SamuelForest Tenseurs

Tenseurs

Samuel Forest

Centre des Mat´eriaux/UMR 7633 Ecole des Mines de Paris/CNRS

BP 87, 91003 Evry, France [email protected]

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

0bjectifs

historique de cette s´eance 12 s´eances de math´ematiques...

prol´egom`enes `a la MMC (”tenseur”)

rappel des ´el´ements de votre bagage en alg`ebre et en analyse indispensables aux cours de m´ecanique

pas vraiment deux s´eances de maths, l’occasion de fixer les notations donner des noms nouveaux `a des choses que vous connaissez d´ej`a ou que vous connaissez potentiellement!

pour une pr´esentation math´ematique plus rigoureuse, voir les r´ef´erences dans le poly

la physique derri`ere ces notations arides ou ´el´egantes (selon les goˆuts)

les tenseurs sont omnipr´esents dans toute la physique!

Cosmology and gravitation, S. Weinberg

Th´eorie des champs, L. Landau, E. Lifchitz

Grundlagen der PhysikE. Schmutzer

M´ecaniqueP. Germain

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

D´ efinition

E un espace vectoriel de dimension finiensur IR, ses ´el´ements, les vecteurs sont not´esu ∈E

l’espace dual E^∗: ensemble des formes lin´eaires surE, ses

´

el´ements sont lescovecteursu^∗

<u^∗,v >=u^∗(v)∈IR, ∀u^∗∈E^∗,∀v ∈E crochets de dualit´e

Les tenseurssont lesformes multilin´eairessurE,E^∗ tenseur p–contravariant et q–covariant :

T : (E^∗)^p×E^q −→IR

(u^∗1, ...,u^∗p,u¹, ...u^q)7−→T(u^∗1, ...,u^∗p,u¹, ...u^q) variance d’un tenseur : le couple (p,q)

ordred’un tenseur : la somme p+q

A quoi bon des formes lin´ eaires en

m´ ecanique/physique???

A quoi bon des formes lin´ eaires en m´ ecanique/physique???

tenseurs d’ordre 0 : les scalaires

exemple: lamasse tenseurs d’ordre 1 :

lesvecteurs: variance (p,q) = (1,0)

exemples : directions, vecteur position, vecteur vitesse lescovecteurs: variance (p,q) = (0,1)

exemples : forces, ´el´ements de surface laforcef ^∗est la forme lin´eaire qui `a unevitessev associe la puissance

p=<f ^∗,v >

l’´el´ement de surfaceds est la forme lin´eaire qui `a ladirectionde l’espaceu associe levolumedu cylindre engendr´e

<ds,u >=dv

Composantes des vecteurs et covecteurs

Composantes des vecteurs et covecteurs

Soit (e_i)_i=1,n unebasequelconque deE

u =

n

X

i=1

uⁱe_i

convention d’Einstein sur les indices r´ep´et´es u =uⁱe_i lesuⁱ sont les composantes du vecteursu dans la base (e_i)_i=1,n base dualede (e_i)i=1,n: c’est l’unique base (e^∗i)i=1,nde E^∗ telle que

<e^∗i,e_j >=δⁱ_j o`uδ_jⁱ est le symbole de Kronecker

composantes du covecteurv^∗∈E^∗: v^∗=v_i^∗e^∗i projections

uⁱ=<e^∗i,u >, v_j^∗=<v^∗,e_j>

Tenseurs d’ordre 2

tenseur d’ordre 2, not´esT_∼

2-fois contravariant (p,q) = (2,0) : E^∗×E^∗−→IR 2-fois covariant (p,q) = (0,2) : E×E −→IR 1-fois contravariant, 1-fois covariant (p,q) = (1,1) : E^∗×E−→IR

ou E×E^∗−→IR

tenseurs d’ordre 2 (formes bilin´eaires) etendomorphismes

Tenseurs d’ordre 2

tenseur d’ordre 2, not´esT_∼

2-fois contravariant (p,q) = (2,0) : E^∗×E^∗−→IR 2-fois covariant (p,q) = (0,2) : E×E −→IR 1-fois contravariant, 1-fois covariant (p,q) = (1,1) : E^∗×E−→IR

ou E×E^∗−→IR

tenseurs d’ordre 2 etendomorphismes

`

a chaque endomorphismet de E, on associe le tenseur d’ordre 2 T_∼ :E^∗×E −→IR

T_∼(v^∗,u) :=<v^∗,t(u)>

c’est en fait un isomorphisme (voir plus loin)...

exemples connus : conductivit´e thermique, ´electrique exemples nouveaux: tenseur desd´eformations, tenseur des contraintes

Produit tensoriel

combiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs d’ordre plus

´elev´e

produit tensoriel a ⊗b de deux vecteursa,b ∈E d´ecompositiond’un tenseur d’ordre 2,T_∼ :E^∗×E −→IR

Produit tensoriel

combiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs d’ordre plus

´elev´e

produit tensoriel a ⊗b de deux vecteursa,b ∈E pour fabriquer le tenseur d’ordre 2, 2–fois contravariant

(a ⊗b)(u^∗,v^∗) :=<u^∗,a ><v^∗,b >∈IR on peut fabriquer des tenseurs d’ordre 2 de toute variance (a ⊗b^∗)(u^∗,v) :=<u^∗,a ><b^∗,v >∈IR d´ecompositiond’un tenseur d’ordre 2,T_∼ :E^∗×E −→IR

T_∼(u^∗,v) = T_∼(u_i^∗e^∗i,v^je_j) =u^∗_iv^jT_∼(e^∗i,e_j)

= <u^∗,e_i ><e^∗j,v > T_∼(e^∗i,e_j)

= T_∼(e^∗i,e_j) (e_i⊗e^∗j)(u^∗,v)

Produit tensoriel

composantesd’un tenseur d’ordre 2

T_∼ =T_∼(e^∗i,e_j)e_i⊗e^∗j =Tⁱje_i⊗e^∗j, avec Tⁱj =T_∼(e^∗i,e_j) matrice des composantes du tenseur [Tⁱj]

(premier indice : num´ero de ligne, second indice : num´ero de colonne) int´erˆet de la notation indicielle : reconnaˆıtre du premier coup d’œil la variance des tenseurs

=⇒l’espace des tenseurs d’ordre 2 1-fois contravariants et 1-fois covariants est de dimensionn², les (e_i⊗e^∗j)_i,j=1,nen constituent une base

Transposition et contraction

transpos´eT_∼^T de T_∼

T_∼^T(u,v^∗) =T_∼(v^∗,u), ∀u ∈E,∀v^∗∈E^∗

le tenseur T_∼^T admet comme matrice de composantes la transpos´ee de la matrice des composantes deT_∼ dans la base (e_i)i=1,n

lacontractiond’un tenseur r´eduit de 2 son ordre. On ne contracte que les indices de variance diff´erente.

Pour un tenseur d’ordre 2, 1-fois contravariant, 1-fois covariant : T_c =T(e^∗i,e_i)

T_c =Tⁱ_i=:traceT_∼ il ne d´epend pas de la base (`a v´erifier).

Transposition et contraction

produit contract´e: combiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs d’ordre moins ´elev´e

a^∗.b (a ⊗b).u^∗ plus g´en´eralement

T_∼.u

Transposition et contraction

produit contract´e: combiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs d’ordre moins ´elev´e

a^∗.b :=<a^∗,b >

(a ⊗b).u^∗:=<u^∗,b >a plus g´en´eralement

T_∼.u = (Tⁱje_i⊗e^∗j).u =Tⁱj(e_i⊗e^∗j).u

= Tⁱj <e^∗j,u >e_i =Tⁱju^je_i c’est le vecteur de composantesTⁱju^j

Transposition et contraction

produit contract´e: combiner les tenseurs entre eux pour produire des tenseurs d’ordre moins ´elev´e

a^∗.b :=<a^∗,b >

(a ⊗b).u^∗:=<u^∗,b >a plus g´en´eralement

T_∼.u = (Tⁱje_i⊗e^∗j).u =Tⁱj(e_i⊗e^∗j).u

= Tⁱj <e^∗j,u >e_i =Tⁱju^je_i c’est le vecteur de composantesTⁱju^j

endomorphisme sur E associ´e `a un tenseur d’ordre 2 T_∼ : E×E^∗−→IR

t(u) =T_∼.u

Changement de bases

e⁰_i =P_i^je_j, e_i= (P⁻¹)^j_ie⁰_j e^0∗i= , e^∗i = matrice de passage:

[P_{i←−colonne}^j←−ligne ], avec P_i^j =<e^∗j,e⁰_i >

[xⁱ] = [P] [x⁰ⁱ]

Changement de bases

e⁰_i =P_i^je_j, e_i= (P⁻¹)^j_ie⁰_j e^0∗i = (P⁻¹)ⁱ_je^∗j, e^∗i =P_jⁱe^0∗j matrice de passage:

[P_{i←−colonne}^j←−ligne ], avec P_i^j =<e^∗j,e⁰_i >

[xⁱ] = [P] [x⁰ⁱ] formule de passage pour un tenseur d’ordre 2:

T_∼ =Tⁱje_i⊗e^∗j =T^0kle⁰_k⊗e^0∗l

Changement de bases

e⁰_i =P_i^je_j, e_i= (P⁻¹)^j_ie⁰_j e^0∗i = (P⁻¹)ⁱ_je^∗j, e^∗i =P_jⁱe^0∗j matrice de passage:

[P_{i←−colonne}^j←−ligne ], avec P_i^j =<e^∗j,e⁰_i >

[xⁱ] = [P] [x⁰ⁱ] formule de passage pour un tenseur d’ordre 2:

T_∼ =Tⁱje_i⊗e^∗j =T^0kle⁰_k⊗e^0∗l T^0kl = (P⁻¹)^k_iP_l^jTⁱj

forme matricielle (chgt de base pour les endomorphismes) [T^0kl] = [P]⁻¹[Tⁱj] [P]

Changement de bases pour les tenseurs d’ordre 2

notation tensorielle

T^0kl = (P⁻¹)^k_i(P⁻¹)^l_jT^ij T_kl⁰ = P_kⁱP_l^jTij

T_k^0l = P_kⁱ(P⁻¹)^l_jTij

T^0kl = (P⁻¹)^k_iP_l^jTⁱj

notation matricielle

[T^0kl] = [P⁻¹] [T^ij] [P⁻¹]^T [T_kl⁰] = [P]^T[T_ij] [P]

[T_k^0l] = [P]^T[Tij] [P⁻¹]^T [T^0kl] = [P⁻¹] [Tⁱj] [P]

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

Le tenseur m´ etrique

L’espace physiqueE est euclidien. Il est muni d’unproduit scalaire, i.e. une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive. Il s’agit donc d’un tenseur d’ordre 2 particulier not´eG_∼ :E×E −→IR, que l’on appelle aussi tenseur m´etrique :

u.v :=G_∼(u,v) =G_∼(v,u)∈IR, G_∼(u,u)≥0 G_∼(u,u) = 0 =⇒u = 0

on note gij les composantes du tenseur m´etrique G_∼ =gije^∗i⊗e^∗j, gij=G_∼(e_i,e_j) contraction / produit scalaire

G_∼(u,v) =

Le tenseur m´ etrique

L’espace physiqueE est euclidien. Il est muni d’unproduit scalaire, i.e. une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie positive. Il s’agit donc d’un tenseur d’ordre 2 particulier not´eG_∼ :E×E −→IR, que l’on appelle aussi tenseur m´etrique :

u.v :=G_∼(u,v) =G_∼(v,u)∈IR, G_∼(u,u)≥0 G_∼(u,u) = 0 =⇒u = 0

on note gij les composantes du tenseur m´etrique G_∼ =gije^∗i⊗e^∗j, gij=G_∼(e_i,e_j) contraction / produit scalaire

G_∼(u,v) =uⁱv^jG_∼(e_i,e_j) =uⁱv^jgij=u.G_∼.v =u.v point de contraction / point de produit scalaire!

Identification de E et de son dual

le tenseur m´etrique permet d’identifierE et son dualE^∗ par l’interm´ediaire de l’isomorphisme canonique

γ: E −→E^∗

γ(v) =G_∼.v

son inverse permet de d´efinir un produit scalaire sur E^∗ G_∼^∗=g^ije_i⊗e_j

dont la matrice des composantes [g^ij] est l’inverse de la matrice [gij].

γ⁻¹(u^∗) =G_∼^∗.u^∗ base r´eciproque (eⁱ)i=1,nde (e_i)i=1,n

eⁱ.e =δⁱ

Base r´ eciproque pour n = 2

e

e

v

v

v

Base r´ eciproque pour n = 2

e

e

e

v

θ

v

v

v

v

Tenseurs euclidiens

les tenseurs euclidiens sont les tenseurs surE,E×E,E×E×E, ...o`uE est euclidien. On fait l’´economie des tenseurs surE^∗ en se servant du produit scalaire:

(e_i⊗e_j)(u,v) = (e_i.u) (e_j.v)

tenseur euclidien d’ordre 1

v =vⁱe_i=vieⁱ, vi=gijv^j tenseur euclidien d’ordre 2

T_∼ =T^ije_i⊗e_j =T_i^jeⁱ⊗e_j =Tⁱ_je_i⊗e^j =T_ijeⁱ⊗e^j Tij =gikT^kj, Tⁱj =gkjT^ik, Tij =gikgjlT^kl

Les T^ij,Tij,Tij,Tⁱj sont lescomposantes du mˆeme tenseurT_∼ dans des bases diff´erentes.

Cas d’une base orthonorm´ ee

Lorsque la base (e_i)_i=1,n est orthonorm´ee e_i.e_j =δ^j_i

Les bases initiale et r´eciproque sont alors identiques eⁱ=e_i

Les composantes g_ij du produit scalaire dans une base orthonorm´ee sont celles de l’identit´e :

g_ij =δ_i^j=g^ij

Une cons´equence fondamentale est que les 4 types de composantes d’un tenseur euclidien d’ordre 2 co¨ıncident :

T^ij =Tⁱ_j =T_i^j =T_ij

Changement de bases orthonorm´ ees

deux bases de E :

e⁰_i =Qkie_k, e_i =Qike⁰_k formules de passage

Changement de bases orthonorm´ ees

deux bases de E :

e⁰_i =Qkie_k, e_i =Qike⁰_k formules de passage

T_∼ =Tije_i⊗e_j =T_kl⁰ e⁰_k⊗e⁰_l T_kl⁰ =Q_ikQ_jlT_ij notation matricielle

[T⁰] = [Q]^T[T] [Q]

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

Champs de tenseurs

champ de scalaires

la masse volumiqueρ(M) not´ee aussiρ(x) champ de vecteurs

Les champs de vecteurs–positionx(M), de d´eplacementsu(M), de vitesses v(x)

champ de tenseurs d’ordre 2 champs de conductivit´e ´electrique le champ des contraintesσ_∼(x,t)

champ de tenseurs d’ordre 3 champ des propri´et´es pi´ezo´electriques champ de tenseurs d’ordre 4 champ des propri´et´es ´elastiques

L’analyse tensorielle consiste `a ´etudier les variations d’un champ de

Op´ erateurs diff´ erentiels (1)

rep´erage par unebase mobile (e_i(x))i=1,3 associ´ee `a un syst`eme de coordonn´eesM(qⁱ)

e_i =∂M

∂qⁱ ex: coordonn´ees cylindriques, sph´eriques...

coordonn´eescart´esiennes: les champse_i(M) sont uniformes, les coordonn´ees sont not´eesxⁱ

d´eriv´ee deT(x) suivant un vecteur v ∈E:

Dv T = lim

λ→0

T(x +λv)−T(x) λ

Dv T(x) est un tenseur du mˆeme ordre queT(x)

∂T

∂qⁱ =De_iT

Op´ erateurs diff´ erentiels (2)

gradientd’un champ de tenseurs : c’est l’op´erateur lin´eaire

∇T : v 7→Dv, ∇T.v =DvT c’est un champ de tenseurs d’un ordre plus ´elev´e queT(x) expression `a l’aide des d´eriv´ees partielles dans une base mobile quelconque

∇T.v =

lien avec la diff´erentielle d’un champ de tenseurs dT =∇T.dM

Op´ erateurs diff´ erentiels (2)

gradientd’un champ de tenseurs : c’est l’op´erateur lin´eaire

∇T : v 7→Dv, ∇T.v =DvT c’est un champ de tenseurs d’un ordre plus ´elev´e queT(x) expression `a l’aide des d´eriv´ees partielles dans une base mobile quelconque

∇T.v =v^k∂T

∂q^k = ∂T

∂q^k <e^∗k,v >

∇T = ∂T

∂q^k ⊗e^∗k lien avec la diff´erentielle d’un champ de tenseurs

dT =∇T.dM, dM = ∂M

∂qⁱdqⁱ=dqⁱe_i dT = ∂T

∂qⁱ <e^∗i,dM >= ∂T

∂qⁱ dqⁱ ce sont les formules usuelles du calcul diff´erentiel

Op´ erateurs diff´ erentiels (3)

l’op´erateur diff´erentieldivergenceabaisse de 1 l’ordre du champ de tenseur

divT

Op´ erateurs diff´ erentiels (3)

l’op´erateur diff´erentieldivergenceabaisse de 1 l’ordre du champ de tenseur

divT := (∇T)_c = ∂T

∂qⁱ.e^∗i

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cart´ esiennes dans une BON

Base cart´esienne OrthoNorm´ee

∇f =

∇u = divu = divσ_∼=

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cart´ esiennes dans une BON

Base OrthoNorm´ee

∇f = ∂f

∂x_ie_i =f,ie_i

∇u = ∂u

∂xj

⊗e_j =∂u_i

∂xj

e_i⊗e_j =u_i,je_i⊗e_j

divu =∂u

∂xj

.e_j =∂ui

∂xj

e_i.e_j = ∂ui

∂xi

=ui,i

divσ_∼= ∂σ_∼

∂xj

.e_j = ∂σik

∂xj

(e_i⊗e_k).e_j =∂σij

∂xj

e_i =σij,je_i o`u l’on a introduit la notation fr´equente en physique,

,i = ∂

∂xi

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

Base OrthoNorm´ee: les indices restent en bas... mais base mobile...

x

y z

M O

θ r

e_θ e_r

e_{z OM =re}

r+ze_z dM =dre_r+rdθe_θ+dze_z

e_r =∂OM

∂r e_θ= 1

r

∂OM

∂θ e_z = ∂OM

∂z

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

e₁=e_r, e₂=re_θ, e₃=e_z e¹=e_r, e²= 1

re_θ, e³=e_z gradient d’un champ scalairef(r, θ,z)

∇f = ∂f

∂qⁱeⁱ

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

e₁=e_r, e₂=re_θ, e₃=e_z e¹=e_r, e²= 1

re_θ, e³=e_z gradient d’un champ scalairef(r, θ,z)

∇f = ∂f

∂re¹+∂f

∂θe²+∂f

∂ze³

= ∂f

∂re_r+1 r

∂f

∂θe_θ+∂f

∂ze_z

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

gradient d’un champ de vecteurs u =u_re_r+u_θe_θ+u_ze_z

∇u = ∂u

∂qⁱ ⊗eⁱ

=

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

gradient d’un champ de vecteurs u =ure_r+uθe_θ+uze_z

∇u = ∂u

∂qⁱ ⊗eⁱ

= ∂u

∂r ⊗e¹+∂u

∂θ ⊗e²+∂u

∂z ⊗e³

= ∂u

∂r ⊗e_r+∂u

∂θ ⊗e_θ r +∂u

∂z ⊗e_z

= ∂ur

∂r e_r⊗e_r+∂uθ

∂r e_θ⊗e_r+∂uz

∂z e_z⊗e_r + 1

r

∂ur

∂θe_r⊗e_θ+ur

r e_θ⊗e_θ+1 r

∂uθ

∂θ e_θ⊗e_θ−uθ

r e_r⊗e_θ+1 r

∂uz

∂θe_z⊗e_θ + ∂ur

∂ze_r⊗e_z+∂u_θ

∂ze_θ⊗e_z+∂uz

∂ze_z⊗e_z

notation matricielle [∇u] =















∂ur

∂r 1 r(∂ur

∂θ −uθ) ∂ur

∂uθ ∂z

∂r 1

r(ur+∂uθ

∂θ ) ∂uθ

∂uz 1∂uz ∂u∂zz















Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

divergence d’un champ de tenseurs d’ordre 2 divσ_∼ = (∇σ_∼)c = ∂σ_∼

∂qⁱ.eⁱ

= ∂σ_∼

∂r .e_r+∂σ_∼

∂θ.e_θ r +∂σ_∼

∂z.e_z

σ∼ = σrre_r⊗e_r+σθθe_θ⊗e_θ+σzze_z⊗e_z+σrθ(e_r⊗e_θ+e_θ⊗e_r) + σθz(e_θ⊗e_z+e_z⊗e_θ) +σzr(e_r⊗e_z+e_z⊗e_r)

Op´ erateurs diff´ erentiels en coordonn´ ees cylindriques

divergence d’un champ de tenseurs d’ordre 2 divσ_∼ = (∇σ_∼)c = ∂σ_∼

∂qⁱ.eⁱ

= ∂σ_∼

∂r .e_r+∂σ_∼

∂θ.e_θ r +∂σ_∼

∂z.e_z

σ∼ = σrre_r⊗e_r+σθθe_θ⊗e_θ+σzze_z⊗e_z+σrθ(e_r⊗e_θ+e_θ⊗e_r) + σθz(e_θ⊗e_z+e_z⊗e_θ) +σzr(e_r⊗e_z+e_z⊗e_r)

divσ_∼ =

∂σ_rr

∂r +σ_rr−σ_θθ r +1

r

∂σ_rθ

∂θ +∂σ_rz

∂z

e_r

+

∂σ_rθ

∂r +1

r

∂σ_θθ

∂θ +∂σ_θz

∂z +2σ_rθ r

e_θ

+

∂σrz

+1∂σθz

+∂σzz

+σrz e_z

Int´ egration des champs de tenseurs

th´eor`eme de la divergence Z

Ω

∇f dv = Z

∂Ω

fn ds

Z

Ω

divv dv= Z

∂Ω

v.n ds Z

Ω

divT_∼dv= Z

∂Ω

T_∼.n ds

Th´ eor` eme de la divergence

en composantes cart´esiennes BON Z

Ω

•,idV = Z

∂Ω

•nids

d´emonstration en 1D...

Z

Ω

∇f dv = Z

∂Ω

fn ds

Z

Ω

divv dv= Z

∂Ω

v.n ds Z

divT_∼dv= Z

T_∼.n ds

Th´ eor` eme de la divergence

en composantes cart´esiennes BON Z

Ω

•,idV = Z

∂Ω

•nids

d´emonstration en 1D...

Z

Ω

∇f dv = Z

∂Ω

fn ds, Z

Ω

f,idv= Z

∂Ω

fnids

Z

Ω

divv dv = Z

∂Ω

v.n ds, Z

Ω

v_i,idv= Z

∂Ω

v_in_ids Z

Ω

divT_∼dv= Z

∂Ω

T_∼.n ds, Z

Ω

Tij,jdv= Z

∂Ω

Tijnjds

Plan

1 Pourquoi les tenseurs?

2 Introduction `a l’alg`ebre tensorielle D´efinitions, notations, exemples Tenseurs euclidiens

3 Introduction `a l’analyse tensorielle

4 Bilan

Bilan: calcul tensoriel dans une BON

notation intrins`eque/indicielle calcul matriciel

u.v =

a ⊗b = (a ⊗b).v = u.(a ⊗b) =

T_∼.v =

v.T_∼ =

u.T_∼.v =

A_∼.B_∼ =

Bilan 59/60

Bilan: calcul tensoriel dans une BON

notation intrins`eque/indicielle calcul matriciel

u.v =u_iv_i [u]^T[v]

a ⊗b =aibje_i⊗e_j [a ⊗b] = [a] [b]^T (a ⊗b).v =b.v a

u.(a ⊗b) =u.a b

T_∼.v =Tijvje_i [T_∼.v] = [T_∼] [v]

v.T_∼ =viTije_j [v.T_∼] = [T_∼]^T[v]

u.T_∼.v =uiTijvj [u]^T[T_∼] [v]

Bilan 60/60