au _{rayon de} conver-gence, on

_peut

développer

ce _noyau en série autour

de t - 0 = _u = 0 _{et en}

portant

le résultat dans

_(3),

on obtient :

Par

_rapport

au résultat

_recherché,

on voit _que

l’erreur

_{d’intégration}

est

_{représentée}

_{par la}

_partie

entre crochets.

Il résulte d’un théorème connu

[2]

_{que :}

C’est donc le

_{développement asymptotique}

de

.

(R. (p)

[ou

de

_C(p)]

_qui

nous

_renseignera

sur le

comportement

du réseau en

_{intégrateur.}

Il _y a _pour cela deux conditions nécessaires :

a)

d’après

(4)

et

_(5),

cette limite

_asymptotique

doit être finie. Le

_{développement asymptotique}

doit donc s’écrire sous la forme : ,

b)

elle ne doit

_pas

être nulle non

_plus,

d’où la

condition : ,

Le réseau

_intégrateur

recherché devra fournir une erreur aussi faible _que

_possible.

La

considé-ration de

(4)

montre que la

_partie

_principale

de cette

erreur est donnée _par

_uR(u

=

0),

qu’il

faut

annuler.

Sa transformée

_p[R(p)

-

R(O)]

doit donc tendre

vers zéro _{pour p -> oo,} ce

qui implique :

Le

_{développement}

_{asymptotique optimum}

se

présentera

donc sous la forme

Ou pour la fonction de transfert

3. Erreur

d’intégration.

- Si l’on

suppose

remplie

la condition de correction

_{(8), qui équivaut}

à

_{vuR(u = 0) = 0,}

l’erreur

_{d’intégration}

au

_temps

ï a _pour

_partie

principale :

En tenant

_compte

de la transformée inverse du

développement (10),

on a :

Dans le cas où la condition

₍₈₎

de correction ne serait _pas

_remplie,

l’erreur

_{d’intégration}

serait donnée par :

4. Recherche d’un

intégrateur

avec correction du

1er degré.

-

L’intégrateur classique

est constitué par une

_simple

cellule

RC

[3] (fig. 1).

Sa fonction de transfert est

il

_apporte

une erreur

_{d’intégration}

du 1 er

_degré

avec

Le circuit correcteur

_peut

être branché à la suite du

_premier,

et son rôle est de

_supprimer

le terme

en 1

_/p2.

Avec une

_{approximation}

très

grossière,

on

peut

admettre _{que les deux fonctions de} transfert

vont se

_multiplier.

Par

_suite,

celle du réseau

correcteur doit être de la forme :

Une

infinité_de

combinaisons sont

_possibles.

On

peut

être

_guidé

par les considérations

qualitatives

suivantes :

pour p --> oo le

développement précédent indique

que le réseau correcteur se

_comporte

comme un

potentiomètre résistant ;

pour p -> 0 on

_peut

décider que le transfert sera

égal

à l’unité.

Nous avons

_essayé

le réseau

intégrateur

suivant

(fig. 2) :

Sa fonction de transfert est :

1 On annulera le terme en

i2

du

_{développement}

p

asymptotique

si On a alors

La

_partie

utile de la

_réponse

est

et l’affaiblissement est

_représenté

_par ce _que nous

appelons

« _{constante d’affaiblissement} » : :

L’erreur relative

_{d’intégration}

est

_{d’après (10), (13)}

et

₍₁₈₎

en

_remplaçant

_{y par} sa valeur issue de

(17)

Si l’on tient à conserver une constante

d’affaiblis-sement la

_plus

faible

_possible,

tout en maintenant l’erreur

_minima,

on

_{prendra R petit}

_{devant z1 + Z2}

et z, =

Z2- Un ordre de

grandeur

convenable

est : Dans ces conditions :

5. Calcul des ’déformations. --

v(t)

étant une fonction

_quelconque,

il est nécessaire de trouver un

critère

_{qui permette}

de calculer a

_priori

l’intérêt de la

_correction.

D’après

(3),

la

_{réponse percussionnelle}

est

pré-pondérante

dans le

_comportement

du réseau. On

prendra

donc pour

v(t)

une

_percussion

unité de DIRAC d’où :

Pour

_majorer

_l’erreur,

on

_appliquera

la

_percussion

immédiatement

_après

le

_{temps t}

= 0.

Donnons-nous d’avance la valeur S de l’erreur relative

_0394Fv/Fv

au bout d’un

_temps

t =

_1’,

consi-dérée comme admissible

a)

dans le cas de

_{l’intégrateur}

RC :

ce

qui

définit :

la constante d’affaiblissement vaut alors

b)

avec le réseau

_compensé

donné comme

exemple :

constante d’affaiblissement :

Ainsi,

pour un même résultat

Ag,vl5iv

= 8 les

constantes d’affaiblissement avec ou sans correc-tion sont dans le

_{rapport :}

La correction offre donc un intérêt

_lorsque

la

précision

demandée est

_{grande (03B4}

~ 10-2 ou

_moins)

143 A

supériorité

s’accentue

davantage

pour des

durées

inférieures à la limite

_imposée.

Enfin, lorsqu’on

est _{limité par la valeur des}

capacités physiquement

réalisables,

la correction

permet

de travailler avec des durées

d’intégration

impossibles

à atteindre

_autrement,

si l’on tient à

éviter l’inconvénient

_déjà

cité des

_{intégrateurs}

non

passifs.

Nous donnerons comme

_exemple,

celui d’un

intégrateur

réalisé pour un

_enregistreur

des

phéno-mènes transitoires de

l’aimantation

[4].

On veut 8 =

0,5

10-2 pour 03C4 = 1 _sec. Avec

l’intégrateur

simple,

il faudrait

_{.RC = 200,}

cons-tante d’affaiblissement

_1/200;

avec

_{l’intégrateur}

compensé,

R’C’ =

_10,

constante

d’affaiblis-sement

_1/20.

On gagne un facteur 10. APPENDICE

Tolérance des éléments constituants. -

Le

développement

asymptotique

de

₍₁₆₎

a _pour coefl’lcient du terme en

1/p :

Les écarts autour de la valeur

_théorique

des éléments liés _par la relation

(17)

ont _pour effet de maintenir à al, une valeur résiduelle non nulle.

Prenons une borne

_supérieure

commune E _pour

le module des écarts relatifs de

_{R, C,}

_y, etc... et tenons

_compte

de z1 =

z2 = 5R. La

réponse

per-cussionnelle du réseau devient :

La tolérance admissible est _{déterminée par le fait}

que le terme résiduel du

premier

ordre demeure inférieur au terme du second ordre

qui

fixe la

partie principale

de

_l’erreur,

d’où :

On trouve actuellement dans le commerce des résistances et des condensateurs dont les variations dans le

_temps

et pour une

plage

de

_température

convenable restent inférieures à

_0,5

_%.

On

_peut

donc s’attendre sans difficultés à une

précision

d’intégration

de

_quelques

10-3.

Manuscrit reçu le 30 _juillet 1958.

BIBLIOGRAPHIE

[1] KORN _(Gr) et _(Th), Electronic _{Analog Computers,}

McGraw-Hill,1956.

[2] KAUFMANN _(A.), DENIS-PAPIN (M.), Calcul Opéra-tionnel, Albin-Michel, 1950.

[3] M. I. T. Radiation Laboratory Series, vol.19, Mc

Graw-Hill, 1949.