Méthodes de Krylov pour les Equations de Navier-Sokes Non Linéaires, Linéarisées et pour l'Optimisation Aérodynamique

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Non Linéaires, Linéarisées et pour l’Optimisation

Aérodynamique

Jean-Guillaume Jeremiasz

To cite this version:

Jean-Guillaume Jeremiasz. Méthodes de Krylov pour les Equations de Navier-Sokes Non Linéaires,

Linéarisées et pour l’Optimisation Aérodynamique. Mécanique des structures [physics.class-ph].

Uni-versité Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2007. Français. �NNT : 2007PA066618�. �tel-00809208�

Spé ialité : MÉCANIQUE

présentée par :

Jean-Guillaume JÉRÉMIASZ

pour obtenirle titre de :

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE

Méthodes de Krylov pour les Équations de

Navier-Stokes Non Linéaires, Linéarisées et

pour l'Optimisation Aérodynamique

soutenue le6 dé embre 2007

devant le jury omposé de :

J.P. Caltagirone Rapporteur

J.C. Chassaing Co-Dire teur de Thèse

C. Corre Rapporteur

G.A. Gerolymos Dire teur de Thèse

P. Ferrand

B. Mohammadi

1 Introdu tion 3

1.1 RésolutiondeséquationsdeNavier-Stokes . . . 3

1.2 EquationsdeNavier-Stokeslinéariséesetharmoniquesentemps. . . 4

1.3 Optimisationaérodynamiquestationnaire . . . 5

1.4 Plandumémoire . . . 6

2 Méthodesde Krylov pour lessystèmeslinéairesnon symétriques 9 2.1 Fa torisationdeLan zospourlesproblèmesàmatri esnonsymétriques . . . 9

2.1.1 Méthodederésolutionbi- g . . . 10

2.1.2 Méthodederésolution gs . . . 12

2.1.3 Méthodederésolutionbi- gstab . . . 13

2.2 AlgorithmedeKrylovave fa torisationd'Arnoldi . . . 15

2.2.1 Fa torisationd'Arnoldi . . . 15

2.2.2 Méthodederésolutiongmres . . . 16

2.2.3 Méthodederésolutionmgmres . . . 18

2.3 Méthodesdepré onditionnementpourlesméthodesdeKrylov . . . 19

2.3.1 MéthodedeJa obi . . . 20

2.3.2 Méthodedeblo Ja obi . . . 20

2.3.3 Méthodeilu0 . . . 21

2.4 Résolutiondeséquationsd'Eulerlinéariséeset harmoniquesentemps1

1

2

D. . . 21

2.4.1 Leséquationsd'Euler1

1

2

D . . . 21

2.4.2 Résolutiondeséquationsd'Euler1

1

2

Dstationnaires. . . 22

2.4.3 E oulementinstationnaireave uneu tuationharmoniquedepressionaval . . . 23

2.5 Con lusions . . . 25

3 Equationsde Navier-Stokes nonlinéaires stationnaires 27 3.1 EquationsdeNavier-Stokes . . . 27

3.1.1 EquationsdeNavier-Stokesmoyennées. . . 27

3.1.2 Lesdiérentsmodèlesdeturbulen e . . . 28

3.2 Méthodededis rétisationspatiale . . . 31

3.2.1 Générationdumaillagemultiblo stru turé . . . 31

3.2.2 Dis rétisationdesux . . . 32

3.2.3 Itérationmultigrille . . . 33

3.3 S hémad'intégrationtemporelleet onditionsauxlimites . . . 34

3.3.1 S hémad'intégrationtemporel dé entréd'Euler. . . 34

3.3.2 S hémaàpasdetempsdual pourlarésolutiondeséquationsstationnaires. . . 35

3.3.3 Conditionsauxlimites . . . 35

3.4 Méthodederésolutiondusystèmelinéaire . . . 36

3.4.1 Simpli ationsdu al uldelamatri eja obienne. . . 36

3.4.2 Résolutiondusystèmelinéaireparfa torisationaf-adi . . . 37

3.4.3 RésolutiondusystèmelinéaireparméthodedeKrylov . . . 38

3.5.1 Présentationdela onguration. . . 39

3.5.2 Congurationsubsonique . . . 39

3.5.3 Congurationtranssonique . . . 46

3.6 Con lusions . . . 52

4 Equationsde N-S linéariséesrésoluespar intégration temporelle 55 4.1 EquationsdeNavier-Stokeslinéariséesetharmoniquesentemps. . . 55

4.2 Linéarisationdesuxet onditionsauxlimites . . . 56

4.2.1 Linéarisationdesux onve tifs. . . 56

4.2.2 Linéarisationdesuxdiusifs . . . 57

4.2.3 Conditionsauxlimites . . . 58

4.3 Méthodederésolutionparintrodu tiond'unpasdetemps tif . . . 58

4.3.1 Introdu tiondupasdetemps . . . 58

4.3.2 Résolutiondusystèmelinéaireparfa torisationappro hée. . . 59

4.3.3 RésolutiondusystèmelinéaireparméthodedeKrylov . . . 59

4.4 Démonstrateur2-D:tuyèresymétriquedeDeléry. . . 61

4.4.1 Validation de la méthode gmres_ptm pour une linéarisation autour d'un é oulement stationnairesubsonique . . . 61

4.4.2 Validationdelaméthodegmres_ptmet omparaisondela onvergen e autourd'uné oulementstationnairetranssonique. . . 66

4.5 Con lusions . . . 75

5 Equationsde N-S linéariséesrésoluessans intégration temporelle 77 5.1 Aran hissementdel'intégrationtemporelle . . . 77

5.1.1 AlgorithmedeKrylovpourunproblème omplexe . . . 78

5.1.2 Pré onditionnementilu0delamatri e omplexe . . . 78

5.1.3 Algorithmegmres_noptm pourla résolution deséquations de Navier-Stokeslinéarisées etharmoniquesentemps . . . 79

5.2 Résultatssurledémonstrateur2D . . . 80

5.2.1 E oulementstationnairesubsonique . . . 80

5.2.2 E oulementstationnairetranssonique . . . 84

5.2.3 Appli ationduproblèmedestabilité . . . 87

5.3 Con lusion . . . 91

6 Optimisationaérodynamiquede formes 93 6.1 Méthoded'optimisation . . . 93

6.1.1 Algorithmed'optimisationsans ontrainte . . . 93

6.1.2 Paramétrisationdelagéométrie. . . 94

6.1.3 Cal uldeladire tiondedes ente . . . 95

6.2 Dis rétisationetrésolution . . . 98

6.2.1 Dis rétisationdesux aérodynamiquesetsensibilitédumaillage . . . 98

6.2.2 Conditionsauxlimites . . . 100

6.2.3 Résolutiondessystèmeslinéaires . . . 100

6.3 Résultatspourunproblèmeinverse . . . 101

6.3.1 E oulementsaérodynamiquesdanslestuyèresinitialeet obje tif . . . 101

6.3.2 Convergen epourunerésolutiongmres_noptm_dr t . . . 102

6.3.3 Convergen epourunerésolutionmgmres_noptm_dr t . . . 104

6.3.4 Convergen epourunerésolutiongmres_noptm_adjt . . . 106

6.4 Résultatspourunproblèmedeminimisationdespertes . . . 107

6.4.1 Fon tion de oût . . . 107

6.4.2 Convergen epourunerésolutiondelaméthodedire te . . . 107

7 Con lusions etperspe tives 111

7.1 Con lusions . . . 111

7.1.1 EquationsdeNavier-Stokesstationnaires . . . 111

7.1.2 EquationsdeNavier-Stokeslinéariséeset harmoniquesentemps . . . 112

7.1.3 Optimisationaérodynamique . . . 113

7.2 Perspe tives . . . 113

7.2.1 EquationsdeNavier-Stokesstationnaires . . . 113

7.2.2 EquationsdeNavier-Stokeslinéariséeset harmoniquesentemps . . . 114

7.2.3 Optimisationaérodynamique . . . 114

A Equationsde Navier-Stokes stationnaires 115 A.1 Résultats omplémentairespouruné oulementsubsonique . . . 115

A.2 Résultats omplémentairespouruné oulementtranssonique. . . 118

B Equationsde N-S linéariséesrésoluespar intégration temporelle 121 B.1 E oulementstationnairesubsonique . . . 121

B.2 E oulementstationnairetranssonique. . . 125

C Equationsde N-S linéariséesrésoluessans intégration temporelle 129 C.1 E oulementstationnairesubsonique . . . 129

C.2 E oulementstationnairetranssonique. . . 133

C.2.1 RésultatssurlemaillageGrid_A. . . 133

Introdu tion

Cettethèse portesurl'appli ationdesméthodesdeKrylovpourlarésolutiond'équationsdelamé aniquedes

uides.L'ensembledesé oulementsétudiésrelèvedela lassedesé oulementsinternes,turbulentset

ompres-sibles, pouvant omporterdesintera tionsentreuneondede ho etune ou helimite,ainsiqued'importants

dé ollements.Nousnoussommesintéressésàtroisgrandstypesdeproblèmesfréquemmentren ontrés:

 larésolutiondeséquationsdeNavier-Stokesstationnaires;

 larésolutionde ertainsé oulementsinstationnaires ara tériséspardepetitesu tuationsinstationnaires

etharmoniquesentemps;

 l'appli ationàl'optimisationaérodynamiquedeformes.

Lorsque nous nous intéressons à la résolution des équations de Navier-Stokes linéarisées (en temps ou pour

le al ul dugradienten optimisation), desétudesré entes [2, 14, 17, 21,29, 113, 136℄mettenten éviden ela

possibilitéd'ampli ationdemodespropresinstables,parlepro essusitératifutilisé, onduisantàladivergen e

du al ul.Lapropositiondesolutionsà eproblèmeestl'obje tif entral de ettethèse.

1.1 Résolution des équations de Navier-Stokes

Les équations de Navier-Stokes sont aujourd'hui ouramment employées pourl'étude d'é oulements dans les

domaines aéronautique, pétrolier, himique

. . .

Ces é oulements sont des é oulements externes ou internes,

laminaires ou turbulents, stationnaires ou instationnaires. L'un des enjeux a tuels est la rédu tiondu temps

né essaire àla résolution de es équations an d'étudier des ongurationsde plus en plus omplexes (avion

entier,eetste hnologiques

. . .

)etdeprendreen ompte desphénomènesphysiquesdeplusenplusns.

Nous nous sommesintéressésdansun premiertemps àlarésolution des équationsde Navier-Stokes

ompres-sibles moyennéespourlaturbulen e(RANS)parlaméthodedeNewton.Cetteméthoded'intégration onsiste

en une dis rétisation temporelle impli ite du problème. L'une des onséquen es de ette dis rétisation est la

résolutionà haqueitérationtemporelled'unsystèmelinéairedontles oe ientsissusdeladis rétisation

spa-tiale deséquationsdeNavier-Stokesvarientau oursdesitérations.Lesmatri esdessystèmes linéaires,issues

de ettedis rétisation,sontdesmatri es reuses,nonsymétriqueset,lorsqueleséquationssontrésoluessurun

maillage stru turé, omme 'est le as i i, ellesont desstru tures bande-blo [137℄. Les diérentes méthodes

de fa torisation appro hée permettent de résoudre les systèmes linéaires de manière non exa te. Une bonne

étude omparativede la résolution des équations d'Eulerstationnaires utilisant es fa torisations appro hées

est dé riteparMotturaet al.[100℄.Cependantleserreursdefa torisationlimitentlavitessede onvergen eet

imposentdespasdetempsrelativementfaibles( fl

<

20).Dèslors,pouraugmenterlepasdetempsetlever et in onvénient,ilestné essairederésoudrelessystèmeslinéairesave desmatri esexa tes.Etantdonnélataille

desmatri es,lesrésolutionsdire tesdutypelu_bandesontlimitéesàdesé oulementssimplesné essitantpeu

de pointsde maillage [108℄. Une alternative auxméthodes dire tes est l'utilisationde méthodes itérativesde

type Ja obi. Mais les matri es des systèmes linéaires étant mal onditionnées (matri e blo dont les valeurs

numériques ne sont pas omparables, présen e de dis ontinuité ave des ondes de ho , importante zone de

En ontrepartie, lesdiverses méthodes itérativesde Krylov (bi- g (Lan zos[83℄), tfqmr (Freund [42℄), gs

(Sonneveld [129℄), bi- gstab (Van Der Vorst [143℄), gmres (Saad [118℄) ) se sont imposées omme la

réfé-ren e des algorithmes itératifs pour la résolution de systèmes linéaires à matri es reuses non symétriques.

Dans le adre de la mé anique des uides, la majorité des auteurs utilisent l'algorithme gmres [10, 54, 94

97, 107,112, 114, 130, 142℄; néanmoins ertains,utilisent aussile gs, tfqmrou lebi- gstab [97, 107℄. Par

ailleurs, an d'a élérer la onvergen e du pro essus itératif, à haque itération temporelle, les méthodes de

Krylovnesontpasenvisageablessansl'utilisationdepré onditionnements.

Letableau(1.1)résumedefaçonnonexhaustivediérentesréféren esutilisantuneméthodedeNewton-Krylov

pourlarésolutiondeséquationsd'EuleroudeNavier-Stokesstationnaires:

Tab.1.1MéthodedeNewton-Krylovpourlesé oulementsstationnaires

Auteurs Année Modèle Ja obien Pré onditionnement Appli ation

Venkatakrishnan,Mavriplis[142℄ 1993 NS 2D AJ bj,ssor, ilu prols

M Hugh,Knoll[97℄ 1994 NS-i 2D EJ/MF ilu avité

Rogers[114℄ 1995 NS-a AJ bj,ilu mar he,prols

Luo,Baum,Lohner[94℄ 1998 NS 3D AJ/MF-AJ sgs, ilu onduit,prol,aile

Blan o,Zingg[10℄ 1998 Euler2D EJ/AJ/MF ilu prols

Pueyo,Zingg[112℄ 1998 NS 2D MF ilu prols

Soulaimani,BenSalah,Saad[130℄ 2002 NS 2D/3D MF-AJ ilu avité,aile

Guezaine[54℄ 2002 NS 2D MF ilu prol

Mavriplis[96℄ 2002 Euler/NS2D MF-AF Multigrid prols

Manzano,Lassaline,Wong,Zingg[95℄ 2003 Euler2D/3D MF ilu prol,aile,avion

Olawsky,Infed, Auweter-Kurtz[107℄ 2004 NS-hyp2D AJ/EJ/MF bj,sgs,ilu apsule,sonde

présent 2006 NS 2D AJ bj,ilu tuyère

NS =Navier-Stokes;i =in ompressible;hyp=hypersonique;a = ompressibilitéarti ielle;AJ=matri e

ja obienneappro hée;EJ =matri eja obienneexa te; MF =matrixfree; bj= relaxationblo Ja obi; sgs

=symétriqueGauss-Seidel;ilu=fa torisationluin omplète;

1.2 Equations de Navier-Stokes linéarisées et harmoniques en temps

Pour ertainsé oulementsinstationnaires,lorsque ertainesfréquen esidentiéessontprépondérantesave des

perturbations de faible amplitude,l'é oulementinstationnaire peutêtre dé omposé en deux parties, une

pre-mièrepartie stationnaireautourde laquelleest ajoutée une se ondepartie instationnaireharmoniqueissuede

lalinéarisationdeséquationsdeNavier-Stokes.Ce modèled'é oulementestparti ulièrementbien adaptépour

laprédi tiond'instabilitésaéroélastiques(ottementd'ailesouvibrationd'aubesdeturboma hines).Elles

four-nissent notamment une bonne approximation des oe ients des for es de pression instationnaires [17℄. Par

ailleurs, leséquations d'Eulerlinéarisées sont aussiutilisées enaéroa oustique pourl'étude de lapropagation

desour esa oustiquesdansuné oulementétabliave uneméthodede ouplaged'analogiea oustique.

Lorsque eséquationssonté ritesdansledomainefréquentiel,ilyapour haquefréquen eunsystèmelinéraire

àmatri e omplexeàrésoudre. Devantlataille desmatri es delinéarisation, lamajoritédesauteurs utilisent

unerésolutionàpasdetemps tif.Ceséquationssontrésoluessoitparintégrationpseudo-temporelledefaçon

expli ite[5660,104℄ouparintégrationmulti-pasdeRunge-Kutta[23,64,89,106℄,soitparrésolutionimpli ite

[15, 17,1921,25,26,81,89, 111,111, 123,133℄.

Néanmoins, ette résolution par intégration pseudo-temporelle est sujette à des problèmes de stabilité. Ces

instabilités numériques sont bien onnues dans le adre de la propagation de sour es a oustiques e sont les

instabilitésdeKelvin-Helmholtz.Lorsquel'é oulementstationnaireprésentedeszonesoùleseetsnonlinéaires

et àmesuredesitérationspseudo-temporelleset rendentlarésolutionnumériquementinstable.Cesinstabilités

sontaussi bien reportéespour larésolution des équations d'Eulerlinéarisées et harmoniques en temps (selon

Argawaletal.[2℄:"These(Kelvin-Helmholtzinstabilities)are onve tiveinstabilitiesin whi hthe disturban es

grow astheypropagatedownstreamfromthe pointofintrodu tion.The instability-wavesolution an ompletely

overwhelm the a ousti -solution")que pour larésolutiondes équationsdeNavier-Stokeslinéarisées et

harmo-niques en temps (selon Campobasso et al. [14℄ : "For most aeroelasti problems of pra ti al interest

. . .

the linear ode onverges withoutdi ulty.However an expodentialgrowthof the residual has been en ounteredin

situations in whi h the steady ow al ulation itself failed to onverge toasteady statebut instead nishedin

asmall-amplitude limit y les, relatedtosomephysi al phenomenonsu hassepparation bubbles, orner stalls,

and vortessheddingatblundtrailingedge". Danstousles as, esinstabilitéssontliéesàl'é oulement

station-naireetauxmé anismesphysiquesnonlinéairesengendrés,etnonaumodèlesimpliédeséquationslinéarisées.

Anderemédierà eproblèmedestabilité,lessystèmeslinéairesàmatri es omplexes,issuesdela

dis rétisa-tionspatio-temporelledeséquationsdeNavier-Stokeslinéariséesetharmoniquesentemps,peuventêtrerésolus

sansintrodu tiond'unpseudo-pasdetemps.Morriset al.[2,113℄, poursupprimerlesinstabilitésnumériques,

résolventle systèmelinéaireparfa torisationlu_banded'unmodèlesimplié supposantseulementune

équa-tionpouruneperturbationharmoniquedelapression.Dans e as,leproblèmeaseulement

N i × Nj

in onnues etunematri edelargeurbande

2 × max (Ni, Nj)

.Sil'ensembledeséquationsdeNavier-Stokeslinéariséessont dis rétiséesenraisondelatailledesmatri es,unerésolutiondire tedetypeluestenvisageableseulementdans

des asex eptionnels.Dansnotre as,ave unedis rétisationdeséquationsautroisièmeordrepourunmaillage

N i × Nj = 101 × 101

,unerésolutionlu_bandené essitedéjàuneressour ede7.5Gb, equi,malgrélaloide

Moore,n'estpasextrapolablepourdesproblèmestridimensionelsdansunavenirpro he.Deplus,Compobasso

et Giles[14,29℄ montrentque esinstabilitéssontliéesàdesvaleurspropresdelamatri edontlemodule est

supérieuràl'unité.LesméthodesderésolutiondetypeJa obinegarantissentdon pasla onvergen e.

Dansletableau(1.2)sontlistéesdefaçonnonexhaustivelesdiérentesrésolutionsdeséquationsd'Euleretde

Navier-Stokessansintégrationpseudo-temporelle:

Tab.1.2Résolutiondeséquationslinéariséessansintrodu tiond'unpseudo-pasdetemps

Auteurs Année Modèle S héma Résolution Appli ation

Argawal,Morris,Mani[2℄ 2004 pression2D

O∆(x)

2

fd lu jet2-D

Chassaing,Gerolymos,Jérémiasz[22℄ 2006 NS2D/3D

O∆(x)

3

vl[140℄ gmres [118℄ tuyère2-D/3-D

Rao,Morris[113℄ 2006 pression2D dg lu plaqueplane

present 2007 NS2D

O∆(x)

3

vl[140℄ gmres [118℄ tuyère2-D

u = entré non stru turé; fd = diéren es nies; dg = Galerkine dis ontinu; gmres = Global Minimal

Residual[118℄;vl=VanLeer[140℄

IlfautnoterqueCompobassoetGiles[14,29℄utilisentuneappro hehybrideoùunsolveurexpli itemultigrille

pseudo-time-mar hing est oupléentantquepré onditionneurave unsolveurgmres.Lesolveurmultigrilleest

utilisé àl'intérieur delabou lede réationdel'espa edeKrylov.

1.3 Optimisation aérodynamique stationnaire

Dansunexer i ed'optimisationaérodynamiquedeformeparméthodededes ente,legradientaérodynamique

de lafon tion de oût peutêtreévaluésoit parméthode de diéren esnies [8,37, 62, 79℄,soit à l'aided'un

opérateur linéarisé [71℄. Grâ eà ette méthode dite  méthode des sensibilités  , un ou plusieurs systèmes

linéaires ave unematri eidentiquemaisdiérentsve teursàdroitedoiventêtrerésolus.Lorsquelesmaillages

sontde petite taille et quele sto kagené essitedon un faibleespa e mémoire, es sytèmes linéaires peuvent

et degarderlamêmestru turequel'algorithmestationnaire,unpasdetemps tifestgénéralementintroduit.

Dans e as,lessystèmeslinérairessontrésolusparméthodeexpli iteàpasdetempssimple[31,36,79,84,124℄

ou, pas de temps multiples [9, 24, 35℄ ou, an d'a élérer la vitesse de onvergen e, par méthode impli ite

[8,11,12,35,79,80, 124,136℄.

Notons queValentin [136℄reporte,dansle asdel'optimisationde formesstationnairesenrégime subsonique,

la présen e d'instabilités numériques lors de résolutions pseudo-temporelles du système linéaire issu de la

li-néarisation des équations de Navier-Stokes.Comme dans le as des équations de Navier-Stokes linéarisées et

harmoniques en temps, es instabilités sont dépendantes des équations résolues mais sont présentes au sein

même delasolutionstationnaire.

Dans le tableau, (1.3) nous résumons de manière non exhaustive les diérentes méthodes de résolution des

équationsd'optimisationaérodynamiquestationnaireutilisantunerésolution deKrylov:

Tab.1.3Méthodederésolutiondeséquationspourle al uldugradientpourl'optimisationaérodynamique

Auteurs Année Modèle Méthode Algorithmed'optimisation Résolution Appli ation

Burgreen,Baysal[11℄ 1994 Euler2D da sd [30℄ gmres_ptm prol

Burgreen,Baysal[12℄ 1996 Euler3D da sd [30℄ gmres_ptm aile

Anderson, Bonhaus[4℄ 1999 NS2D fd-da ksopt[144℄ gmres_ptm prol

Neme ,Zingg[103℄ 2002 NS2D fd-da bfgs [30℄ gmres_ptm prol

Gatsis,Zingg[43℄ 2003 NS2D fd-da sd+ls[30℄ gmres_ptm prol

Nielsen,Lu,Park,Darmofal[105℄ 2004 NS3D dd-da sd+ls[30℄ gmres_ptm aile

present 2007 NS2D dd-da bfgs [30℄ mgmres_noptm tuyère

fd = diéren es nies; dd = dis rète dire te; da = dis rète adjointe; sd = Steepest des ent; ls = Line

Sear h;bfgs=Broyden-Flet her-Goldfarb-Shanno;ksopt=Kreisselmeier-Steinhauseroptimisation;ptm=

pseudo-time-mar hing; noptm = Sans pseudo-time-mar hing; mgmres = Mutliple Right Hand Side gmres

[120℄

1.4 Plan du mémoire

Ce mémoiresedé omposeen inqparties:

 Dansunpremiertemps,nousprésenteronslesquatreméthodesdeKrylovimplémentéesetévaluéesainsi

queles trois pré onditionnementsutilisés dans le adrede e travail.Puis, nous dé rironsune première

étudederésolutiondeséquationsd'Eulerlinéarisées1

1

2

D qui nouspermettradejustier le hoixde

l'al-gorithmegmrespourlasuite.

 Dansundeuxièmetemps,nousdévelopperonsl'algorithmeNewton-gmrespourlarésolutiondeséquations

deNavier-Stokesstationnaires.Nous testeronsl'algorithme pourdeux régimesd'é oulement:un

é oule-menthautementsubsoniqueetuné oulementtranssonique.Nousvalideronslesrésultatsaérodynamiques

et ompareronslesvitessesde onvergen edel'algorithmeNewton-gmresparrapportauxrésultatsissus

d'unerésolutionNewton-af-adisurune tuyèrebidimensionnelle.

 Dans le troisième hapitre, nous reporterons les diérents résultats de onvergen e pour la résolution

Newton-gmres des équations de Navier-Stokeslinéarisées et harmoniques en temps. Nous présenterons

une omparaison des résultats à une résolution Newton-af-adi déja existante dans le as d'une tuyère

bi-dimensionnelle ave une u tuationde pression avale. A lan de e hapitre,nous mettrons en

évi-den elesproblèmesdestabilité liésàune résolutionpseudo-temporellelorsque l'é oulementstationnaire

 Danslequatrième hapitre,nousmontrerons ommentl'utilisationd'unalgorithmegmressans

introdu -tiond'unpseudo-pasdetempspermetderésoudrelesproblèmesdestabilité.

 Le dernier hapitre sera onsa ré àla présentation de résultats relatifsà l'optimisation aérodynamique

de forme mono ritère et multiparamètres pour une tuyère bidimensionnelle. Nous résoudrons les deux

équations dire te et adjointe grâ e à l'algorithme gmres sans introdu tion d'un pseudo-pas de temps.

Deplus, dansle adrede larésolution del'équation dire te, nous utiliseronsune résolutiongmres ave

Méthodes de Krylov pour les systèmes

linéaires non symétriques

Dansle adredesméthodesdeKrylov,larésolutiond'unsystèmelinéaire

Ax = b

onsisteàtrouverunesolution

x

m

appro héeduproblèmesoumiseaux ontraintessuivantes:



x

m

∈ x

0

+ K

m

(A, r

0

)

r

m

⊥ K

m

(A, r

0

)

(2.1) où

A ∈ R

n×n

est unematri e réelle,

x

0

estune solutioninitialearbitraire,

K

m

(A, r

0

)

estunespa ede Krylov orthonormalforméde

m

ve teursdefaçonitérative,

r

0

(r

0

= b

− Ax

0

)

et

r

m

(r

m

= b

− Ax

m

)

sont respe tive-mentlesrésidusdusystème linéaireaudébutetenndepro édureitérative.

Les méthodes de Krylov sont prin ipalement divisées en deux grandes familles qui se diéren ient par leur

pro édé d'orthogonalisation. L'espa e est orthogonalisé soit par la méthode de Lan zos, soit par la méthode

d'Arnoldi. Nousprésenterons,dans e hapitre, lesdiérentes méthodesdeLan zos pourla résolutionde

sys-tèmeslinéaires( f.2.1)sousformeuniéeainsiquelaméthodegmresbaséesuruneorthogonalisationd'Arnoldi

( f.2.2).Cesalgorithmesétantgénéralementemployésave unpré onditionnement,nousprésenteronsaussiles

pré onditionnementsutilisésdanslasuitede etravail.Dansladernièrepartiede e hapitre,nousillustrerons

parunexemplesimplele hoixportésurl'algorithmebasésurune orthogonalisationd'Arnoldi.

2.1 Algorithmes de Krylov pour les problèmes non symétriques ave

fa torisation de Lan zos

La méthode de biorthogonalisation de Lan zos [83℄ pour les problèmes à matri es non symétriques est une

extensiondel'algorithmed'orthogonalisationdeLan zospourlesmatri essymétriques[82℄.Pourréaliser ette

biorthogonalisation,lesdeuxbases

K

1

m

et

K

2

m

sontgénérées:

K

1

_m

_{(A, v) =}

Span



v, Av, ..., A

m−1

v

et

K

2

m

(A, w) =

Span



w, A

T

w, ..., (A

T

)

m−1

w

(2.2)

Cet algorithme dé ompose la matri e du système à résoudre

A ∈ R

n×n

sous forme de produit entre deux

matri es

V

m

∈ R

m×n

et

W

m

∈ R

n×m

omposéesrespe tivementdesve teursdesbases

K

1

m

(A, v)

et

K

2

m

(A, w)

et unematri etridiagonale

T

m

∈ R

m×m

:







AV

m

= V

m

T

m

+ δ

m+1

v

m+1

e

T

m

A

T

_W

m

= W

m

T

m

T

+ γ

m+1

w

m+1

e

T

m

W

T

m

AV

m

= T

m

(2.3)

où

m

est le nombre d'itérations de Lan zos,

v

m+1

et

w

m+1

, sont les

(m + 1)

e

ve teurs à l'itération

m

des espa esrespe tifsdeKrylov

K

1

m

et

K

2

m

,

δ

m+1

et

γ

m+1

sontdesfa teursréelsmultipli atifsin luantl'erreurdela

dé ompositionet

e

T

m

estunve teurdonttoutesles omposantessontnullessaufàlaposition

m

où

e

T

2.1.1 Méthode de résolution bi- g

L'algorithmederésolution duBi-Gradient onjugué(bi- g)atout d'abordétéproposé parLan zos[83℄,puis

uneréé rituresimpliéeaétédé riteparFlet her[40℄. Cetteméthodesebasesurunenouvelleformulationdu

problèmepermettantden'avoirqu'unematri etridiagonaleàinverser.

Deux problèmessontdénis:

 leproblèmeprimaire:

Ax = b

 leproblèmedual :

A

T

_x

∗

= b

∗

et elamême si larésolution d'unproblème dual n'estpasné essaire.Etantdonné labiorthogonalisation,les

solutionsdesproblèmesprimaireet duals'é riventdelafaçonsuivante[120℄:

x

_m

=

x

₀

+ V

m

T

m

−1

(βe

1

)

x

∗

m

=

x

∗

0

+ W

m

T

m

−T

(β

∗

e

1

)

=

x

0

+ V

m

U

m

−1

L

−1

m

(βe

1

)

=

x

∗

0

+ W

m

L

−T

m

U

m

−T

(β

∗

e

1

)

=

x

0

+ P

m

L

−1

m

(βe

1

)

=

x

∗

0

+ P

m

∗

U

m

−T

(β

∗

e

1

)

où les matri es

P

m

= V

m

U

−1

m

et

P

∗

m

= W

m

L

−T

m

sont les matri es regroupantles dire tions de re her he des

deux problèmes,

U

m

et

L

m

dénissentladé omposition Lower-Upperdelamatri etridiagonale

T

m

(Eq.2.3),

β

et

β

∗

sontlesnormesdesve teursrésidus initiaux

r

0

et

r

∗

0

.

Etant donné la stru ture de la biorthogonalisation de Lan zos, les ve teurs résidus du problème original

r

m

et du problème dual

r

∗

m

à la

m

e

itération s'é rivent omme une expression polynomiale des ve teurs résidus

initiaux :

r

m

= b

− Ax

m

= φ

m

(A) r

0

et

r

∗

m

= b

− A

T

x

∗

m

= φ

m

A

T

r

∗

0

(2.4)

où

φ

m

est unpolynmededegré

m

.Commelesve teursdesbases

V

m

et

W

m

sontbiorthonormaux

1

[120℄,par

onstru tionlesve teursrésidus

r

i

et

r

∗

j

sontbiorthogonaux:

r

i

, r

∗

j

= σ

ij

δ

ij

1 ≤ i, j ≤ m

(2.5)

où

σ

ij

estunnombreréelet

δ

ij

estlesymboledeKrone ker.

Lesve teurssolutionsàl'itération

m+1

s'é rivent omme ombinaisonlinéairedesve teurssolutionsàl'itération

m

etdesdire tionsdedes ente:



x

m+1

= x

m

+ α

m

p

_m

x

∗

m+1

= x

∗

m

+ α

m

p

∗

_m

(2.6) oùrespe tivement

p

m

et

p

∗

m

sontles

m

es

ve teursdesmatri es

P

m

et

P

∗

m

et

α

m

unfa teurmultipli atif réelà dénirultérieurement.Lesve teursrésidusrespe tentdon laré urren esuivante :



r

m+1

= r

m

− α

m

Ap

_m

r

∗

m+1

= r

∗

m

− α

m

A

T

p

∗

_m

(2.7)

Lesdire tions dere her he

p

m+1

et

p

∗

m+1

sontdéterminéespardes ombinaisonslinéaires desve teursrésidus àl'itération

m + 1

etdesdire tionsdere her heàl'itération

m

:

(

p

_m+1

= r

m+1

+ β

m

p

_m

p

∗

m+1

= r

∗

m+1

+ β

m

p

∗

_m

(2.8)

où

β

m

estunautrefa teurmultipli atif réelàdénirultérieurement.

En reprenantl'é rituresousformepolynomiale,lesdire tionsdere her hes'é rivent:

p

_m

= π

m

(A) r

0

et

p

∗

m

= π

m

A

T

_r

∗

0

(2.9)

où

π

m

estunpolynmededegré

m

.

1

Deuxbases

V

m

et

W

m

sontditesbiorthonormalessi

“

v

_i

, w

_j

”

= δ

ij

où

δ

ij

=



1

si

i

= j

0

si

i 6= j

Les matri es

P

m

et

P

∗

m

étantA_ onjuguées

2

, lesve teurs résidusà haqueitération sontorthogonauxàtous

les autresve teurs résidus,en parti ulierà euxdedeux itérationssu essives.Cetteremarquesetraduitpar

larelationsuivante:

r

∗

m+1

, r

m

= r

m+1

, r

∗

m

= 0

(2.10)

En ombinantleséquations(2.8)et(2.10),lavaleuroptimalede

α

m

quipermetdemaximiserlapentepourle al ul deladire tion dedes entedesrésidusestobtenuepar:



r

m

− α

m

Ap

_m

, r

∗

m



= 0 =⇒ α

m

=

(r

m

, r

∗

m

)



Ap

_m

, r

∗

m



(2.11)

Enréé rivantlarelationquitraduitla ombinaisonlinéaireentrelesrésidusetladire tiondedes ente(Eq.2.7)

ainsi quelarelation entre lesdeux matri esA_ onjuguées

P

m

et

P

∗

m

, une nouvelleé riture du oe ient

α

m

est obtenue:



Ap

_m

, r

∗

m



=



Ap

_m

, p

∗

m

− β

m−1

p

∗

m−1



=⇒ α

m

=

(r

m

, r

∗

m

)



Ap

_m

, p

∗

m



(2.12)

Lavaleurdu oe ient

β

m

est al uléegrâ eàladénitiondeladire tion dedes ente(Eq.2.8)et lefaitque lesdeuxmatri es

P

m

et

P

∗

m

sontA_ onjuguées:



p

∗

_m+1

, Ap

_m



= 0 =⇒



r

∗

m+1

+ β

m

p

∗

_m

, Ap

_m



= 0 =⇒ β

m

= −



r

∗

m+1

, Ap

_m





p

∗

m

, Ap

m



(2.13)

Parailleurs,le al uldu oe ient

β

m

s'ee tue demanièreanalogueàpartirdel'équation (2.7):

β

m

=

1

α

m

r

∗

m+1

, r

m+1

− r

m



Ap

_m

, p

∗

m



=

1

α

m

r

∗

m+1

, r

m+1



Ap

_m

, p

∗

m

 =⇒ β

m

=

r

∗

m+1

, r

m+1

(r

∗

m

, r

m

)

(2.14)

Notons que es deux oe ients

α

m

et

β

m

s'exprimentaussisousformepolynomiale:

α

m

=

φ

m

(A) r

0

, φ

m

A

T

r

∗

0

(Aπ

m

(A) r

0

, π

m

(A

T

) r

∗

0

)

(2.15)

β

m

=

φ

m+1

(A) r

0

, φ

m+1

A

T

r

∗

0

(φ

m

(A) r

0

, φ

m

(A

T

) r

∗

0

)

(2.16)

L'algorithme suivant (Al. 1) donne lesétapesde larésolution d'un système linéaireparla méthodedu bi- g

telqueleproposeFlet her[40℄.Notons quenousprésentonsi i,pourexemple,une méthodederésolution qui

permet le al ul desolution duproblème dual mais, en général, larésolution de elui- i n'est pasdemandée.

Dans e as,le al uldelanouvellesolutionduale

x

∗

m+1

n'estpasné essaire.

2

Deuxmatri es

V

et

W

sontditesA_ onjuguéessi

“

Aw

i

, v

j

”

=

“

Aw

j

, v

i

”

= 0 ∀ i 6= j

.

Par onstru tion,nousavonsbienlarelation:

(P

∗

m

)

T

AP

m

= L

−1

m

W

m

−T

AV

m

U

m

−1

= L

−1

m

T

m

U

m

−1

= I

Lesdeuxmatri es

P

m

et

P

∗

Algorithme1Bi-GradientConjuguébi- g[40℄

Entrées:

A ∈ R

n×n

matri e,

x

0

∈ R

n

ve teurd'initialisation,

b

1

∈ R

n

ve teuràdroiteduproblèmeprimaire,

b

2

∈ R

n

ve teuràdroite duproblèmedualsiné essaire,

Sorties:

x ∈ R

n

ve teursolution

r

₀

= b

₁

− Ax

0

,

r

∗

0

= b

2

− A

T

x

0

siné essaire,sinon

r

∗

0

arbitrairetelque:

(r

0

, r

∗

0

) 6= 0

(généralement

r

∗

0

= r

0

)

p

₀

= r

₀

et

p

∗

0

= r

∗

0

For

m = 0, 1, . . .

,jusqu'à onvergen eDo :

α

m

= (r

m

, r

∗

m

) /(Ap

_m

, p

∗

_m

)

x

m+1

= x

m

+ α

m

p

_m

x

∗

m+1

= x

∗

m

+ α

m

p

∗

_m

r

m+1

= r

m

− α

m

Ap

_m

r

∗

m+1

= r

∗

m

− α

m

A

T

p

∗

_m

β

m

= r

m+1

, r

∗

m+1

/ (r

m

, r

∗

m

)

p

_m+1

= r

m

+ β

m

p

_m

p

∗

m+1

= r

∗

m

+ β

m

p

∗

_m

End for

Cetteméthodeprésente deuxin onvénientsmajeurs:

•

Lamultipli ationd'unve teurparlamatri etransposéepourla réationdel'espa edual. Généralement, grâ e à e type de résolution, la matri e n'a pas besoin d'être al ulée expli itement puis sto kée. Ainsi, le

développementnumérique né essaireau al ul duproduit ave lamatri etransposéepeutêtretrèsimportant.

•

Parailleurs, etteappro hepeutsourird'un manquederobustesse.Lorsqueleproduit s alaireentreles résidus

(r

m

, r

∗

m

)

dénissant lenumérateurpourle al ul dunouveau oe ient

β

m

devientnul (Eq. 2.14),le pro essusitératif ne peutsepoursuivre.Ilyadeux possibilitéspourque e produit soitnul.Dans lepremier

as, si l'un des deux ve teurs est nul, le pro essus itératif a atteint la solution exa te [120℄. Dans le se ond

as,lesdeuxve teursrésidus

r

m

et

r

∗

m

sontorthogonaux,l'algorithmes'arrêtesansparvenirà onverger.Dans e as, ertaines méthodes telles que le al ul avan é des ve teurs de Lan zos [110℄ permettent d'y remédier

partiellement.

2.1.2 Méthode de résolution gs

L'algorithmederésolutionConjugateGradientSquare( gs)aétédéveloppéparSonneveld[129℄an

d'amélio-rerlavitessede onvergen edubi- g(Al.1).Deplus,ilpossèdel'avantagedes'aran hirdelamultipli ation

parlamatri etransposéeet delarésolutiond'unproblèmedual.

Etantdonnélarelationdebiorthogonalitéentrelesdeuxespa es

K

1

et

K

2

, les oe ients

α

m

et

β

m

de l'algo-rithme bi- g(Eqs.2.15et 2.16)peuventseréé riredelafaçonsuivante:

α

m

=

(r

_m

, r

∗

m

)



Ap

_m

, p

∗

m

 =

φ

m

(A) r

0

, φ

m

A

T

r

∗

0

(Aπ

m

(A) r

0

, π

m

(A

T

) r

∗

0

)

=

φ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

(Aπ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

)

(2.17)

β

m

=

r

m+1

, r

∗

m+1

(r

m

, r

∗

m

)

=

φ

m+1

(A) r

0

, φ

m+1

A

T

_r

∗

0

(φ

m

(A) r

0

, φ

m

(A

T

) r

∗

0

)

=

φ

2

m+1

(A) r

0

, r

∗

0

(φ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

)

(2.18)

Aulieud'utiliserunedoubleformulederé urren esurlesrésidus

r

m

= φ

m

(A) r

0

et

r

∗

m

= φ

m

A

T

r

∗

0

,Sonneveld

[129℄ propose d'établir une autre formule de ré urren e sur le arré des résidus du problème original

r

m

=

φ

2

m

(A) r

0

. Pour ela, ilest né essaired'obtenirune ré urren epourlesdeuxpolynmes

φ

2

m

(A)

et

π

2

m

(A)

. Ces expressionss'obtiennentendéveloppantleséquations(2.7)et (2.8):

φ

2

m+1

(A) = (φ

m

(A) − α

m

Aπ

m

(A))

2

= φ

2

m

(A) − 2Aα

m

φ

m

(A)π

m

(A) + α

2

m

A

2

π

2

m

(A)

(2.19)

π

m+1

2

(A) = (φ

m+1

(A) + β

m

π

m

(A))

2

= φ

2

m+1

(A) + 2β

m

φ

m+1

(A)π

m

(A) + β

2

m

π

m

2

(A)

(2.20) Lestermes arrés

φ

2

m+1

(A)

et

π

2

m+1

(A)

sontdes ombinaisonslinérairesde leursvaleurspré édentes

φ

2

m

(A)

et

π

2

La ré urren e dupremier terme roisé

φ

m

(A)π

m

(A)

est al uléeà partirde la ré urren esur la dire tion de re her he(Eq.2.8):

φ

m

(A)π

m

(A)

=

φ

m

(A) (φ

m

(A) + β

m−1

π

m−1

(A))

=

φ

2

m

(A) + β

m−1

φ

m

(A)π

m−1

(A)

(2.21)

Cettepro édurepermetdefaireapparaîtrel'autre terme roisé

φ

m

(A)π

m−1

(A)

àl'itérationpré édente. Ce dernierest inséré ommenouveaupolynmeà al ulerparunenouvelleétapedanslabou leitérative.

φ

m+1

(A)π

m

(A)

= (φ

m

(A) − α

m

Aπ

m

(A)) π

m

(A)

= φ

m

(A)π

m

(A) − α

m

Aπ

2

m

(A)

= φ

2

m

(A) + β

m−1

φ

m

(A)π

m−1

(A) − α

m

Aπ

m

2

(A)

(2.22)

Nousdevonsdon ,à haqueitérationdel'algorithme, al ulertroisve teursparré urren e:











q

_m

=

φ

m

(A)π

m−1

(A)r

0

=

r

m

+ β

m−1

q

_m−1

− α

m

Ap

_m

r

m+1

=

φ

2

m+1

(A)r

0

=

r

m

+ α

m

A



2r

m

+ 2β

m−1

q

_m−1

− α

m

Ap

_m



p

_m+1

=

π

2

m+1

(A)r

0

=

r

m+1

+ 2β

m

q

_m

− β

2

m

p

_m

(2.23)

Lesdeux oe ientsréels

α

m

et

β

m

sontdonnéspar:



















α

m

=

φ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

(Aπ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

)

=

(r

m

, r

∗

0

)



Ap

_m

, r

∗

0



β

m

=

φ

2

m+1

(A) r

0

, r

∗

0

(φ

2

m

(A) r

0

, r

∗

0

)

=

r

m+1

, r

∗

0

(r

m

, r

∗

0

)

(2.24)

L'algorithmede gsproposéparSonneveld[129℄, danslequelleve teur

u

m

= r

m

+ β

m−1

q

_m−1

aétéintroduit pourunemeilleurelisibilité,peutainsis'é rire ommesuit:

Algorithme2Algorithme gs [129℄ Entrées:

A ∈ R

n×n

matri e,

x

0

∈ R

n

ve teurd'initialisation,

b ∈ R

n

ve teuràdroite Sorties:

x ∈ R

n

ve teursolution

r

0

= b

− Ax

0

,

r

∗

0

arbitrairetelque:

(r

0

, r

∗

0

) 6= 0)

(généralement

r

0

= r

∗

0

)

)

p

₀

= u

0

= r

0

For

n = 1, 2, . . .

,jusqu'à onvergen eDo:

α

m

= (r

m

, r

∗

0

)/(Ap

m

, r

∗

0

)

q

_m

= u

m

− α

m

Ap

_m

x

m+1

= x

m

+ α

m

(u

m

− q

_m

)

r

m+1

= r

m

− α

m

A(u

m

− q

_m

)

β

m

= (r

m+1

, r

∗

0

)/(r

m

, r

∗

0

)

u

m+1

= r

m+1

+ β

m

q

_m

p

_m+1

= u

m+1

+ β

m

(q

_m

− β

m

p

_m

)

End for

Par onstru tion,l'algorithme gs possède debonnespropriétésde onvergen e,étantdonné lapro édure de

ré urren ebasée sur lepolynmedesrésidus au arré.Grâ eà ela, et algorithme onvergeàunevitesse de

l'ordrededeux foisplusélevéequel'algorithme delaméthodebi- g. Enrevan he, ette méthodeétantbasée

surl'élévationau arrédespolynmesdesrésidus,ellesoured'unmanquederobustesseenraisondeserreurs

d'arrondiset destron aturesnumériques[120,p.216℄.

2.1.3 Méthode de résolution bi- gstab

An de remédier au problème de stabilité de l'algorithme gs tout en onservant ses bonnes propriétés de

[143℄,aulieud'éleverau arrélepolynmedesrésidus(Eq.2.18),demultiplierlespolynmes

φ

m

(A)

et

π

m

(A)

parunnouveaupolynme

ψ

m

(A)

permettantdelisserla onvergen edupro essusitératif :



r

m

= ψ

m

(A)φ

m

(A)r

0

p

_m

= ψ

m

(A)π

m

(A)r

0

(2.25)

Laformulederé urren edupolynme

ψ

m

(A)

estdonnéepar[143℄:

ψ

m

(A) = (1 − ω

m

A) ψ

m−1

(A)

(2.26)

où

ω

m

estunnouveau oe ientréel qu'ilfaudradénirultérieurement.

Enreprenantlesdénitionsdespolynmes

φ

m

(A)

(Eq.2.4)et

ψ

m

(A)

(Eq.2.26),laformulederé urren epour lenouveaupolynme

ψ

m

(A)φ

m

(A)

s'é rit:

ψ

m+1

(A)φ

m+1

(A)

= (1 − ω

m

A) ψ

m

(A)φ

m+1

(A)

= (1 − ω

m

A) (ψ

m

(A)φ

m

(A) − α

m

Aψ

m

(A)π

m

(A))

(2.27)

L'équationpré édente faitapparaîtrelenouveaupolynme

ψ

m

(A)π

m

(A)

qui dénitladire tion dedes enteà l'itération ouranteet dontlanouvelleformulederé urren es'é rit:

ψ

m+1

(A)π

m+1

(A)

=

ψ

m+1

(A) (φ

m+1

(A) + β

m

π

m

(A))

=

ψ

m+1

(A)φ

m+1

(A) + β

m

(1 − ω

m

A) ψ

m

(A)π

m

(A)

(2.28)

Nousobtenons, enreprenantlanotationve torielle,lesdeuxrelationsderé urren esuivantespour

r

m

et

p

m

:

r

m+1

= (I − ω

m

A)(r

m

− α

m

Ap

_m

)

(2.29)

p

_m+1

= r

m+1

+ β

m

(I − ω

m

A)p

_m

(2.30) Il resteenn àétablir les relationspourles valeursdes diérents oe ients réels

α

m

,

β

m

et

ω

m

intervenant danslapro édurederésolution.

Notons

e

ρ

m

leproduit s alairesuivant:

e

ρ

m

= (r

m

, r

∗

0

)

= (ψ

m

(A)φ

m

(A)r

0

, r

∗

0

)

= (φ

m

(A)r

0

, ψ

m

(A

T

)r

∗

0

)

(2.31)

Par onstru tion,

φ

m

(A)

est orthogonalàtouspolynmes

(A

T

₎

k

si

k

est inférieur

m

eten parti ulier

ψ

k

(A

T

₎

et

φ

k

(A

T

₎

.Leseul oe ientnonnuldel'équation (2.31)estdon letermedeplushautdegrénoté

η

(m)

.

e

ρ

m

= (φ

m

(A)r

0

, η

(m)

(A

T

)

m

r

∗

0

)

= (φ

m

(A)r

0

,

η

(m)

γ

(m)

φ

m

(A

T

)r

∗

0

)

=

η

_γ

(m)

(m)

(φ

m

(A)r

0

, φ

m

(A

T

)r

∗

0

)

(2.32) où

γ

(m)

est letermedeplushautdegrédupolynme

φ

m

(A

T

₎

.

En développantlesré urren esdespolynmes

φ

m

(A

T

₎

et

ψ

m

(A

T

₎

,nousobtenonspourlestermesdeplushaut

degré

η

(m)

et

γ

(m)

:

η

(m)

= (−1)

m

ω

1

ω

2

. . . ω

m

(2.33)

γ

(m)

= (−1)

m

α

1

α

2

. . . α

m

(2.34) Le al ul du oe ient réel

β

m

(Eq. 2.23)devantêtre identiqueà laméthode gs,

β

m

se al ule don parla formule[143℄:

β

m

=

e

ρ

m+1

e

ρ

m

α

m

ω

m

(2.35)

Une pro édureanaloguepermetd'obtenirunerelationpourle al ul de

α

m

:

α

m

=

ρ

e

m

(Ap

_m

, r

∗

0

)

VanDerVorst[143℄basele hoixdu oe ient

ω

m

surlaminimisationdelanormeL2dupolynme

(I − ωA)ψ

m

(A)φ

m+1

(A)r

0

:

ω

m

=

(As

m

, s

m

)

(As

m

, As

m

)

,ave

s

m

= r

m

− α

m

Ap

m

(2.37)

En reprenantleséquations(2.25)et (2.37),leve teursolutionestentièrementdéterminépar:

x

m+1

= x

m

+ α

m

p

_m

+ ω

m

s

m

(2.38)

L'algorithmedubi- gstabproposéparVanDerVorst[143℄estprésentésouslaformesynthétique i-après.

Algorithme3Algorithmebi- gstab[143℄

Entrées:

A ∈ R

n×n

matri e,

x

0

∈ R

n

ve teurd'initialisation,

b ∈ R

n

ve teuràdroite Sorties:

x ∈ R

n

ve teursolution

r

0

= b

− Ax

0

,

r

∗

0

arbitrairetelque:

(r

0

, r

∗

0

) 6= 0)

(généralement

r

0

= r

∗

0

)

)

p

₀

= r

0

For

m = 1, 2, . . .

,jusqu'à onvergen eDo :

α

m

= (r

m

, r

∗

0

)/(Ap

_m

, r

∗

0

)

s

m

= r

m

− α

m

Ap

_m

ω

m

= (As

m

, s

m

)/(As

m

, As

m

)

x

m+1

= x

m

+ α

m

x

m

+ ω

m

s

m

r

_m+1

= s

_m

− ω

m

As

m

β

m

= (r

m+1

, r

∗

0

)/(r

m

, r

∗

0

)(α

m

/ω

m

)

p

_m+1

= r

m+1

+ β

m

(p

_m

− ω

m

Ap

_m

)

End for

2.2 Algorithme de Krylov ave fa torisation d'Arnoldi

2.2.1 Fa torisation d'Arnoldi

L'algorithme d'Arnoldimodié parGram-S hmidt [120,p. 146-148℄est une autreméthode pourfa toriser et

orthonormaliserunespa e.Leprin ipede etalgorithmeestdedé omposerlamatri e

A ∈ R

n×n

enunematri e

H

m

∈ R

m×m

Hessenbergsupérieuregrâ eàlabase deKrylov

V

m

∈ R

n×m

.

AV

m

= V

m

H

m

+ w

m

e

T

m

= V

m+1

H

m

V

T

m

AV

m

= H

m

(2.39)

où

w

m

est un oe ient réel,

V

m+1

∈ R

n×m

la base de Krylov àl'itération

m + 1

et

H

m

∈ R

(m+1)×m

une

Algorithme4Pro éduredefa torisationd'ArnoldimodiéeparGram-S hmidt[120,p.147-148℄ Entrées:

X ∈ R

m×n

basedeve teur Sorties:

Q ∈ R

m×n

basedeve teursorthonormaux

hoixarbitraire

v

1

telque

kv

1

k= 1

For

j = 1, . . . , m

Do:

q = Av

_j

For

i = 1, . . . , j

Do:

h

ij

= q, v

i

q = q − h

ij

v

i

End for

h

j+1,j

= kqk

v

j+1

= q/h

j+1,j

End for

Gram-S hmidtaapporté une modi ationdans labou le interne qui permet une meilleure orthogonalisation

dans le as d'une résolution numérique. Alors que dans l'algorithme original d'Arnoldi [120, p. 146-148℄ le

nouveauve teur

q

est al uléen deux bou les diérentes, dans l'algorithmemodié parGram-S hmidt, il est

al ulé enuneseule.Soulignonsparailleursl'existen edel'algorithmede Householderqui permet d'améliorer

l'orthogonalisationdelabaseet,de efait,deréduireleserreursnumériques.Cependant,étantdonnélesur roît

entempsde al ul [120,p. 149-151℄, etteappro hen'apasétéretenuedansle adrede ette étude.

2.2.2 Méthode de résolution gmres

LaméthodederésolutionduGlobalMinimalResidual(gmres),proposéeparSaad[118℄,s'appuieessentiellement

surl'algorithmed'orthogonalisationd'Arnoldi.Par onstru tion,leve teursolutionest al ulé ommesuit:

x

m

= x

0

+ V

m

y

(2.40)

où

y ∈ R

m

est unve teurdéniparlafon tionsuivante:

J (y) = kb − Ax

m

k= kb − A x

0

+ V

m

y

k

(2.41)

Dansle adredelaméthodegmres, leve teur

y

est déterminédetelle sortequ'ilminimiselesrésidus, 'est-à-direqu'ilminimiselafon tion

J (y)

(Eq.2.41).

Leve teurrésidus

b − Ax

m

peuts'é rireàpartirdelarelation(2.39),delafaçonsuivante:

b − Ax

m

=

b − A x

0

− V

m

y

=

r

0

− AV

m

y

=

βv

1

− V

m+1

H

m

y

=

V

m+1

βe

1

− H

m

y

(2.42) où

β = kb − Ax

0

k

estlanormedesrésidusinitiaux.Etantdonnélastru turedelamatri e

V

m

quiest omposée deve teursorthonormaux,lafon tion

J (y)

peutseréé rire:

J (y) = kb − Ax

m

k= kV

m+1

βe

1

− H

m

y

k= kβe

1

− H

m

yk

(2.43)

Andeminimiser

J (y)

,ilfauttrouverleve teur

y

m

quiannulelanorme

kβe

1

− H

m

yk

.Pour ela,nousdevons résoudrelesystèmelinérairesuivant:

βe

1

− H

m

y = 0

(2.44)

La solution du problèmede minimisation est ainsi ramené àrésoudre un système linéaire de taille beau oup

plusfaible ar

m ≪ n

.

delabasedeKrylov.Pourremédierà eproblème,l'algorithmegmres_restartedaétédéveloppé.C'est-à-dire

qu'à landupro essusitératif, sila onvergen edésirée n'apasété atteinte,l'algorithmeest redémarréave

ommeve teurinitialleve teursolution al uléàlandupro essusgmrespré édent.Nousavonsainsibesoin

desto kerenmémoireunepartieseulementdel'ensembledelabasedeKrylovné essaireàlarésolution.Mais

alorsquelepro essusgmres lassique,grâ eàlaminimisationdesrésidus,estassuréde onvergeren

n

itérations quel quesoit letypede matri e,lepro essusgmres_restarted peut donnerlieu àlastagnationdes résidussi

lamatri eduproblèmen'est, ommei i,pasdénie positive.L'algorithmegmres_restarted proposéparSaad

[118℄peutserésumer ommesuit:

Algorithme5Algorithmegmres_restarted[118℄

Entrées:

A ∈ R

n×n

matri e,

x

0

∈ R

n

ve teurd'initialisation,

b ∈ R

n

ve teuràdroite Sorties:

x

m

∈ R

n

ve teursolutionaprès

m

itérationsgmres

r

₀

= b

− Ax

0

,

β = kr

0

k

,et

v

1

= r

0

/β

For

j = 1, . . . , m

Do:

w

j

= Av

j

For

i = 1, . . . , j

Do:

h

ij

= w

j

, v

i

w

j

= w

j

− h

ij

v

i

End for

h

j+1,j

= kw

j

k

v

j+1

= w

j

/h

j+1,j

End for Cal ulde

y

m

quiminimise

kβe

1

− H

m

yk

Cal ulde

x

m

= x

0

+ V

m

y

_m

If

kb − Ax

m

k ε

then

x

0

= x

m

et redémarragedel'algorithme End if

La matri e d'orthogonalisation

H

m

n'étant plus tridiagonale, nous ne pouvons plus al uler à haque

itéra-tion lanouvellevaleurduve teursolutionsansunsur oût importanten tempsde al ul.Dèslors,l'erreurde

onvergen e ne peut pas être apriori onnue au furet àmesure desitérations mais seulement avant haque

redémarrage.Cependant,uneimplémentationnumériqueintelligentepermetd'avoirlanormeduve teurerreur

sans avoir à al uler leve teursolution à haque itération.Pour ela, nous devonsréaliser desrotations

su - essivesdes olonnesde lamatri es rendantla matri e

H

m

triangulairesupérieure. Cetteimplémentation est avantageuseentermesdetempsde al ul arellepermetdedénir omme ritèresd'arrêtdupro essusitératif

unnombred'itérationsmaximalet unediminutiondesrésiduspréalablementdénie.

En reprenantl'é rituredelafon tion

J (y)

(Eq.2.43),nouspouvonsé rire:

J (y) = kb − Ax

m

k = kβe

1

− H

m

yk

= kQ

m

βe

1

− H

m

y

k

= kg

_m+1

− S

m

yk

= |g

m+1

|+kg

_m

− S

m

y

k

(2.45) où

Q

m

∈ R

m×m

est lamatri ederotationqui annulelasous-diagonalede

H

m

,

g

m+1

∈ R

m+1

, est unve teur

issu desrotationsduve teur

βe

1

.

Laminimisationsetraduitalorsparlarésolutionduproblèmesuivant:

trouver

y

telque

kg

m

− S

m

yk= 0

(2.46)

qui orrespondàlarésolution d'unsystème linéairedontlamatri e est triangulaireet dedimensions

m × m

. Deplus,lanormedesrésidusàl'itération

m

s'obtientalorspar:

2.2.3 Méthode de résolution mgmres

Certaines méthodologiesrelevantpar exempledu adrede l'optimisation deformes [71℄ peuventné essiterla

résolution de plusieurs systèmes linéaires ave la même matri e mais diérents ve teurs de se ond membre.

C'estnotammentle asdesproblèmesd'optimisationdire te,ave plusieursparamètresde ontrle,oude

l'op-timisation adjointe ave des gradientsde ontraintes aérodynamiques [136℄. Il peut être intéressant d'utiliser

les méthodes de Krylov dites  méthodes de Krylovpar blo Multiple (mgmres)  qui exploitent ette

pro-priété [119, 122,127℄.Dansle adrede etteétude,nousnoussommesintéressésàuneextensionproposéepar

Ruhe [116℄ de l'algorithmed'Arnoldi. Cet algorithme [116℄ aété initialement développépour larésolution de

systèmeslinéairesave desmatri essymétriquesetaétéétenduparSaad[120,p.196-200℄àdesproblèmesnon

symétriques.Notonsqu'illimitelaparallélisationmaissone a itéresteindépendantedunombredesystèmes

linéaires àrésoudre.

Ces méthodes onsistentàrésoudresimultanément

p

systèmes linéaires:

Ax

(l=1,...,p)

= b

(l=1,...,p)

|

{z

}

Formeve torielle

⇐⇒

AX = B

_{| {z }}

Formematri ielle (2.48) Soit

X

0

=

h

x

(1)

₀

, x

(2)

₀

, . . . , x

(p)

₀

i

∈ R

n×p

unensembledeve teurinitiaux, lesrésidus orrespondantss'é rivent:

R

0

≡

h

r

(1)

0

, r

(2)

0

, . . . , r

(p)

0

i

=



v

1

, v

2

, . . . , v

p



R

(2.49) où

R

0

∈ R

n×p

désignel'ensemble des résidus initiaux tel que

r

(l)

0

= b

(l)

− Ax

(l)

0

,



v

1

, v

2

, . . . , v

p



∈ R

n×p

, est

la fa torisation

QR

de

R

0

formantles

p

premiers ve teurs delabase de Krylovet

R ∈ R

p×p

est une matri e

triangulairesupérieure.

L'approximationdelasolutions'é rit delamanièresuivante:

x

(l=1,...,p)

= x

(l=1,...,p)

0

+ V

m

y

(l=1,...,p)

⇐⇒ X = X

0

+ V

m

Y

(2.50) Andepro éderparanalogieave laméthodegmres lassique,leseulélémentmanquantestl'analogieave le

ve teur

βe

1

(Eq.2.42):

B − AX

m

=

B − A (X

0

+ V

m

Y )

=

R

0

− AV

m

Y

=



v

1

, v

2

, . . . , v

p



R − V

m+p

H

m

Y

=

V

m+p

E

1

R − H

m

Y

(2.51) où

E

1

∈ R

(m+p)×p

estunematri edontleblo supérieur

p×p

estlamatri eidentité,leve teur

βe

1

estrempla é parlamatri e

E

1

.

Lesfon tionsàminimiser

J

(l)

_(y)

(Eq.2.41)relativesà haquesystèmelinéairesontalorsdonnéespar:

J

(l)

(y) = kb

(l)

− Ax

(l)

m

k= kE

1

Re

l

− H

m

y

(l)

_m

k

(2.52)

Dans e asde gure, lamatri e

H

m

devientune matri etriangulaire supérieure à

p

sous-diagonales

3 . Il est

don né essaire d'ee tuer

p

rotationsà haque itérationmgmres pourobtenir une matri e

H

m

triangulaire

supérieure.Deplus,grâ eà es

p

rotations,lesnormesdeserreursde haquesystèmepeuventêtreévaluéessans avoirà al ulerexpli itementl'ensembledesve teurssolutions:

J

(l)

_{(y) =}

_kb

(l)

− Ax

(l)

m

k = min

y

(l)

kE

₁

Re

_(l)

− H

_m

y

(l)

k

=

min

y

(l)

kQ

_m



E

1

Re

(l)

− H

m

y

(l)



k

=

min

y

(l)

kˆg

(l)

m

− S

m

y

(l)

_k

=

kg

(l)

m+p

, . . . , g

(l)

m+1

k+min

y

(l)

kg

(l)

_m

− S

_m

y

(l)

k

(2.53)

L'erreurde haquesystèmelinéaires'obtientdon àl'itération

m

par:

kb

(l)

− Ax

(l)

m

k= kg

(l)

m+p

+ . . . + g

(l)

m+1

k

(2.54) 3