Instabilité électronique du type Jahn-Teller pour un métal à structure de bande étroite à trois dimensions : cas de modes de distorsion périodiques

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Instabilité électronique du type Jahn-Teller pour un métal à structure de bande étroite à trois dimensions :

cas de modes de distorsion périodiques

J. Labbé

To cite this version:

J. Labbé. Instabilité électronique du type Jahn-Teller pour un métal à structure de bande étroite

à trois dimensions : cas de modes de distorsion périodiques. Journal de Physique, 1968, 29 (2-3),

pp.195-200. �10.1051/jphys:01968002902-3019501�. �jpa-00206636�

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INSTABILITÉ ÉLECTRONIQUE

^{DU TYPE}

JAHN-TELLER

POUR UN MÉTAL A STRUCTURE

DE

BANDE ÉTROITE

^A

TROIS DIMENSIONS :

CAS DE

MODES DE

DISTORSION

PÉRIODIQUES

Par

J. ^LABBÉ (1),

Laboratoire de Physique des Solides

(2),

Faculté des Sciences, 9I-Orsay.

(Reçu

^{le 20}

juillet 1967.)

Résumé. 2014 Une distorsion de

période

^03C4 d’un réseau cristallin

métallique produit

^une

variation

d’énergie électronique

^0394E pour ^une bande étroite.

Compte

^tenu des processus

«

Umklapp

^{)), c’est au}

voisinage

^{de la} condition |03C4 + K| ⁼

2k0

que ^0394E varie le

plus

^vite

avec 03C4

(k0

^{vecteur d’onde de} Fermi, ^K

période

du cristal non

distordu).

^On s’attend donc le

plus généralement

^{à une} anomalie de Kohn des courbes de

dispersion 03C9(03C4)

^de

phonons.

^Mais

il

peut

arriver que ^0394E

présente

^{un minimum absolu} pour |03C4 + K| voisin de

2k0.

^{Dans ce}

cas, il

peut

^se

produire

^une distorsion

périodique

stable à basse

température,

par ^un effet de

type Jahn-Teller.

Abstract. ²⁰¹⁴ A lattice distortion of

period 03C4 produces

^an electron energy variation ^0394E for a narrow band.

"Umklapp"

processes

being

^{accounted for, it is near the} condition |03C4 + K| =

2k0

that the variation of 0394E versus 03C4 is the

strongest (k0

^{Fermi wave} vector, ^K

period

^{of the non}

distorted-crystal).

^{One can therefore}

generally expect

^{a Kohn}

anomaly

^{in the}

phonon dispersion

curves

03C9(03C4).

^{But it is}

possible

^{for 0394E to have an absolute minimum for |03C4 +} K| ^near

2k0.

In this case a

periodic

distortion, ^{stable at low}

temperatures,

^{can occur}

by

^a

Jahn-Teller type

^{of effect.}

LE JOURNAL ^DE PHYSIQUE TOME 29, FÉVRIER-MARS 1968, ^{PAGE 195.}

Introduction. ^- Considérons une structure de bande étroite dans un cristal

m6tallique

^{a trois}

dimensions ne contenant

qu’un

^{seul atome} par maille.

Supposons

que dans

l’approximation

de Hartree un

(1)

Ce travail fait

partie

^{d’une these}

qui

^{sera soumise}

par J. ^{Labbé a la} Facu1té des Sciences

d’Orsay,

^{en vue}

de l’obtention du Doctorat d’Etat 6s Sciences

Physiques.

(2)

Laboratoire ^{associ6 au} C.N.R.S.

etat

6lectronique

^{de vecteur d’onde k}

puisse

^etre

décrit,

dans ^un mod6le de liaisons

fortes,

par la fonction de Bloch non

perturbée :

où 03C8(r - Rn) d6signe

la fonction d’onde

atomique

centr6e sur le site

Rn. Appelons Eo(k) 1’energie

^non

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01968002902-3019501

perturbee

^{de cet etat et}

V(r

^-

Rn)

^le

potentiel

^ato-

mique

^cree par l’ion du site

R..

Introduisons une distorsion

p6riodique

^consistant

en de

petits deplacements

^{des atomes} du cristal.

Dans

l’approximation harmonique,

^{ou nous nous}

pla-

cerons

ici,

^nous pouvons 6tudier isol6ment

chaque

composante de Fourier de la distorsion. Consid6rons donc une distorsion sinusoidale amenant 1’atome du site

R.

dans la nouvelle

position Rn

^{+ su cos}

(’t’. Rn) (u

^vecteur unitaire dans la direction du

deplacement,

e

amplitude

^du

deplacement,

^T

période

de la distorsion dans le reseau

reciproque) .

L’hamiltonien

perturb6

pour ^un electron s’6crit

(3) :

1

Sous sa forme

usuelle,

^la m6thode des pertur- bations

s’applique

^{mal a notre}

probl6me.

^En

effet,

la

perturbation :

contient les

potentiels atomiques

^{centres sur les atomes}

déplacés.

Par contre, les fonctions de Bloch ^non pertur-

b6es,

^donn6es par

1’expression (1),

s’6crivent a 1’aide des orbitales

atomiques

^{centr6es sur les atomes non}

déplacés.

^La

singularité

^à

l’origine

^des

potentiels

^ato-

miques

rend alors difficile le

d6veloppement

^{des ele-}

ments de

matrice ( l>12>(r) I a V 1 (1)(0) (r) >

^{en series de}

puissances

^{de e.}

Ici nous proposons ^une m6thode de calcul

qui

^tient

compte

^{des le}

depart

de la distorsion de la fonction d’onde.

Signalons

^toutefois que ^nos calculs ne tiennent _pas compte ^des oscillations de

potentiel

^en

(cos 2ko r) /r3

dans

1’espace reel, qui apparaitraient

^{dans un traite-}

ment strictement self-consistant. Ces oscillations sont

li6es a 1’anomalie de ^constante

di6lectrique

^{dans le}

reseau

r6ciproque

pour la

p6riode 2ko.

^En

fait,

^elles

ne peuvent ^sans doute modifier nos resultats _{que par}

un facteur

num6rique,

^{sans en}

changer

^1’allure

g6n6rale.

I. Calcul de

l’énergie perturbde

^{d’un dlectron. -}

La

p6riode r

de la distorsion vient

s’ajouter

^{a 1’en-}

semble des

p6riodes

^{K du reseau}

r6ciproque

^{du cristal}

non

perturb6.

Nous devons donc considerer les trans-

formées de la surface de Fermi _par ^toutes les transla-

(3)

^Nous utilisons les unites

atomiques.

tions

possibles

^{de vecteurs T + K. Pour T}

^donne,

^il

peut ^{exister au moins un vecteur} K tel que la surface de

Fermi So

^{rencontre sa} transform6e

S,+K

^{dans la}

translation T + ^K

( fig. 1).

Pour les 6tats k situ6s à

l’intersection de

So

^et

ST + x,

^les

energies

^{non pertur-}

b6es

Eo ( k)

^et

Eo(k

^2013r2013

K)

^sont

6gales.

Nous savons que la

perturbation

doit avoir _pour effet de lever cette

dégénérescence

^avec

apparition

d’une bande interdite étroite. Et c’est en fait _pour les 6tats k voisins de l’intersection

de So

^et

S,,K

que les

plus

fortes variations

d’énergie

^sont attendues. Nous chercherons les fonctions d’onde

perturb6es

pour ^ces etats sous la forme :

ou

ao(k)

^et

al(k)

^sont deux coefficients a determiner

et

I k > et I k

^{- T -}

K )

^sont les fonctions de Bloch construites avec les orbitales

atomiques

^{centr6es sur}

les atomes

deplaces :

L’6nergie perturbee E(k)

pour ^un electron est

solution de

1’equation

^de

Schrodinger :

HI>k(r)

⁼

E(k) (Dk(r) (6)

avec H donne _par

1’equation (2).

^{En utilisant}

(3),

^on

voit _que

E(k)

^est solution de

1’6quation

s6culaire :

d’où :

avec :

Dans

1’ approximation

des liaisons

fortes, of ( § (r

^-

Rn) I tf; (r

^-

Rn’) ) - 8nn"

^{nous ne} conservons dans les calculs _que les

int6grales

^{a deux centres au}

plus,

^du type

(03C8(r2013Rn) I V(r - Rn’) I tf;(r - Rn),

^et

entre

plus proches

voisins seulement. Dans ce

qui suit,

^nous

appellerons Ea 1’energie

^{d’un atome isol6 et}

nous

d6signerons

^{par 8 les vecteurs}

joignant

^{un site}

Rn

^{aux sites}

plus proches

^voisins

Rn,

⁼

R.

^{+ 8.}

Nous trouvons

ainsi, d’après (2)

^et

(4) :

Introduisons ici les

int6grales

^de recouvrement pour le cristal non

perturb6 :

qui

^{sont en fait}

ind6pendantes

^de

Rn.

^{Nous savons}

qu’en premiere approximation,

^{en liaisons}

fortes,

ces

int6grales

^varient

exponentiellement

^avec la distance

entre sites

plus proches

^voisins.

Appelons q

le coeffi- cient de Slater

qui regle

la d6croissance radiale des fonctions d’onde

atomiques

^a

grande

^distance.

Appe-

lons

a ( Rn, 8)

la variation de distance entre les sites

Rn

et

Rn

^{+ 8 due a} la distorsion. On a :

La distorsion e 6tant

petite,

^{on sait} que 1’on a

I qa(Rm 8) l

^{1 et on} peut

d6velopper 1’exponen-

tielle r6elle dans

(13).

^{11 vient :}

Dans

1’appendice A,

^{nous montrons} que :

Compte

^{tenu de ce} que

g(u.8)

^{est une fonction}

paire

^de

8, 1’6quation (14)

^{devient :}

Des calculs tres

analogues

^{donnent :}

Lorsque

^e

s’annule, E(k)

doit s’identifier a

Eo(k).

Donc,

^dans

1’6quation (20),

^on doit choisir le

signe

moins _pour

Eo(k) Eo(k

^{-,r -}

K),

^{et le}

signe plus

pour

Eo(k)

>

Eo(k

^{-,r -}

K).

. Pour les 6tats k tels _que

Eo(k)

^-

Eo(k

^{- T -}

K)

n’est pas trop

petit,

^on peut

d6velopper (20)

^en

puis-

sances de c. On obtient ainsi

1’expression plus simple :

valable dans les deux _cas,

Eo( k) plus petit

^ou

plus grand

que

Eo(k - T - K),

^{avec :}

et avec B donne par

l’équation (23).

II. Variation

d’énergie

^{totale. - La variation}

totale

d’6nergie, int6gr6e

^{sur tous les 6tats}

occup6s

de la

bande,

^{s’6crit :}

DE =

4TC3 1 fffE,(k) - EF {E(k) - Eo(k) } d3k ⁽²⁶⁾

ou

EF d6signe 1’energie

de Fermi du metal. L’ex-

pression (24)

^de

E(k)

^est

divergente

pour ^tous les 6tats k tels que

Eo(k) ==Eo(k2013T2013K).

^{Mais il}

r6sulte d’un th6or6me

general

^{du a Pick et Blandin}

[1]

que

l’int6grale

^de

(24)

^{sur tous} les 6tats

occup6s

^est

convergente

a trois dimensions

(4)

^et donne le r6sultat

correct pour AE au second ordre en E.

Nous 6tudierons seulement ici le cas

simple

^{ou la}

surface de Fermi ne

pr6sente

^aucun

point anguleux

et est convexe en chacun de ses

points (5).

^{Nous dis-}

cuterons essentiellement le

signe

^et la variation de AE

en fonction de la

longueur

^du vecteur r + _{K pour}

une direction donn6e de celui-ci.

Le

signe

de A dans

(24) depend

^des

param6tres (structure cristalline,

coefficient de

Slater,

caract6ris-

tiques g6om6triques

^{u et T de la}

distorsion)

^{et on ne}

peut rien dire de

general

^{en ce}

qui

^{le concerne. Par}

contre, ^on peut dire que ^tant

que So

^et

S,+K

^{ne se}

rencontrent

pas, l’énergie Eo(k)

^{pour les 6tats}

occup6s

est

plus petite

que

EO(k -,r - K). ^Donc,

^{dans ce}

cas, le dernier ^terme dans

(24)

^est a coup sur

négatif

et tend a rendre instable le cristal non

perturb6.

^Il

est clair d’autre

part

que la variation de ce terme avec la

longueur

^{de r} + ^{K est la}

plus rapide

^au

moment ou

So

^et

^ST+K

deviennent

tangentes

^{en leur}

sommet de

plus grand

rayon de courbure

( fig. 2).

Montrons

plus pr6cis6ment

que la variation de AE

avec T

+

K I pr6sente

^{alors une}

singularité logarith- mique. Appelons ko

^{le vecteur} d’onde aboutissant au sommet de

plus grand

rayon de courbure de

So ( fig. 3).

La variation la

plus rapide

^{de DE est obtenue avec}

(4)

^{Elle 1’est encore a deux} dimensions, mais

diverge

a une dimension.

(5)

^{Ce cas} contient par

exemple

^{celui ou}

So

^{serait un}

ellipsoide.

T + ^K colin6aire a

ko.

^Dans

1’espace r6ciproque,

choisissons I’axe

ok,

colin6aire ^aux vecteurs T + ^K

et

ko.

^Dans la situation

oii So

^et

^S,+K

^{sont sur le}

point

d’ ^A 1 d.

!r

+ ^Kt

I

_k ^’

d’etre

tangentes,

^{la distance}

IT + K I _ ko

2 ^{0 est tres}

petite.

Introduisons une coupure arbitraire

k,

^sur

1’axe

ok,

^entre

l’origine

^et

ko. L’int6grale (26)

peut s’ecrire : ^,

ou

S(k.)

^est l’aire de la section de la surface de Fermi par le

plan kz

⁼ constante.

Choisissons k1

^{assez voisin}

de

ko

pour que les

energies

^non

perturb6es

^{des 6tats}

occup6s

^a l’int6rieur du domaine

k1 kz ko puissent

etre

d6velopp6es

^{en s6rie de}

puissances

^des compo- santes de k ^-

ko.

^{Soit :}

sont les masses effectives au meme

point.

^Par

sym6trie :

De

plus,

^{dans le}

petit

^domaine

d’int6gration

^{de la}

seconde

intégrale

^dans

(27),

^on

peut

considerer la fonction B d6finie par

(23)

^comme

pratiquement

.

constante et

6gale

^{à sa valeur}

Bo

^au

point

^{k =}

ko.

^Une

integration

616mentaire donne

alors,

^a

partir

^de

(27) :

Dans

1’expression (30),

^{les deux}

premiers

^termes

varient ^sans doute lentement avec le

parametre r

+

K - 2ko.

Par contre, le dernier ^terme

pr6-

sente une

singularité logarithmique pour T

+ ^K

= 2ko,

c’est-a-dire

lorsque So

^et

^ST+K

^sont

^tangentes ( fig. 2).

Donc,

pour la forme de surface de Fermi que ^nous consid6rons ici

(6),

^nous pouvons dire que DE n’est

pas

extremum

’pour lr

+

K = 2ko.

L’existence et la

position

d’un minimum dans la variation de AE

avec )

+

K I dependent

essentiellement des

premiers

termes de

(30)

^{dont nous ne} pouvons rien dire en

general.

^{Deux cas}

peuvent

^{en fait se}

presenter :

Le

premier

^{cas est} celui ou il existe un minimum absolu de AE _pour une

valeur ir + K 1. de I T + K I

FIG. 4.

differente de zero

( fig. 4).

^{Il est clair} que ^ce minimum

a des chances de se

produire

^au

voisinage

^{de 1’ano-}

malie

logarithmique.

^On

peut

alors s’attendre a une

distorsion

p6riodique

^du

type Jahn-Teller,

^{stable à}

temperature

nulle. Bien

entendu,

^{une discussion}

complète

^{de ce cas} devra tenir

compte

des contribu- tions a

1’6nergie

du cristal autres que celle de la bande étroite consideree ici

(7).

Ces contributions

peuvent

^en effet tendre a stabiliser le cristal non

distordu. D’autre

part, l’effet

d’une elevation de tem-

p6rature

^sera d’exciter des electrons a travers la bande interdite étroite apparue par distorsion et donc de rendre la structure distordue moins stable. On

peut

^ainsi

pr6voir

1’existence d’une

temperature critique

^{de chan-}

gement ^de

phase cristalline,

au-dessus de

laquelle

^la

phase

^non distordue redevient stable. En dessous de

cette

temperature critique, I’amplitude

^e de la distorsion

depend

^{des termes}

supérieurs

^a

E2,

que ^nous n’avons pas calcul6s ici.

Le deuxieme cas est celui ou le minimum absolu de AE

correspond à T

+

K I

^{= 0}

( fig. 5).

^On

s’attend

alors,

^non

plus

^{a une} distorsion

p6riodique

du

type Jahn-Teller,

^{mais a une} anomalie dans les courbes de

dispersion w(T)

^de

phonons.

^{Cette ano-}

malie n’est autre que 1’anomalie de Kohn

[2],

^retrou-

vee ici dans le cas

particulier

^{d’une structure de bande}

(6)

Surface de Fermi sans

point anguleux

^{et convexe}

en chacun de ses

points.

(’)

^Par

exemple

la contribution des electrons de conduc- tion d’une 6ventuelle bande s.

étroite.

Lorsque

^la

p6riode

^{K du reseau}

r6ciproque qui figure

^{dans nos calculs est} differente de

z6ro,

^le

processus mis en

jeu

^{est du}

type

^«

Umklapp

^».

L’anomalie est du

type

^{« croissant »}

( fig.

⁶

a)

^ou

« decroissant »

( fig.

⁶

b),

suivant que la

longueur

du vecteur T est une fonction

respectivement

^{« crois-}

sante » ou «

decroissante » de T

+ ^K

1.

Pour

finir,

^nous insisterons sur le fait que la forme de l’anomalie

depend

^{sans doute}

beaucoup

^{de la}

nature

g6om6trique

de la surface de Fermi. A titre

d’exemple,

^{nous traitons dans}

1’appendice

^{B le cas}

ou la surface de Fermi

peut

^etre assimilee localement a un

petit cylindre,

^{comme dans le cas du nickel}

[3].

L’anomalie a alors la forme

indiqu6e

^{sur la}

figure 7,

et,

compte

^{tenu des}

premiers

^{termes de}

(30),

^AE

peut

^{etre minimum}

juste pour T

+

K = 2ko.

Remerciements. ^- L’auteur tient a

exprimer

^ici

toute sa

gratitude

^au Professeur

J.

^Friedel

qui

^{lui a}

sugg6r6

^{ce travail et 1’a} constamment

guide

par ^ses

pr6cieux

^cQnseils,

Appendice

^{A. - Posons :}

L’équation (12)

peut ^{s’6crire :}

On montre facilement _{que :}

L’equation (15)

^{en r6sulte.}

Appendice

^{B. -}

Supposons qu’au voisinage

^de

ko

la surface de Fermi

puisse

^{etre assimilee a un}

petit cylindre

dont 1’axe ^est

parall6le

^a

oky

^{et passe par le}

point k = k,, ^k

^{de 1’axe}

^ok,.

^Soit

R = ko - k

^le

P c

k

0

0 z o

rayon et L la hauteur du

cylindre.

^{Dans le}

voisinage

de

ko, 1’energie Eo(k)

admet pour

d6veloppement :

d’où l’on tire :

Le terme de AE

qui

^varie

rapidement

^avec

! T

+

K - 2ko

^{s’6crit :}

ou

S(k.)

^est l’aire de la section du

cylindre

par le

plan kz

^{= constante.}

Par une

integration 616mentaire,

^{nous trouvons :}

La courbe de la

figure

^{7 en} r6sulte immédiatement.

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