Formulation mathématique de transfert de chaleur dans une poutre caisson de grande portée

Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

UNIVERSITE ABDELHAMID IBN BADIS MOSTAGANEM

FACULTE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE

DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL

N° D’ORDRE : H…. /2011

MEMOIRE DE MAGISTER

SPECIALITE: GENIE CIVIL

OPTION : PATHOLOGIE DES OUVRAGES D’ART

THEME

Formulation mathématique de transfert

de chaleur dans une poutre caisson de

grande portée

Présenté Par

MEZOUDJ GHAZEL

Soutenue Devant la commission d’examen:

Président:

- BENANNANE.A MCA UMBA MOSTAGANEM Rapporteur:

- KADRI.T MCA UMAB Mostaganem Examinateurs:

-BELGUESMIA.N MCA UMBA MOSTAGANEM -BENAOUINA.C MCA UMBA MOSTAGANEM

Remerciements

C’est pour l’auteur un grand honneur que de remercier monsieur BENANNANE.A MCA UMBA MOSTAGANEM qui a bien voulu accepter la présidence du jury.

L’auteur a eu le grand privilège d’entreprendre ce travail sous le haut patronage de Monsieur KADRI-T, maitre de conférences à l’UMAB Mostaganem. Par ses conseils et ses orientations. Je lui suis reconnaissant et le remercie infiniment.

Mes sincères remerciements à Monsieur BELGUESMIA.N MCA UMBA MOSTAGANEM ,

Monsieur BENAOUINA.C MCA UMBA MOSTAGANEM,

Qui ont daigné à répondre à mon invitation et faire partie de ce jury.

A tout le personnel de Génie civil, qui m’a toujours encouragé dans mon travail, je dis merci.

Toute ma reconnaissance Monsieur Ismail pour son aide d’avoir tapé cette thèse.

Enfin l’auteur exprime toute sa gratitude à sa famille, on particulier à ma femme pour son soutien moral, ma mère et mes frères.

Mes sincères remerciements aussi à mes amis qui m’ont jamais hésité à m’encouragé à aller de l’avant.

Le travail de cette recherche consiste en première lieu l’étude les

différentes étapes de dimensionnement d'un ouvrage en encorbellement.

En deuxième lieu: c'est déterminer une loi de répartition de la

propagation de la chaleur dans un caisson, en la résolvant par une méthode

numérique (méthode des différences finies), afin de déterminer la température

dans chaque section (point) du caisson en fonction du temps t et du profondeur

z, et de déterminer les contraintes qui régissent au sein du caisson.

En troisième lieu: une étude analogique entre la consolidation d'un

bicouche d'un sol fin saturé et la propagation de la chaleur dans un caisson d'un

The aim of this research consists firstly in studying the different steps to design

a cantilevered structure.

Secondly heat transfer law is adapted in order to analyse the temperature

distribution in a box-girder element.

Finite difference method was used to solve heat equation, for different sections,

in terms of time and depth. Then strains and stresses generated are also

determined.

Finally an analogical study between two-strata saturated fine soil consolidation

ﺺﺨﻠﻣ

:

لﻼﺧ ﻦﻣ ﺪﯾﺮﻧ ﻢﺛ ،ﺔﯿﻗوﺪﻨﺼﻟا تﺂﺸﻨﻤﻟا ﻢﯿﻤﺼﺗ ﻒﻠﺘﺨﻣ ﺔﺳارد ﻰﻟإ ﻻوأ ﺚﺤﺒﻟا اﺬھ ﻰﻌﺴﯾ

،ﺮﺴﺠﻟا ﻲﻓ ﻲﻗوﺪﻨﺼﻟا ﺮﺼﻨﻌﻟا ﻞﺧاد ةراﺮﺤﻟا رﺎﺸﺘﻧا ﻊﯾزﻮﺗ نﻮﻧﺎﻗ ﻦﯿﺒﻧ نأ هﺬھ ﺎﻨﺘﺳارد

ﺮﻃ ماﺪﺨﺘﺳﺎﺑ ﺎھدﺪﺤﻧ ﺚﯿﺤﺑ

ﺔﯾدﺪﻋ ق

)

ةدﺪﺤﻤﻟا قوﺮﻔﻟا ﺔﻘﯾﺮﻃ

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ﻊﻄﻘﻣ ﻞﻛ ﻞﺧاد ةراﺮﺤﻟا

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.

ﺔﻌﺒﺸﻤﻟا ﺔﻤﻋﺎﻨﻟا ﺔﺑﺮﺘﻟا ﻦﻣ ﻦﯿﺘﻘﺒﻃ ﻢﯿﻋﺪﺗ ﻦﯿﺑ ﺔﯿﮭﯿﺒﺸﺗ ﺔﺳارﺪﺑ مﺎﯿﻘﻠﻟ ﺮﯿﺧﻷا ﻲﻓو

رﺎﺸﺘﻧاو

ﺮﺴﺠﻟا ﻲﻓ ﻲﻗوﺪﻨﺼﻟا ﺮﺼﻨﻌﻟا ﻞﺧاد ةراﺮﺤﻟا

.

Introduction générale ………... 2

Chapitre I : généralité sur les ponts en encorbellement I-1 introduction ……… 08

I-2Généralités………... 08

I-3Avantages de type de pont………... 08

I-4 Historique………... 10

I-5 Conception et dimensionnement des tabliers………. 10

I-6 La précontrainte dans ce type de pont………. 21

I-7 Stabilité des tabliers pendant la construction……….. 23

I-8 Cycle de construction des voussoirs………... 25

I-9 Conclusion ………. 28

Chapitre II : La loi de propagation de la chaleur dans un caisson II-1 Introduction ……….. ₃₀

II-2 Equation de la propagation de la chaleur dans une barre……….. ₃₀

II-3 Propagation de la chaleur dans l'espace……… 32

II-4 La résolution de l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies……….. 35

II-5 Résolution de l'équation de la chaleur dans un voussoir………... 37

II-6 Calcul des contraintes et des déformations suivant l’axe z ……….. 44

II-7 Le polynôme de Lagrange………. 46

II-8 Conclusion ……… 50

Chapitre III : Résolution analytique de propagation de chaleur dans un caisson III-1 Introduction ………. 52

III-2 Détermination de la propagation de chaleur dans un corps solide ……….. 52

III-3 Résolue par la méthode de séparation des vitesses ………. 53

III-4 Résolution de l’équation (III-2) par la méthode de séparation des variables ……….. 54

III-5 Calcul thermo -élastique d’une plaque constituée par des éléments caissons ……… 55

III-6 Conclusion ………... 59

Chapitre IV : Etude analogique du transfert de chaleur et de consolidation IV-1 Introduction ………. 61

IV-2 Généralités sur les écoulements linéaires dans les sols saturés………... 61

IV-3 Equation de consolidation……… 63

d’une bicouche saturée par la méthode des différences finis

V-1 Introduction ……….. 66

V-2 Application de consolidation d’une bicouche compressible entre deux conches perméables 66

V-3 Conclusion ……… 73

Conclusion générale et Recommandations……….. 75

Bibliographie………... 79

Fig a : Poutre bi-caisson ……… 4

Fig b : Schémas de décomposition d’une structure caisson ……….. 4

Fig I-1: schéma d’exécution d’une paire de voussoir par fléau………... 8

Fig I-2 : l’assurance de la stabilité de la bi-console par des câbles de précontrainte…………. 9

Fig I- 3 : historique des ponts en encorbellement………... 10

Fig I-4 : schémas d’un voussoir monocellulaire………. 10

Fig I-5: schémas d’un voussoir bicellulaires adjacents……….. 11

Fig I-6: schémas d’un voussoir bicellulaires séparés………. 11

Fig I-7: schémas d’un voussoir tricellulaires séparés………. 11

Fig I-8: schémas d’un voussoir à âmes inclinés………. 12

Fig I-9: Cheminer de bétonnage………. 12

Fig I-10 : schémas dimensionnement d’un voussoir monocellulaire………... 14

Fig I-11 : schémas d’épaisseur e de l’hourdis inférieur ………... 15

Fig I-12 : schémas donnant la hauteur du voussoir sur pile et à la clé………. 15

Fig I-13: La variation de la hauteur du voussoir à la travée de rive………... 16

Fig I-14 : La variation d’épaisseur du hourdis inférieur à la travée de rive……….. 17

Fig I-15: La variation de l’inertie………... 17

Fig I-16: La variation de la section………. 18

Fig I-17: La variation de la hauteur sur la travée intermédiaire ……… 18

Fig I-18: La variation d’épaisseur du hourdis inférieur de la travée intermédiaire………….. 19

Fig I-19: La variation d’inertie sur la travée intermédiaire ………... 19

Fig I-20: La variation de section sur la travée intermédiaire ……… 20

Fig I-21 : les câbles de précontrainte sur la bi-console……….. 21

Fig I-22: les câbles de précontrainte de continuité sur la travée intermédiaire ………. 21

Fig I-23: vue en plan des câbles de continuité sur la travée intermédiaire………. 22

Fig I-24: diagramme de moment fléchissant sur les deux travées de rive et la travée ……….. Intermédiaire 22 Fig I-25: les sollicitations exercées sue le fléau pondant la construction ………. 23

Fig I-26: clavage sur culée sur cintre ………. 24

Fig I-27: schéma de clavage central ……….. 25

Fig I-27 bis : schéma des câbles de précontraintes extérieures des stabilisent le voussoir sur pile avec la semelle 26 Fig I-28: schéma de coffrage pour la réalisation de deux voussoirs symétrique ……….. 26

Fig I-29: les phases de bétonnage d’un voussoir ………... 27

Fig II-1: schéma d’une barre homogène de longueur L ……… 30

Fig II-2: donnant les coefficients directeurs ………. 32

Fig II-3: quadrillage de variation de température en fonction de t et de z………. 37

Fig II-4: dimensionnement d’un voussoir à la clé……….. 38

Fig III-1 : les différentes sections dans un caisson……… 57

Fig III-2 : Diagramme de la température suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur………… (Partie gauche) 57 Fig III-3 : Diagramme de la contraint σx suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur………… (Partie gauche) 57 Fig III-4 : Diagramme de la contraint σy suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur ………... (Partie gauche) 57 Fig III-5 : Diagramme de la température suivant l’épaisseur de l’âme ……….. 58

Fig III-6: Diagramme de la contraint σx suivant l’épaisseur de l’âme ……… 58

Fig III-7 : Diagramme de la contraint σy suivant l’épaisseur de l’âme ……….. 58

Fig III-8 : Diagramme de la température suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur (partie ... centrale) 58 Fig III-9 : Diagramme de la contrainte σx suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur (partie centrale) 58 Fig III-10 : Diagramme de la contrainte σy suivant l’épaisseur de l’hourdis supérieur (partie centrale) 58 Fig III-11: Diagramme de la température suivant l’épaisseur de l’hourdis inférieur (partie centrale) 59 Fig III-12: Diagramme de la contrainte σx suivant l’épaisseur de l’hourdis inférieur (partie centrale) 59 Fig III-13: Diagramme de la contrainte σy suivant l’épaisseur de l’hourdis inférieur (partie centrale) 59 Fig IV-1: position du point M à la côte z………..……… 61

Fig V-1 : schéma montrant le chemin de drainage dans la bicouche ……… 66

Fig V-2: schéma de la pression interstitielle U en fonction de z et de t……….. 71

Tableau II-1 : les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t :

saison de printemps

40

Tableau II-2 : les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t :

saison d’été.

41

Tableau II-3: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t :

saison d’automne.

42

Tableau II-4: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t :

saison d’hiver.

43

Tableau II-5: Tmoy enveloppe des quatre saisons……….. 44

Tableau II-6: déformation en fonction de la profondeur………. 44

Tableau II-7: contrainte en fonction de la profondeur………. 45

Tableau II-8: Variation de la profondeur en fonction de temps t………... 47

Tableau II-9: vérification des résultats de z=p(t)………... 48

Tableau II-10: la variation de la température en fonction de z ……….... 48

Tableau II-11 : vérification de t(z) en fonction de z………. 50

2

1-Introduction générale

Les ouvrages d’arts en générale et les ponts en particulier, soit pendant leurs périodes de construction ou d’exploitation sont toujours sous l’effet des facteurs de variation de température Tels que :  Par étuvage  Radiation solaire  Température de l’atmosphère  Etc.…

Ces charges thermiques comme démontrent les recherches de la dernière décennie [28] influent sur la durée de vie et la fissuration des structures mixtes (acier-béton) et aussi sur les structures en béton armé et précontraint en général et en particulier sur les structures caissons. Ces surcharges thermiques d’habitude on ne les prend pas en considération et dans certains cas on utilise des méthodes approximatives qui ne reflètent guère la réalité de condition de conception, réalisations et exploitation de ces ouvrages.

Dans le travail actuel on étudie le travail et le comportement des ponts caissons dans un espace de température variable dans le temps t et l’espace (profondeur) z, c’est-à-dire l’étude de la variation de la température dans les différentes sections en profondeur, comme on étudie leurs influences sur l’état de contrainte et de déformation dans le plan (x o y) par un model analytique qu’on estime plus proche a la réalité des comportements des ouvrages caissons dans ces conditions.

Le travail de recherche peut rencontrer pas mal de difficultés dans la détermination de l’état réel des comportements et d’influence thermique telles que :

3

 Détermination des champs de température dans les différentes sections hétérogènes d’une structure caisson

 Etude de la loi de variation des déformations et contraintes dus a cette variation et transfert thèrmique

Dans la pratique dans notre jour, on utilise trois mesures pour l’étude de ce problème en utilisant la théorie de L’académicien russe LOKYNOVA.B.C [0], qui est basée sur la résolution numérique, telles que : méthode des différances finies, éléments finis et même de volumes finis qui sont :

 Détermination de la variation et la loi de propagation thermique en profondeur en fonction de temps t / ( ) = z

 Détermination de la variation de température T en fonction de la profondeur du caisson / ( ) =

D’où en obtient la fonction ou la loi de variation suivante : T = ( ) o ( ) soit T=ℓ(t,z)

D’où on peut prédire que le travail actuel qui est basé sur la résolution iso-thermique c'est-à-dire détermination des contraintes et des déformations au niveau des différentes sections et points du voussoir a étudier en déterminant le champ thermique qui est très compliqué pour travailler dans un espace (o x y z) dans la théorie d’élasticité. Pour cela pour la résolution de tel problème on se base sur une résolution graphique qui est plus facile mais ne sera pas notre cas car elle est monotone et fastidieuse pour déterminer l’état de chaque section et point de la structure.

Pour être plus académique et pragmatique dans notre raisonnement, on est opté pour une méthode ou résolution qui est comme suivant :

1. Détermination de la répartition de la température dans le sens profondeur o z de la structure caisson et étudier les états de contraintes et de déformations pour cette répartition

4

2. Détermination des contraintes dans les différentes poutres caissons de la structure, qui sont considérés comme des structures spatiales (o x y z)

3. Les contraintes obtenues dans les cas 1 et 2 s’additionnent .Pour la résolution du problème, on divise la poutre caisson en plusieurs poutres mono caissons et enfin on calcul chaque caisson d’âpres la loi thermoplastique, en utilisons la méthode des différences finies et analytique. shama de calcul pris en considération dans notre travail actuel est illustré dans la figure ci-dessous

Fig a : Poutre bi-caisson

Fig b : Schémas de décomposition d’une structure caisson

Ce schéma décompose la structure caisson en plusieurs éléments caissons (mono-caisson) et détermine les conditions aux limites pour étudier et résoudre le problème actuel 1 2 T’x1 m1 I II Tx1 Ty1 T’y1 T’z1 Tx1 Tz1 Ty1 m1 m’1 T’y1 T’x1 T’z1 m’1 Tx1 Tz1 Ty1 m1 T’x1 T’x1 T’z1 m’1

5

Les principales conditions de recherche actuelle :

-On applique la non liaison de la théorie quasi- statique de contraintes thermiques (c'est-à-dire pas de liaison entre les différentes contraintes thermiques dans les différentes directions). On détermine la température ou transfert de chaleur dans chaque section sans faire tenir compte et sans faire liaison entre l’énergie mécanique et thermique des solides à étudier

-On ne prend pas en considération de l’influence de la rhéologie du béton sur la répartition des contraintes thermiques. On considère que la déformation est infiniment petite pour toutes sections et le solide et le matériau toujours considérés comme isotrope et élastique

-Module d’élasticité et de déformation instantané du béton et considéré le même pour la traction et la compression

-Le coefficient de conductibilité et de densité ne dépendent pas de la température

- On considère que la température ne varie pas dans le sens longitudinal (o x)et dans le sens transversal (o y)

-On a considéré que toute la section transversale peut être décomposée en plusieurs éléments plaques tel que : 3δ < b

Ou δ : l’épaisseur de l’élément plaque

b : largeur de l’élément plaque

6

2- Problématique

Le calcul thermique des ouvrages d’arts (structure) en général et les ponts caisson en particulier ne sont pas calculer à notre jour sous l’effet réel de la température, d’où on considère la répartition de transfert de chaleur dans les différentes sections de la structure comme une loi linéaire et même dans la majorité des cas on prend la température comme un scalaire ou un gradient thermique qui n’est pas le cas réel et par conséquent la majorité des structures s’endommagent sur l’effet des contraintes et des déformations thermiques ,voir : joints de chaussées, appareil d’appuis etc. qui n’arrivent a absorber les effets thermiques telles que la dilatation ou la distorsion.

Pour cette raison notre travail actuel consiste a déterminer un model théorique de transfert de chaleur et calcul de contraintes et de déformation dues a cette dernière, on se basant sur des données probabilistes qui se coïncident plus ou moins avec non condition techniques et climatiques pou mètre nos ouvrages a l’abris de dégradation thermique

3- Méthodologie

Pour l’étude et la résolution du problème exposé dans la problématique, on est opté à la méthodologie suivante :

 Introduction générale

 Chapitre 1 : généralités sur les ponts en encorbellement  Chapitre 2 : la loi de propagation de chaleur dans un caisson

 Chapitre 3 : résolution analytique de la propagation de la chaleur dans un caisson

 Chapitre 4 : étude analogique du transfert de chaleur et de consolidation  Chapitre 5 : résolution du model de transfert de chaleur par analogie de

8

I-1 Introduction :

On a entamé l’étude du voussoir et les différents étapes d'un ouvrage en encorbellement en général et la répartition des câbles au niveau de la partie tendue supérieure et les câbles de continuité qui se trouvent au niveau de l'hourdis inferieur, pour voir leurs influences sur la loi de répartition de la chaleur et sa vitesse de propagation en profondeur dans un voussoir à section transversal constante au variable

I-2Généralités:

 Les ponts en béton précontraint par encorbellement sont développés par les allemands, il y aura bientôt 1/2 siècle (les années50), puis par de nombreux pays au premier rang desquels la France.

I-3Avantages de type de pont:

I-3-1 Il s'accommode très bien des piles de grande hauteur

I-3-2 Permet la préfabrication des voussoirs lorsque ceux-ci sont en nombre important

I-3-3 La rapidité d'exécution permise par ce procédé avec des voussoirs coulés en place.

(En réalise normalement une paire de voussoir par semaine et par fléau

(Voir fig I- 1)

Fig I-1: schéma d’exécution d’une paire de voussoir par fléau. Fléau

Pile

Semelle Pieux

9

Fig I-2 : l’assurance de la stabilité de la bi-console par des câbles de précontrainte

(Si l'on préfabrique le tablier, on réalise 3 à4 voussoirs par semaine et par fléau).

1- Son prix de revient a permis de concurrencer avec succée la construction métallique

- En réalise de grandes portées (jusqu'à 150m à 300m)

On assure la stabilité de la console ainsi constituée à chaque étape de la construction par des câbles de précontrainte de longueur croissante, disposés dans la membrure supérieure (voussoir): partie tendue (voir schémas fig I-2).

Les voussoirs peuvent être bétonnés en place dans des coffrages mobiles où être préfabriqués, transporté et mis en place (plusieurs ouvrages rapprochés, est le cas le plus fréquent en Algérie, car nous permet de beaucoup du temps et nous facilite la tache pour la mise en place même dans les périodes de mauvais temps et nous assure une bonne qualité de construction, car on maitrise facilement la qualité de béton et sa résistance demandée pour ce genre de construction (structure caisson)

Pile

10

I-4 Historique:

Les premiers ponts en encorbellement fusent en effet édifiés en bois (voir schémas figure 3)

I-4-1 Exemple réel:

Pont en bois de 550 m de portée établi en 1811 par l'ingénieur américain THOMAS Pope (arc surbaisse encastré sur deux culées en maçonnerie).

I-5 Conception et dimensionnement des tabliers

I-5-1Coupe transversale du caisson (voussoir): L: largeur du tablier a âme e Hourdis supérieure Hourdis inférieure Pour l≤13m

Fig I-4 : schémas d’un voussoir monocellulaire Sens de passage

11

Si l≥25m

L

Fig I-6 : schémas d’un voussoir bicellulaires séparés

Fig I-7 : schémas d’un voussoir tricellulaires séparés L

Pour13m≤ l≤18m

3 âmes

Fig I-5: schémas d’un voussoir bicellulaires adjacents L

Pour 18m ≤ l≤ 25m

4 âmes à

6 âmes à

12

I-5-2 Cas (âmes inclinés)

Il faut 4 1 5 1  tg

I-5-3 épaisseur "a" de l'âme

Il faut que a2



2el6



: diamètre de la gaine (I-1) Exp: - un câble: 1288cm

α

Fig I-8 : schémas d’un voussoir à âmes inclinés

Fig I-9 : schémas de cheminer de bétonnage a 6 6 2 Filants (Øl) Etriers (Øe) Câble Ø (cm) gaine

13

(Un câble : de 12 fils de 8mm)

- un câble 12T13

(12torons de 1/2(demi-pouce), soit 12,4mm

*étrier en 10

Et des filants en 8

Alors a82



20,816



a 27,6cm

Soit a28cm

Pour des âmes à grande hauteur: la valeur précédente est insuffisante

Guyon propose: une formule empirique, tel que :

 

( 2) 5 36    h cm I a h : Hauteur de l'âme

Exp: h5m, des câbles 128



8cm



    5 36 500 a 88 , 26  a Soit a27m Si h6m et 7m a 30cm Si h m a h 8



cm



22 , 7

14

I-5-4 épaisseur (e) du hourdis supérieur

) 3 ( 1 3 2 1 0 _           L I C

e

e

Tableau I-1: lois de variation de l’épaisseur de l’hourdis supérieur en fonction de la largeur de la cellule de voussoir

L(m) 2,5 3 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5

e

0(cm) 16 18 20 22 Pour L4,5m 10 ( 4) 36 0          L cm I

e

Fig I-10 : schémas dimensionnement d’un voussoir monocellulaire En tenant compte de transfert de chaleur en profondeur

15

I-5-5 Hourdis inférieur:

Épaisseur (e') du hourdis inférieur:

e ) 5 ( 5 , 2 5 , 0       I e    

Si aucun câble n'est dispose dans le hourdis inférieur:

cm

e

'12

* Si l'intrados est parabolique

( 6) 16 1 20 1 ₁    I l

h

Economique 17 1 1  l

h

h

0: peut être théoriquement nulle à mi-travée (Consoles articulées) l h1 h0 Ø Ø 0,5Ø ou 3cm

Fig I-11 : schémas d’épaisseur ede l’hourdis inférieur

16

Donc il faut prévoir

_h

₀de 1m à 1,4m

Si le tablier est continu

_h

₀: minimale est de 1,6m

En pratique ( 7) 30 60  0 I l l

h

I.5.6 Predimentionnement des voussoirs:

La variation de la hauteur h(x):

I.5.6.1: au niveau de la travée de rive

L'intrados suit une variation parabolique (partie proche de la pile), puis une partie du tablier (les 7m dernier coté de culée) a une hauteur constante égale à

c h l x   0 :

 

2









( 8) 2                      I l x h h l x h h h x h _{p p c p c} 75 , 7 1 x l : h

 

x h_c ( I 9)

 L'épaisseur du hourdis inférieur  e x :

Elle suit une loi de variation parabolique analogue à celle de  h x

 









2 2 : 0                       l x e e l x e e e x e l x _{p p c p c}

17 75 , 7 1 x l :

 

x ec e  La variation de l'inertie:

La loi de variation d'inertie est en fonction de la hauteur qu'a été retenue:

) 10 ( 2 5   k h I I

Elle est comprise entre la loi limite _{I  kh}2_{et la loi de variation des section} rectangulaires I  kh3.hypothèse des tables de GULDAN, elle correspond bien aux sections en T et en caisson.

l x   0 : I

 

x I_c ( I 11)

 

1 ( 12) : 2 5 2                      I ul l ul x k I x I l x ul _c Avec: 1 4 , 0           c p I I k

Fig I-14 : La variation d’épaisseur du hourdis inférieur à la travée de rive

18  La variation de la section:

 

( 13) : 75 , 7     x l m s x s I l c

 

2







/









/



( 14) 0xl s x s_p  s_p s_c X L  s_p s_c X L 2 I  : p

s La section au niveau de pile.

:

c

s La section au niveau de culée.

 la variation du centre de gravité de la section du voussoir:

) 15 ( 1 1 1 2                             I l x Y Y Y Y Gc Gp Gc G : GP

Y Centre de gravité du voussoir sur culée.

:

Gc

Y Centre de gravité du voussoir sur culée. I.5.6.2 au niveau de la travée intermédiaire:

* la variation de la hauteur  h x l x   0 :

 

2









( 16) 2                     I l x h h l x h h h x h _{p p c p c}

Fig I-16: La variation de la section

19

* l'épaisseur du hourdis inférieur  e x

l x   0 :

 

2









( 17) 2                     I l x e e l x e e e x e _{p p c p c}  la variation d'inertie:

La loi de variation de l'inertie est comme suite:

 

1 1 2 ( 18) : 0 2 5 2                     I l x K I x I l x _c Avec: 1 4 , 0           c p I I K

Fig I-18: La variation d’épaisseur du hourdis inférieur de la travée intermédiaire

20  La variation de section:







/









/



( 19) 2 ) ( : 0xL s x s_p  s_p s_p X L  s_p s_c X l 2 I

 la variation du centre de gravité:

 

2









( 20) : 0 2                     I l x Y Y l x Y Y Y x Y l x _{G Gp Gp Gc Gp Gc}

I-5-7 Avantages des tabliers à hauteur variables:

- Economie des matériaux

- la hauteur constante est plus commode pour les passages des canalisations des services publics (eau, gaz, etc.……)

Fig I-20 : La variation de section sur la travée intermédiaire Qui tient compte de variation de contrainte dans le plan (xoy)

21

I-6 La précontrainte dans ce type de pont :

I-6-1 Pendant la construction:

I-6-2 Après service

I-6-2-1 après service en profil en long

Des câbles de continuité

Fig I-21 : les câbles de précontrainte sur la bi-console

Fig I-22 : les câbles de précontrainte de continuité sur la travée intermédiaire Qui régularisent les états de contraintes et déformations différées en général et de

22

I-6-2-2 En plan (après service)

 Partie tendue c’est la partie inférieur (Hourdis inférieur). Section la plus sollicitée

Câble de continuité - + - + +

Fig I-23 : vue en plan des câbles de continuité sur la travée intermédiaire d’un pont caisson

Fig I-24 : diagramme de moment fléchissant sur les deux travées de rive et la travée intermédiaire d’un pont en encorbellement successifs

23

I-6-3 Pour le relevage de la Précontrainte de continuité de rive :

Les câbles de rive sont généralement de 80% à 70% de la précontrainte centrale.

I-7 Stabilité des tabliers pendant la construction:

I-7-1 (1er phase ) Evaluation des charges appliquées :

Sans tenir compte du transfert de chaleur

Pour une largeur l, q=50.10-3 l t/ml

Vent : règlement français évalue son action sur une surface frappée normalement à :

- 100kg/m2 si la phase de construction t<1 mois - 125 kg/m2 si la phase de construction t>1 mois

Fig I-25 : les sollicitations exercées sue le fléau pendant la construction Q=5t 55t _Ponctuelle charge de chantier (Charge de chantier) q=50kg/m2 1,03 P1 0,98 P2 55t (qA) 3m qA : due au chute d’un équipage mobile _P 2 : poids de la console gauche P1 : poids de la console droite q=50kg/m2 (correspondant à 2cm de béton sur toute la surface d’un

demi fléau) Vent : 22 kg/m2

24

Vent ascendant (angle ≈10° /horizontal t>1mois)

→ q verticale=125 sin10°≈22kg/m2

I-7-2 Etude de la deuxième phase :

L’exécution de clavage de rive :

On effectue les deux clavage de rives sur culée 125

10° qv

Fig I-26 : clavage sur culée sur cintre Cintre

25

1- 7-3 Etude de la troisième phase:

L’exécution de clavage centrale:

En tenant compte des déformations dues au transfert de chaleur

I-8 Cycle de construction des voussoirs :

I-8-1Voussoirs sur pile :

Est généralement bétonné sur un échafaudage afin de servir de plate forme de et de montage et de base de départ aux équipages mobiles. Dans les cas ou les fléaux sont des grandes portées et pour éviter le renversement du fléau on réalise une stabilité par des câbles de précontrainte qui lient le voussoir sur pile et la semelle. Ce procédé se fait dans le cas ou le VCP et simplement appuyé sur la pile, mais une fois le schéma statique de l’ouvrage est bouclé, on les cisaille. Voir (fig I-27bis).

Clavage centrale

26

7m≤ l ≤10m

C2 C1

u _L>2u u

Voussoir

Fig I-28 : schéma de coffrage pour la réalisation de deux voussoirs symétrique

Fig I-27bis : schéma des câbles des précontraintes extérieures qui stabilisent le voussoir sur pile avec la semelle

Les câbles de précontrainte Appareille d’appui

27

Voussoir courants : 3m≤ l ≤4m

I-8-2 Les phases de bétonnages du voussoir:

Qui tient compte de l’état de contraintes due a la chaleur

La cadence normale de construction permet, avec un équipage mobile traditionnel de réaliser un cycle.

Complet en une semaine (6 jours)

Soient:

 Une journée pour la mise eu tension du voussoir précédemment bétonné, le décoffrage et l'avancement de l'équipage

 Deux journées pour la mise eu place des armatures et des câbles

Trois journées pour la prise et le durcissement du béton (Rcj170bars) + 6 jour de vendredi soit: (7 jours).

Fig I-29 : les phases de bétonnage d’un voussoir Coffrage

3

2

1

28

I-9 Conclusion:

Le principal avantage de la construction par encorbellement est la suppression des cintres et échafaudages libérant ainsi l'espace situe au dessous de l'ouvrage, ce procédé est donc particulièrement adapté aux conditions locales suivantes:

• Ouvrage comptant des piles très hautes et franchissant des vallées larges et profondes (cintre onéreux)

• Rivières à crues violentes et soudaine (cintre dangereux).

• Nécessité de dégager sur la voie franchie un gabarit de circulation ou de navigation pendant la circulation (cintre gênant).

La technique de l'encorbellement présente également d'autres avantages:

• Réduction et meilleur utilisation des coffrages, limités à la longueur d'un voussoir.

• augmentation du rendement de la main d'œuvre, dû à la mécanisation des taches à l'intérieur d'un cycle répétitif.

• Souplesse d'exécution liée à la possibilité d'accélérer la construction en multipliant le nombre de bases de départ.

• Rapidité de construction dans le cas d’ouvrages a voussoirs préfabriqués dont la vitesse d'avancement atteint une dizaine de mètre de tablier par jour.

La loi de propagation de la chaleur dans un

caisson

30

II-1 Introduction :

Le travail de ce chapitre consiste à déterminer une loi de répartition de chaleur dans un caisson en général et en profondeur en particulier pour évaluer réellement les différents efforts qui peuvent être lieu au niveau des différents sections de conjonction telle que les deux hourdis supérieur et inférieur les âmes qui sont très sensibles au cisaillement, due à la variation du gradient thermique.

Pour cette raison on est censé de déterminer une loi mathématique de propagation thermique qui est basée sur des données numériques.

II-2 Equation de la propagation de la chaleur dans une barre Enoncé du problème aux limites.

Soit une barre homogène de longueur l

Soit T ,

 

x t la température dans la section de la barre d'abscisse x à l'instantt.

La quantité de chaleur pénétrant par la section d'abscisse x au cours d'une intervalle de temps unité est :

 

24 ( 1) ;

lim

0                  II t Q q S x T K q t : Q  la quantité de chaleur passant par S au cours de t.

Coefficient de conduction thermique:

(

_x

₂

_x

₁x)

:

K

L x1 x2

x

31

-quantité de chaleur passant par la section d'abscisse

_x

₁ pendantt. Sera:

) 2 ( 1 1    





 II t S x K

x

T

Q

x De même: ) 3 ( 2 2    





 II t S x K

x

T

Q

x L'apport de: ) 4 ( 2 2 2 1 2 1                                         











  II t S x T K t S x K t S x K

x

x

T

x

T

Q

Q

x x

Nous avons appliqué le théorème de Lagrange à la différence [25]

f x x

x

T

x

T

x x









   2 1

Continue et dérivable sur



a,b



alors 



a,b



telque:

) 5 ( ) ( ' ) ( ) (     II c f a b a f b f Donc : x T  

continue et dérivable sur



_x

₁;

_x

₂



; donc x



_x

₁,

_x

₂



tel que:





₂ ( 6) 2 1 2 2 1      











  II T x x

x

x

x

x

T

x

T

x x

Cet apport de chaleur au cours du temps t est dépensé pour élever la température de la barre de la quantité T . [26,27]

dt t T T avec II dt t T S x C ou T S C

Q

Q

Q

Q

                      



( 7) 2 1 2 1  

Ou C:la capacité calorifique de la barre.  Masse volumique de la barre. :

32 y n t α dn dy dx β

Alors (II-4) (II-7) t

t T S x C t S x T K

x

           



₂  2

x

T C K t T 2 2      



 ; désignons par :C

a

K 2   : diffusité Alors ₂ ( 8) 2 2      

_

II T t T

x

a

Equation de la chaleur dans une barre homogène.

Pour que la solution de l'équation (II-8) soit entièrement déterminée, la fonction

 

x t

T , doit vérifier la condition aux limites:

 

x,0 

 

x ...condiction initiale (II9)

T 

Condition initiale pour t 0

 

 

 

,

 

( 11) ) 10 ( , 0 2 1     II t t l T II t t T





T t  

0 : Condition aux limites

II-3 propagation de la chaleur dans l'espace:[28,29,30] soit n : vecteur unité n 1donc:

) 12 (                II dn dz z T dn dy y T dn dx x T n T

cos cos cos ( 13)

             II z T y T x T n T    Voir schémas

Fig II-2: donnant les coefficients directeurs Conditions aux limites

33

Ou cos;cos;cos cosinus directeurs du vecteur n

Ou' encore   ; ( 14)   II T d gra n n T   Alors               cos cos cos

n n 1

_cos

2

_cos

2

_cos

2

La quantité de chaleur débitée durant l'unité de temps traversant la surface S

est : ) 15 (         S II n T K Q Ou' QKngradTS

La quantité de chaleur, passant au cours de temps tpar la surface S est

) 16 (          Q t Kn gradt t S II

La quantité de chaleur s'écoulant par la surface S sera



      SKn gradt ds II t Q   ( 17)

La formule (2) donne la quantité de chaleur pénétrant dans le volume V(ou quittant le volumeV) au cours du tempst.

V: Volume limité par la surface S .

La quantité de chaleur pénétrant dans le volume V sert à réchauffer la substance de ce volume.

-considérons un volumeV . Supposons qu'au cours de t, sa température sont élevée de t .il est évident que la quantité de chaleur dépensée pour élever la température de l'élément V sera égale à:

) 18 (             dt II t T V C T V C   dt t T T car         ou dt t T   

La quantité globale de chaleur dépensée à l'échauffement dans le volume V au cours du temps t sera :

34  ( 19)   

_

dV II t T C t V 

Alors : (II-17) (II-19)

dv t T C T TdS d gra n K t S V _       

_

 

_



Division par t,nous obtenons :

) 20 (        

_

_

dV II t T C dS T d gra n K S V   

D'après la formule d'Ostrogradsky et posant F KgradT







_





( 21)



KgradT ndS div KgradT dV II

V S Alors





dV t T C dV gradT K div V V _    

_

_







_ 0 ( 22)         

_

dV II t T C gradT K diV V 

Remarque : Théorème de la moyenne:[31]

_

f



x,y,z



dV  f

 

P V (II23) V





0 ( 24) 0 0 0 1 1 1                   II z y x t T C gradT K diV z y x               

z

y

x

P 1 1 1 un point de V f

 

P 0





( 25)      diV KgradT II t T C Mais  ( 26)            K II z T K j y T K i x T K T d gra K    





 ( 27)                                 II z T k y y T k y x T k x T garcd k div et

Partout dans l'équation (6); nous aurons:

) 28 (                                      II z T k z y T k y x t k x t T cp

35

Ou k est une constante; dans ce cas:

                  2 2 2 2 2 2 z T y T x T k t T cp Et en posant 2 a cp k   ) 29 ( 2 2 2 2 2 2 2                    II z T y T x T a t T

Sous une forme condensée l'équation (II-29) s'écrit:

) 30 ( 2      II T a t T ou ₂ 2 2 2 2 2 z y T x T T T           Laplacien de T - si la fonction T



x,yz,t



ne dépend ni de x, ni de y - alors ₂ ( 31) 2 2       II z T a t T

Équation de la propagation de la chaleur dans une barre.

II-4 La résolution de l'équation de la chaleur par la méthode des différences finies:[32,33,34] ) 32 ( 2 2 2       II x T a t T



,







 ,







,



( 33)   II h t x T t h x T t x x T



hx



 

1



,



 

,

 

,



,



( 34) 2 2                II h t h x T t x T h t x T t h x T h t x x T Ou ₂

 

,



,



2

 

₂,



,



( 35) 2         II h t h x T t x T t h x T t x x T

D'une manière analogue:



,







, 







,



( 36)   II l t x T l t x T t x t T



l t



On demande de trouver la solution de l'équation: (4) 2 2 2 x T a T T     

36

Vérifiant les conditions aux limites:

 

 





 





 

,

 

0 (Condition aux limites)



39



38 ) limites aux Condition ( 0 : 0 ) 37 ( . 0 0 , 2 1             II T t t t l T II T t t t T II initiales coditions L x x x T   

C'est à dire trouver la solution T ,

 

x t dans le rectangle délimité par les droites

T t l x x

t0, 0 ;  ;  si l'on connait les valeurs de fonction recherchées Sur trois de ses côtés : t 0, x  0 ; x l

x ih ; i1,2,3,...,n

t jl ; j1,2,3,...,n

Et déterminons les valeurs approchées des solutions aux nœuds de cette grille, c'est-à-dire aux points d'intersection de ces droites.

Introduisons les notations.



ih,jh



T₁,j (II 40)

T

Ecrivons au lieu de l'équation (II-32), l'équation correspondante en différences finies pour le point



ih,jl



. Conformément aux formules (II-35) et (II-36) nous obtenons: ) 41 ( 2 2 , 1 , , 1 2 , 1 ,      _{ }  II h T T T a l T T_{i j i j i j i j i j} Définissons T_{i, j 1}:?





( 42) 2 1 _{2 ,} 2 _{2 1, 1,} 2 1 ,            _{ }  T T II h l a T h l a T_{i j i j i j i j}

Il découle de la formule (II-42) que si l'on connait les trois valeurs dans ième

j

série, Ti,j ;Ti1,j; Ti1,j; on peut déterminer la valeur Ui, j 1dans la



J 1



ième série: Nous connaissons toutes les valeurs sur la droites



t0



formule (II-37).

D'après la formule (II-42) nous déterminons les valeurs sur tous les points intérieures du segment t l

37

Les valeurs aux extrémités de ce segment non sont connues en vertu des

formules (II-38) et (II-39). Ainsi nous obtenons rangée par rangée les valeurs de la solution recherchée pour tous les nœuds de la grille.

Dans le cas ou le pas l sauvant l'axe t est choisi de sorte que:

2 2 2 2 2 2 2 ) 43 ( 2 1 0 2 1 a h l ou II h l a ou h l a           

Dans ce cas l'équation (II-42) prend la formule:

) 44 ( ) ( 2 1 , 1 , 1 1 ,   T T II  Ti j i j i j

Voir fig II-3

II-5 Résolution de l'équation de la chaleur dans un voussoir T (z, t) dépend uniquement de z :

Pour la résolution de l'équation de la chaleur considérons a titre d'exemple le voussoir à la clé du pont en encorbellement de Mascara à trois travées: 55m – 100m –55m à inertie variable (coulé sur place par un système de coffrage mobile).

Considérons la travée intermédiaire et tout juste le voussoir à la clé:

38

Redimensionnement du voussoir: [4]

La hauteur a mi-travée demeure: 60 30 l h l c  

l_{: portée de la travée intermédiaire adjacente à la pile.}l100m

         m h m h c c 33 , 3 66 , 1 33 , 3 100 60 100 On prend h_c 2,5m Section transversale: Epaisseur de l'âme

Guyon propose une formule empirique: [6]

) ( 5 36 cm h a   : : diamètre de la gaine : h _{hauteur de l'âme.} cm a 5 8,8 20,46 36 240     On prend a35cm

Car l'épaisseur minimale a30cm

Epaisseur de l'hourdis inférieur à la clé ei 25cm L'épaisseur supérieure est constante: e0 25cm

39

Rendons le voussoir homogène (béton +l’air) : La diffusité de l’air = 200.10-7m2/s=2

La diffusité de béton= 5.10-7m2/s=1

Alors la diffusité du milieu homogène est  avec 1 1 1 1 ( 45) 3 2 1     II     3 1 

  diffusité du béton au niveau des âmes Alors



200.10



5.10 2.47.10 m /s 2 10 . 200 10 . 5 2 1 2 1 7 2 7 7 7 7 1 2 2 1 2 1                        On a : avec m s z t h l

a

a

a

2.4710 / 2 1 2 _{7 2} 2 2 2 2 _                    Donc

_T

_{i;j 1}



_T

_{i 1;j}

_T

_{i 1,j}



2 1      Z=ih ; i 1,2,3...,n t=J.l ;J 1,2,3...n Déterminons les n de i et de J. ; 10 . 47 , 2 10 . 47 , 2 2 1 2 7 2 7                   z t h l On fixera z 0.25m Donc _zz  ₀2_.25.5 10 10 ,..., 0 ; ;   ih h z i z Donc





s h z t z t 126518,21 35 ) 10 . 47 , 2 ( 2 25 . 0 10 . 5 2 2 . 10 . 74 , 2 ₇ 2 7 2 2 7           _{ }  Soit t 35h

Pendant une semaine : 7 24hon aura : 4,8 35 24 7    n Sort n 5;donne J 0,1,2...,5 [36-a] [36-a]

40

Saison printemps:

a) Conditions aux limites

0 20 20 0 , 10 0 , 0     j T T j j b) Conditions initiales :





0 0 , 10 0 , 0 0 0 , 30 10 , 0 30      T T Ti i

Tableau II-1: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t : saison de printemps

D’après les résultats obtenus de températures dans le tableau ci-dessus (voir tableau II-1) on remarque que la colonne de la valeur de profondeur z = 1.25m (i=5) est une colonne de symétrie se qui ne permet de faire notre étude uniquement sur un intervalle de [0, 1.25m]

j i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 20 30 30 30 30 30 30 30 30 30 20 2 20 25 30 30 30 30 30 30 30 25 20 3 20 25 27.5 30 30 30 30 30 27.5 25 20 4 20 23.75 27.5 28.75 30 30 30 28.75 27.5 23.75 20 5 20 23.75 26.25 28.75 29.37 30 29.37 28.75 26.25 23.75 20 Tmoy 21.66 26.25 28.54 29.58 29.89 30 29.89 29.58 28.54 26.25 21.66

41

Saison d’été :

a) Conditions aux limites

0 35 35 0 , 10 0 , 0     j T T j j b) Conditions initiales :





0 0 , 10 0 , 0 0 0 , 30 10 , 0 30      T T Ti i

Tableau II-2: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t : saison d’été. j i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 35 30 30 30 30 30 30 30 30 30 35 2 35 32.5 30 30 30 30 30 30 30 32.5 35 3 35 32.5 31.25 30 30 30 30 30 31.25 32.5 35 4 35 33.12 31.25 30.62 30 30 30 30.62 31.25 33.12 35 5 35 33.12 31.87 30.62 30.31 30 30.31 30.62 31.87 33.12 35 Tmoy 34.16 31.87 30.72 30.20 30.05 30 30.05 30.20 30.72 31.87 34.16

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Saison d’automne:

c) Conditions aux limites

0 25 25 0 , 10 0 , 0     j T T j j d) Conditions initiales :





0 0 , 10 0 , 0 0 0 , 30 10 , 0 30      T T T_{i i}

Tableau II-3: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t : saison d’automne.

j i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 25 30 30 30 30 30 30 30 30 30 25 2 25 27,7 30 30 30 30 30 30 30 27,7 25 3 25 27,7 28,75 30 30 30 30 30 28,75 27,7 25 4 25 27,7 28,75 29,37 30 30 30 29,75 28,75 27,7 25 5 25 27,7 28,75 29,37 29,68 30 29,68 29,75 28,75 27,7 25 T moyen 25,83 28,12 29,27 29,74 29,94 30 29,94 29,74 29,27 28,12 25,83

43

Saison d’hiver :

e) Conditions aux limites

0 5 5 0 , 10 0 , 0     j T T j j f) Conditions initiales :





0 0 , 10 0 , 0 0 0 , 30 10 , 0 30      T T T_{i i}

Tableau II-4: les variations de température en fonction de la profondeur z et du temps t : saison d’hiver.

j i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 5 30 30 30 30 30 30 30 30 30 5 2 5 17,5 30 30 30 30 30 30 30 17,5 5 3 5 17,5 23,75 30 30 30 30 30 23,75 17,5 5 4 5 14,37 23,75 26,87 30 30 30 26,87 23,75 14,37 5 5 5 14,37 20,62 26,87 28,43 30 28,43 26,87 20,62 14,37 5 T moy 9,16 20,62 26,35 28,95 29,73 30 29,73 28,95 26,35 20,62 9,16

Mêmes conclusion et remarque que celles du tableau II-1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 température en degré i printemps été automne hiver

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Donc T moy= ?? C’est la T moy du printemps

D’après les résultats obtenues dans le graphe de la figure II-5 toutes les variations de températures saisonnières, voir celles de l’hiver, printemps et

automne varient selon une parabole de concavité négative < 0, sauf celles de l’été qui varient selon une concavité positive > 0 , leurs tangentes horizontales est au niveau du point (z,T) = (1.25 ; 30) c'est-à-dire quelque soit la température extrême . Soit extrême haut pour le printemps, hiver et automne est

de 30° et extrême basse pour la saison été et de 30° aussi, d’où on a = 0 pour z = 1.25m (i=5) et T(1.25) = 30

Tableau II-5 : Tmoy enveloppe des quatre saisons.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T moy 21.66 26.25 28.54 29.58 29.89 30 29.89 29.58 28.54 26.25 21.66

D’après les résultats illustrés dans les quatre tableaux, on remarque que la T moyenne des quatre saisons est égale à la température du printemps.

II-6 calcul des contraintes et des déformations suivant l’axe z La température de mise en construction du voussoir est 15°

Alors 5 01 10     t C moy   

Tableau II-6: déformation en fonction de la profondeur.

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 moy  6,66 ₁₀-5 11,24 10-5 13,53 10-5 14,57 10-5 14,89 10-5 15 10-5 14,89 10-5 14,57 10-5 13,53 10-5 11,24 10-5 6,66 10-5 Alors moy Emoy E 2.105Mpa

45 13,32 15,32 17,32 19,32 21,32 23,32 25,32 27,32 29,32 31,32 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i T moy Tableau II-7 : contrainte en fonction de la profondeur

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

moy

 en Mpa

13,32 22,48 27,06 29,14 29,78 30 29,78 29,14 27,06 22,48 13,32

D’après les résultats obtenus dans le graphe ci-dessus (voir figure II-6), on remarque que la contrainte due a la variation et transfert de chaleur atteint son maximum a une profondeur z = 1.25m (i=5) c'est-à-dire a mi-profondeur, au milieu de la hauteur du caisson qui est justifiée par la théorie (voir la méthode analytique). Pour cette raison on un risque dans les cas extrêmes d’avoir un dépassement des états limites et admissibles qui peuvent provoquer une rupture ou éclatement des sections intermédiaires, c'est-à-dire au niveau des âmes, pour cette raison on prévoit un renforcement au niveau de ces sections par des composites au béton armé par un tissage, soit par un tissu en fibres métalliques ou en Carbonne

Fig II-6 : la loi de variation de contrainte en fonction de la profondeur.

moy