JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Vecteurs – TD1. Opérations.
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Exercice 1 - QCM
1) La norme du vecteur 3 4 5
−
vaut :
0 2 2 5 5 2
2) Les vecteurs
=
1 2 3 u et
=
−
6 5 4
v sont :
colinéaires orthogonaux coplanaires aucun des trois
3) Un produit scalaire est forcément nul si les deux vecteurs sont :
de même norme orthogonaux colinéaires coplanaires
4) Si deux vecteurs non nuls ont un produit vectoriel nul, alors ils sont :
orthogonaux non coplanaires scalaires colinéaires
5) Deux vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire …[1]… et un produit vectoriel …[2]… : [ ]
[ ] 1 nul 2 nul
[ ] [ ]
1 maximal 2 nul
[ ] [ ]
1 nul
2 de norme maximale
[ ] [ ]
1 maximal
2 de norme maximale 6)
( ) ( )
− ∧ − =u v …u∧v − ∧
(
u v)
v∧u( ) ( )
− ∧ −v u7) u et v sont deux vecteurs non colinéaires et w est orthogonal au plan
( )
u v, . Donc :(
u∧ ⋅ =v)
w 0 u v⋅ =0 w=k u(
∧v) (
u v w, ,)
est directe 8) Deux vecteurs u et v tels que u∧ =v 0 et u v⋅ = −1 sont… :de norme 1 orthogonaux colinéaires et de même sens
colinéaires et de sens contraires 9) Si trois vecteurs u, v et w sont coplanaires, alors :
(
u∧ ∧ =v)
w 0(
u∧ ⋅ =w v)
0( )
u v w⋅ =0(
u∧ =v)
aw a, ∈ℝ10)
0 u v 0
u v
∧ =
⋅
pour :
2 u 1
=
et 1 v 3
=
2 u 1
=
et 3 v 1
=
1 u 3
=
et 2 v 1
=
3 u 1
=
et 2 v 1
=
11) Soit quatre vecteurs , , , u v m n dans un espace de dimension trois. S'il existe un réel k non nul tel
que u∧ =v k m
(
∧n)
, alors :( )
v∧ = −u k n∧m u v⋅ =k m n
(
⋅)
, , , u v m n sont coplanaires u∧ =m k v(
∧n)
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Exercice 2 -
Dans un espace à trois dimensions, soit un repère orthonormé
(
O; , ,i j k)
.Considérons les points suivants : , , , , ,
− −
− −
− −
1 0 1 1 0 1
A 1 B 1 C 0 D 1 E 1 F 0
0 1 1 3 1 2
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs suivants : AB, CA, BC, BD, AD, EC, ED, AE 2) Calculer la norme (ou module) des vecteurs suivants : OA, BD, AD
Exercice 3 -
Décomposition, repérage : faire une lecture graphique des coordonnées des vecteurs u, v et w.
a. b.
c. d. (A, B, C, D, E et F
sont les projetés or- thogonaux des extré- mités des vecteurs sur
le plan quadrillé)
Exercice 4 -
Décomposer les vecteurs u dans les bases données a.b.
c. d.
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Exercice 5 -
Calculer les produits scalaires suivants (relativement aux points définis en exercice 1) a. CA BC b. ⋅ BD AD⋅ c. BC EC ⋅
Exercice 6 -
Déterminer, dans le plan, les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :
a.
=
OA 2
5 b.
=
− 1
6
X c. x
u y
=
d.
=
0
OA 2
5 et
=
1
OB 0
1
Exercice 7 -
Calculer l’angle entre les vecteurs suivants
a. , −
= =
−
1 1
OA OB
1 1 b. u ,v
= =
−
2 4
3 5 c. u ,v
+
= − =−
6 2 3
6 2 1
d. ,
−
= =
1 2
OA 2 OB 2
3 1
e. u ,v
= =
0 1
2 0
5 1
Exercice 8 -
Soit le vecteur 1 2 3 u
=
.
1) Déterminer, l’ensemble
E
des vecteurs v tels que u v
∧ =
−
1 1 1
(on nommera « a » la première coor- donnée de v et on donnera ses deux autres coordonnées en fonction de a).
2) Donner en fonction de a l’expression générale des normes des vecteurs de
E
.3) a. Parmi les vecteurs v de
E
, quels sont ceux dont la norme vaut 6 ?b. Donner les mesures approchées des angles, en degrés à 0,1 près, entre u et ces derniers vecteurs v (en justifiant la correspondance entre chaque vecteur v et l’angle (u,v) cité).
4) Parmi les vecteurs de
E
, donner celui qui est orthogonal à u.Exercice 9 -
Calculer les produits vectoriels entre les vecteurs donnés, dans cet ordre.
a. ,
−
= − =
1 1
OA 1 OB 1
0 0
b. u ,v
= = −
2 4
3 5
0 0
c. ,
−
= =
1 2
2 2
3 1
X Y d. ,
1
AB 2 CD
1
x y z
= =
−
Exercice 10 -
Déterminer les vecteurs orthogonaux aux vecteurs suivants :
a.
=
OA 2
5 et dans le plan xOy b. x u y
=
et dans le plan xOy c. ,
= =
0 1
OA 2 OB 0
5 1
d. u
=
1 2 3
