Td corrigé Exercice II Pluton & Charon (5pts) pdf

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Afrique 2008 EXERCICE II. PLUTON ET CHARON (5 points) Correction © http://labolycee.org

1. Généralités

1.1. Un mouvement est circulaire et uniforme si la trajectoire est un cercle et la valeur de la vitesse est constante.

1.2. Pour observer un mouvement circulaire uniforme, le vecteur accélération _a^ du mobile doit être radial (porté par le rayon du cercle), centripète (orientée vers le centre du cercle) et de norme constante.

1.3.

Force d'interaction gravitationnelle F_{A B}_

exercée par le corps A sur le corps B :

A B A B

F G.M .M .u

   d

 

2

2. Étude du système Pluton - Charon 2.1. Période de révolution

La période de révolution de Pluton est la durée nécessaire pour que Pluton fasse un tour complet autour du Soleil, soit 248 années sidérales.

2.2. Étude du mouvement de Charon

2.2.1. Appliquons la deuxième loi de Newton au centre d’inertie G de Charon de masse MC

dans le référentiel plutonocentrique galiléen :

P C C G

F _ M .a Or F_{P C} G.^{M .M}^P ^C.u

   R

 1 

2 donc G.^{M .M}^P ^C.u

 R1 

2 = M .aC G

En simplifiant par MC il vient : aG

= M^P

G. .u

 R1 

2

Caractéristiques du accélération ^a^_G :

- direction : droite Pluton-Charon (direction radiale)

- sens : de Charon vers Pluton : vecteur centripète car dirigé selon - u.

- norme : a_G G.^M^P₂¹

 R : la norme est constante car G, MP1

et R sont constants.

FA B_

P

C

R u

aG

Image de Pluton et Charon, prise par le télescope spatial Hubble, le

21 Février 1994

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2.2.2. Le vecteur accélération est radial, centripète et de norme constante. D’après la question 1.2. ces deux conditions satisfont à un mouvement circulaire et uniforme.

D’autre part, dans le cas d’un mouvement circulaire et uniforme, le vecteur accélération s’écrit aussi : aG

= v R.n

2 

avec n vecteur unitaire tel que n  u Et ^a^_G= M^P

G. .u

 R1 

2 = M^P

G. .n

R

1 

2

En identifiant les deux expressions de ^a^_G, il vient : v R.n

2 

= M^P

G. .n

R



1 2

v² = M^P¹

G. R finalement : v = G.M^P¹

R (en ne gardant que la solution positive).

2.2.3. La période de révolution T de Charon autour de Pluton, est la durée pour que Charon fasse un tour complet autour de Pluton (parcourant ainsi la distance 2R) à la vitesse v.

Ainsi v = ² ^R T

  T = ² ^R

v



2.2.4. Reportons l’expression de v dans celle de T : T =

3

1 1

2 2

2

P P

R R R

v G.M G.M

R

    

En élevant au carré : T² = 4².

3

1 P

R

G.M Finalement :

2 2

3

P1

T 4

R G M

 

 2.3. Détermination de la masse de Pluton

2.3.1. La détermination de la masse de Pluton, à partir de 1978, a été faite à partir de la période de révolution T de Charon autour de Pluton et de la distance moyenne R entre Pluton et Charon.

2.3.2. On a :

2 3

1 2

4

P

M . .R G.T

  avec R en m et T en s !!

MP1

 

2 7 3

11 2

4 1 94 10

6 673 10 6 387 86400 . . , .

, . ^ . ,

 

 = 1,42.10²²kg.

Remarque : on vérifie bien que MP1 > MC … avec environ un facteur 10 seulement.

2.3.3. Avec la relation :

2 2

3

P2 C

T 4

R G (M M )

 

  il vient : ₂ 4 ² ₂³

P C

M M . .R

G.T

   soit finalement :

2 3

2 2

4

P C

M . .R M

G.T

   = MP1 – MC

MP21 42 10, . 221 61 10, . 21 = 1,26.10²² kg

2.3.4. La valeur admise pour la masse de Pluton est 1,31.10²² kg. Cette valeur est plus proche de 1,26.10²²kg (écart relatif de , ,

, 1 31 1 26

1 31 100

  = 4%) que de 1,42.10²² kg (écart relatif de

, ,

, 1 31 1 42

1 31 100

  = 8%).

On ne peut donc pas négliger la masse de Charon devant celle de Pluton. L’hypothèse formulée au 2.3.3. est sans doute vraie.