Probabilit´es-statistiques 2013-2014 Polytech 3A
Corrig´ e de l’interrogation n
o1
Exercice 1. L’ensemble des r´esultats possibles est Ω = {1,2,3,4,5,6}. Par hypoth`ese, la probabilit´e P sur Ω est uniforme (∀i∈Ω, P(i) = 16 car Ω a 6 ´el´ements).
L’´ev`enement A = {1,2,3,4,5} contient 5 ´el´ements, donc P(A) = 56 (P(A) est la somme des probabilit´es des ´ev`enements ´el´ementaires i∈A, doncP(A) = 5×16; une autre fa¸con de le voir est que, commeP est la probabilit´e uniforme, on aP(A) = Card(A)Card(Ω) = 56).
On aB={2,4,6}, doncA∩B ={2,4}. D’o`uP(A∩B) = 26 = 13 carA∩B contient 2 ´el´ements.
Exercice 2. SoitAl’´ev`enement “voir une marmotte” etB l’´ev`enement “voir un chamois”. Par hypoth`ese, P(A) = 23 etP(B) = 14. De plus, A et B sont ind´ependants (par hypoth`ese), donc P(A∩B) =P(A)P(B). D’o`uP(A∩B) = 23 ×14 = 16.
Conclusion : la probabilit´e de voir une marmotte et un chamois lors d’une randonn´ee est 16. L’´ev`enement “ne voir ni marmotte ni chamois” s’´ecrit Ac∩Bc. On a : P(Ac) = 1−P(A) = 13 etP(Bc) = 1−P(B) = 34. De plus, comme A etB sont ind´ependants, Ac etBc le sont aussi.
DoncP(Ac∩Bc) =P(Ac)P(Bc) = 13× 34 = 14.
Conclusion : la probabilit´e de ne voir ni marmotte ni chamois lors d’une randonn´ee est 14. Exercice 3. Soit Ω l’ensemble des ´el`eves,F le sous-ensemble des filles et G le sous-ensemble des gar¸cons. SoitAl’´ev`enement “avoir un poisson dans le dos”. L’´enonc´e donne les probabilit´es suivantes :P(F) = 15,P(G) = 45,P(A|F) = 12,P(A|G) = 34.
On veut calculer P(A). CommeF, G forment une partition de Ω, on a : P(A) =P(A|F)P(F) +P(A|G)P(G) (formule des probabilit´es totales).
D’o`u P(A) = 12 ×15 +34 ×45 = 101 +35 = 107.
Conclusion : la proportion d’´el`eves avec un poisson dans le dos est 107.
Autre m´ethode : on peut faire un arbre de probabilit´e (traduisant les probabilit´es condition- nelles). On obtient l’arbre suivant :
A
cA
cF
G
1/5
A
4/5
A
1/2
1/4 3/4
1/2
Les branches qui nous int´eressent sont celles qui se terminent parA. La branche F—A a pour probabilit´e 15 × 12 = 101 (c’est P(A∩F)). La branche G—A a pour probabilit´e 45 × 34 = 35 (c’est P(F ∩G). Les diff´erentes branches correspondent `a des ´ev`enements incompatibles (par construction de l’arbre), donc on fait la somme les probabilit´es des branches se terminant par A. On trouveP(A) = 101 +35 = 107 (c’est en fait la formuleP(A) =P(A∩F) +P(A∩G), dˆu au fait que F, Gforment une partition de l’ensemble total). On a ´evidemment la mˆeme conclusion que pr´ec´edemment.
Exercice 4. Soit Ω l’ensemble des tirages sans remise (non ordonn´es) de 2 boules parmi 6.
On a : Card(Ω) =
6
2
.
SoitAl’´ev`enement “tirer 2 boules vertes”. Comme il y a 3 boules vertes, il faut choisir 2 boules vertes parmi 3, donc Card(A) =
3
2
. Tous les tirages sont ´equiprobables, donc
P(A) = Card(A) Card(Ω)
= nombre de cas favorables nombre de cas possibles
=
3
2
6
2
= 3
15 = 1 5.
Conclusion : la probabilit´e de tirer 2 boules vertes est 15.
Autre m´ethode : on consid`ere 2 tirages sans remise, ordonn´es, et on fait l’arbre de pro- babilit´es correspondant aux couleurs des boules (dans l’arbre ci-dessous, R, B, V repr´esentent les couleurs rouge, bleu, vert). Voici l’arbre entier, mais seulement une partie des probabilit´es associ´ees (on n’a pas besoin de toutes).
V B
R V
B
B V V R
3/6=1/2
R
2/6 1/6
2/5
B
tirage 2
tirage 1 resultat
(R,B) (R,V) (B,R) (B,B) (B,V)
(V,B) (V,V) (V,R)
Une seule branche nous int´eresse : la derni`ere, qui donne (V,V). L’arbre donne que la probabilit´e d’aboutir `a (V,V) est 12 ×25 = 15. On a ´evidemment la mˆeme conclusion que par la premi`ere m´ethode.
Remarque : si on avait cherch´e, par exemple, la probabilit´e d’avoir une rouge et une verte, ind´ependemment de l’ordre, on aurait consid´er´e les 2 branches donnant (R,V) et (V,R) ; comme on veut 2 boules de mˆeme couleur, il y a une seule branche et l’ordre de tirage semble ne pas intervenir (mais un arbre de probabilit´e de ce type correspond toujours `a des r´esultats ordonn´es).
