Leçon 3

Leçon 3 Division des polynômes

1. Division euclidienne Théorème

Etant donné deux polynômes ^{A x}

( )

^=a₀^{+a x}₁ ^{+ +... a x}_p ^{p et}

( )

0 1 ... _q ^q

B x =b +b x+ +b x avec

(

^{B x}

( )

^0

)

^._.

il existe un unique couple

(

^{Q x}

( ) ( )

^{,R x}

)

tel que :

( ) ( ) ( ) ( )

A x =B x Q x +R x , ^deg

(

^{R x}

( ) )

^deg

(

^{B x}

^{( )} )

. A(x) est le dividende, B(x) est le diviseur ;

. ^{Q x}

( )

est le quotient et ^{R x}

( )

est le reste de la division ^{A x}

( )

par ^{B x}

( )

^. Exemple : Soit deux polynômes A(x)=2x⁴−x²+3x+1 et B(x)=x²+x+1. On divise ^{A x}

( )

par ^{B x}

( )

4 2 2

4 3 2 2

2 3 1 1

2 2 2 2 2 1

x x x x x

x x x x x

− + + + +

− + + − −

3 2

3 2

2 3 3 1

2 2 2

x x x

x x x

− − + +

−− − −

2 2

5 1

1

x x

x x

− + +

− − − −

6x+2

La division s’arrête car deg(6x+2)deg(x² +x+1) . le quotient est Q(x)=2x²−2x−1 et

. le reste est R(x)=6x+2 de la division ^{A x}

( )

par ^{B x}

( )

On peut écrire sous la forme factorisée :

^{A x}

( )

^{=B x Q x}

( ) ( )

^{+R x}

( )

^:

( )( )

4 2 2 2

2x −x +3x+ =1 x + +x 1 2x −2x− +1 6x+2

2. Définition

Dans l’expression ^{A x}

( )

^{=B x Q x}

( ) ( )

^{+R x}

( )

➢ Si R(x)=0, on dit que A(x) est divisible par B(x). Exemple : Soit deux polynômes ^{A x}

( )

^{=x3 +9x2 +15x−25 et}

( )

^{2 10 25}

B x =x + x+

3 2 2

3 2

2 2

9 15 25 10 25

10 25 1

10 25

10 25

0

x x x x x

x x x x

x x

x x

+ + − + +

− + + −

− − −

− − −

. le quotient est Q(x)=x−1Q(x)=x−1 et . le reste est R(x)=0

On peut écrire sous la forme factorisée : ^{A x}

( )

^{=B x Q x}

( ) ( )

^{+R x}

( )

^:

^{x3+9x2+15x−25=}

(

^x−1

) (

^x2+10x+25

)

On dit que ^{A x}

( )

est divisible par ^{B x}

( )

3. Plus grand commun diviseur

Dans l’expression ^{A x}

( )

^{=B x Q x}

( ) ( )

^{+R x}

( )

^,

➢ Si A(x) est divisible par B(x), on dit que B(x)est le diviseur de A(x).

➢ Si A(x) et B(x) sont divisibles par D(x), on dit que D(x)est le diviseur commun de A(x) et B(x).

Exemple : Soient deux polynômes A(x)= (x+1)³(x² +2) et )

1 ( ) 1 ( )

(x = x+ ² x² + B

On constate que

(

x+¹

)

et (x+1)² sont diviseurs communs de A(x) et B(x). Théorème 1

➢ Si D(x)est le diviseur commun de A(x) et B(x) et si D(x)est divisible par tout diviseur commun deA(x) et B(x), on dit que D(x) est le plus grand commun diviseur de A(x) et B(x).

On le note pgcd(A(x),B(x))=D(x) ou GCD(A(x),B(x))=D(x) ou (A(x),B(x))=D(x).

Exemple : Soient deux polynômes A(x)= (x+1)³(x² +2) et )

1 ( ) 1 ( )

(x = x+ ² x² + B

On constate que

(

x+1

)

et (x+1)² sont diviseurs communs de A(x) et B(x) dont (x+1)² est divisible par (x+1)² et par

(

^x+1

)

.

−

Donc (x+1)² est le diviseur commun de A(x) et B(x). On écrit (A(x),B(x))=

(

x+1

)

².

Théorème 2

➢ Si D(x)=(A(x),B(x)) alors D(x)=(B(x),R(x)). Recherche du plus grand commun diviseur

D’après la division de deux polynômes, on a :

)) ( deg(

)) ( deg(

, ) ( )

( ) ( ) (

)) ( deg(

)) ( deg(

, ) ( ) ( ) ( ) (

)) ( deg(

)) ( deg(

, ) ( ) ( ) ( ) (

; )) ( deg(

)) ( deg(

, ) ( ) ( ) ( ) (

1 1

1

2 3

3 2

2 1

1 2

2 1

1

1 1

0

x R x

R x

R x Q x R x R

x R x

R x

R x Q x R x R

x R x

R x

R x Q x R x B

x B x

R x

R x Q x B x A

k k

k k

k

k = + 

 +

=

 +

=

 +

=

+ +

−







D’après le théorème ci-dessus, on a :





=

=





=





=



(A(x),B(x)) B(x),R₁(x) R₁(x),R₂(x)  R_k−1(x),R_k(x) Donc :

➢ Si R_k+1(x)=0A(x),B(x) = R_k(x)

➢ Si R_k+1(x) =constante A(x),B(x) =1, On dit que A(x) et B(x)sont premiers entre eux.

Exemple : Soient A(x) =x⁵ +3x⁴ +5x³ +7x² +6x+2 B(x)= x⁴ +2x³ +2x² +2x+1. Calculer A(x),B(x).

Solution

On divise A(x) par B(x).

5 4 3 2

3 5 7 6 2

x + x + x + x + x+

5 2 4 2 3 2 2

x + x + x + x +x

−

4 3 2

2 2 2 1

x + x + x + x+ 1

x+

4 3 2

3 5 5 2

x + x + x + x+

4 3 2

2 2 2 1

x + x + x + x+

−

3 2

3 3 1

x + x + x+ R x₁( )

4 3 2

2 2 2 1

x + x + x + x+

4 3 2

3 3

x + x + x +x

3 2

3 3 1

x + x + x+ 1

x−

−

3 2

1

x x x

− − + +

3 2

3 3 1

x x x

− − − −

−

2x2+4x+2 R x₂( )

On obtient ^{3 3 2 3 1}

(

^{2 2 4 2}

)

^{1 1}

2 2

x + x + x+ = x + x+  x+ 

 

ou ^{x3+3x2+3x+ =1}

(

^x2+2x+1

) ⁽

^x+1

⁾

Donc ^{A x B x( ), ( ) =x2+2x+ =1}

(

^x+1

)

^2.

3 2

3 3 1

x + x + x+

3 2

2 x + x + x

−

2x2 +4x+2

1 1

2x+2

2 2 1

x + x+

2 2 1

x + x+

−

0 R x₃( )

Exercices

1. Soit deux polynômes ^{P x}

( )

^{=x3−3x2+ +x 5 et Q x}

( )

^{= +x 1.} Calculer le quotient de la division P(x) par Q(x).

2. Pour chacun des cas suivants, trouver le quotient et le reste de la

division A x( ) par B x( ) puis écrire ^{A x( )} sous forme A x( )=B x Q x( ) ( )+R x( )

a. A x( )=x⁴+7x³+18x²+20x+8; B x( )=x²+2x+1

b. A x( )=x⁵+ +x 1; B x( )=x³− +x² 1

c. A x( )=3x³+5x²+8x+7; B x( )=3x+2

d. A x( )=4x⁴− −x² 2; B x( )=2x²+ +x 1

e. A x( )=2x³−4x²+ −x 2; B x( )=2x²+1

3. Soit deux polynômes A x( )=x⁵− +x⁴ 2x³+1 et B x( )=x⁵+ +x⁴ 2x²−1

Calculer le plus grand commun diviseur de A x( ) et B x( ).

4. Pour chacun des cas suivants, trouver le diviseur commun de P x( )et

( ) Q x .

a. ^{P x}

( )

^{=x3+x2−3x−1 et Q x}

( )

^=x2−6x+5

b. ^{P x}

( )

^{=x3+4x2+ −x 2 et Q x}

( )

^{=x4+3x3−x2+3x−2} c. ^{P x}

( )

^{=x5+x4+2x−1 et Q x}

( )

^{=x4−x3+4x2−3x+4}

d. ^{P x}

( )

^{=x5−10x4+23x3−8x2−13x+2et Q x}

( )

^{=x4−12x3+30x2+37x−6} e. P x( )=x³−3x−2; et ^{P x( )=2x2+ +x 1}

5. Soit deux polynômes A x( )=x³+ +x 1 et B x( )=2x²−2x+2

a. Montrer que A x( ) et B x( ) sont premiers entre eux.

b. Trouver deux polynômes U x( )et V x( ) qui vérifient l’égalité

A x U x( ) ( )+B x V x( ) ( ) 1=