Inégalités de Bell et mécanique quantique : les détails d'une incompatibilité

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Inégalités de Bell et mécanique quantique : les détails d’une incompatibilité

P. Roussel

To cite this version:

P. Roussel. Inégalités de Bell et mécanique quantique : les détails d’une incompatibilité. Journal de Physique, 1986, 47 (3), pp.393-405. �10.1051/jphys:01986004703039300�. �jpa-00210219�

Inégalités ^{de Bell}

^et

mécanique quantique :

les détails d’une incompatibilité

P. Roussel

Institut de Physique Nucléaire, ^{B.P. n°} 1, ⁹¹⁴⁰⁶ Orsay Cedex, ^France (Reçu le 15 avril 1985, révisé le 5 novembre, accepte le 18 novembre 1985)

Résumé. ²⁰¹⁴ Après ^avoir introduit le débat sur la mécanique quantique (M.Q.) ^{ouvert en} 1935 par A. Einstein ^et N. Bohr, ^{on décrit} l’expérience proposée par D. Bohm et on rappelle ^les inégalités trouvées par J. Bell pour ^mettre à

l’épreuve la classe de modèles prétendant compléter ^la M.Q. par des paramètres (cachés) ^{dans le} passé ^commun.

Pour des directions de polariseur coplanaires (toujours ^{le cas} pour des photons) ^{on montre} que la M.Q. ^viole

presque partout ^ces inégalités. ^Les propriétés générales ^{des fonctions} (d’une variable) satisfaisant aux inégalités ^de

Bell sont examinées en détail _{pour la} comparaison ^{de ces fonctions avec celles} prédites par la M.Q., ^{en ce} qui

concerne les dérivées, ^les intégrales, ^les valeurs, ^les intervalles, ^les amplitudes ^et finalement le comportement global;

quelques exemples de fonctions « à la Bell » construites _pour se rapprocher ^des prédictions ^{de la} M.Q. ^{sont donnés.}

Il est ainsi mis en évidence une incompatibilité ^{de la} M.Q. ^avec les fonctions satisfaisant aux inégalités ^de Bell, plus radicale que celle qui résulte du seul examen des inégalités.

Abstract ²⁰¹⁴ After introducing the 1935 debate between A. Einstein and N. Bohr about quantum ^mechanics (Q.M.)

we describe the thought-experiment of D. Bohm and recall the inequalities ^found by J. Bell for testing ^{the class of}

theories based on the hypothesis ^of hidden-parameters ^{in the common} past. lt is shown that Q.M. violates these

inequalities ^almost everywhere. ^The general properties offunctions satisfying ^Bell’s inequalities ^{are studied in order}

to compare them ^to Q.M. predictions ^as regards derivatives, integrals, values, intervals, amplitudes ^and finally ^the

overall behaviour; ^a few of the Bell’s functions chosen to approach ^somehow Q.M. ^are given. Altogether, ^{in the} comparison ^between Q.M. and functions satisfying ^Bell’s inequalities, ^an incompatibility is revealed which is stronger ^{than the one} resulting ^from consideration of just ^the inequalities.

Classification Physics ^Abstracts

03.65

1. Introduction.

Un d6bat portant ^{sur les}

qualit6s

de th6orie

physique

de la

m6canique quantique

^a 6t6 amorcé il _y a un demi- siecle _par un article de A. Einstein, ^B.

Podolsky

^et

N. Rosen

[1]

^et par ^un article ^en

« réponse»

^de

N. Bohr

[2] quelques

^mois

plus

^{tard en 1935. Les} succes, ^c’est peu dire, ^{de la}

m6canique quantique

n’ont _pas

permis

^aux

questions

soulevees de rester

au

premier plan

de ractualit6 de la

physique

^mais

le d6bat pourtant ^dure

toujours.

^{On se} doit de citer l’intervention tres

importante

de D. Bohm et Y. Aharonov

[3]

^{en 1957}

qui

^ont

propose

^une

exp6-

rience type permettant a la fois de _poser clairement les

problemes

^et

susceptible

^de realisation effective.

Mais celle des voies de ce d6bat

qui

occupe

aujour-

d’hui le devant de la scene a ete ouverte par J. S. Bell

[4]

en 1964 et si elle tient ce role, c’est que Bell ^a

espere pouvoir

faire trancher le d6bat _par un resultat

exp6ri-

mental. Il a en effet montre _pour toute une classe de

modeles pouvant ^en

principe pr6tendre

^a

compl6ter

la

mecanique quantique,

^{et en}

s’appuyant

^sur

rexp6-

rience type ^de Bohm, que les r6sultats

d7exp6riences (ou

^leurs

predictions)

^devaient satisfaire une certaine

relation,

plus pr6cis6ment

^une

inegalite

reliant les resultats de mesures pour différentes valeurs d’un

parametre

^{- en} fait,

tangle

^{de deux}

polariseurs

comme on le verra

plus

^{loin. Des}

experiences

^{ont 6t6}

effectivement menees

jusque

recemment celles de A.

Aspect et

^{al. tres}

pr6cises [5]

^et pour les demières

[6],

faisant intervenir un

parametre

^{nouveau, le} temps.

Elles ont

(presque)

^toutes confirme la

mecanique quantique

^et

(donc)

^{viole les}

in6galit6s

^{de Bell}

rejetant

ainsi la classe de modeles a

1’6preuve.

Il reste a

interpreter

^ces

experiences,

c’est-a-dire a examiner ce

qu’elles impliquent

et surtout ce

qu’elles

61iminent : confirment-elles seulement que la m6ca-

nique quantique

fonctionne bien, ^{ou bien}

qu’elle

^est

incompatible

^{avec certaines}

hypotheses

^{- les-}

quelles.

Quel ^{est le} rapport ^{avec les}

questions

^ini-

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01986004703039300

tiales de Einstein et al. De nouvelles

questions

^sont-

elles

posees ?

^{De nouveaux} concepts ^sont-ils n6cessaires ? En

regard

^{de ces}

grandes interrogations

tres

largement

^{encore en d6bat}

aujourd’hui [7]

^{le but}

de cet article est limite :

pr6ciser

par ^une etude d6taill6e portant ^sur

l’experience

type ^de Bohm, ^les

points

^de

compatibilite

^et

d’incompatibilit6

^des

predictions

de la

mecanique quantique

^{avec les}

in6galit6s

^{de Bell.}

Pour cela, ^{on va d’une} part etablir que la violation des

in6galit6s

^{de Bell ou de ses}

generalisations

par la

mecanique quantique

^est

plus systematique

que ^ce

qui

^était

jusqu’ici

^{reconnu et d’autre} part ^d6montrer

quelques consequences

^des

in6galit6s

^{de Bell}

qui

accentuent

l’incompatibilit6

^{trouv6e et} permettent de

pr6ciser

^{comment, a l’inverse de la}

comparaison

directe, ^{une fonction}

qui

^{satisfait aux}

in6galit6s

^de

Bell peut ^se comparer ^aux

predictions

^{de la}

mecanique quantique.

Les

enjeux

^{de ces}

comparaisons

^{ne seront} pas dis- cut6s ici mais

rappelons-les cependant

^tels

qu’ils

ont 6t6

pr6sent6s

par Bell

[4] :

^montrer

qu’il

^n’est pas

possible

^{de retrouver causalite et localite en}

compl6tant

la

description

^{d’un 6tat}

quantique

par des variables additionnelles

qui pr6d6termineraient

^{les resultats}

des mesures ult6rieures. Bell

pr6cisait

que ^ce

qui

^fait

pour lui

principalement

diff’lcult6 c’est

fexigence

^de

localité

qui

^voudrait que le resultat d’une mesure sur un

systeme

^{ne soit} pas affect6 _{par des}

operations

sur un autre

systeme 6loign6

^avec

lequel

^{il a}

interagi

dans le

pass6.

Pr6cisons enfin que si c’est ^« l’intime conviction » de

l’incompatibilit6

^des

hypotheses

^a

l’épreuve,

para- m6tres

(caches) predetermines,

^ou

parametre

^dans

le

pass6

^{commun, avec les} bases de la

mecanique quantique qui

^{a motive ce} travail, ^{il est souhait6}

que les resultats trouv6s soient

ind6pendants

^{de cette}

conviction !

2. Les

inigalit6s

^{de Bell}

2.1 UNE EXPTRIENCE TYPE POUR DEMONSTRATIONS. ^- Bien que

beaucoup d’experiences

^{aient 6t6 effectu6es}

avec des

photons,

^nous commencerons avec

fexemple original

aussi bien de Bohm _que de Bell

(Fig.

1), celui de deux

particules

^{1 et 2 de}

spin 1/2

^form6es

dans un 6tat

singulet

^{S = 0 et se «}

séparant»

pour etre d6tect6es «

indépendamment

^{» dans deux aimants}

Fig. ^{1. - Schema de} 1’exp6rience type (avec ^des particules

de spin 1/2) propos6e par Bohm _pour concr6tiser la question

soulevee _par Einstein, Podolsky ^{et Rosen.}

[Diagram ^{of the} thought-experiment proposed by ^{D. Bohm}

to examplify ^the questions ^of Einstein, Podolsky, Rosen.]

de Stem-Gerlach dont les axes de mesure de

pola-

risation peuvent etre orientes selon différentes direc- tions _a, b, c, etc.

Le resultat de la mesure de

polarisation

^{A =} a1 . ^a

sur la

particule

1 et B = 62 b sur la

particule

² peut ^{donner un resultat + I ou -} 1,

quelles

que soient les orientations a et b, ^en conformite avec la

mecanique quantique (et

^a

1’experience).

^{Cela est}

vrai

quel

que soit 1’6tat initial mais

pr6ciser

^1’6tat

initial S ⁼ 0 permet ^de

pr6dire

^la correlation entre les mesures A sur 1 et B sur 2.

La

m6canique quantique predit,

^en effet, ^{une valeur}

moyenne pour ^cette correlation

= - a b

(a

^{et b vecteurs} unitaires).

(1)

Bell met alors a

1’epreuve

le modele suivant dit à variables

suppl6mentaires.

^{Selon ce modele, pour}

chaque couple

^de

particules,

^{la valeur}

particuliere

d’un

param6tre A pr6-d6termine (1)

le resultat de la

mesure aussi bien A sur 1 que B ^{sur 2}

La

r6partition statistique

^des valeurs de A _pour les dfff6rents

tirages

^de

couples

^de

particules

^autorise

la

dispersion

des resultats _pour un choix donn6 de

a et b ^- sans cette

possibilite,

^{A et B seraient constants}

pour ^{a et} b fixes et le modele

perdrait d6ji

^{tout contact}

avec la r6alit6.

2.2 PouRQuoi ^UNE INÉGALITÉ. - La connaissance

complete

^d’une part de la fonction

A(a,

A)

(B

^s’en

deduit ^{comme on} le verra

plus loin),

^d’autre part ^de la distribution de

probability p(À)

^{de A}

pr6ciserait completement

^{le modele et}

permettrait

^{de calculer}

la valeur _moyenne de toute mesure effectuee sur le

systeme,

^en

particulier

^la correlation recherchee

et de la comparer directement a la

prediction

^{de la}

m6canique quantique

L’interet de la d6marche de Bell est d’arriver a

un resultat

qui

^n’est

qu’une in6galit6

^mais

qui,

par contre, ^ne repose que ^sur la seule

hypothese

^de

depart

de la

predetermination

^{de A et B : A =}

A (a, A);

(1) Notons que si le param6tre ^{A n’6tait} pas consid6r6

comme un param6tre ^du pass6 ^commun caractérisant ^« 1’6tat

objectif » ^{de la source « au moment » de} 1’emission, ^{le modele}

a 1’6preuve perdrait ^{de ce fait son} caract6re « local » puisque

la valeur commune de A devrait alors rester corr6l6e entre les sites des mesures de A et de B.

B ⁼

B(b, A), ind6pendamment

de la forme

parti-

culi6re _que peuvent

prendre

les fonctions A, ^{B et} p.

Cela permet ^{de ne} pas ^mettre a

l’épreuve

successive- ment toutes les

hypotheses qu’on pourrait

^{faire sur}

ces fonctions.

L’inegalite

^{est la suivante :}

Les différentes demonstrations de cette

inegalite

ou de ses

generalisations

reposent ^{en fait sur des} considerations de mesures portant ^sur 1’ensemble A des valeurs de A

(voir ⁽⁸⁾

^par

exemple).

L’in6galit6

^{de Bell}

g6n6ralis6e (9)

correspond ^à

deux choix de direction a et a’ _pour la

particule

1, deux choix b et b’ _pour la

particule

^{2. On trouve}

par

exemple l’in6galit6 :

et les trois autres

inegalites qu’on

^{obtient en}

déplaçant

le

signe -.

Notons alors _{que pour} une

disposition

^donn6e

de 4 directions, ^{c’est donc au total 3 x 4 = 12}

(double) in6galit6s

^{de ce} type

qu’on

peut ^{ecrire a}

partir

^des

6 mesures

possibles, P(a, b), P(a, b’), P(a’, b), P(a’, b’), P(a, a’), P(b,

b’).

C’est cette

multiplicite qui

^{est a}

l’origine

^{du ren-}

forcement de

l’incompatibilit6 qu’on

^{va etablir; elle}

existe aussi _pour le cas de

rin6galit6 originale

^{a trois}

directions.

2. 3 PASSAGE A UNE FONCTION D’UNE SEULE VARIABLE

(ANGULAIRE).

^{- Les} differents vecteurs a, b, ^c...

envisages jusqu’ici

peuvent ^{avoir une} orientation

quelconque

^dans

l’espace

^{a trois} dimensions, cepen-

dant,

l’isotropie

^de

l’espace

^{conduit a ne faire}

dependre

P(a,

b)

que de

l’angle

^{non oriente}

6a,b

^{entre a et b}

soit :

Par ailleurs, que le resultat ^A intervienne dans une measure

simple

^{ou dans} une mesure en coincidence

(correlation),

^{on a} forcement :

il en resulte

et finalement

L’ensemble de ces conditions se traduit sur la fonction

f

par les conditions :

l’étude de

f

6tant limit6e a l’intervalle

(0,

n).

La condition

f (0) = - f(n) = - I

^avait

d6ji

6t6 introduite _par J. Bell

[4]

^{sous la forme A =}

(a,

A) ⁼

-

B(a, À)

pour permettre de satisfaire à

C’est notamment pour s’affranchir de cette condition que les

in6galit6s g6n6ralis6es

^{ont ete} introduites.

Aucune de ces conditions (8) ^{n’est de toute} facon

utilisee dans le

chapitre

3, ⁿⁱ pour l’inégalité origi- nale, ni, ^bien sur, pour

l’in6galit6 generalisee (bien qu’a

r6vidence, ^les

predictions

^{de la}

M.Q.

y soient

conformes). ^{Elles ne seront utilisees} que dans le

chapitre

^4.

Examinons maintenant les

consequences

^{de fine-}

galit6 (5),

etablie dans

l’espace

^{a 3} dimensions, ^{sur la}

fonction d’une seule variable

angulaire f (0).

^{Soit a}

l’angle

^{entre les vecteurs a et b,}

supposes

fixes,

soit l’angle

^{entre les vecteurs a et c}

suppose

^constant

(c

n’6tant pas ^autrement

contraint)

^{0 K}

a, p

^{n. Le}

premier

^{membre de}

(5)

^{est alors} constant, ^{le second} membre peut ^{s’6crire :}

ofi 0

peut

prendre n’importe quelle

^{valeur sur l’inter-}

valle

Au total,

(5)

^se traduit donc _{par :}

pour

tout 0

dans l’intervalle

C’est la

presence

^du

signe

valeur absolue

qui

^nous permet

d’imposer

^a

> fl

^sans perte d’information :

On a

indique

^{sur la}

figure

^{2 la zone du}

plan f(0)

interdite _pour

f

par la condition

(9a)

^a

partir

^{des deux}

seules donn6es

f (a)

^et

f(fl) correspondant

^aux

angles

^a

et

fl (avec

^ici

( a + P) n).

Si _a, b, ^c avaient 6t6 choisis au

depart coplanaires

^-

c’est necessairement le cas pour les

photons puisque

ceux-ci sont definis

(par exemple)

par leur

polarisation

lineaire selon une direction necessairement _perpen- diculaire a la direction de

propagation

^{- seules les}

valeurs extremes

de 0

auraient 6t6 a considerer :

0 = oc + # ou 0 = 2 n - (ot + P), et 0 = I cx - p

Fig. ^{2. -} Consequences pour la fonction d’une variable

f (0) de 1’existence de l’in6galit6 ^de Bell dans l’espace ^à

trois dimensions pour le ^cas de particules (de ^masse finie)

a spin 1/2. ^La connaissance de f (a) ^et f (P) ^{61imine la zone}

hachur6e _{pour la} fonction f(0). ^{Si les} directions des pola-

riseurs sont maintenues dans un plan, ^{seules les valeurs}

extremes a - fl ^{et a} + P ^{sont 61imin6es.}

[Consequences

^{for the one variable function} f (0) ^{of Bell’s} inequalities established in the three-dimensional _space.

f (a) ^and f(fl) being known, the shaded area is forbidden for f(0). Only ^{the extreme values} (X - P ^{and a} + P ^are

excluded if the axes of the polarizers ^are kept ^{within a} plane.]

ce

qui

reduit donc la

portee

^de

1’inegalite (5). Cepen-

dant, dans l’ essentiel de ce

qui

suit, ^on reduira fine-

galite

de Bell a la seule valeur

lirnite 0

^{= a -}

fl (2).

On a alors _pour les

particules

^de

spin 1/2

^{dans un}

6tat S une condition necessaire meme si elle

n’epuise

pas le resultat de Bell et on aura d’autre part ^{- et} c’est la raison de ce choix ^- toute

l’in6galit6

^{de Bell}

pour des

photons

convenablement

prepares (9)

moyen- nant des modifications mineures : la

polarisation

lin6aire

correspond

^{a une direction}

(et

pas ^{un axe}

orient6),

^les

polarisations

exclusives

correspondent

a des

polarisations perpendiculaires (et

pas

opposees) ;

la

dependance

^{de la} correlation avec

1’angle

^des

polariseurs prevue

par la

m6canique quantique

^est

en cos 2 0

(au

^{lieu de - cos}

0). (Et

bien sur les condi- tions

(8)

^{doivent etre}

changees

^en

consequence quand

^{elles sont}

utilisees.)

Dans les § ^{3.1 et} 4, ^on

partira

^{donc de}

1’inégalité

de Bell sous la forme :

Dans le § 3.2, ^on utilisera les

inegalites g6n6ralis6es

pour des situations

coplanaires.

^{Examinons ici}

comment s’ecrivent dans ce cas les 12

in6galit6s (6).

La

disposition

relative de 4 directions est caract6ris6e par trois

angles

a,

fl,

y limites _par les

in6galit6s

0 a,

P n; 0 }’ 2 n; 0 Ct + p + }’ 2 n.

(2)

^{Une fonction} f qui ^{satisfait a} (9) avec 0 ⁼ a - fl

pour ^toutes valeurs de a et fl ^{satisfait aussi a} (9) avec 0 =

a + fl.

Le choix de y ^est evidemment arbitraire, ^{mais on}

ne peut ^{avoir 2}

angles

superieurs ^{a n.}

On peut caracteriser

chaque inegalite g6n6ralis6e

par deux indices : le

premier indique

le choix des quatre

(parmi

six) combinaisons

d’angles coplanaires

utilisees dans (6) ^{soit :}

indice 1

(arbitraire)

Le second indice caracterise ^la

place

^du

signe

moins et choisissons _par

exemple

^{1 pour} le dernier

angle

^et... 4 pour le

premier.

L’inegalite generalisee

s’6crit donc :

3. Violation de

1’inegalite

^de Bell par la

mecanique quantique

^{dans une}

experience Einstein-Podolsky-

Rosen-Bohm

On a souvent ecrit

(voir

^{R6[ [5, 6, 9] et articles}

cites)

que les cas de violation des

inegalites

^etaient peu

nombreux, mais si cela est vrai du

point

^{de vue des}

experiences

realisees, ^{on va montrer d’une} part,

pour le cas des

particules

^de

spin 1/2

^et pour le cas

ou les directions de mesure des aimants de Stem- Gerlach sont coplanaires, que les predictions ^{de la} mecanique

quantique

^violent «presque partout »

ces

inegalites ;

^{on va montrer d’autre} part, pour le cas des

photons, qu’il

y ^a aussi violation _presque partout ^{d’une au moins des}

inegalites

^{de Bell}

g6n6-

ralis6es. Remarquons que l’essentiel est en fait dans la

coplanarite

des directions de mesure et

qu’on

demontrerait donc de la meme fagon ^{la violation}

des

inegalites g6n6ralis6es

pour le cas des

particules

de

spin 1/2

^ou la violation des

in6galit6s simples

^dans

le cas des

photons.

3.1 INtGALiTt ORIGINALE ET PARTICULES DE SPIN

1/2. ^- La relation

(10)

^{entraine :}

y(ex, P) = -f(cx) - -f(fl) - f (a - P)

⁺

-f(0) , 0 (11)

ou

y(a, P)

^{a ete} introduite _pour la commodite de la suite.

Si on se

rappelle

que pour la

mecanique quantique,

on obtient :

Sauf aux frontieres du domaine

(a

⁼

fl ou p

⁼ 0,

ou a ⁼ 7), pour

lesquelles l’égalité

^est

obtenue,

yM,Q, > 0 viole partout

l’in6galit6 (11),

^voir

figure

^3.

Un ecart maximum de 0,5 ^est obtenu _pour a ⁼ 2

n/3 ; fl

⁼

n/3. L’importance

^{de cet 6cart} peut ^etre

apprecie

en constatant que chacun des quatre ^{termes com-} posant y(a, fl) ^{est borne} par ± 1; mais l’essentiel

Fig. ^{3. - Pour les} particules ^de spin 1/2, ^{la fonction}

yM,Q.(a,

^{fl) =} f(a) - f (fl) - f(« - fl) ⁺ f (0) positive ^ou

nulle viole presque partout l’inégalité ^de Bell y - ^{0. On a}

trace les lignes ^de niveau y ^{= 0} (les fronti6res du domaine) ;

y ⁼ 0,37 ; y ⁼ 0,5 (la valeur maximale de y).

[For

spin ^one-half particles, the function associated with quantum ^mechanics

ym.Q.(oc,

P)=f(et)-f(P)-f(et-P)+

f(0), positive ^{or zero,} violates Bell’s inequality y ⁰

almost everywhere. ^{The lines} corresponding ^{to the values}

y ⁼ 0 and y ⁼ 0.37 have been drawn as well as the point corresponding ^{to the maximum} value y ⁼ 0.5.]

- sauf pour ^une

experience

^{- n’est} pas dans l’impor-

tance de l’écart, mais dans

l’incompatibilité syst6- matique qui

^{est trouvee.}

Cette violation

systematique

^{a ete etablie sur le}

domaine limite _par les

in6galit6s

⁰

p

^oc n,

on a montre

pr6c6demment

que ^cette restriction était sans

consequence

du fait de

la ’présence

^du

signe

valeur absolue, ^on peut ^{aussi noter} que l’une au moins des trois

inegalites qu’on

peut ^{ecrire satisfait}

(presque) toujours

^{a cette condition et} la violation

systematique

est bien etablie _pour toute situation

coplanaire

^des

polariseurs.

Si les directions ^ne sont pas

coplanaires,

^on peut arriver facilement a des valeurs

de 0

pour

lesquelles l’in6galit6 (9a)

^est satisfaite ^{de meme} _que les deux autres

inegalites

construites avec les trois memes

angles

a,

fl, 0.

^{Il suffit} pour cela

que 0

satisfasse a :

Mais cette

possibilite

^{ne remet} pas ^{en cause} la violation

systematique

^d6montr6e

precedemment

comme

consequence

necessaire des

inegalites

pour la fonction d’une variable

fM.Q.(0) = -

^{cos 0. Cette}

possibilite

n’a d’autre part pas

d’equivalent

pour le

cas des

photons.

3.2 INtGALITt GENERALISEE ET CAS DES PHOTONS. ^-

On va

spécifier qu’il s’agit

^d’une

experience

^con-

cemant les

systemes

^{a 2}

photons

convenablement

prepares

^en

precisant :

- les vecteurs a, a’, b, ^{b’ sont}

coplanaires

^{(et per-}

pendiculaires

^{a la direction de}

propagation);

- ce

qui

caracterise un

polariseur

^{c’est une droite}

non orientee c’est-a-dire _que a et - a conduisent au

meme re sultat ;

- les

predictions

^{de la}

m6canique quantique

^{sont :}

P(a,

b) ⁼

f(ob)

^{= cos 2 0.}

Une

disposition

relative de quatre directions

copla-

naires est alors caracterisee _{par 3}

angles (a, /3, y)

tels _{que :}

Avec les notations du § ^{2. 3 on definit :}

On demontre alors

qu’au

moins l’une des 5

inega-

lit6s ^-

2 :!!- yij -

^{+ 2 est violee pour toute}

disposition

de quatre directions

coplanaires

caracterisee _par fensemble des valeurs _a,

fl,

y. Selon ces valeurs, ^la

figure

⁴

indique laquelle

^{de ces}

inegalites

^{est violee et}

comment. Si

plusieurs inegalites

^{sont violees, elle}

indique

^celle pour

laquelle

^{le desaccord est le}

plus important.

^{On a}

egalement indique

^les

points

^{ou l’une}

des valeurs limite + 2 ou - 2 est atteinte ainsi _que la

position

^de

l’extremum eij

^de Yij

correspondant

^à

chaque

^zone.

On n’a _pas donne ici la demonstration de ces r6sul- tats

qui

fait intervenir des

manipulations

^un peu fasti- dieuses

d’expressions trigonometriques

^{ou de leur}

derivee. On n’a _pas non

plus

limite les intervalles de variation de _a,

f3,

^{y en} utilisant les

symetries

^existantes

ou les

permutations possibles. Indiquons

^seulement

que

1’equation

^des

plans

frontieres

(qui

coupent ^le

plan

y ⁼ Cte selon les droites frontieres

indiqu6es

^{sur la}

figure

4) ^{est obtenue en} resolvant les

equations

^du type

Fig. ^{4. -} Comparaison ^des predictions ^{de la} mecanique quantique ^{avec les} in6galit6s ^{de Bell} g6n6ralis6es pour le

cas de directions de polariseurs coplanaires. ^{Le schema} indique pour ^tout ensemble de valeurs (a, fl, y) qui caract6rise

une disposition relative de 4 directions, fexpression quan-

tique pr6sentant ^{un d6saccord maximum avec} l’in6galit6

de Bell correspondante. ^Le premier ^indice dans y repere

le choix d’une s6rie de 4 angles parmi ^{les 6} disponibles (voir texte), ^{le second indice} repere ^la place ^du signe ^moins

dans 1’expression correspondante. ^{On a} indique ^{la valeur}

extreme ± 2 partout ^{ou celle-ci est} atteinte ainsi _{que la}

position ^des extrema eij ^de Yij correspondant ^{a chacune}

des zones. Les 6chelles angulaires ^{utilis6es et le} signe ^des in6galit6s correspond ^{au cas des} photons.

[Comparison ^{of the} quantum-mechanics predictions ^with

the generalized ^Bell inequalities ^{for an} in-plane settling

of 4 polarizers characterized by ^{the three} angles ^a, p, y. For a

given ^{set of} angles, this scheme indicates which of the Yij

expression ^{is the most in} contradiction with the corres-

ponding ^Bell inequality. ^The first index in y is related to the choice of a set of 4 angles ^{from 6 which are} available,

the second one indicates the place ^{of the minus} sign ^{in the} corresponding expression. ^{The extreme values + 2 or - 2}

are indicated when reached. The location of the extrema eij ^of yij ^{is also} indicated in each area. The given angular

scale and the given direction in the inequalities ^{are related}

to photons.]

Avec les

plans

^{limites du domaine de} variation de a,

p,

y, ^ces

plans

frontieres

d6coupent

^{6 volumes}

qui correspondent

^{a une des}

in6galit6s indiqu6es

^et

qui

comprennent ^{tous un des extrema absolus :}

(les

quatre ^demiers

correspondent

^{a un meme ensemble}

de

directions).

Dans le

plan

y ⁼ Cte, ^{on observe un extremum} relatif dont la

position

eij ^est

indiqu6e

^{sur la}

figure

^4.

Il reste par ailleurs a

compl6ter

l’intervalle de varia- tion _{pour y} de

n/2 £

^n.

Utilisant

1’6galit6

on aboutit aux identites

qui

permettent fextension de l’utilisation de la

figure

⁴

pour

nl2

y ^n.

Cette violation

systematique

^{semble ne pas avoir 6t6}

not6e

jusqu’ici.

^Par

exemple,

dans la reference

[10],

dans le cas

particulier

^{ou a =}

fl

⁼ y, ^on

indique

^des

angles

pour

lesquels

^il

n’y

^a pas violation

(Fig.

^{II. 5,}

p. 36). ^En fait, il suffit d’effectuer la

permutation

correcte pour ^{retrouver un} conflit et par

exemple

passer de

y2 3

I

2 a y3 2

> -

2 pour n/6

^a

n/4.

Rappelons cependant

que 6 mesures sont n6cessaires pour ecrire les 12

in6galit6s

^dont chacune,

rappelons-le,

n’utilise que 4 ^{mesures et} que ^{ce ne sont} pas les memes

mesures

qui

interviennent dans _y23 et Y32.

Notons enfin que les valeurs extremes du d6saccord

sont bien celles donnees _par A.

Aspect (a = p

⁼ y ⁼

n/8

^d’une part, ³

n/8

^d’autre

part)

^{et seulement celles-ci}

puisque

^les autres extremae absolus donn6s

pr6c6dem-

ment

correspondent a

^{un meme} ensemble de directions.

La

mecanique quantique

viole presque partout ^les

ln6galit6s

^{de Bell et aucune} fonction satisfaisant aux

I.B. ne peut donc coincider partout ^{avec la fonction}

predite

par la

M.Q.

^{Mais il est} int6ressant de comparer les

propri6t6s

^des fonctions satisfaisant aux I.B. avec

la

M.Q.;

^{il est} int6ressant

6galement

^d’examiner

comment une fonction satisfaisant ^aux I.B. peut ^se

rapprocher

^{de la}

M.Q.

^{Cest ce}

qui

^est fait dans le

chapitre

^{suivant ou nous allons montrer} par ^une etude d6taill6e du comportement ^{des fonctions} satisfaisant

aux

in6galit6s

de Bell que

l’incompatibilit6

^{de ces}

fonctions avec les

predictions

^{de la}

M.Q.

^est

plus

radicale _{que celle}

qui

r6sulte de la

simple

confrontation de

l’in6galit6

^{a des resultats}

ponctuels

^{de la}

M.Q.

^{ou de}

1’exp6rience.

^{Cette etude et ce}

qui

^{en r6sulte ne retire}

6videmment rien au caractere

probatoire

^des

exp6-

riences en nombre maintenant non

n6gligeable qui

^ont

confirme la M.Q. mais elle rend moins

probable

^la

possibilite qu’il

y avait de ne pas ^{trouver cette} confir-

mation, elle devrait

egalement

orienter differemment des choix de zones

angulaires

^{mises a}

1’epreuve

^{si de}

nouvelles

experiences

etaient d6cid6es. Enfin, ^elle peut contribuer a eclairer la nature de

l’incompatibilit6

^de

la

M.Q.

^{avec le modele a}

1’6preuve.