Théorème des zéros effectif et élimination

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

P. P

HILIPPON

Théorème des zéros effectif et élimination

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

1, n

o

_{1 (1989),}

p. 137-155

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1989__1_1_137_0>

© Université Bordeaux 1, 1989, tous droits réservés.

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Théorème des zéros effectif

et

élimination

par P. PHILIPPON

Résumé 2014 Les _paragraphes 1 et 2 _rappellent les circonstances de _l’exposé

oral, tandis que le paragraphe 3 aborde un _aspect particulier de la théorie

de l’élimination : une notion de _{multiplicité} d’un idéal en un _point. Cette

partie est le fruit de _{passionnantes} discussions avec F. Amoroso.

Abstract 2014 We recall the content of the talk in _paragraphs 1 and 2. Then

we _{presen t} in _paragraph 3 a _{specific aspect} of elimination _{theory : namely}

a notion of multiplicity of an ideal at a _point. This last part came out of

exciting conversations with F. Amoroso.

1. La situation

_historique

Considérons la forme suivante du théorème de

_Hilbert,

dit des zéros :

. Soient k un corps et h’ sa clôture

algébrique,

si

P1, - - - ,

Pm

sont des

polynômes

de

_{k~Xl, - - - , Xn]}

sans zéro commun dans existe des

poly-nômes

_{A1, - -~- ,}

_A~,,

E

_{I~~Xl, - - - , Xn]}

tels _que

Cette version est

_équivalente

au théorème

original

de Hilbert

[Hi]

comme l’a très

_{simplement remarqué}

J.L. Rabinowitsch dans

_[R].

La démonstration donnée _par Hilbert est ineffective et le besoin d’un

_algorithme

_pour

constru-ire les

_{polynômes A1, ~ ~ ~ ,}

Am

se fit immédiatement sentir. K. Henzelt et E. Noether

_[HN],

_puis

G. Hermann

_[H],

M. Reufel

_[Re],

A.

_Seidenberg

_[Se]

et

D. Lazard

_[L],

entre

_autres,

décrivirent ou raffinèrent des

_algorithmes

_pour la

_plupart

des

_{procédures classiques}

de la théorie des idéaux d’anneaux de

_polynômes.

Ces

_algorithmes

donnent un contrôle sur les

_degrés

des

polynômes Ai, ’ " A,

on obtient ainsi une borne

générale

de la forme

où D est un

majorant

des

degrés

des

polynômes Pl, ... ,

Pm.

Plus récemment D.W. Brownawell

_[B]

a montré _que,

_lorsque

est de

caractéristique

nulle,

on

_peut

trouver

_{A1, ~ ~ ~ ,}

_Au

satisfaisant

_(*)

tels _que

L.

_Caniglia,

A.

_Galligo

et J. Heintz

_[CGH]

ont montré _par des méthodes

algébriques

élémentaires la borne

_{d°A1, ~ ~ ~ ,}

valable en

toute

_{caractéristique.}

Enfin,

tout

_récemment,

J. Kollar

_[K]

a donné une démonstration

totale-ment différente d’une version améliorée

_(lorsque

D &#x3E;

₃₎

du théorème de

Brownawell ;

il démontre

_{c~.4i, ’ ’ ’}

_max{3,

_Djn.

Nous reviendrons au

_paragraphe

2 sur les méthodes de Brownawell et Kollàr.

Si k est muni d’une structure

_{arithmétique,}

se _pose la

question

d’estimer les coefficients des

_{polynômes A1, ~ ~ ~ ,}

A,n.

Par

_exemple,

si k =

Q,

et si

P1, ~ ~ ~ ,

Pm

E

_{-7[xl,... Xn~}

sont de

_degrés

au

plus

D et de coefficients

ma-jorés

en valeurs absolues _par

eH &#x3E; 1,

on obtient en combinant l’estimation des

_degrés

établie _par Brownawell avec les formules de Cramer : il existe r E

_{N*, A1, ~ ~ ~ ,}

Am e

Z~XI, ~ ~ ~ ,

Xn~

satisfaisant

et

où

_H(P)

_désigne

le maximum des valeurs absolues des coefficients du

poly-nôme P

_{X m ~ ,}

Dans

_[BY]

C. Berenstein et A.

_Yger

ont montré _que si la variété à l’infini des zéros

_{Pm(h P}

=:

X , ’ ’ ’ ,

étant

l’homogénéi-sé de P dans

_{~~Xo, ’ ’ ’ , Xn~)}

est de dimension

_0,

alors on

_peut

trouver

satisfaisant

et

Dans le même

_temps,

_je

me suis intéressé

_[P3]

à

_majorer

la taille du "dénominateur" r

_lorsque

Z est

_remplacé

_par un anneau

_commutatif,

définition de

_{semi-régulier}

et

_~P3~,

_§1

_pour la définition de

_{taillé ;}

_par

exem-ple,

les anneaux R =

Z ~Tl , - - - , Ts] , R

=

Fq [T],

R =

C, ...

satisfont toutes

ces

hypothèses).

Berenstein et

_Yger

ont

_incorporé

cette estimation du dénominateur

_(pour

R =

Z [Ti, - - - , Ts])

dans leur

travail, supprimant

ainsi

l’hypothèse

sur les

zéros à l’infini et raffinant leurs

_majorations

comme

suit,

et

_H(Am,)~

_{c3(n).D8n+3(H}

_-~-

_{Dlog D}

_{-~- log m).}

Signalons qu’on espère

encore

pouvoir

remplacer

l’exposant

8n + 3 dans

cette dernière estimation _par n.

Egalement,

les réels

_c2(n)

et

_c3(n)

apparaissant

dans ces

majorations

ne

dépendent

_que de _n, et de

_façon

effectivement calculable.

Le résultat intervenant dans

_[BY]

est le suivant

_(cf.[P3],

théorème

_4).

THÉORÈME.

,Soient À E

_R+

et s E N tels _que a &#x3E; 2s _-f-

_2,

soient encore

P~ , ~ ~ ~ ,

Pm

_{Ts~ ~Xl , ~ ~ ~ , Xn~,}

1 de

degrés

par

rapport

aux

Xi

au

plus

D &#x3E;_ 1 et satisfaisant

_{+ log H(Pi);}

i =

1,...

m~

H,

sans zéros communs dans

Q(Ti,

Alors il existe un

polynôme

non nul r E

_{Z ~T1, ~ ~ ~ , Ts]}

vérifiant

et des

_{polynômes ~4i, "}

rapport

aux

Xi

au

_plus

de

_degrés

_par

DÉMONSTRATION: Il suffit

_d’adapter

les considérations du

_paragraphe

8

de

_[P3],

_pour

_plus

de détails se

_reporter

à la démonstration du lemme 4.3 de

_[BY].

En

_particulier,

c’est dans ce lemme _que Berenstein et

_Yger

in-troduisent le

_paramètre

À afin de dissocier les

_{comportements}

de et

log H(*).

2.

_Principe

des méthodes

A )

La mét hode de Brownawell

Elle utilise deux

_ingrédients

_essentiels,

d’une

_part

une

inégalité

de

_type

Liouville-Lojasiewicz

et d’autre

_part

des formules

_{d’interpolation}

[B]

sous la forme d’un théorème de H. Skoda et nous le

_remplaçons

dans

~P3~

par un théorème

algébrique analogue

de J.

Lipman

et B. Teissier. Nous notons dans les énoncés suivants l~ un anneau

commutatif, unitaire,

noethérien, factoriel,

régulier,

de dimension de Krull x et taillé

_{(voir [~3],§1}

pour un

rappel

des

définitions).

On

désigne

_par K une clôture

algébrique

du _corps des fractions de R.

INÉGALITÉS

DE LIOUVILLE-LOJASIEWICZ.

_{(j$Jsprop.8, [P2], [P3],}

_prop.

₄₎

- Soient

Pl, - - - ,

P~

E

_{R[X1,... ,}

sans zéro commun dans et de

degrés

D. Si K = C on a _{pour tout z E} C’~ et avec _y =

min~m, nl,

Plus

_{généralement,}

si v est une valuation sur

_{l~~Xo, ~ ~ ~ ,}

_{Xn~ il}

existe un élément x E R non

nul,

de taille

C{n, m).(H

+

_D)DI-1

où

v = ₊

1},

tel _que

La démonstration de ce

_type

d’inégalité

_repose sur une définition

adéqua-te de valuation d’un

_idéal,

donnée via la théorie des formes éliminantes. Nous donnons un _aperçu de cette théorie au

paragraphe

3.

Voici maintenant le théorème de

_Skoda,

_qui

fait

_l’objet

de

_[S],

THÉORÈME

DE SKODA.

_{Soient e}

une fonction

plurisousharmonique

dans et _7i,’’’ des fonctions

_holomorphes

dans

C’+’.

Soient a &#x3E; 1

_{et y =}

_{max(n, m},}

_{pour toute} fonction

_f

_holomorphe

dans

_{C’+ ,}

@

satisfaisant

- . _.n -1

il existe des fonctions

_{h1, ~ ~ ~ ,}

_{hm holomorphes}

dans telles _que

et son

_{pendant algébrique,}

théorème 2.1 de

[LT]

via le

_§4

de

_[LT]

_pour les anneaux

réguliers,

THÉORÈME DE LIPMAN-TEISSIER. Si

pour toute valuation discrète v, on a

Dans

_[B]

Brownawell utilise

_{l’inégalité}

de

_{Liouville-Lojasiewicz complexe}

et

_applique

le théorème de Skoda

_{avec 1b}

=

av(n - 1 ).DJL . log

_a tendant

vers 1. La

_{première approche}

de

_~P3~

utilise

_{l’inégalité}

de

Liouville-Lojasiewicz

valuative et le théorème de

_{Lipman-Teissier}

avec P =

x.Xô ‘‘,

enfin on

déshomogénéise

en

_posant

_Xo

= 1.

B)

La mét hode de Kollâr

La seconde

_approche

de

_[P3]

_reprend

la démonstration de

_[K],

on note

maintenant R un anneau

commutatif, unitaire, noethérien, factoriel,

semi-régulier

et

_taillé,

on

_{pose A}

=

R[Xo,... , Xnl, k

le _corps des fractions de R et h’ une clôture

algébrique

de k. On se donne des

polynômes Pl, - - - ,

Pu

sans zéro commun dans on

_peut

construire une suite

Q ~

dans

A, régulière

dans

_Xn]

et on _pose

_Qi

=h

Qi(i -

_1?’"

_v).

On écrit

où

_8;

est l’intersection des

_composantes

_primaires

de

_{(Q 1, ~ ~ ~ , Qi)}

dont le radical ne contient _pas

Xo et 8j

l’intersection des autres

_composantes

primaires.

On _pose

_{Ci =}

_AnnR[Xo]

_{(~i/(Q1, ~ ~ ~ ,}

_Qi)),

le but est de trouver un élément de

_petits

_degré

et taille dans

_Cv,

car - A et donc

Cv

=

(Q1, ~ ~ ~ , Qi).

On

_écrit,

_pour i =

_{1,"- v - 1,}

où

_Vti+l.est

l’intersection des

_composantes

_primaires

isolées dont le radical contient

_Xo

et est l’intersection des

_composantes

_immergées.

Posons

et

et

on a facilement

_{Ci+, .}

Le

_problème

est de montrer _que

_Ei+1

est assez _gros, l’idée fondamentale de Kollar est d’introduire un sous-module

Nil(~i )

de

_Ei+l

dont on

_peut

bien

plus

aisément contrôler le

_{comportement.}

On note

_{H*(y1, - - - ,}

les modules

_{d’homologie}

du

_complexe

de Koszul du A-module M _par

_rapport

_{à y1, - - - ,}

_ys

_{(cf. [No], chap.8)}

et r l’ensemble des

_{familles 7}

=

{/l,... ,

_C A telle _que tout

premier

associé à l’idéal

(y)

engendré

par cette famille contienne

.Xo.

On définit

alors,

en suivant Kollàr

_[K],

déf.

_3.3,

Les

_propriétés

essentielles de ce nouveau module sont résumées dans la

proposition

suivante.

PROPOSITION DE

KOLLÀR.

Avec les notations ci-dessus on a

DÉMONSTRATION:

Voir

_[K],

lemme 3.4 et

_[P3],

_{prop. 5.}

On en déduit l’inclusion

R~Xo~ et

Ci = Dl.

Enfin on montre _que les

_Da

sont

suf-fisamment _gros

_grâce

à un théorème de Bezout ad hoc

_(voir

_[P3],

_prop.

6).

3.

_Elimination

et valuations

A)

Généralités

Soit un anneau

_{commutatif, unitaire,}

noethérien et

_factoriel,

on _pose A =

A[~o? ’ ’ ’ Xn]

_et ~ _

(Xo, ’ ’ ’ X,),

_on associe à un

polynôme

ho-mogène

p E A diverses

quantités,

son

_{degré d ° p}

_{par rapport} aux variables

Xo,... , Xn,

sa taille

t(p),

sa valuation

v(p).

Il est naturel de considérer _que ces

quantités

sont associées à l’idéal

_principal

_(p)

de

_A,

et un

point

essentiel

est alors de définir ces mêmes

_quantités

_pour tous les idéaux

_homogènes

de A.

_{Si ?}

est un tel idéal on

_peut,

_par

exemple,

définir

Ces

_quantités

sont intéressantes mais délicates à manier _{par manque} de

propriétés simples.

Une alternative est de _poser

pour des éléments

"privilégiés"

p1, ~ ~ ~ , pm de

8.

La théorie de l’élimination

_permet

_{précisément}

d’exhiber de tels éléments

privilégiés,

mais ces éléments ne forment _pas un

_{système générateur}

de

_8.

Soit n + 1 - r le rang de

8,

on note

des formes linéaires en

_Xo,...

_{Xn et}

de nouvelles variables

u(~a~, ... ,

u~a~.

On pose

R~u~(resp.A~u~)

l’anneau des

polynômes

en les

à coefficients dans R

_{(resp. A).}

On définit

Si 3K

c 8

on a clairement

_é(8)

=

R[u],

si

8 est

premier

et vérifie

(0)

alors

_{é(8) =}

_{(8 n R).R[u] ,}

tandis _que si

J’est

premier

et vérifie

8 n R = (0) on

démontre _que

_é(8)

est un idéal

_principal

(voir (Nl~,

lemme

5,

(Pl~,

prop.

1.5).

Par

exemple,

si

3~ =

(p)(r

=

n)

on a

_{é(8) = ( f )}

où

f

=

P(AO, - - - , An)

avec

_Ai

le cofacteur de

_Xt

dans la matrice

DÉFINITION

Nous

_appelons

forme éliminante

_{de 8}

tout

_p.g.c.d.

des

élé-ments de

_~(~).

Soit

_f

une forme éliminante

de J’,

on lui

applique l’homomorphisme

de

défini _par où

_A[s]

_désigne

l’anneau des

_polynômes

à

coefficients dans A en les variables =

1,... ,

_r;

0 ~ j

k

n

et où

on _pose

(a)

_j

et

s§§1

= 0. On vérifie aisément = 0

et donc

_{ô( f )}

C

8.

Les coefficients dans A de

_0(/)

fournissent les éléments

privilégiés

p1, - - - , Pm recherchés.

Si J’est

premier

et

_{vérifie J}

n

_(0),

une forme éliminante

de ?

est

simplement

un

_p.g.c.d.

dans R des éléments

de J

n R. Une

_propriété

essentielle des formes éliminantes est la

_{décomposition}

où le

_produit

est

_pris

sur tous les idéaux

_premiers

associés à

_{A /8,}

de même rang que

8, fp

désigne

une forme éliminante de p et _ep

_l’exposant

de la

composante

p-primaire

de 8.

On voit donc _que les

_quantités

_(1),(2)

et

(3)

s’écrivent

_{agréablement}

à

_partir

des

_{quantités correspondantes}

_pour les

premiers

associés à

_{A /8}

de _{même rang que}

ï.

DÉFINITION

_{Si 8}

est un idéal

_homogène

de A et _{Pm les idéaux}

gremiers

associés à

_{A /8}

de _{même rang que}

_,

on

appellera

forme résultante

m

de 8

tout

_{produit À}

ft’

_où,

_pour tout i =

il***

imifi

est une forme

t=i

éliminante de pi et

_li

est la

_longueur

de la

_composante

_pi-primaire

de

8.

En

_particulier,

toute forme éliminante

de 8

divise toute forme résultante

de J.

Si p

est un idéal

_homogène

_premier

de A de

_{rang n + 1 - r}

_{n, la}

quantité

D(p )

de

₍₁₎

est

_égale

à r! fois le coefficient dominant du

_polynôme

de Hilbert-Samuel de

_A/p,

c’est-à-dire r fois le

degré

usuel de

A/p.

La

comparaison

des

_quantités

_(*’)

et

_(*)

est

_{intéressante,}

mais leurs

com-portements

sont en

général

très différents. On a facilement

v(j~) V(p),

Y.V. Nesterenko montre dans

_[N2]

_{l’inégalité}

_w(~)

(améliorée

en _par M. Chardin

[C])

et aussi

dans le cas R = Z. De

plus,

si

pg

est l’idéal

de A

_engendré

_par les coefficients dans A de

_D(f),

Nesterenko a montré

((Nl~,

lemme

₁₁₎

_{que p} est la seule

_composante

_primaire

isolée

_{de pi}

ne

B)

Multiplicité

d’un idéal en un

point

Nous supposons,

dorénavant,

que R est un _corps commutatif de

car-actéristique

zéro. Pour un idéal

_{homogène 8}

de

_A,

notons

9?

l’idéal de A

_engendré

_par les éléments de la forme

_aplOXi

où i e

_{{0,’" n~}

et _{p E}

_8.

_{Et pour} un idéal

premier

homogène

_{p de A} on

généralise

la définition ci-dessus en

_posant

pg

=

(0)

_et

pg

= 2.

Lorsque

1 .~ est donc L’idéal

_engendré

_par les coefficients dans A des

formes T

a E Nn+l ; a

=

1 - 1)

où

désigne

_une forme éliminante de

p. Les idéaux

p,

ont

_{généralement}

une

_composante

M-primaire

non

signi-ficative,

aussi est-il naturel _{de définir p} comme le saturé de

pg,

c’est-à-dire

En

_échangeant

les

_opérateurs

de dérivations et

_o,

on est conduit à con-sidérer l’idéal de A

_engendré

par les coefficients de toutes les formes

()[8:I]

(p E

j1[ = 1 - 1 ) .

Pour l =

_{1, ~ ~ ~ ,}

D ( ~ ),

ce derni er i déal contient

p(

comme le montrent les formules

valables _pour toute forme

_f

E

_R[u],

et nous allons montrer

_plus

loin _que son saturé est en fait

_égal

à pl.

Soit

_(A

0R ... 0~ où

6r

désigne

le _groupe

_symétrique

opérant

sur r

_lettres),

considérons maintenant _pour a =

_{1, ... ,}

r les

homo-morphismes

définis _par

demment a =

a 1

0 - - - o _or et

_{posons 5}

=

51

_{® - - -}

l’homomorphi sme

On notera

_9R,

=

~J2~1~ - - - 9R(r)

où

9R(a)

désigne

l’idéal de

Ar

engendré

De la même

_façon

_que nous avons défini les idéaux Pi à

partir

de

l’opé-rateur

_â,

on

_peut

définir des idéaux

Pi

avec

l’opérateur

5.

Précisément on

pose

pg

=

(0)

_et,

pour 1 &#x3E;

1, pl

l’idéal engendré

dans

Ar

_par les coefficients

des formes _axa

₍

E 1 - -

_1).

)

_Enfin,

_Pi

est le saturé _par

9Jlr

_{de p.}

On a encore les

_formules,

valables _pour toute forme

_f

E

_R[u].

On

_peut

alors énoncer

PROPOSITION 1. Si

_f

est une forme éliminante d’un idéal

_homogène

pre-mier p de rang n + 1 - r et 1 E

_{{1, - " ,}

existe

un entier

_{N(f, 1),}

DEMONSTRATION: Il suffit

_d’exhiber,

_{pour toute} forme _{g E}

_R[u],

un entier

N(g)

satisfaisant

où

_{1(g)(resp.I(g»}

_désigne

l’idéal de

A,

_(resp.A)

_engendré

par les

coefli-cients de la forme

_5g

_(resp.ag).

En

_effet,

en raisonnant _par récurrence sur 1 on _suppose la

_proposition

établie _pour tous

_les

E

_{lp[ = 1 -}

1

(ce

qui

est clair si 1 =

1).

En

_{posant g}

=

eln

_on obtient

d’où on déduit la

_proposition

_pour tous

_{les j}

Pour établir l’existence de

_N(g)

avec les

_propriétés

ci-dessus on

_part

de

l’i denti té valable _pour toute forme

9 E

R[u],

d’où on déduit

et en

_posant

pour tout 4

en combinant

(4’)

et

_(5’)

ou

₍₄₎

et

₍₅₎

suivant le cas on

_écrit,

_pour tout i E

_{{0, ~ ~ ~ , n~,}

les

systèmes

de relations

_suivants,

La matrice r x

_(n

+

₁₎

dont les entrées sont les est _{de rang r,} si ~ E

_A[s]

est le déterminant d’un de ses mineurs de rang r on a

On pose

~,

l’idéal de A

engendré

par les coefficients dans A de tous les

l’écriture du déterminant du mineur monômes

fait

_apparaître

les

et

où

_{i1, - - - ,}

_iT

E

_n}

_{et ii}

E

_{{0, " ’ ,}

r -

_1},

on déduit de ces relations

et de leurs

_apparentées

mr c

8r.

Enfin,

des inclusions

_(6’)

et

₍₆₎

ci-dessus on déduit

pour tout a =

_{1, " ’ ,}

_{r , i} =

0, ... ,

_n. Il _en résulte l’existence d’un entier

N(g)

ayant

les

_{propriétés recherchées,}

ce

qui

achève d’établir la

proposition.

Avec les formules

₍₄₎

et

_(4’)

on obtient finalement

COROLLAIRE. ,Si K

_désigne

un _corps

algébriquement

clos contenant R et

si z =

(xo,...

xn) E

{0}~

pour tout 1 &#x3E; 0 on a

équivalence

entre

les assertions

DÉMONSTRATION:

Si É = 0 ou 1 _&#x3E;

D(p)

le corollajre est

clair,

sinon il

suit de la

_proposition

1 et de

_(4’)

_que

_~l

est

_égal

au saturé

_{(par 9J1r)}

de l’idéal

_engendré

_par les coefficients dans

Ar

de toutes les formes

(~s

e = 1 -

_1),

d’où

_{11équivalences}

entre

_iii)

et

_iv).

De

_même,

la

proposition

1 avec

(4)

cette

_fois,

montre _{que pl} est

_égal

au saturé de l’idéal

(p e

N(n+l)r,

~~ - ~ _ 1),

ce

qui

établit

l’équivalence

entre

i)

et

ii).

Enfin

l’équivalence

entre

_ii)

et

_iii)

est banale.

En

_fait,

en

_posant

X~1&#x3E; _ ~ ~ ~

=

X~r~

= X on

a Ô

=

_D,

et les idéaux

pg

_et

~p sont

_égaux

étant tous deux le saturé de l’idéal

_engendré

dans A _par les formes

a~a~~ ~

E

_fi]

_{1 - 1).}

Nous allons maintenant montrer

que les conditions

i)

à

iv)

ci-dessus sont encore

équivalentes

à

où les dérivations ne

_portent

_que sur les variables

uor~, · - - ,

ii)

entraîne clairement

_v).

D’un autre côté les formules

_(4’)

_{montrent que}

_v)

_implique

(x " -

z) -

0 pour tout À E

Nn+1,

_[À]

= 1. La

proposition

suivante

r

permet

de conclure _que ces dernières relations entraînent

a z _

0 pour À E

_IÀI

= 1 -

_{1, qui}

à leur tour entraînent

_{i ).}

PROPOSITION 2. Soit i E

_{~O, · · - n},}

posons

l’homomorphisme

de

_R-algèbres

si :

_R[s]

~ défini _par

par les formules

_(pour

a =

1,... ,

_{r -}

1)

On vérifie =

P(’Or(f»,

_et

_également

p(ôr( f))

=

a,.( f ) (voir

[Pl],

remarque

2,

p.

16). L’homomorphisme

si est

_égal

à

-al 0 ...

_"Or-1

_{0 ô,.( f )}

=

D(f),

_ce

qu’il

fallait démontrer.

Choisissons i E

_{f 0, - - - , n}}

de sorte _que

_{Xi =1=}

_{0. Il suit de la}

_proposition

...._1

2,

en identifiant = X dans

5 f

_{et en notant}

où 8

est l’idéal

_engendré

dans _par les formes et

lorsque

a =

_{1,... ,}

_{r - 1.}

_Notons,

pour 1 .~

D(p),

~g(’)

l’idéal de

_Ar

_engendré

_par les

co»efficients

des formes

On a clairement

p~

= ~

_et comme

_{déjà remarqué}

_v)

_implique

_p(z)

= 0

pour tout p E

~9(r).

On déduit de

_(7),

en

_appliquant

_{fois la dérivation}

sont de nouvelles

_variables,

car

_Q

est de

_degré

N et 0 pour tout N’ &#x3E; N. Comme

0

_(car

faisant intervenir le monôme _par

exemple)

et

_{p(z, ~ ~ ~}

_{x) -=}

_{0 pour tout p E}

_e,

_{on vérifie donc}

via

_(8),

_{A~0/(a?, - "}

_{,z) -}

0. Ecrivant cette identité sur les monômes en les variables _{ao,... ,} a~, on obtient

Et on en déduit _que

_v)

entraîne

p(z)

= 0 pour _tout

p E

pu il

c’est-à-dire

_i).

Ainsi a-t-on bien établi

_{l’équivalence}

entre les assertions

_i)

à

_v).

Remar-quons encore

_qu’avec

les relations

(5)

on vérifie facilement _que, si

_0,

v)

est

_équivalente

à

Cette

_équivalence

entre

_i)-v)

et

_vi)

met en évidence les

_propriétés

de

"symétrie"

des formes résultantes. Les

_propriétés

_i)

à

_vi)

conduisent à une

notion de

_{multiplicité}

d’un idéal en un

_{point qui apparaît}

dans

_[Ai]

et

_[N2]

par

exemple.

Plus

précisément,

DEFINITION Si z =

(xo, · · · , xn) E

101

_{et p est un} idéal

homogène

premier

de A on définit la

_{multiplicité}

_{de p}

en x comme le

_{plus grand}

entier l 0 tel _{que z} soit un zéro commun des éléments

F. Amoroso démontre

_{~AZ ~}

_{que 1}

= 1 si et seulement si z est un zéro commun des éléments

_{de p}

et la matrice

_{jacobienne de p}

en x est de _rang

maximal,

c’est-à-dire si l’anneau localisé

_(A/p)c

est

_régulier,

où r

_désigne

l’idéal de définition du

_point

z

(engendré

_par les binômes

_{XiXj - xjxi,}

0

i

_j

_n).

Plus

_{généralement,}

_{si ? est}

un idéal

homogène quelconque

de

A,

on

étend,

en accord avec la définition des formes

résultantes,

la définition de

ms en

_posant

où la somme est étendue aux

premiers

p

associés à

_A/8

_{de même rang n +} 1 - r

que 8

et

.~p

est la

_longueur

de la

composante

p-primaire

de

8.

Notons, pour i

=

1,...

_{, r, y= - p o}

a( Ui )

où _p est la

spécialisation

p(Xa)

= z. La

multiplicité

_ms, introduite

_ci-dessus,

n’est rien d’autre _que la

multiplicité,

eA~(yl, ~ ~ ~ -f, - 1 1 (A/’

en z du module

A /8

(cf.[No],

chap.

7,

§7.4).

Précisément on

_peut

énoncer

où 1

_désigne

la

_longueur

en tant

qué

At-module.

DÉMONSTRATION:

On remarque que l’anneau

(A/8)r

est une extension

algébrique

de

_{R~yl, ~ ~ ~ ,}

_?7r-i]’

En

_particulier,

toute forme linéaire

vérifie une relation de la forme

Quitte

à faire

_agir

_{l’homorphisme}

R choisis de sorte _que

on

_peut

_supposer

_{qo q r}

_{et qi}

e =

_{1,... ,}

h).

On _en

déduit,

_avec

ko

le

maximum des h sur un

système

libre maximal de formes linéaires dans _r,

pour tout J~ &#x3E; 0. La deuxième

_égalité

se déduit donc du théorème 13 de

[No],

§7.7

(formule

limite de P.

_Samuel).

Si

_f

est une forme résultante de

_J,

une forme résultante de

(??7i? ’ ’ ’

?7r-i))

de _{rang n} dans

_~4[~],

s’écri t

où e est la

_longueur

du

_A(s]t-module

car, avec les

_propriétés

du

_symbole

de

_{multiplicité}

_{(cf. [No],}

_§7.4

&#x26;

_7.6),

on a

et il suit de la définition du

_symbole

de

_{multiplicité}

et de la

_proposition

11 de

_[No],

_§7.9

_deg8’

=

deg8

_{+ e.} Par ailleurs _on

a,

toujours

avec les

ce

_qui

entraîne

bien,

avec

v),

par définition de la forme résultante. En

_particulier,

si

_{l’idéal 8}

est

_parfait

_(c.-a-d.

si l’anneau

_{A /8}

est

semi-régulier)

égal

à la

_longueur

du

_A[s]t-module

(~[~]/(?, 71, - " , 7r-i))c,

en

général

on a seulement inférieur à cette

longueur

(cf.[No],

§7.4,

théorèmes 6 et

_8).

_Remarquons

_que si

₈

C

8’

sont deux idéaux

_homogènes

de _{même rang n + 1 -} r on a la suite exacte

qui entraîne,

grâce

au théorème

_5,

On _remarque

_qu’on

_{a, par}

_définition,

les

_{équivalences}

et _{par suite}

Il est

_également

facile de vérifier

En

_fait,

on sait que

~(~) _

et donc

_m:r:(p)

=

m:r:(Pl),

mais on n’a

aucune relation entre et _{+ 1 - e}

_{pour l}

&#x3E; 1. Par

_exemple,

le

polynôme

irréductible de

en-gendre

un idéal

principal p

de

multiplicité

= 4 en a =

(1, 0, 0, 0, 0)

_E

R5,

on a _{pi = p} tandis _que les

_composantes

_primaires

isolées

_{de p)}

sont

(X,X4)

et et celle

de 3

est

(Xi +X~,Xs,X4).

On calcule ainsi = 2 =

mx(p3 ).

De l’autre

côté,

si p =

_{(Xl -}

_X~Xo)

dans on a _pi = _{p, P2} = _et

P3 =

(Xi,X2).

On _trouve donc =

3,

= 6 et

mz(P3)

= 2 en

Nous savons

_qu’en

général

la

longueur

du module

peut

être

_plus

_grande

_que Amoroso a

remarqué

[A2],

qu’en

revanche,

l’exposant

de l’idéal

_r-primaire

_{(8, yi , ... , y,.-1 ))t}

est

_toujours

inférieur ou

égal

à En

_effet,

avec la

spécialisation

introduite

plus haut,

_{p o} o

... _o

0~"~(/)

E

_{é(8, yi; .. ,}

est donc la

_plus

_grande

_puissance

de

(uor~.xo -f- ~ ~ ~ -f- u~r~ ·xn)

qui

divise une forme éliminante de

(8, yi , ... , ?7r-i)

est inférieure ou

égale

à o ...

a(r-1)( f)

= enfin cette

puissance

est

_l’exposant

de la

_composante

r-

_primaire

de

_{(~, -y1, ~ ~ ~}

c’est-à-dire

_l’exposant

de

_{( 8, yi , ... ,}

PROPOSITION 4.

_{Si p}

est un idéal

premier

homogène

de

A,

on a _pour tout

x E

_{0}

et avec les notations

précédentes

C f1 A.

DÉMONSTRATION: Voir

_[A2],

corollaire 3.

DÉMONSTRATION:

Il suffit de remarquer que

x}

dUr! =

D(p) /r

où

_f

est une forme résultante

(ou éliminante)

de p d’une

_part,

et

qu’on

a

toujours

_pi

_{C p}

d’autre

_part.

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