Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par les Tolérancements Inertiel et Modal

Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par les Tolérancements Inertiel et Modal

Présenté par

Pierre-Antoine Adragna

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Université de Savoie Composition du jury :

Bernard Anselmetti Jacques Jacot

Jean-Pierre Nadeau

Maurice Pillet

Contexte de ce projet de recherche

• Projet Européen Interreg IIIa :

Tolérancement des systèmes assemblés

• Collaboration universitaire:

– Suisse: l’EPFL, avec le LPM

F. Bourgeois "Vers la Maîtrise de la Qualité des Assemblages de Précision",

– France: Polytech’Savoie (anciennement ESIA), avec le SYMME (fusion du LMéca, LAIMAN et quelques membres du LISTIC).

• Collaboration industrielle (partie française):

– CERN, Bertrand Nicquevert

– DASSAULT Aviation, Didier Lamongesse – SOMFY, Marc Bouix

– TEFAL, Michel Sarrazin

• Le cycle de vie du produit

Client

Expression d’un besoin

Concepteur

Solution

Ø20 ± t₁ Ø10 ± t₂

Dessins Fabricant(s) …

Assemblage

Des lots de pièces

Produits finis

Tolérancement

Possible à fabriquer Le moins

cher

Assembler sans difficulté

Satisfaire le client

Objectifs de ces travaux de recherche

• Traiter de l’assemblage de lots en considérant les dimensions, les positions et les formes.

Acceptation Assemblage

Dimension Position

Forme

Unique Lot Unique Lot

ModèleÉtude

Tolérancement Inertiel

Critère de quantification des écarts statistiques et approche statistique

de tolérancement 1D

X2 X3 X4 X5

X1

J

Inertiel

Tolérancement Modal

Méthode générique de caractérisation des écarts

de forme

M o d a l

– Approfondir le développement de deux approches innovantes.

–Rapprocher ces deux méthodes.

1. Modèle 1D : le Tolérancement Inertiel

Conclusion et perspectives

2. Modèle nD : le Tolérancement Modal

3. Rapprochement des deux méthodes

1. 1.

2. 2.

2. 2.

2. 2.

3. 3.

3.

3.

Dimension Position

Forme

Acceptation

Unique Lot Unique Lot Assemblage Modèle

Étude

1. Modèle 1D: le Tolérancement Inertiel

1.1 État du tolérancement:

1.2 Le graphe (,

) d’analyse des tolérances

1.3 Garantir une Condition Fonctionnelle par le tolérancement inertiel

Dimension Position

Forme

Acceptation

Unique Lot Unique Lot Assemblage Modèle

Étude

1.1

1.2 1.3

1.1 Tolérancement traditionnel

• La chaîne de cotes 1D :

X

X

X

X

X

J J = X

– X

– X

– X

– X

Une relation linéaire :

J

≤ J ≤ J

Une condition fonctionnelle :

•

IT

= J

- J

Méthode sûre, mais sévère d’où coût de production élevé ! ⁿ IT

 IT

•

– Répartition quadratique des tolérances:

Méthode à moindre coût de production, mais risque de non qualité non négligeable !

n IT

 IT





i

i i

X

Y  .

1.1 Tolérancement traditionnel

• Les indices de capabilité





3.

3. IT/2

 . 6 Cp  IT

 

 



  

 







. , 3 .

3

USL Min LSL

Cpk 

 . 3 2 

 IT

2

.

3   

 IT

Cpm

2

.

3 2









 

IT Cpmk

1. Modèle 1D: le Tolérancement Inertiel

Peut être lié à un Taux de Non

Conformité

 IT/6

IT/2 

- IT/2

1.1 Tolérancement inertiel

• Le critère inertie est basé sur la fonction de perte de Taguchi: _{I  }

_{ }

Cohérence économique

Cohérence de conformité Cohérence fonctionnelle

Décentrage ()

Ecart-type ()

Décentrage ()









I  - I

I

1.1 Tolérancement inertiel

• Une approche statistique:

– Une répartition quadratique des tolérances:

n I

IT

.

 6

Même avantage que le tolérancement statistique traditionnel: moindre coût

Sans les inconvénients du tolérancement traditionnel Mais n’est pas parfait

1. Modèle 1D: le Tolérancement Inertiel

1.2 Le graphe (,

)

• Un outil d’analyse de tolérances statistiques:

– Déterminer toutes les configurations résultantes d’un tolérancement statistique (surtout les configurations à risque), – Comparer différents tolérancements statistiques





i

i i

X Y  .

X2 X3 X4 X5

X₁

J

Chaîne de cotes





i

X i

Y

 

 .





i

X i

y _i

2 2

2

 . 

 Indépendance

des variables

+

Décentrage  Variance 

Comp. 1 Comp. 2

Assemb.

Composant 1 

Composant 2







+ _Domaine

résultant Domaine CF Hors CF Domaine

indice Cpk

Domaine

indice Cpi =

IT_CF = 0,7 mm et Cpk_CF = 1

I₂ = 0,1 mm et Cpi₂ = 1 IT₁ = 0,5 mm

et Cpk₁ = 1

1.2 Le graphe (,

)

• Le tolérancement traditionnel statistique:

• Le tolérancement inertiel:

Même dispersion maximale sur les

composants

De nombreuses situations à risque

Quelques situations à risque

68%

34%

15%

2%

Même dispersion maximale sur la

résultante

X2 X3 X4 X5

X1

J

1. Modèle 1D: le Tolérancement Inertiel

1.3 Garantir une Condition Fonctionnelle

• Condition Fonctionnelle définie par un IT

et un Cpk

:









i

i i i

i i ass

IT

Cpk

. .

3 2 .









2 2 .

. . . 6 3

2 .

 

 



 

 

 













i

i i CF

i

i CF i

ass

Cpi IT

IT Cpk







 Composants en limite de

capabilité

2 2

i i

Cpi Ii



 



La plus mauvaise configuration:

.

.

18 Cpi IT

i CF

i



 

9

2 .

Cpi n Cpk

 

Cpk

= 1 Cpi

= 1,247

9

2

n

Cpk Cpi





X2 X3 X4 X5

X1

J

Cinq composants

Uniformément répartis dans la tolérance

– Hypothèse de répartition des lots de composants:

1.3 Garantir une Condition Fonctionnelle

• Analyse par simulations de Monte Carlo:

Uniformément répartis en limite de tolérance

1. Modèle 1D: le Tolérancement Inertiel

1.3 Garantir une Condition Fonctionnelle

• Augmentation des tolérances et risque encouru:

Uniformément répartis dans la tolérance

Uniformément répartis en limite de tolérance

2. Méthode modale

2.1 Le tolérancement modal, une méthode générique de caractérisation des écarts de forme,

2.2 Évolutions et applications de la méthode modale,

2.3 Assemblage de géométrie,

2.4 Traitements statistiques de lots,

Dimension Position

Forme

Acceptation

Unique Lot Unique Lot Assemblage Modèle

Étude

2.1 2.2

2.3 2.3

2.3

2.4 2.4

1. 1.

2.1 Spécification et caractérisation des formes

• Expression des tolérances définie par la norme:

– Série de Fourier:

• Caractérisation des défauts de forme:

t A

t

t

Cas 1

Cas 2 Non convexe

– D’autres approches

Z X

2.1 La méthode modale

• Une méthode générique

– Tout type de géométries:

– Une base de formes discrètes :

Modes de flexions Modes rigides

0 .

. q

 K q  M

Solution de:

Mode membrane

Base exhaustive

Forme de complexité croissante

2. Méthode modale

2.1 La méthode modale

• Caractérisation d’un écart de forme

– Soit une forme mesurée :

– Une base modale naturelle B:

– La caractérisation modale donne:

Une signature modale

Un résidu de caractérisation Plus significatif ?

Quelles unités ?

2.2 Évolutions de la méthode modale

• Donner un sens aux modes rigides ?

– Modification des modes existants:

• Donner un sens métrique aux coefficients modaux ?

– Utilisation de la norme infinie: Q

^{ 1}

> 50%

Efficacité % Unité métrique (mm)

2. Méthode modale

Modes "flexion"

Modes "rigides" Modes "tonneau" Modes "ovalité"

2.2 Évolutions de la méthode modale

• Enrichissement de la base naturelle par des défauts de forme "technologiques":

Base de défauts modaux naturelle

Un mode de taille Un mode de conicité

2.2 Application de la méthode

• L’accostage de deux pièces est défini par la mise en correspondance de deux profils d’accostage:

Capot

Socle

Capot

Socle

• Le profil d’accostage:

Jeu

Affleurement

2. Méthode modale

Z

X X

Y

2.2 Application de la méthode

• La base modale naturelle:

– Modes "de jeux":

– Modes "d’affleurement":

D. 11

D. 15 D. 17

D. 7

D. 9

D. 13

D. 8 D. 12 D. 16

D. 18 D. 20 D. 22

X Y

2.2 Application de la méthode

• Caractérisation d’un écart de profil

Un défaut simulé

Modes rigides

D. 10

Mode 10

D. 9

Mode 9 ^{D. 12}

Mode 12

D. 14

Mode 14

D. 13

Mode 13

2. Méthode modale

2.3 Assemblage de géométrie

• Assemblage sans défaut de forme:

– lien entre base modale et torseurs de petits déplacements:

Les torseurs de petits déplacements sont utilisés pour le transport des écarts de positionnement

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.4 Analyse modale d un profil

Abscisse des points de la surface (mm)

Ecart des points de la surface (mm)

Surface A1 brute Surface A1 filtrée Surface A1 rigide

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.4 Analyse modale d un profil

Abscisse des points de la surface (mm)

Ecart des points de la surface (mm)

Surface A2 brute Surface A2 filtrée Surface A2 rigide

5 10 15 20 25 30

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Signature modale surface A1

Ordre du défaut modal

Amplitude du mode (mm)

5 10 15 20 25 30

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Signature modale surface A2

Ordre du défaut modal

Amplitude du mode (mm)

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

0.4 Mise en position des surfaces associées

Abscisse des points de la surface (mm)

Echelle (mm)

Surface A1 Surface associée Surface A2

Forme A

Forme A

Signature 

Signature 



= M

.E

O O

TPD

L

M  





 



 





2

0 0 1

_

E

= E

– E

2.3 Assemblage de géométrie

• Assemblage de géométries avec défauts de forme

– La problématique: positionnement indéterminé – Notre choix:

– Un concept: la surface distance

• Un dispositif de pré-positionnement,

• Un effort de Maintien en Position

– Identification des facettes de contacts potentiels

2. Méthode modale

2.3 Assemblage de géométrie

• Assemblage de deux géométries avec défauts de forme:

Défauts de forme

Surface écart

Caractérisations modales Caractérisation modale

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.8 Les surfaces filtrées à mettre en position

Abscisse des points de la surface (mm)

Ecart des points des surfaces (mm)

Surface A1 Surface A2

Surface théorique de contact

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Surface distance filtrée et surface convexe de contact

Abscisse des points de la surface (mm) Distance entre les surfaces (mm) Surface distance

Surface convexe Point de contact potentiel

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Signature modale surface A2

Ordre du défaut modal

Amplitude du mode (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Signature modale surface A1

Ordre du défaut modal

Amplitude du mode (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

0.5 Signature modale surface distance

Ordre du défaut modal

Amplitude du mode (mm)

-

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

0.8 Mise en position sur la facette de contact

Abscisse des points de la surface (mm)

Echelle (mm)

surface A1 surface A2 positionnée

facette de contact

Effort

de MAP

Facette de contact



= 

– 

O

R_z T_y

A

R_z T_y

O A

Matrice de covariance

2.4 Méthode modale et statistique

• Caractérisation statistique d’un lot d’écart de forme:

– La moyenne du lot de forme

– La covariance du lot de forme ^{T  B . }

 



B .

t T T

 B . . B



Lot de forme

Lot de signature

modale

Signature moyenne modale

Matrice de covariance modale Surface moyenne Surface

écart-type

Forme moyenne Forme écart-type

2. Méthode modale

Signature moyenne Covariance

modale

2.4 Assemblage et statistique

• Assemblage de lots de défauts de forme:

– Dispositif de pré-positionnement et effort de MAP

– Covariance de l’assemblage

– Assemblage moyen (assemblage des moyennes)

Lot et surface moyenne Surface distance

moyenne et facette moyenne de contact

Positionnement des moyennes Positionnement

particulier Assemblage des lots

(moyenne et covariance)

3. Rapprochement des deux méthodes

3.1 Critère inertie 3D et tolérancement 3D inertiel sans défaut de forme

3.2 Critère inertie géométrique couplé à la caractérisation modale des défauts de forme

Dimension Position

Forme

Acceptation

Unique Lot Unique Lot Assemblage Modèle

Étude

2. 2.

2. 2.

2.

2. 2.

1. 1.

3.2 3.2

3.1 3.1

1

2

1+2 2



= 

+ 



 

 

2 2 2

1 





 



 

2 2

Max Max

I

 

 

  



2 1 2

2

1   



_Max

       

I

3.1 Critère inertie des positions

• Un critère inertie ajustée:

•



 



  













 



 







 





 



 



  

 _z ^y _x ^z _{y Tz} ^y _Rx ^z _Ry ^y _TzRx ^z _TzRy ^{y z} _RxRy

adj

L L L

L L R L

R L T L

I .cov

4 cov .

2 . cov

2 . . 2 2 .

2 . 2 .

2 .

2 2 2

2 2

2







 ^

 ^

 ^



  ^

 ^

 ^

  ^{2 .}  ^

 ^

 ^



adj

 I

Signature moyenne

Matrice de covariance

3 2

1  



I I

I

I

  

Ry z Rx

y Tz

adj

L I

L I I

I .

. 2

2 





3.1 Critère inertie des positions

I

I

 





 



 



 



 

 

 



 

 



 



  



2 2

2 2

2

2 . 2 .

2 .

2 .

R z y

T z y

x y z

s

L L L R

L R T

I   

Combinaison des moyennes

Combinaison des variances

Iso-inertie des décentrages

Iso-inertie des écarts-types

I

Cas centré rotation

I

Cas centré translation

x z y

I

Décentrage translation

I

Décentrage rotation

I

En 3D

3. Rapprochement des deux méthodes

3.1 Un cas d’application théorique

• L’exemple d’application:

• La méthode de référence: le tolérancement 3D au pire des cas,

t A

A

LBx LAx

LAy

d

x z y Comp. 2

Surf. B Surf. C

Surf. A

Comp. 1 Comp. 3

A1

C₃

B₂ B2

t1

B2

t2

A1

t1

A1

t2

C3

t1

Surf. A3

Surf. B1

Surf. C2

6.

6.

– Un empilage de trois composants avec bras de levier,

6.

6.

6.

6.

T

T

R

R

3.1 Tolérancement 3D inertiel sans défaut de forme

• Proposition de tolérancement 3D inertiel:

– Chaîne de cotes des translations suivant T

:

– Chaîne de cotes des rotations autour de R

:

– Chaîne de cotes des rotations autour de R

:

3 2

1 z z

z

Max

 T  T  T



3 . 6 I

 t

. 2 . 2

. 2

1

Ay x

Ay x

Ay x

Max

R L R L

R L  

 

 

i i Ay

i

Rxi

L

I t

.

. 3

.





. 2 . 2

. 2

1 Ax

y Bx

y Bx

y Max

R L L d

R L d

R  



 



 

 



 



 

 

3 2

2

1

. 2

. 2 . 2 . 6

.

 

 



 

 

 



 



Ax Bx

i

Ryi

L

L d I t







3. Rapprochement des deux méthodes

3.1 Tolérancement 3D inertiel sans défaut de forme

• Configuration centrée:

Ellipsoïde à 6 écart-types pour la tolérance inertielle

Ellipsoïde à 6 écart-types pour la tolérance pire cas

Domaine de la tolérance 3D au pire des cas

+ 310 %

+ 190 % + 2 %

+63% +95%

Pire des cas: TNC  0 ppm Inertiel centré, Cpi = 1:

TNC ≈ 3000 ppm

Inertiel centré aléatoire,

Cpi = 1: TNC ≈ 600 ppm

3.1 Tolérancement 3D inertiel sans défaut de forme

• Configuration décentrée:

Cpi = 1.16, TNC = 25

Configuration hors des tolérances au pire des cas mais CF respectée

3. Rapprochement des deux méthodes

3.2 Critère inertie géométrique et méthode modale

• Fusion des méthodes de quantification (inertie) et de qualification (modale)

– Définition de l’inertie d’un lot: racine de la moyenne quadratique des inerties des points.

 

 

 

 



 



j

k i

j

i

C

k X I n

1 1

2 ,

1

1 _{ }  











j

j j

n j

j

n

n I I

1

2 2

1

2

1

1  

A I_Max 0.02

Inertie de la surface Inertie d’un point

3.2 Critère inertie géométrique et méthode modale

•

•

   

 



 



j

B

B diag n B

I

1

2

. .

1 . 

3. Rapprochement des deux méthodes

Forme moyenne

Forme écart-type

• Modélisation 1D:

– Le graphe (,

):

• un outil intéressant permettant l’analyse statistique des tolérances et la confrontation de méthodes de tolérancement

– Tolérancement inertiel 1D:

• une approche garantissant la CF pour la plus mauvaise configuration en statistique,

• Modélisation des positions et formes:

– La méthode modale:

• une méthode générique applicable en métrologie des formes (une pièce ou un lot de pièce),

– Le tolérancement inertiel 3D:

• un critère inertie ajustée pour la qualification des écarts de position, semble prometteur,

– Le critère inertie-modal:

• la fusion de la qualification modale au critère de quantification

inertiel est accomplie,

Perspectives

• Modélisation 1D:

– Le graphe (,

):

• à appliquer sur d’autres tolérancements statistiques et étudier des lois de répartition,

– Tolérancement inertiel 1D:

• approfondir l’estimation de prise de risque (occurrence de la plus mauvaise configuration) afin d’élargir les tolérances,

• diffusion de la méthode: thèse Dimitri Denimal (SYMME / Pôle de Compétitivité Arve Industries),

• Modélisation des positions et formes:

– La méthode modale:

• travailler sur l’identification de modes critiques en vue d’une spécification des formes,

• thèse Hugues Favrelière (SYMME / Centre Technique du Décolletage),

– Le tolérancement inertiel 3D:

• travailler sur la représentation de la tolérance 3D et sa détermination par un tolérancement 3D inertiel,

– Le critère inertie-modal:

• le tolérancement modal et modal-inertiel?

Tolérancement des Systèmes Assemblés, une approche par les Tolérancements Inertiel et Modal

Présenté par

Pierre-Antoine Adragna

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Université de Savoie Composition du jury :

Bernard Anselmetti Jacques Jacot

Jean-Pierre Nadeau

Maurice Pillet