Séries de Fourier
2.1 Séries trigonométriques
Définition 2.1. On appelle série trigonométrique une série de fonctions d’une variable réelle dont le terme général uk :RÑR, xÞÑukpxq est de la forme
ukpxq “ akcospkωxq `bksinpkωxq, kP N, ak, bk PR, où ωPR˚
` est une constante.
Pour k “0, u0 se réduit à la fonction constante u0 “ a0, la valeur de b0 n’intervient pas dans la somme de la série. Par convention nous prendronsb0 “0.
Lorsque la série trigonométrique Spxq “
`8
ÿ
k“0
`akcospkωxq `bksinpkωxq˘
converge pour tout xPR, la fonction S :xÞÑSpxq est périodique de période T “ 2π
ω .
Pour démontrer cette affirmation, il suffit de vérifier que chaque uk est périodique de période T.
ukpx`Tq “akcospkωpx`Tqq `bksinpkωpx`Tqq
“akcospkωx`kωTq `bksinpkωx`kωTq
“akcospkωx`2kπq `bksinpkωx`2kπq
“akcospkωxq `bksinpkωxq “ukpxq. Ceci étant vrai pour tout xPR et toutk PN, on en déduit que
Spx`Tq “
`8
ÿ
k“0
ukpx`Tq “
`8
ÿ
k“0
ukpxq “Spxq, ce qui montre que S est T-périodique.
Proposition 2.2. Lorsqu’elle converge, la série trigonométrique peut s’écrire aussi sous la forme de série d’exponentielles complexes (forme complexe de la série trigonométrique) :
Spxq “
`8
ÿ
k“0
`akcospkωxq `bksinpkωxq˘
“ ÿ
kPZ
ckeikωx:“ lim
nÑ`8 k“n
ÿ
k“´n
ckeikωx,
les ck étant reliés aux ak, bk par les formules suivantes valides pour tout kP N˚ : ck “ ak´ibk
2 , c´k“ ak`ibk
2 , (2.1)
ak“ck`c´k, bk“ipck´c´kq, (2.2) avec a0 “c0 et b0 “0.
Preuve. Pour tout k PN˚,
akcospkωxq `bksinpkωxq “akeikωx`e´ikωx
2 `bkeikωx´e´ikωx 2i
“ ˆak
2 `bk 2i
˙
eikωx` ˆak
2 ´ bk 2i
˙ e´ikωx
“ ˆak
2 ´ibk 2
˙
eikωx` ˆak
2 ` ibk 2
˙ e´ikωx
“ckeikωx`c´ke´ikωx. Dans le cas particulier k“0,
a0cosp0ˆωxq `b0sinp0ˆωxq “a0 “a0eiˆ0ˆωx, d’où c0 “a0.
Le cas facile pour les séries trigonométriques est celui où les séries numériques de terme général respectif ak etbk convergent absolument.
Théorème 2.3 (convergence normale). Si les séries numériques ř`8
k“0|ak| et ř`8 k“0|bk| convergent, la série de fonctions ř`8
k“0
`akcospkωxq `bksinpkωxq˘
converge normalement sur R.
Preuve. Rappelons que pour tout k ě0,ukpxq “akcospkωxq `bksinpkωxq. La définition de la convergence normale de la série de fonction ř`8
k“0ukpxq est la convergence de la série numérique ř`8
k“0supxPR|ukpxq| (cf. remarque A.10). En notant que pour tout xP R,
|cospkωxq|et |sinpkωxq| sont majorés par 1, on obtient :
|ukpxq| “ |akcospkωxq `bksinpkωxq|
ď |akcospkωxq| ` |bksinpkωxq|
“ |ak| |cospkωxq| ` |bk| |sinpkωxq|
ď |ak| ` |bk| sup
xPR|ukpxq| ď |ak| ` |bk|,
cette dernière inégalité provenant du fait que le majorant est indépendant de x. De plus, ř`8
k“0p|ak| ` |bk|q converge comme somme de deux séries numériques convergentes. Par comparaison de deux séries numériques de terme général positif, la série trigonométrique considérée converge normalement sur R.
Corollaire 2.4.
1. Si les séries ř`8
k“0|ak| et ř`8
k“0|bk| convergent, a) la fonctionS :RÑR,xÞÑSpxq “ř`8
k“0
`akcospkωxq`bksinpkωxq˘
est continue sur R;
b) pour tout xPR, żx
0
Sptqdt “
`8
ÿ
k“0
żx 0
`akcospkωtq `bksinpkωtq˘
dt (2.3)
“
`8
ÿ
k“1
bk
kω `a0x`
`8
ÿ
k“1
ˆak
kωsinpkωxq ´ bk
kωcospkωxq
˙ .
2. Si les sériesř`8
k“0k|ak| etř`8
k“0k|bk|convergent, alors S est dérivable surR et pour tout xPR,
S1pxq “
`8
ÿ
k“0
u1kpxq “
`8
ÿ
k“0
`´kakωsinpkωxq `kbkωcospkωxq˘
. (2.4)
Esquisse de preuve. On sait que la convergence normale implique la convergence uniforme et que la continuité (ici celle des sommes partielles de la série trigonométrique) est préser- vée par convergence uniforme, cf. théorème A.6, l’adaptation au cas considéré étant laissée au lecteur. La possibilité d’intégrer terme à terme la série trigonométrique s’appuie quant à elle sur le théorème A.8 : les sommes partiellesSnconvergeant normalement surR, elles convergent uniformément sur tout intervalle r0, xs (ou rx,0s, selon le signe de x). On en déduit que
żx 0
Sptqdt“ lim
nÑ`8
żx 0
Snptqdt
“ lim
nÑ`8 n
ÿ
k“0
żx 0
`akcospkωtq `bksinpkωtq˘ dt
“ lim
nÑ`8
˜żx
0
a0dt`
n
ÿ
k“1
„ak
kωsinpkωtq ´ bk
kωcospkωtq
x 0
¸
“a0x` lim
nÑ`8 n
ÿ
k“1
ˆak
kωsinpkωxq ´ bk
kωcospkωxq ` bk kω
˙
“
`8
ÿ
k“1
bk
kω `a0x`
`8
ÿ
k“1
ˆak
kωsinpkωxq ´ bk
kωcospkωxq
˙ ,
le passage de la première à la deuxième ligne étant une simple interversion intégrale- somme finie. Concernant le passage à la limite entre l’avant-dernière et la dernière ligne, il est légitime car les séries concernées sont convergentes : pour toutk ě1,
ˇ ˇ ˇ ˇ
bk kω
ˇ ˇ ˇ
ˇď |bk| et ˇ ˇ ˇ
ak kω ˇ ˇ
ˇď |ak|. Pour le point 2, on commence par noter que siř`8
k“0k|ak|etř`8
k“0k|bk|convergent, les séries ř`8
k“0|ak|et ř`8
k“0|bk| convergent aussi par le théorème de comparaison des séries à termes positifs. Ainsi la série des dérivées terme à terme converge uniformément surRet la série initialeSconverge surR. Par le théorème de dérivabilité par convergence uniforme (une version adaptée du th. A.7), appliqué à la suite Sn, la fonction S est dérivable sur R et sa dérivée peut se calculer par dérivation terme à terme de la série définissant S, autrement dit, vérifie (2.4).
En dehors du cas confortable où les séries ř`8
k“0|ak| et ř`8
k“0|bk| convergent, il y a d’autres possibilités pour obtenir la convergence d’une série trigonométrique. Nous nous contenterons du résultat suivant qui est une conséquence directe du théorème d’Abel (th. 1.39).
Théorème 2.5. Si les suites réelles pakqkPN et pbkqkPN sont décroissantes à partir d’un certain rang et tendent vers 0, la série trigonométrique ř`8
k“0
`akcospkωxq `bksinpkωxq˘ converge pour tout xPR, sauf éventuellement les x de la forme jT pour j P Z.
Lorsque la série trigonométrique associée aux suites réellespakqkPN etpbkqkPN converge surR(sauf peut-être en des points isolés) vers une fonctionS, il est naturel de se demander si la connaissance de la fonction S permet de retrouver les coefficients ak et bk. Pour répondre à cette question, la proposition suivante est un préliminaire commode.
Proposition 2.6. Soit f :RÑR, une fonction T-périodique et Riemann intégrable sur tout intervalle fermé borné de R. Alors pour tous a, bP R,
ża`T a
fptqdt“ żb`T
b
fptqdt.
Autrement dit, l’intégrale şa`T
a fptqdt ne dépend pas de a. Dans la suite on notera cette intégrale ş
T fptqdt.
Preuve. Par la relation de Chasles pour l’intégrale, şa`T a “ şb
a`şb`T
b `şa`T
b`T. De plus, f étant T-périodique, fps`Tq “ fpsq, donc par le changement de variable t“s`T,
ża`T b`T
fptqdt“ ża
b
fps`Tqds “ ża
b
fpsqds “ ´ żb
a
fptqdt.
en revenant à la relation de Chasles, on en déduit : ża`T
a
fptqdt“ żb
a
fptqdt` żb`T
b
fptqdt´ żb
a
fptqdt“ żb`T
b
fptqdt.
La proposition 2.6 permet de choisir judicieusement l’intervalle d’intégration pour exploiter une éventuelle parité ou imparité de f pour calculer l’intégrale ş
T fptqdt.
Théorème 2.7. Si la série trigonométrique Spxq “ ř`8 k“0
`akcospkωxq `bksinpkωxq˘ est telle que ř`8
k“0|ak| et ř`8
k“0|bk| convergent, a0 “ 1 T
ż
T
Sptqdt (2.5)
et pour tout kě1, ak“ 2
T ż
T
Sptqcospkωtqdt, bk“ 2 T
ż
T
Sptqsinpkωtqdt. (2.6) En utilisant la représentation complexe de la série trigonométrique Spxq “ ř
kPZckeikωx, on a
@kPZ, ck“ 1 T
ż
T
Sptqe´ikωtdt. (2.7)
Preuve. Il est plus commode de démontrer (2.7), les formules pour les ak et bk s’en dé- duisent facilement grâce à aux égalités (2.2). En justifiant l’interversion série intégrale par un argument de convergence uniforme analogue à celui employé dans la preuve du corollaire 2.4-1 b), détails laissés en exercice, on a
1 T
ż
T
Sptqe´ikωtdt “ÿ
jPZ
cj1 T
ż
T
eipj´kqωtdt. (2.8)
On est ainsi amenés à calculer les intégralesIm “ş
T eimωtdtpourm PZ. Le cas particulier m“0 donne immédiatementI0 “T. Pour m‰0, en rappelant queT “2π{ω, on a :
@mPZ˚, Im “ żT
0
eimωtdt“
„eimωt imω
T 0
“ 1 imω
`eimωT ´1˘
“ 1 imω
`e2imπ´1˘
“0. En posant j´k “m, on en déduit que
1 T
ż
T
eipj´kqωtdt“
#0 si j ‰k,
1 si j “k. (2.9)
La série au second membre de (2.8) a donc tous ses termes d’indice j ‰ k nuls et le terme d’indice j “ k est égal à ck. La somme de la série est donc ck, ce qui établit la formule (2.7).
2.2 Développement en série de Fourier
Après avoir étudié les propriétés des séries trigonométriques, on s’intéresse maintenant au problème inverse. Étant donnée une fonction périodique f, peut-on l’écrire comme la somme d’une série trigonométrique convergente ? On a vu au théorème 2.7, que si une série trigonométrique converge normalement, ses coefficients sont reliés à sa somme par les relations (2.5)–(2.7). Ces formules nous fournissent donc, en remplaçant S par f, des candidats naturels pour les coefficients d’un développement def en série trigonométrique.
Ceci motive la définition suivante.
Définition 2.8 (série de Fourier d’une fonction). Soit f : R Ñ R, une fonction T- périodique et intégrable sur r0, Ts. On appelle série de Fourier de f, la série trigonomé- trique
Spf, xq:“
`8
ÿ
k“0
`akpfqcospkωxq `bkpfqsinpkωxq˘ , où les akpfq et bkpfq sont donnés par
a0pfq “ 1 T
ż
T
fptqdt, b0pfq “0 et pour tout k PN˚,
akpfq “ 2 T
ż
T
fptqcospkωtqdt, bkpfq “ 2 T
ż
T
fptqsinpkωtqdt.
En notation complexe, ceci s’écrit : Spf, xq “ ÿ
kPZ
ckpfqeikωx, ckpfq “ 1 T
ż
T
fptqe´ikωtdt.
La question de savoir pour quelles fonctions périodiquesf la série de Fourier converge (et en quel sens ) versf a été le point de départ de nombreuses recherches en analyse ma- thématique. Au niveau de ce cours, nous nous contenterons du théorème de Dirichlet qui concerne les fonction de classe C1 par morceaux, ce qui est suffisant pour les applications courantes.
Définition 2.9. On dit que la fonction T-périodique f est C1 par morceaux si on peut découper l’intervalle s0, Ts (ou n’importe quel intervalle sa, a`Ts) en un nombre fini d’intervalles sai´1, ais avec 0 “ a0 ă a1 ă ¨ ¨ ¨ ă ad “ T tels que pour tout 1 ď i ď d, f soit dérivable et f1 continue sur sai´1, air et qu’en chaque ai, f et f1 aient des limite finies à droite et à gauche.
Théorème 2.10 (Dirichlet). Soit f une fonctionT périodique sur R et de classe C1 par morceaux. La série de Fourier de f converge en tout point x de R et
`8
ÿ
k“0
`akpfqcospkωxq `bkpfqsinpkωxq˘
“ fpx´q `fpx`q
2 (2.10)
“ 1 2 lim
εÑ0, εą0
fpx´εq ` 1 2 lim
εÑ0, εą0
fpx`εq.
En particulier, en tout point de continuité x de f, la somme de la série de Fourier de f au point x est égale à fpxq.
1 y
−3
−2
−1 1 2 3 4
x
Figure 2.1 – Fonction 1-périodique vérifiant fpxq “ x pourxP r0,1r
1 y
−3 −2 −1 1 2 3 4
x
Figure 2.2 – f etS1pfq
1 y
−3 −2 −1 1 2 3 4
x
Figure 2.3 – f et S2pfq
1 y
−3 −2 −1 1 2 3 4
x
Figure 2.4 – f et S3pfq
1 y
−3 −2 −1 1 2 3 4
x
Figure 2.5 – f et S4pfq
Théorème 2.11 (identité de Parseval). Si f est T-périodique et si l’intégrale, éventuel- lement généralisée, ş
T fptq2dt converge, 1
T ż
T
fptq2dt“a0pfq2` 1 2
`8
ÿ
k“1
`akpfq2 `bkpfq2˘
. (2.11)
Cette formule est vraie en particulier si f est bornée et continue par morceaux sur r0, Ts. D’un point de vue physique, si on voitfptqcomme un signal périodique et T1 ş
T fptq2dt comme l’énergie de ce signal par période, l’identité de Parseval exprime cette énergie comme la somme des énergies des ondes sinusoïdales en lesquelles on peut décomposer ce signal, cette décomposition étant la série de Fourier de f.
D’un point de vue mathématique, l’identité de Parseval est un théorème de Pythagore en dimension infinie. Pour cela on introduit sur l’espace des fonctions de carré intégrable le produit scalairexf, gy “ T1
ş
T fptqgptqdtet on montre que les fonctions 1{?
2, cospkωxq, sinpkωxq, k ě 1, constituent une base orthonormée de cet espace. L’identité de Parseval est alors la formule qui exprime le carré de la norme du « vecteur » f comme la somme des carrés des coordonnées de ce vecteur dans cette base. La justification rigoureuse de ces affirmations est hors programme. Nous nous contentons de donner la première étape de la démonstration qui consiste à établir l’identité de Parseval pour des « polynômes trigonométriques ».
Amorce de preuve. Nous allons montrer l’identité de Parseval pour une fonction qui est égale à la ne somme partielle de sa série de Fourier, autrement dit pour une fonction
fnptq “
n
ÿ
j“´n
cjeijωt.
Il est facile de voir que dans ce cas, cjpfnq “ cj pour ´n ď j ď n et cjpfnq “ 0 pour
|j| ą n.
ż
T
fnptq2dt“ ż
T
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
n
ÿ
j“´n
cjeijωt ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
2
dt “ ż
T
˜ n ÿ
j“´n
cjeijωt
¸ ˜ n ÿ
k“´n
cke´ikωt
¸ dt
“ ż
T n
ÿ
j,k“´n
cjckeipj´kqωtdt
“
n
ÿ
j,k“´n
cjck ż
T
eipj´kqωtdt.
D’après (2.9), cette somme de p2n `1q2 termes se réduit à la somme des termes pour lesquels j “k et on obtient :
ż
T
fnptq2dt“T
n
ÿ
k“´n
|ck|2 “T|c0|2`T
n
ÿ
k“1
|ck|2`T
n
ÿ
k“1
|c´k|2.
En se rappelant (2.1), vraie pour une série trigonométrique convergente, donc a fortiori dans le cas particulier du polynôme trigonométrique fn vu comme une série trigonomé- trique dont tous les coefficients sont nuls à partir du rang n`1, on a|c0|2 “a20 et
|ck|2 “ ˇ ˇ ˇ ˇ
ak´ibk 2
ˇ ˇ ˇ ˇ
2
“ a2k`b2k
4 , |c´k|2 “ ˇ ˇ ˇ ˇ
ak`ibk 2
ˇ ˇ ˇ ˇ
2
“ a2k`b2k 4 ,
d’où ż
T
fnptq2dt “T a20` T 2
n
ÿ
k“1
pa2k`b2kq. On en déduit immédiatement l’identité de Parseval pour fn.
Soit maintenant f de carré intégrable sur r0, Ts et Snpfq la ne somme partielle de sa série de Fourier. En notant que pour toutkďn,ak`
Snpfqq˘
“akpfqetbk`
Snpfqq˘
“bkpfq et en appliquant ce que nous venons de démontrer à fn“Snpfq, on obtient :
@n ě1, 1 T
ż
T
Snpfqptq2dt“a0pfq2` 1 2
n
ÿ
k“1
`akpfq2 `bkpfq2˘
. (2.12)
À partir de là, il suffit de savoir démontrer que
nÑ`8lim ż
T
Snpfqptq2dt“ ż
T
fptq2dt, (2.13)
pour pouvoir établir l’identité de Parseval pour f en passant à la limite dans (2.12). La justification de (2.13) est la partie hors programme que nous admettrons.
Pour terminer ce paragraphe, voici un exemple de calcul de série de Fourier, et d’ap- plication au calcul de somme de série numérique.
Exemple 2.12. Soitf la fonction 1-périodique définie par fpxq “x pour tout xP r0,1r. Cette fonction est intégrable surr0,1s, calculons sa série de Fourier :
a0 “ ż1
0
xdx“ 1
2, b0 “0, ak“2ż1
0
xcosp2πkxqdx“2
„
xsinp2πkxq 2πk
1
0
´2ż1
0
sinp2πkxq
2πk dx“0, bk“2
ż1
0
xsinp2πkxqdx“2
„
´xcosp2πkxq 2πk
1
0
`2 ż1
0
cosp2πkxq
2πk dx“ ´ 1 πk,
où l’on s’est servi du fait que l’intégrale des fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur 2π vaut 0. On applique maintenant le théorème de Dirichlet (th. 2.10) pour savoir quand, et vers quoi, converge la série de Fourier de f. La fonction f est de classe C1 par morceaux, ses seuls points de discontinuité sont les entiers. On en déduit que pour tout xPs0,1r
1 2´ 1
π
`8
ÿ
k“1
sinp2πkxq k “x.
En 0 et en 1, points de discontinuité de f, la série de Fourier converge vers le milieu des limites à gauche et à droite def en ces points, donc 12. Les sinp2πkxqétant tous nuls pour x“0 ou x“1, ces égalités sont triviales. Appliquons par curiosité cette égalité en x“ 14. On obient :
1 π
`8
ÿ
k“1
sinpπk{2q
k “ 1
2´ 1 4 “ 1
4.
Comme sinpπk{2qvaut 0 si k est pair, etp´1qp sik est impair égal à 2p`1, on en déduit l’égalité suivante :
`8
ÿ
k“0
p´1qp 2p`1 “ π
4.
L’application du théorème de Dirichlet nous a donc permis de calculer la somme d’une série numérique. Remarquons que cette série est une série alternée, dont la valeur absolue du terme général tend vers 0 en décroissant, donc une série alternée convergente par application du théorème 1.35. Le « plus » apporté par les séries de Fourier, c’est la valeur de la somme de la série, autrement dit de la limite. On peut également, grâce à l’identité de Parseval, calculer d’autres sommes de série. CommexÞÑx2 est intégrable surr0,1s, le théorème 2.11 permet d’écrire :
ˆ1 2
˙2
` 1 2π2
`8
ÿ
k“1
1 k2 “
ż1
0
x2dx“ 1 3, ce qui conduit à
`8
ÿ
k“1
1
k2 “2π2 ˆ1
3 ´1 4
˙
“ π2 6 .
Ici c’est la somme d’une série de Riemann convergente que l’on vient de calculer.
2.3 Série de Fourier et résolution de l’équation de la chaleur
Dans ce dernier paragraphe, nous allons montrer l’un des nombreux intérêts du dé- veloppement en série de Fourier, au moyen d’un exemple historique. En effet, Fourier a introduit les séries qui portent son nom dans un « mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides », envoyé à l’Académie des sciences en 1807, mais ce n’est qu’en 1811 que la qualité de son travail fut reconnue. Dans ce mémoire, Fourier propose non seulement les équations différentielles qui régissent la propagation de la chaleur dans des corps (c’est ce qui lui vaut le prix de l’Académie en 1811), mais il introduit aussi une méthode complètement nouvelle pour résoudre de telles équations différentielles, mé- thode qui s’appuie sur la recherche de solutions sous forme de séries trigonométriques. La rigueur de cette méthode de résolution est mise en question par l’Académie, mais de nom- breux scientifiques vont cependant s’en servir avec succès. Simultanément, de nombreuses recherches sont menées en analyse dans le but de prouver (ou pas) rigoureusement ses résultats. Sa contribution à l’analyse mathématique telle qu’on la connaît aujourd’hui est donc fondamentale.
Nous allons étudier dans cette partie la propagation de la chaleur dans un anneau métallique, dont une moitié est mise à une température T1 et l’autre à une température T2 ą T1. On considère que l’anneau est dans cet état à l’instant initial (t “ 0), et on regarde comment évolue la température de cet anneau au cours du temps, en tout point de l’anneau. Pour simplifier l’étude, on suppose que la température est constante sur chaque section circulaire de l’anneau, elle est donc fonction du temps t et de l’angleθ qui repère cette section. Si l’on appelle upt, θq cette température, elle vérifie l’équation de la chaleur proposée par Fourier :
$
’&
’% Bu
Btpt, θq “ KB2u
Bθ2pt, θq @pt, θq Ps0,`8rˆs0,2πr, up0, θq “ T1 @θ Ps0, πr,
up0, θq “ T2 @θ Psπ,2πr.
(2.14)
Il est à noter que la condition initiale n’est pas précisée enθ “0 etθ “π (le pointθ “2π correspond évidemment au point θ “ 0 puisque l’on travaille sur un anneau) ; ceci est dû au fait qu’il n’y a pas grand sens physique à définir la température à l’interface des deux zones chauffées aux deux températures distinctes T1 etT2. La constante K est une constante physique positive relative aux propriétés thermodynamiques du matériau.
Avant de chercher des solutions à cette équation, précisons les mathématiques. L’équa- tion différentielle que doit vérifier upt, θq entraîne que cette fonction doit être dérivable une fois par rapport à t sur s0,`8rˆs0,2πr, et deux fois par rapport à θ sur ce même ensemble. On va demander en plus une continuité en t “ 0 des solutions, car physique- ment le profil de température de l’anneau ne peut « sauter » d’un profil de température à l’autre. On demande donc à la fonction upt, θq, pour être solution de l’équation de la chaleur, de vérifier une dernière condition :
@θPs0, πrYsπ,2πr, lim
tÑ0`upt, θq “up0, θq. (2.15) Maintenant que notre problème est posé, nous allons chercher à le résoudre.
2.3.1 Recherche de candidats pour être solution
Dans cette partie, nous allons supposer qu’il existe des solutions à l’équation de la chaleur (2.14), développables en série de Fourier, et regarder où cela nous mène.
On suppose donc que pour tout t ě0, θ ÞÑupt, θq est une fonction 2π-périodique, déve- loppable en série de Fourier :
upt, θq “
`8
ÿ
k“0
akptqcospkθq `bkptqsinpkθq,
où les fonctionsakptqetbkptqsont supposées dérivables surs0,`8r. On suppose également que upt, θq est dérivable terme à terme une fois par rapport au temps et deux fois par rapport àθ :
Bu
Btpt, θq “
`8
ÿ
k“0
a1kptqcospkθq `b1kptqsinpkθq, B2u
Bθ2pt, θq “ ´
`8
ÿ
k“0
k2pakptqcospkθq `bkptqsinpkθqq, et qu’elle vérifie l’équation de la chaleur : @pt, θq Ps0,`8rˆs0,2πr
`8
ÿ
k“0
a1kptqcospkθq `b1kptqsinpkθq “ ´K
`8
ÿ
k“0
k2pakptqcospkθq `bkptqsinpkθqq (2.16)
`8
ÿ
k“0
akp0qcospkθq `bkp0qsinpkθq “
"
T1 @θ Ps0, πr,
T2 @θ Psπ,2πr. (2.17) On suppose ici que l’égalité des deux séries trigonométriques (2.16) entraîne leur égalité terme à terme (ceci est vrai par exemple s’il y a convergence uniforme des séries trigono- métriques sur un intervalle de longueur la période). On obtient alors a10ptq “ 0, et pour tout tą0 et tout k ě1 :
a1kptq “ ´Kk2akptq, b1kptq “ ´Kk2bkptq.
On en déduit que a0ptq “ a0p0q, akptq “ akp0qe´Kk2t et bkptq “ bkp0qe´Kk2t, pour tout t ą 0 et tout k ě 1. Pour déterminer les coefficients akp0q et bkp0q, on se sert de la condition initiale (2.17) en les égalant aux coefficients de Fourier de la fonction f qui vaut T1 sur s0, πr etT2 sur sπ,2πr. On commence par calculer ces coefficients :
a0pfq “ 1 2π
ż2π 0
fpθqdθ “ 1 2π
ˆżπ 0
T1dθ` ż2π
π
T2dθ
˙
“ T1`T2
2 ,
@k ě1, akpfq “ 1 π
ż2π 0
fpθqcospkθqdθ“ 1 π
ˆżπ 0
T1cospkθqdθ` ż2π
π
T2cospkθqdθ
˙
“0,
@k ě1, bkpfq “ 1 π
ż2π 0
fpθqsinpkθqdθ “ 1 π
ˆżπ 0
T1sinpkθqdθ` ż2π
π
T2sinpkθqdθ
˙
“ 1 π
˜ T1
„´cospkθq k
π 0
`T2
„´cospkθq k
2π π
¸
“ 1
kπpT1´T2qp1´ p´1qkq
“
# 0 si k pair,
2
kπpT1´T2q si k impair.
À partir de là, on en déduit les égalités a0p0q “a0pfq “ T1`T2
2 , akp0q “akpfq “ 0 @k ě1, b2pp0q “b2ppfq “ 0, b2p`1p0q “b2p`1pfq “ 2pT1´T2q
p2p`1qπ @pě0.
Elles conduisent aux formules suivantes pour les coefficients de Fourier d’une solution upt, θq de l’équation de la chaleur (2.14) développable en série de Fourier :
a0ptq “ T1`T2
2 , b2p`1ptq “ 2pT1´T2q
p2p`1qπ e´Kp2p`1q2t @pě0, (2.18) tous les autres coefficients étant nuls.
Les figures ci-dessous représentent la condition initiale f, avec T1 “0 et T2 “100, et son approximation par des sommes partielles de sa série de Fourier.
0 1 2 3 4 5 6
020406080100
theta
Figure 2.6 – f etS3pfq
0 1 2 3 4 5 6
020406080100
theta
Figure 2.7 – f et S101pfq
0 1 2 3 4 5 6
020406080100
theta
Figure 2.8 – f et S201pfq
On vient donc d’établir que si la fonction pt, θq ÞÑ upt, θq est solution de l’équation de la chaleur (2.14), et qu’en plus elle est développable en série de Fourier, ses coefficients de Fourier sont nécessairement de la forme donnée par l’équation (2.18). Puisque notre but est de trouver des solutions de l’équation (2.14), nous allons dans le paragraphe suivant regarder si la série trigonométrique associée aux coefficients définis par (2.18) permet de définir une fonction solution de l’équation de la chaleur (2.14). Autrement dit, ce paragraphe nous a permis d’avoir un candidat pour la solution, maintenant nous allons vérifier que notre candidat fait l’affaire (ou pas ?).
2.3.2 Entretien d’embauche
Pour toutn ě0, on définit la série trigonométrique Snpt, θq par Snpt, θq “ T1`T2
2 `
n
ÿ
k“0
2pT1´T2q
p2k`1qπe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq.
La première question que l’on se pose, c’est de savoir pour quelles valeurs de t et de θ cette série converge. Le but étant d’avoir une solution de l’équation de la chaleur, on se pose cette question pour t ě0 et θ Ps0,2πr. On peut remarquer que, pour tout t ą0, la série
`8
ÿ
k“0
2pT1 ´T2q
p2k`1qπe´Kp2k`1q2t
est absolument convergente, ce qui entraîne la convergence (normale) de la série de Fourier pour tout θP R, par application du théorème 2.3. La fonction
Spt, θq “ T1`T2
2 `
`8
ÿ
k“0
2pT1 ´T2q
p2k`1qπe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq
est donc à ce stade définie pourt ą0 etθquelconque. Il reste donc à étudier la convergence de Snp0, θq, mais cette série trigonométrique est, par construction, la série de Fourier de la condition initiale, f. Le théorème de Dirichlet (thm. 2.10), dont les hypothèses sont satisfaites par la fonction f, entraîne que sa série de Fourier converge en tout θ. On a donc que Sp0, θqest elle aussi bien définie, avec en plus
Sp0, θq “ T1`T2
2 `
`8
ÿ
k“0
2pT1´T2q
p2k`1qπ sinpp2k`1qθq “
$
’&
’%
T1 pour θPs0, πr, T1`T2
2 pour θ“π, T2 pour θPsπ,2πr. Au total, nous venons donc d’établir que la série trigonométrique dont les coefficients sont donnés par (2.18) converge pour touttě0 et toutθPs0,2πr, et l’on a appeléS sa somme.
Nous avons obtenu au passage que Sp0, θqcoïncide bien avec fpθqsurs0, πrYsπ,2πr. Pour savoir si S vérifie bien l’équation de la chaleur (2.14), il nous reste donc à regarder si la dérivée de S par rapport à t est égale à sa dérivée seconde par rapport à θ, multipliée par K. Les choses s’imposent alors d’elles-mêmes : il faut commencer par regarder si ces dérivabilités de la fonction S existent.
Dérivabilité de S par rapport à la variable t : on commence par calculer BSn Bt , puis on essaiera d’établir la convergence uniforme de cette nouvelle série de fonctions, pour appliquer le théorème A.7. Pour tout tą0,
BSn
Bt pt, θq “ ´2KpT1´T2q π
n
ÿ
k“0
p2k`1qe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq, et pour tout tąrą0,
|p2k`1qe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq| ď p2k`1qe´Kp2k`1q2r,
qui est le terme général d’une série convergente. Il y a donc convergence normale de la série BSn
Bt , donc convergence uniforme, sursr,`8rˆR. La dérivée partielle BS
Bt existe donc
sur tout ensemble de la forme sr,`8rˆR, avec r ą 0 quelconque, donc sur s0,`8rˆR. On sait de plus que
BS
Btpt, θq “ ´2KpT1´T2q π
`8
ÿ
k“0
p2k`1qe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq, puisque la convergence uniforme nous autorise à dériver terme à terme.
Dérivabilité de S par rapport à la variable θ : on commence par dériver une première fois les sommes partielles par rapport àθ,
BSn
Bθ pt, θq “ 2pT1´T2q π
n
ÿ
k“0
e´Kp2k`1q2tcospp2k`1qθq, et là on remarque que pour tout pt, θq Psr,`8rˆs0,2πr,
|e´Kp2k`1q2tcospp2k`1qθq| ď e´Kp2k`1q2r, ce qui garantit la convergence normale de la série BSn
Bθ sur sr,`8rˆs0,2πr, pour tout r ą 0. La fonction S est donc dérivable par rapport à θ sur s0,`8rˆs0,2πr, et de plus on peut dériver terme à terme :
BS
Bθpt, θq “ 2pT1´T2q π
`8
ÿ
k“0
e´Kp2k`1q2tcospp2k`1qθq.
On renouvelle cette démarche pour dériver une deuxième fois par rapport à θ : B2Sn
Bθ2 pt, θq “ ´2pT1´T2q π
n
ÿ
k“0
p2k`1qe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq,
et ici on remarque qu’il s’agit de la même série (au facteurK près) que celle étudiée pour établir la dérivabilité de S par rapport à t. On sait donc qu’il y a convergence uniforme de cette série sur sr,`8rˆs0,2πr, pour toutr ą0. La fonction S est donc dérivable une deuxième fois par rapport à θ sur s0,`8rˆs0,2πr, et de plus :
B2S
Bθ2pt, θq “ ´2pT1´T2q π
`8
ÿ
k“0
p2k`1qe´Kp2k`1q2tsinpp2k`1qθq, ce qui nous donne immédiatement l’égalité
BS
Btpt, θq “KB2S Bθ2pt, θq, pour toutpt, θq Ps0,`8rˆs0,2πr.
Continuité de S en t “0 : il s’agit ici de vérifier la condition de continuité (2.15) pourSpt, θq. Commençons par calculer la différence Sp0, θq ´Spt, θq:
Sp0, θq ´Spt, θq “ 2pT1´T2q π
´`8ÿ
k“0
1
2k`1p1´e´Kp2k`1q2tqsinpp2k`1qθq loooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooon
Rpt,θq
¯ ,
on va donc montrer que, pour tout θPs0, πrYsπ,2πr,Rpt, θqtend vers 0 quandttend vers 0. Pour alléger les écritures, on appelle
ukpt, θq “ 1
2k`1p1´e´Kp2k`1q2tqsinpp2k`1qθq,
et il est immédiat que pour toutkě0,ukpt, θqtend vers 0 quandttend vers 0 par valeurs supérieures. Le souci est que Rpt, θqest une somme infinie deukpt, θq, autrement dit il y a une limite dans la définition de Rpt, θq. Le problème qui se pose ici est donc un problème d’interversion de limites, pour lequel les théorèmes classiques ne s’appliquent pas, nous allons donc devoir démontrer le résultat « à la main ». On découpe alors Rpt, θq en une somme de deux termes
Rpt, θq “
n
ÿ
k“0
ukpt, θq `
`8
ÿ
k“n`1
ukpt, θq,
l’idée étant que le premier terme va tendre vers 0 avectcar somme finie de termes tendant chacun vers 0, et que le deuxième terme quant à lui peut être rendu aussi petit que l’on veut avec n, car il s’agit du reste de rang n d’une série convergente. Mais il faut que ce soit fait uniformément en t, on commence donc par s’intéresser à ce dernier terme.
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
`8
ÿ
k“n`1
ukpt, θq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
`8
ÿ
k“n`1
sinpp2k`1qθq 2k`1
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
` ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
`8
ÿ
k“n`1
e´Kp2k`1q2t
2k`1 sinpp2k`1qθq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ,
et le premier terme de la somme de droite est le reste de rang n de la série Sp0, θq(à un facteur multiplicatif près), dont on sait qu’elle converge pour tout θ. Il tend donc vers 0 quand n tend vers `8. Le second terme est plus délicat à contrôler. On peut remarquer qu’il est de la forme ř`8
k“n`1akbk, avec ak “ e´Kp2k`1q2t
2k`1 et bk “sinpp2k`1qθq.
On va ici se servir du théorème d’Abel (thm. 1.39) : la suite pakq décroît bien vers 0, montrons que les sommes de termes consécutifs de pbkq sont bornées :
m
ÿ
k“n`1
sinpp2k`1qθq “
m
ÿ
k“n`1
Impeip2k`1qθq “Im
˜ m ÿ
k“n`1
eip2k`1qθ
¸
“Im ˆ
eip2n`3qθ 1´ei2pm´nqθ 1´ei2θ
˙
“Im ˆ
eip2n`3qθ eipm´nqθpe´ipm´nqθ´eipm´nqθq eiθpe´iθ´eiθq
˙
“Im ˆ
eipm`n`2qθ sinppm´nqθq sinpθq
˙
“ sinppm`n`2qθqsinppm´nqθq
sinpθq ,
ceci pour θPs0, πrYsπ,2πr. On obtient finalement, pour ces mêmes θ, ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
m
ÿ
k“n`1
sinpp2k`1qθq ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
ď 1
|sinpθq|.
