Correction TD 3 : Algorithmes it´eratifs

Correction TD 3 : Algorithmes it´eratifs

Licence 1 MASS semestre 2, 2007/2008

Exercice 1 : Plus petit, plus grand

a-

Algorithme devinerA(n : entier) : rien d´ebut

variable a: entier a←n−1

tant quea6=nfaire

´ecrire(”Proposer un nombre ”) lire(a)

sia < nalors

´ecrire(”trop petit”) sinon

´ecrire(”trop grand”) fin si

fin tant que

´ecrire(”vous avez trouv´e”) fin

b-

Algorithme devinerB(n : entier) : rien d´ebut

variable a,i: entier a←n−1

i←0

tant quea6=net i <5faire

´ecrire(”Proposer un nombre ”) lire(a)

sia < nalors

´ecrire(”trop petit”) sinon

´ecrire(”trop grand”) fin si

i←i+ 1 fin tant que

´ecrire(”vous avez trouv´e”) fin

Exercice 2 : Comptage

a-

Algorithme comptageTailleSup160() : entier d´ebut

variable t,n,i : entier n←0

pouride 1 `a 10faire

´ecrire(”Saissez votre taille (en cm) :”) lire(t)

sit≤160alors n←n+ 1 fin si fin pour retournern fin

b-

Algorithme votation(n: entier) : rien d´ebut

variable oui, non, blanc,i: entier vote : caract`ere

oui←0 non←0 blanc←0

pouride 1 `a nfaire lire(vote)

sivote = ”O”alors oui←oui + 1 sinon

sivote = ”N”alors non←non + 1 sinon

blanc←blanc + 1 fin si

fin si fin pour

´ecrire(”Pourcentage de BLANC : ”, 100*blanc/n)

´ecrire(”Pourcentage de OUI parmi les exprim´es : ”, 100*oui/(oui + non))

´ecrire(”Pourcentage de NON parmi les exprim´es : ”, 100*non/(oui + non))

fin

Exercice 3 : Suite r´ ecurrentes

a- u1= ¹₂u0+ 2 = ³₂ u2= ¹₂u1+ 2 = ¹¹₄ u3= ¹₂u2+ 2 = ²⁷₈ u4= ¹₂u3+ 2 = ⁵⁹₁₆ u5= ¹₂u4+ 2 = ¹²³₃₂ b- Algorithme U100() : r´eel

d´ebut

variable i: entier u: r´eel u←1

pouride 1`a 100faire u← ¹₂u+ 2

fin pour retourneru fin

c- Algorithme Un(n: entier) : r´eel d´ebut

variable i: entier u: r´eel u←1

pouride 1`a nfaire u← ¹₂u+ 2

fin pour retourneru fin

d- Algorithme rangLimite() : entier d´ebut

variable u,p: entier u←1

p←0

tant que|u−4|>10⁻²faire u← ¹₂u+ 2

p←p+ 1 fin tant que retournerp fin

Exercice 4 : Z´ ero d’une fonction

a- Algorithme zeroIteratif(f : fonction,a,b : entier) : r´eel d´ebut

variable x: entier x←a

tant quef(x)<0faire x←x+ 10⁻²

fin tant que retournerx fin

b- Algorithme zeroDichotomie(f : fonction,a,b : entier) : r´eel d´ebut

variable x1,x2,xm : entier x1 ←a

x2 ←b

tant que|x1−x2|>10⁻² faire xm ← ^x1+x₂ ²

sif(x^m)<0alors x1 ←xm

sinon x2 ←xm

fin si fin tant que retournerx1

fin

Exercice 5 : Suite de polynomes

a- P1(X) = (X⁻¹+X)P0(X) =X⁻¹+X P2(X) = (X⁻¹+X)P1(X) =X⁻²+ 2 +X²

P3(X) = (X⁻¹+X)P2(X) =X⁻³+ 3X⁻¹+ 3X+X³ P4(X) = (X⁻¹+X)P3(X) =X⁻⁴+ 4X⁻²+ 6 + 4X²+X⁴

P5(X) = (X⁻¹+X)P4(X) =X⁻⁵+5X⁻³+10X⁻¹+10X+5X³+X⁵ Les coefficients correspondent aux coefficients du binˆome de Newton.

b- Algorithme P100() : polynme d´ebut

variable P : polynome i: entier

P ←1

pouride 1`a 100faire P ←(X⁻¹+X)P fin pour

retournerP fin

Exercice 6 : Lapins

a- Le nombre de couples de lapins au moisnest la somme des couples exis- tants le mois d’avant (au moisn−1) et des couples naissants au moisn.

Or, le texte pr´ecise que tous les couples existants deux mois auparavant (au moisn−2) se reproduisent.

Par cons´equent, au moisn≥2 le nombre de lapins est : un=un−1+un−2

b- Le premier mois, il n’y a qu’un seul coupleu0= 1 et le mois suivant aucun lapin n’est encore n´e, doncu1= 1.

Algorithme lapin12() : entier d´ebut

variable u,v,i,tmp: entier v ←1

u←1

pouride 2`a 12faire tmp←u

u←u+v v ←tmp fin pour retourneru fin

c- Algorithme mois300() : entier d´ebut

variable u,v,tmp,m: entier v ←1

u←1 m←0

tant queu≤300faire tmp←u

u←u+v v ←tmp m←m+ 1 fin tant que retournerm fin

d- Algorithme moisL(L: entier) : entier d´ebut

variable u,v,tmp,m: entier v ←1

u←1 m←0

tant queu≤L faire tmp←u

u←u+v v ←tmp m←m+ 1 fin tant que retournerm fin