Mémoire de modélisation – Rentrée atmosphérique d’une navette spatiale sur Terre (L3) – 2009

Mémoire

Reentering the Earth’s Atmosphere

Fauré Alexandre et Dupré de Baubigny Julien L3 Physique Fondamentale

Avril 2009

Table des matières

1 Travail préalable 1

1.1 Un peu d’histoire ... . . 1

1.2 Aspects énergétiques . . . 1

1.2.1 Énergie cinétique . . . 1

1.2.2 Protections thermiques . . . 2

1.3 Notions de finesse, nombre de Mach, portance, et gîte . . . 2

2 Modélisation 3 2.1 Modélisation de la Terre . . . 3

2.2 Étude des équations de la dynamique du mouvement . . . 3

2.3 Résolution des équations du mouvement . . . 6

2.4 Données de notre programme . . . 6

2.4.1 Constantes . . . 6

2.4.2 Coefficients . . . 7

2.4.3 Données temporelles . . . 7

2.5 Première représentation de la trajectoire de la navette spatiale . . . 7

3 Rentrée atmosphérique et influence des paramètres 9 3.1 Influence de la vitesse . . . 9

3.2 Influence de l’angle de rentrée γ. . . 12

3.3 Influence de la portance de la navette . . . 13

3.4 Influence la surface de référence . . . 14

3.5 Cas idéal : finalisation de notre modélisation . . . 16

4 Conclusion et ouverture 17 4.1 Conclusion . . . 17

4.2 Ouverture . . . 18

A Programmes Matlab 20 A.1 Programme principal space_shuttle.m . . . 20

A.2 Programme auxiliaire ss1.m utilisé par ode45 . . . 22

Résumé

Nous étudierons ici la rentrée en atmosphère d’une navette spatiale américaine.

Une navette spatiale, dans le domaine de l’astronautique, est un véhicule aérospatial réutilisable conçu pour assurer la desserte des stations spatiales en orbite basse mais pouvant aussi assurer d’autres missions, telles que le lancement ou la réparation de satellites artificiels. Le terme correspondant en anglais est space shuttle.

La navette spatiale est lancée par une fusée et atterrit comme un planeur ou à l’aide d’un réacteur.

Plusieurs navettes ont été construites et utilisées par l’agence spatiale américaine, la NASA, alors qu’une seule navette russe, Bourane, a volé en mode automatique (sans équipage), et que le projet européen Hermès a été abandonné.

Dans une première partie nous verrons différents aspects de la rentrée en atmosphère d’une navette.

Puis, dans une deuxième partie nous nous intéresserons à la modélisation numérique.

Dans une troisième partie, nous travaillerons sur les influences principales que subit la navette et leur conséquences.

Et dans la quatrième et dernière partie, nous aborderons la conclusion et l’ouverture de notre travail.

Chapitre 1

Travail préalable

1.1 Un peu d’histoire ...

La navette spatiale américaine (space shuttle en anglais) est une navette spatiale conçue et utilisée par les États- Unis, dont le vol inaugural eut lieu le 12 avril 1981. C’est le premier engin de ce type, capable d’emmener de gros satellites en orbite basse et, éventuellement, de les rapporter sur la Terre.

Ce programme fut lancé après la fin du programme Apollo au début des années 1970 à une époque où les restrictions budgétaires pour la NASA se faisaient déjà sentir, ce qui conduisit à chercher les moyens les plus économiques pour maintenir une présence humaine dans l’espace.

Son premier vol eut lieu le 12 avril 1981.

Chaque navette a été conçue pour effectuer une centaine de lancements. L’un des principaux objectifs du programme était de construire et de desservir une station spatiale orbitale, ce qui est en train de se réaliser avec l’assemblage de la Station spatiale internationale (ISS).

La navette a également permis la réparation de quelques satellites en orbite. Ce fut le cas de Solar Max en 1985 et à plusieurs reprises du télescope spatial Hubble.

Le programme de la navette spatiale américaine était entaché de deux accidents mortels pour les équipages : – la destruction au décollage de la navette Challenger, le 28 janvier 1986, suite à la rupture d’un joint d’un

booster ;

– la désintégration le 1er février 2003 de Columbia, lors de son retour dans l’atmosphère suite à la détérioration de son bouclier thermique pendant le décollage.

Ces deux accidents ont globalement mis en cause la mauvaise gestion du programme par la NASA, notamment le fait qu’elle ne prenait pas assez en considération la sécurité alors que la navette spatiale reste (encore aujourd’hui) un engin expérimental.

L’annonce en 2004 par le Président des États-Unis George W. Bush de relancer l’exploration habitée de la Lune et de préparer le voyage vers Mars marque la fin du programme de la navette spatiale, car cette dernière ne peut y avoir aucun rôle majeur. Les trois orbiteurs restants seront donc mis à la retraite avant d’être probablement exposés dans un musée à l’instar du démonstrateur Enterprise d’ici 2015. D’ici là, ils serviront à achever la construction de la Station spatiale internationale. De plus, une mission sera consacrée à une ultime réparation du télescope spatial Hubble.

1.2 Aspects énergétiques

1.2.1 Énergie cinétique

En orbite, une navette spatiale possède une énergie cinétique considérable. Selon la célèbre formuleEk =¹₂mv², l’énergie d’un objet d’environ10⁵ kg (soit 100 T) lancé à la vitesse de7800m.s⁻¹ vaut3,042.10¹² J, soit celle de 615 665rames de métro toulousain de type VAL 206 (les rames blanches présentes sur la ligne A) lancées à leur vitesse nominale (65 km.h⁻¹). Sachant qu’une fois au sol la navette aura une vitesse nulle et donc une énergie cinétique nulle, il faut que toute cette énergie disparaisse.

Rien ne se crée, rien ne se perds, tout se transforme. [Lavoisier]

C’est grâce au frottement sur l’atmosphère que celle-çi va se transformer en chaleur. Mais cette chaleur ne doit pas chauffer le véhicule de rentrée lui-même. Si toute la chaleur produite servait à augmenter sa température,

il s’échaufferait de plusieurs milliers de degrés : il brûlerait totalement ! Comme nous ne pouvons accepter une augmentation supérieur à une vingtaine de degré à l’interieur de l’habitacle, nous devons faire en sorte que la plus grande partie de l’énergie échauffe seuleument l’air qui entoure la navette et que le minimum de chaleur réussisse à s’introduire.

1.2.2 Protections thermiques

Les températures maximales sont atteintes au nez de l’avion, au point d’arrêt de l’écoulement : elles sont de l’ordre de1600^◦C. On utilise alors du carbone-carbone renforcé, seul materiau capable de supporter de telles températures.

Pour les autres partie de la navette on trouve des céramiques comme le silicium-carbonne (1300^◦C), ou encore des alliages métalliques faits de métaux nobles comme le nickel, le chrome, etc. (∼1000^◦C). Tous ces revêtements sont réutilisables, ils doivent donc pouvoir résister à de hautes températures tout en ayant un fort pouvoir d’émissivité à ces températures. Ils s’échauffent sous l’effet du frottement, mais à la température où ils sont portés, ils résistent et surtout, renvoient la chaleur par leur rayonnement. Seule une petite partie de la chaleur parvient alors à pénétrer dans les structures derrière eux.

1.3 Notions de finesse, nombre de Mach, portance, et gîte

Finesse

Elle désigne la caractéristique aérodynamique et c’est le rapport entre la portance et la traînée d’un corps placé dans un écoulement aérodynamique. Evidemment, elle varie en fonction de la vitesse, ou plus précisément, du nombre de Mach.

Nombre de Mach

Il exprime le rapport de la vitesse locale d’un fluide sur la vitesse du son dans ce même fluide.

Portance

C’est la composante de la force subie par un corps en mouvement dans un fluide. Elle s’exerce perpendiculairement à la direction du mouvement. On peut notamment ajouter pour le cas de notre navette spatiale qui n’est ni plus ni moins qu’un planeur, que la portance est dirigée de l’intrados vers l’extrados.

Gîte

C’est l’orientation de la portance. En effet, la projection de la portance est commandable. Elle est au maximum pour un vol sur le ventre où le gîte sera nulle. Elle s’annule pour un vol sur le dos où le gîte sera à 180˚.

Chapitre 2

Modélisation

2.1 Modélisation de la Terre

Notre première étape de mise en œuvre du travail de transcription du problème physique sur support informatique fut de créer tout d’abord l’environnement d’évolution de la navette spatiale c’est-à-dire la création de la Terre et de son atmosphère. Cela permettait évidemment d’avoir un support d’origine nous permettant de voir si la future trajectoire suivait la courbure de la planète. La méthode que nous avons utilisée est celle qui consiste à utiliser une boucle for et de tracer une multitude de points pour des angles de 0 à 2pi :

1 for i=1:200

2 O =[0:pi/256:2*pi] ;

3 R = 6378e3*i/200 ; % Rayon Terrestre

4 Ra = 6378e3 + 200e3; % Rayon de l’atmosphere

Puis d’effectuer le traçage du graphique point par point grâce aux commandes suivantes, utilisées en coordonnées cartésiennes :

1 Tx=R*cos(O) ;

2 Ty=R*sin(O) ;

3 Txa=Ra*cos(O) ;

4 Tya=Ra*sin(O) ;

5 %initialisation des graphiques

6 col=2; lig=3;

7 subplot(col,lig,[1 2 4 5])

8 hold on

9 axis([-10e5 Ra+2e5 -10e5 Ra+2e5])

10 plot(Tx,Ty,’b-’) % On affiche la Terre

11 plot(Txa,Tya,’c-’) % On affiche l’atmosphere

12 end

Après avoir rentré ces lignes de commandes, nous obtenons donc le graphique 2.1 page 4 réprésentant la planète Terre (en bleu) entourée de son atmosphère (en cyan).

2.2 Étude des équations de la dynamique du mouvement

Notre deuxième tâche a été de s’occuper du nœud du problème, de la colonne vertébrale de notre programme : nous parlons évidemment du système d’équations newtonien. Rapidement, nous avons démontré que les équations de l’énoncé sont en grande partie correct.

Tout d’abord, nous avons retravaillé le schéma d’origine, figure 2.2 page 4.

Puis nous nous sommes occupés des équations. D’après la loi fondamentale de la dynamique : mss

d�v

dt =�F� (2.1)

Fig.2.1 – Terre

Fig.2.2 – Schéma

Avec mss : masse de la navette spatiale.

Et comme D et g travaillent mais pas L comme on peut le voir d’après le schéma, on écrit trivialement : mss

d�v

dt =−D� +G m� ss MTsinγ

r² (2.2)

Avec MT : masse de la Terre.

En développant un minimum notre calcul, il vient : d�v

dt =− D� mss

+G M� Tsinγ

r² (2.3)

On trouve donc notre première équation du mouvement.

La deuxième se trouve en se plaçant suivant L cette fois-ci et le calcul (toujours d’après la LFD) devient : mss

d�v

dt =L�−G mss MT cosγ

r² +mss v² cosα

r (2.4)

En effet, on a les relations suivantes :

G mss MT

r² =��g� (2.5)

Et m v²

r =�F�centrif uge� (2.6)

On continue le calcul d’où :

d�v dt = L�

mss −G MTcosγ

r² +v² cosα

r (2.7)

On noterak=G MT pour obtenir notre deuxième équation : d�v

dt = L�

mss −k cosγ

r² +v² cosα

r (2.8)

Puis, pour en finir avec ce précis mathématiques, trouvons les deux dernières équations. D’après le schéma, on a dans la direction z l’équation :

dr dt = dz^�

dt =v sinα (2.9)

Démontrant ainsi la troisième équation.

Et nous savons également que, suivant l’axe y’ : r dθ

dt =v cosγ (2.10)

Ce qui prouve la quatrième et dernière équation : dθ

dt =v cosγ

r (2.11)

Les coefficients D (pour « drag » en anglais qui signifie « frottements ») et L (pour « lift » en anglais qui signifie

« portance ») dépendent évidemment de la vitesse de la navette. Ces paramètres seront modélisés par les équations suivantes :

D= 1

2ρA CDv² (2.12)

L=1

2ρA CL v² (2.13)

AvecCD etCL respectivement coefficient de frottement et de portance.

Puis notons aussi la formule qui relie la densité atmosphérique qui est tout naturellement relié à l’altitude de vol de la navette lors de son retour :

ρ=ρ0 e^−αz (2.14)

Avecz=r−rE etρ: densité atmosphérique de la Terre au sol.

2.3 Résolution des équations du mouvement

Nous ferons appel tout naturellement à une résolution automatique proposé par Matlab en utilisant la fonction Ode45 :

1 [T,Y]=ode45(’ss1’,t,CI);

Par conséquent, il nous a fallu créer un programme auxiliaire permettant de résoudre ces équations différentielles.

Il sera noté dans notre travail « ss1.m ».

Dans un premier temps nous initialisons le vecteur colonne y :

1 dy = zeros(4,1);

Puis nous rentrons successivement chaque équation sur les 4 lignes que comporte notre vecteur y :

1 dy(1) = - (rh0*exp(-al*(x(3)-rE))*A*Cd*x(1)*x(1))/(2*m) + k*sin(x(2))/(x(3)*x(3));

2

3 dy(2) = (rh0*exp(-al*(x(3)-rE))*A*Cl*x(1)*x(1))/(2*m*x(1)) + (x(1)*cos(x(2)))/(x(3))

4 - k*cos(x(2))/(x(3)*x(3)*x(1));

5

6 dy(3) = x(1)* sin(x(2));

7

8 dy(4) = x(1)* cos(x(2))/x(3);

Pour résumer les notations utilisées dans ce programme, nous présenterons ci-après un résumé sous présentation vectorielle :

Y =















 d�v dt dγ dt dr dt dθ dt

















(2.15)

Et le vecteurxqui comporte les variables de notre programme :

x=





 v γ r γ





 (2.16)

Les équations une fois programmées dans le programme constituent son centre névralgique. Il ne reste plus qu’à s’occuper des paramètres que l’on devra faire varier et des constantes du problèmes.

2.4 Données de notre programme

2.4.1 Constantes

rE= 6378.103 m: rayon de la Terre.

G= 6.673.10−11m³.kg⁻¹.s⁻² : constante de gravitation terrestre.

M = 5.9736.1024kg : masse de la planète Terre.

m= 104169.602 kg : masse maximum de la navette à l’atterrissage

ρ0= 1.2 : coefficient de densité volumique de l’atmosphère à une altitude nulle.

α= 0.1385 10⁻³: angle alpha de rentrée atmosphérique.

A= 15.05 : surface de référence (encore appelé maître couple c’est-à-dire la section transversale maximum d’un véhicule).

2.4.2 Coefficients

Cd= 1: Coefficient des frottements fixé Cl= 0: Coefficient de la portance

2.4.3 Données temporelles

On choisira un temps typique de l’ordre la dizaine de minute. Nous avons constaté qu’il sera nécessaire de corriger nos données temporelles en fonction de l’évaluation de la vitesse que nous donnons à la navette. Ce type de correction est nécessaire pour un meilleur choix du « pas » évalué de façon automatique grâce à la commande linspace.

1 t0=1;

2 tf=2000;

3 t=linspace(t0, tf);

2.5 Première représentation de la trajectoire de la navette spatiale

Nous avons souhaiter donner un graphique présentant la trajectoire de la navette point par point pour donner une impression de mouvement rendant l’observation plus intuitive. Pour cela, nous avons programmé, à l’aide d’une boucle for, l’affichage polaire des points comme en témoigne les lignes de codes suivantes :

1 for j=1:length(Y(:,1))

2 XX(j)=Y(j,3);

3 YY(j)=Y(j,4);

4 polar(YY,XX,’r-’)

5 pause(0.001)

6 end

Conformément aux données des documents que nous avons utilisés (vous trouverez en annexe la bibliographie associée à notre travail), nous changerons la vitesse initiale avec la valeur suivante :v0= 7404.95m.s⁻¹

Voici donc le premier graphique (figure 2.3 page 7) que nous obtenons avec notre programme :

Fig.2.3 – Première trajectoire

En observant la courbe rouge décrivant la trajectoire de notre navette, on se rend compte que le programme s’arrête immédiatement lorsque celle-ci entre en contact avec la Terre. Nous avons écrit quelques lignes de code pour que le programme arrête d’itérer lorsque la navette heurte le sol. Dans le présent cas, on en conclut que notre but est atteint : la navette rejoint donc la planète lors de sa phase d’atterrissage. Il ne nous plus désormais qu’à vérifier l’influence de divers paramètres faisant l’objet de notre prochaine section.

Chapitre 3

Rentrée atmosphérique et influence des paramètres

Dans ce chapitre, nous traiterons donc de l’influence des paramètres liés à notre programme et de voir la consé- quence de leur variation sur la trajectoire de la navette spatiale. Pour terminer cette partie, nous donnerons les paramètres que nous pensons optimaux, d’après notre modélisation, pour une rentrée adéquate dans l’atmosphère de la Terre.

Comme vous le verrez sur les prochaines images provenant de notre programme, nous avons décidé d’afficher pour chaque résultat graphique un graphique de la vitesse de la navette en fonction du temps (en réalité du pas k) et de la température de la navette spatiale au cours du temps grâce à la formule suivante :

H = 1 200

ρ ρ0

v vc

3 (3.1)

Avecvc vitesse dite « circulaire » (vitesse qu’aurait la navette si elle tournait autour de la Terre) à l’altitude zéro.

Cette vitesse se calcule grâce à l’équation suivante : vc=

�µE

r (3.2)

Avec µE constante de gravité géocentrique.

Enfin, avant d’aborder la partie centrale de ce chapitre, nous devons notifier le fait qu’un refroidissement de la navette a été pris en compte afin que celle-ci ne s’échauffe pas trop durant son entrée dans l’atmosphère :

1 h(k)=(1/1200)*(exp(-al*(Y(k,3)-rE)))*(Y(k,1)/vc0)^3; % Affichage de la temperature H

2 H(k) = h(k)*1*10^(-13);

La dernière ligne de code, bien que rudimentaire, rend compte de ce refroidissement qui reviendrait en réalité à changer le composant de la surface chauffante de la navette par un matériau résistant a de fortes chaleur et jouant également le rôle de bouclier thermique.

Nous utiliserons donc ces deux informations durant nos études suivantes pour avoir un contrôle permanent de la cohérence de notre modélisation.

3.1 Influence de la vitesse

Typiquement, la vitesse de la navette spatiale donnée dans les documents que nous avons consulté pour la rentrée est de l’ordre de7400m.s⁻¹. Dans un premier temps, appliquons cette vitesse à notre programme. Le graphique que l’on obtient nous servira de référence (figure 3.1 page 10).

Première observation : la vitesse indiquée par le texte est bien une vitesse adéquate pour l’atterrissage sur Terre de notre navette comme nous le montre le graphique. La navette entre donc bien en collision avec la Terre après avoir traversé l’atmosphère.

Fig.3.1 – Graphique de référence

La modélisation du programme cesse donc d’être bonne lorsque la navette spatiale heurte la Terre. Si nous n’avions pas écris la boucle permettant de stopper le programme au moment où la navette heurte la Terre, nous nous exposions à des rebondissements falacieux.

Au bout d’un temps égal à 40 pas (désigne le pas k), on constate que la vitesse de la navette chute brutalement pour atteindre la valeur de 776,9 m.s⁻¹ lorsqu’elle entre en contact avec la Terre (des parachutes se déclenchent dans la réalité lors de l’atterrissage de la navette au Cap Canaveral mais nous considérerons uniquement la rentrée atmosphérique qui constitue l’objet principal de cette étude).

Observons également l’échauffement de la navette qui est très important de l’ordre de4,888 10⁻⁵ ce qui correspond à une température de1485K ce qui adéquate pour la résistance de la navette. On fixera la limite de l’échauffement à2000K au maximum c’est-à-dire pour un échauffement de6,5714 10⁻⁵.

• Diminution de la vitesse initiale et conséquences :

On réduit la valeur de la vitesse initiale et on obtient le graphique 3.2 page 11.

La diminution de vitesse initiale a donc raccourci la trajectoire comme l’on s’y attendait, la navette revient sur Terre plus rapidement sur un autre point du globe. La perte de vitesse initiale a aussi engendré une diminution plus progressive de la vitesse au contact de l’atmosphère et la vitesse de 891 m.s⁻¹ est la vitesse finale d’approche. En revanche, au niveau de l’échauffement de la navette, elle est supérieure à la valeur précédente, 5,107 10⁻⁵ soit une température de1554K. La température de la navette augmente donc lorsque l’on réduit sa vitesse initiale.

• On augmente cette fois-ci la valeur de la vitesse initialev0= 8000m.s⁻¹et on obtient le graphique 3.3 page 11.

Encore une fois, notre modélisation de trajectoire est bien conforme à ce que l’on observerait en réalité. En effet, la vitesse initiale étant trop importante devant la vitesse classique de satellisation (environ7km.s⁻¹), la vitesse de la navette permet à cette dernière de vaincre l’attraction gravitationnelle de la planète et s’échappe donc de ce champs avec une vitesse qui augmente jusqu’à10250 m.s⁻¹et une température qui diminue pour devenir nulle lorsque l’on s’échappe de l’atmosphère terrestre au bout d’un temps de 20 pas caractérisant le froid spatial (qui est égal à2,7K).

Fig.3.2 – Dimunition de la vitesse

Fig.3.3 – Augmentation de la vitesse

Conclusion : On retiendra de l’influence de la vitesse initiale que celle-ci permet d’influencer la vitesse de la navette spatiale tout au long de sa procédure d’atterrissage sur la Terre. En revanche, on retiendra que la vitesse initiale détermine la vitesse d’atterrissage comme l’on pouvait s’en douter. Elle influe également sur la température de surface de la navette.

3.2 Influence de l’angle de rentrée γ

Par défaut nous l’avons réglé sa valeur initiale àπ. Essayons de plusieurs modifications de l’angle et d’en observer les conséquences.

• Diminution de l’angle de rentrée :

Nous avons diminué cet angle par itérations et essais successifs afin de limiter également l’échauffement de la navette au maximum. En essayant la valeurγ0=π−0.03on obtient le graphique 3.4 page 12.

Fig.3.4 – Diminution de l’angle de rentrée

La diminution de l’angle à provoqué une diminution plus lente de la vitesse pendant qu’elle tourne autour de la Terre avant sa procédure finale d’atterrissage estimée à partir d’un temps de 60 pas. La vitesse d’atterrissage est de452 m.s⁻¹. Nous réduisons donc la vitesse lors de l’atterrissage en réduisant l’angle d’entrée. Sa température maximale est de1495Kpour un échauffement de4,913 10⁻⁵.

• Augmentation de l’angle de rentrée :

Nous avons augmenté cet angle et en essayant la valeurγ0=π+ 0.03on obtient le graphique 3.5 page 13.

On a encore de nouveau réduit la distance de la navette a parcourir avant son atterrissage. Sa vitesse finale au sol est de609,7 m.s⁻¹, donc supérieur à la vitesse précédente et sa température maximale atteinte lors de l’entrée dans l’atmosphère est de4,641 10⁻⁵ soit1412K soit une témpérature plus faible que précédemment.

Fig.3.5 – Augmentation de l’angle de rentrée

Conclusion : La diminution de l’angle de rentrée permet de réduire la vitesse d’approche au sol mais en contre partie, l’échauffement de la navette est plus important en comparaison au cas de référence. Ainsi, l’augmentation de cet angle augmente sa vitesse d’approche tout en réduisant sa témpérature.

3.3 Influence de la portance de la navette

On modifiera le coefficient CL qui par défaut est nul. La seule option physique viable est donc d’augmenter ce coefficient. Augmentons ce coefficient de 1. On obtient le graphique 3.6 page 14 (toujours à comparer avec le gra- phique de référence).

L’augmentation de la portance de la navette spatiale nous amène à considérer une vitesse d’aterrisage très im- portante4107m.s⁻¹par rapport au cas de référence ainsi qu’un échauffement de 1,271 10⁻⁴ soit3868Kce qui est trop important pour la résistance de notre navette. Dans la réalité et d’après nos estimations numérique, la navette spatiale ne tiendrait pas le coup et aurait été desintégrée dans l’atmosphère lors de sa rentrée sur Terre.

Conclusion : L’augmentation de la portance de notre navette provoque des résultats non désirables et des valeurs extrêmes. Ces observations sont néanmoins cohérents avec la réalité. En effet, en augmentant la portance de notre engin, nous lui permettons d’être soumis de façon plus importante au flux d’air et donc de mieux « voler » lors de son retour dans l’atmosphère et plus rapidement d’où l’échauffement constaté. Nous laisserons donc cette valeur à 0 comme par défaut.

Fig.3.6 – Augmentation de la portance de la navette

3.4 Influence la surface de référence

Modifions le coefficientAet obervons-en les conséquences.

• Diminution de la surface de référence :

On modifie la surface de référence et on donne doncA= 2 m²d’où le graphique 3.7 page 15.

En diminuant la surface de référence, la vitesse finale d’approche de la navette devient importante 3822 m.s⁻¹ (moins importante tout de même que dans le cas où l’on augmente la portance) et sa température maximale atteint 3,620 10⁻⁴soit 11017K, température trop importante conduisant à une destruction en vol de la navette.

• Augmentation de la surface de référence :

On modifie la surface de référence et on donne doncA= 35m² d’où le graphique 3.8 page 15.

On constate qu’il s’agit ici d’un cas limite où l’on observe un rebondissement sur la Terre malgrè les précautions prises pour la programmation. Les vitesse et échauffements négatifs proviennent de la trajectoire hypothétique de la navette après son rebondissement. Notre seule observation viable dans le présent cas est de prendre en compte la température maximale de la navette qui est de 1,531 10⁻⁵ soit 465 K. On constate la encore une aberration numérique : une telle température est trop faible pour une rentrée atmosphérique.

La seule explication physique pouvant expliquer ces phénomène serait de considérer l’échauffement global de la navette. En effet, sa surface augmente donc la témpérature globale augmente mais il en est de même pour le refroi- dissement de la navette ! Notre modélisation du refroidissement de la navette atteint ici son cas limite.

Conclusion : Nous garderons donc la surface de référence à sa valeur par défaut c’est-à-direA= 15,05m²comme nous le donne les valeurs tirées de notre bibliographie.

Fig.3.7 – Diminution de la surface de référence

Fig.3.8 – Augmentation de la surface de référence

3.5 Cas idéal : finalisation de notre modélisation

Si l’on récapitule tous les points capitaux à prendre en compte pour que notre navette arrive à bon port sans ennuis majeurs :

– Une vitesse de7404,95m.s⁻¹;

– Un échauffement compris entre700 K et2000K;

– Un angle de rentrée inférieur àπpour réduire la vitesse d’approche ; – Une surface de référence de15,05m².

En combinant tout ces éléments, on obtient le résultat final 3.9 page 16.

Fig.3.9 – Résultat final

La navette revient bien donc sur Terre, sans erreurs numériques à constater. La vitesse de la navette lors de son atterrissage est tout à fait satisfaisante : 756,2 m.s⁻¹. On imagine évidemment que dans un programme complet prenant en compte l’atterrissage de la navette sur la Terre, nous aurions pris en compte le déclenchement de para- chute, etc. Enfin, regardons notre dernier paramètre important, l’échauffement de la navette qui est de4,991 10⁻⁵ soit une témpérature maximale de1519K tout à fait satisfaisant au vu des bornes que nous nous sommes fixés.

Nous pouvons donc garantir avec de tels paramètres et la présente modélisation, une rentrée atmosphérique sans encombre au niveau technique. Seul le pilotage du commandant de bord sera déterminant mais ne pourra pas être modélisé ici comme le lecteur pourra aisément en juger.

Chapitre 4

Conclusion et ouverture

4.1 Conclusion

Depuis 1981, les navettes spatiales sont en service aux Etats-Unis afin d’acheminer les différents modules permet- tant de compléter le projet de station spatiale internationale (ISS). Actuellement en 2009, nous sommes proches de la complétude de cette station qui sera terminée en 2010 permettant aux américains de se concentrer sur le futur projet de base lunaire qui devrait se dérouler aux alentours de 2025-2030. Néanmoins, malgrè deux accidents, les navettes spatiales américaines se révèlent être de formidables instruments technologique. Dans ce mémoire, nous nous sommes intéressés à la rentrée atmosphérique de la navette après un décrochage de la station spatiale internationale (la station soviétique Mir et l’ISS sont toutes deux a une orbite de 400 km soit dans notre modélisation 200 km pour l’atmosphère + 200 km au-dessus de l’atmosphère pour l’altitude initiale de notre navette). Nous avons donc étudié l’influence des divers paramètres le plus important étant celui de la vitesse et de l’angle de rentrée comme l’on pouvait s’y attendre. Pour les pilotes, la procédure de rentrée est très délicate si l’on veut maitriser l’échauffement de la navette, véritable brique volante, ainsi que sa vitesse d’approche pour ne pas s’écraser sur la Terre.

Ce mémoire nous a permis de prendre conscience de la conséquence de la modification à priori infime de certains paramètres mais qui peuvent provoquer des conséquences parfois désastreuses.

Nous tenons également a saluer le travail d’équipe nécessaire pour la finalisation de notre modélisation. Il nous a fallu plusieurs semaines pour venir à bout d’erreurs de modélisation d’équations et de modélisations de données physique par l’ordinateur.

Enfin, nous remercions les enseignants de ce module qui nous ont donné le strict nécessaire comme information et malgrè la difficulté du travail pour certaines parties, nous leur sommes reconnaissant : c’est sans doute la première fois que nous réalisons un tel travail, se rapprochant du travail quotidien des chercheurs. Cela conforte évidemment notre volonté d’exercer ce métier ... passionnant !

4.2 Ouverture

Pour le plaisir, nous nous sommes amusés à effectuer la rentrée de la navette spatiale sur la planète Mars. En conséquence nous nous sommes contentés de modifiés la masse de la planète pour la remplacer par la valeur suivante : 6.4185 10²³Kg et nous avons augmenter le coefficient αpour arriver à la valeur suivante :α= 0.2770 10⁻³ afin de rendre compte de l’atmosphère plus dense de la planète Mars.

Le premier graphique que nous obtenons est le suivant (figure 4.1 page 18).

Fig.4.1 – Essai Mars

Comme l’on pouvait s’y attendre, la masse de la planète étant inférieure à celle la Terre, son attraction gravita- tionnelle est donc conséquemment moindre. La vitesse de la navette que l’on avais choisie par défaut devient donc trop importante et est suffisante pour s’affranchir à l’attraction de Mars. Sa vitesse augmente donc pour se stabiliser en fin de course (que l’on conjecture) et la vitesse devient donc nulle très rapidement.

Cette ouverture nous a permis de constater que nos équations du mouvement sont bien modélisées. Les obser- vations sont bien conforme à ce que l’on observe en réalité (pour les satellites ou les sondes en ce qui concerne Mars).

Bibliographie

[1] Les travaux d’Emmanuel TRELAT disponibles à l’adresse suivante : http ://www.univ- orleans.fr/mapmo/membres/trelat/

[2] Philippe COUILLARD : Lanceurs et satellites, Éditions Cépaduès

[3] Daniel MARTY : Systèmes spatiaux, conception et technique, Éditions Masson

[4] Le site web belge de la Faculté des Sciences Appliquées : http ://www.ulb.ac.be/polytech/smana/solTP_2.htm

Annexe A

Programmes Matlab

A.1 Programme principal space_shuttle.m

1 %Rentree de navette dans une atmosphere planetaire%

2 %% Initialisation

3 clc

4 clear all

5 close all

6 %% Constantes

7 global m k A Cd Cl rh0 al rE

8 rE=6378e3; % Rayon de la Terre

9 G=6.673e-11; % Cte de gravitation terrestre

10 M=5.9736e24; % Masse de la Terre

11 m=104169.602; % Masse de la navette 104169.602

12 k=G*M;

13 rh0=1.2;

14 al=0.1385*10^(-3); % Angle alpha

15 A=15.05; % Surface 15.05 par defaut

16 Hc=2.3*10^(-5); % Temperature critique ou la navette explose.

17 % Coefficients :

18 Cd=1; % Coefficient des frottements fixe

19 Cl=0; % Coefficient de la portance

20 %% Modelisation de la Terre

21 for i=1:200

22 O =[0:pi/256:2*pi] ;

23 R = rE*i/200 ; % Rayon Terrestre

24 Ra = rE + 200e3; % Rayon de l’atmosphere

25 Tx=R*cos(O) ;

26 Ty=R*sin(O) ;

27 Txa=Ra*cos(O) ;

28 Tya=Ra*sin(O) ;

29 %initialisation des graphiques

30 col=2; lig=3;

31 subplot(col,lig,[1 2 4 5])

32 hold on

33 axis([-10e5 Ra+2e5 -10e5 Ra+2e5])

34 plot(Tx,Ty,’b-’) % On affiche la Terre

35 plot(Txa,Tya,’c-’) % On affiche l’atmosphere

36 end

37 %% Conditions initiales :

38 r0=Ra+119.82e3; % Altitude de la navette 119.82e3 (Textes)

39 v0=7404.95; % Vitesse initiale 7404.95 (Textes)

40 gm0=pi-0.03; % Angle vecteur vitesse - tangente atm

41 th0=pi/2; % Angle navette-rayon terrestre

42 % Vecteur conditions initiale

43 CI=[v0 gm0 r0 th0];

44 % Vitesse de la navette vc0 pour une orbite circulaire

45 vc0=sqrt(3.986*10^5/r0);

46 % Remarques :

47 % 7900 la navette est trop rapide et sort du champ GT.

48 % 7700 et tf=4000 la navette rebondie sur l’atmosphere

49 %% Donnees temporelles

50 t0=1; % Temps intial

51 tf=2000; % Temps final

52 t=linspace(t0, tf);

53 % Remarques :

54 % Erreur NaN : changer la vitesse ET le temps final.

55 %% Resolution de l’equation differentielle avec ode45 :

56 %options = odeset(’RelTol’,1e-4,’AbsTol’,[1e-4 1e-4 1e-5]);

57 [T,Y]=ode45(’ss1’,t,CI);

58 Y; %On affiche Y pour controler la matrice de sortie.

59 %% Representations de la trajectoire de la navette spatiale

60 for j=1:length(Y(:,1))

61 if Y(j,3)> rE

62 XX(j)=Y(j,3);

63 YY(j)=Y(j,4);

64 subplot(col,lig,[1 2 4 5])

65 polar(YY,XX,’r-’)

66 Title([’Trajectoire de la navette spatiale’]);

67 pause(0.1)

68 else

69 break

70 end

71 end

72 %close

73 hold off

74 %N.B. en cartesien :

75 %XX(j)=Y(j,3)*cos(Y(j,4));

76 %YY(j)=Y(j,3)*sin(Y(j,4));

77 %% Dynamique de la navette spatiale

78 % Vitesse de la navette spatiale en fonction du temps

79 for k=1:length(Y(:,1))

80 if Y(k,3)> rE

81 v(k)=Y(k,1); % Affichage de la vitesse

82 subplot(col,lig,3)

83 plot(v)

84 Title([’Vitesse de la navette spatiale en fonction du temps’]);

85 grid on; % On affiche le quadrillage sur le graphique.

86 ylabel([’vc (m.s-1)’]);

87 xlabel([’Temps (pas k)’]);

88 else

89 break

90 end

91 end

92 %pause(2)

93 %close

94 %% Temperature H de la navette spatiale :

95 for k=1:length(Y(:,3))

96 if Y(k,3)> rE

97 h(k)=(1/1200)*(exp(-al*(Y(k,3)-rE)))*(Y(k,1)/vc0)^3; % Affichage de la temperature H

98 H(k) = h(k)*1*10^(-13);

99 subplot(col,lig,6)

100 plot(H)

101 Title([’Temperature H de la navette spatiale (Kelvin)’]);

102 grid on; % On affiche le quadrillage sur le graphique.

103 ylabel([’H’]);

104 xlabel([’Temps (pas k)’]);

105 else

106 break

107 end

108 end

109 %pause(1)

110 %close

111 % Notes : 2.3e-5 == 700 K donc la temperature maximale pour nous :

112 % 1600 K==5.257e-5 pour H.

A.2 Programme auxiliaire ss1.m utilisé par ode45

1 function dy = ss1(t,x)

2 global m k A Cd Cl rh0 al rE

3 dy = zeros(4,1);

4 dy(1) = - (rh0*exp(-al*(x(3)-rE))*A*Cd*x(1)*x(1))/(2*m) + k*sin(x(2))/(x(3)*x(3)); % dv/dt

5 dy(2) = (rh0*exp(-al*(x(3)-rE))*A*Cl*x(1)*x(1))/(2*m*x(1)) + (x(1)*cos(x(2)))/(x(3))

6 - k*cos(x(2))/(x(3)*x(3)*x(1)); % dgamma/dt

7 dy(3) = x(1)* sin(x(2)); % dr/dt

8 dy(4) = x(1)* cos(x(2))/x(3); % dtheta/dt