Semaine 1

Semaine 1 : Espaces affines

R´ef´erences pour ce chapitre :

[Du] Antoine Ducros, G´eom´etrie affine et euclidienne, Cours de L3 `a l’UPMC 2009-2012 (sections 1 et 2), disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

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antoine.ducros [It] Ilia Itenberg, Alg`ebre et g´eom´etrie, Cours de M1 `a l’UPMC 2013-2014 (chap. 1), disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

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ilia.itenberg

[Po] Patrick Polo, Alg`ebre et g´eom´etrie, Cours de L2 `a l’UPMC 2009-2013 (chap. 7), disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

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patrick.polo/L2

En compl´ement du polycopi´e 2013-2014 d’Ilia Itenberg, on pourra aussi consulter les polycopi´es faits par les enseignants pr´ec´edents :

[Be] Daniel Bertrand, Alg`ebre et g´eom´etrie, Cours de M1 `a l’UPMC 2009-2013, disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

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daniel.bertrand

[Ne] Jan Nekovar, Alg`ebre et g´eom´etrie, Cours de M1 `a l’UPMC 2005-2009, disponible sur la page de l’auteur : www.imj-prg.fr/

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jan.nekovar

Par ailleurs, pour la d´efinition axiomatique des «plans affines argu´esiens», on signale les ouvrages ci- dessous. Mais attention, ceci n’est pas facile et n’entre pas dans le cadre du cours, donc ces r´ef´erences sont r´eserv´ees aux ´etudiants qui seraient vraiment int´eress´es par cette axiomatique.

[Ar] Emil Artin, Alg`ebre g´eom´etrique (Gauthier-Villars, 1978), Chap. II,§§1-7.

[LF] Jaqueline Lelong-Ferrand, Les fondements de la g´eom´etrie (P.U.F., 1985), Chap. V,§§2-8.

[Sa] Pierre Samuel, G´eom´etrie projective (P.U.F., 1986), Chap. I,§D.

1. D´efinition alg´ebrique et exemples

D´efinition 1.1. — Soient k un corps et E un k-espace vectoriel. Un espace affine de direction E est un ensemble non vide E muni d’une application φ :E ×E →E, (A, B)7→

−→AB v´erifiant les deux propri´et´es suivantes :

(1) Relation de Chasles : −→

AC =−→

AB+−−→

BC ∀A, B, C ∈E. (2) Pour toutA∈E, l’application φ_A:E →E, B 7→−→

AB est bijective.

On notera −→u 7→A+−→u la bijection inverse, c.-`a-d., pour tout A∈E et−→u ∈E, A+−→u d´esigne l’uniqueB ∈E tel que −→

AB=−→u.

Vocabulaire : les ´el´ements de E sont appel´es «points», ceux de E sont appel´es «vecteurs».

Si E est de dimension finie n, ce que nous supposerons par la suite, on pose dimE = dimE. Si dimE = 1, resp. 2, on dira queE est une droite affine, resp. un plan affine.

Notation : pour abr´eger, on dira :«(E, E) est un espace affine».

Remarque 1.2. — Appliquant la relation de Chasles d’abord `aA=B=C, on obtient−→

AA=−→

AA+−→

AA d’o`u−→

AA=−→

0 pour toutA; en l’appliquant ensuite `a A, B arbitraires etC=A, on obtient−−→

BA=−−−→ AB.

Remarque 1.3. — Si l’on sait que la relation de Chasles est v´erifi´ee alors, pour montrer (2), il suffit de montrer qu’il existeA0∈E tel queφA₀est bijective. En effet, supposons que ce soit le cas et soitAun autre point, arbitraire mais fix´e. Alors, pourB variant dansE, on aφA(B) =−−→

AB=−−→

A0B−−−→

A0A=φA₀(B)−u0, o`u l’on a not´eu0le vecteur−−→

A0A. Ceci montre queφA:E →E est la compos´ee deφA0 et de l’application E→E,u7→u−u0. Or cette derni`ere est bijective, car elle admet comme r´eciproque l’applicationE→E, v7→v+u₀. Comme on a suppos´eφ_A0 bijective, il en r´esulte que φ_Al’est aussi.

1

Exemples 1.4. — Soit E un k-espace vectoriel.

(a) D’abord, E lui-mˆeme est un espace affine E de direction E : on d´efinit φ = φ^E : E×E →E par (x, y)7→y−x. Alors (1) est v´erifi´ee carφ(x, z) =z−x= (z−y)+(y−x) = φ(x, y) +φ(y, z) et (2) est v´erifi´ee car pour toutxfix´e dans E, l’applicationy 7→y−xest une bijection de E sur lui-mˆeme dont la r´eciproque est l’application u7→u+x.

(b) Fixons x₀ ∈E et un sous-espace vectoriel F de E. Alors l’ensemble F =x0+F ={x0+u|u∈F}

est un espace affine, de direction F. En effet, F est non vide car il contient x₀. Notons ψ = φ^F la restriction `a F ×F de l’application φ<sup>E</sup> pr´ec´edente, i.e. ψ : F ×F → E, (x, y) 7→y−x. Alors, ψ v´erifie (1). De plus, elle est `a valeurs dans F, car si x, y ∈F et si l’on ´ecrit x = x0+u et y = x0+v avec u, v ∈ F, alors y−x = v−u appartient `a F. Enfin, l’application F → F, u 7→ x0 +u est bien d´efinie et c’est l’application r´eciproque de l’application ψ_x0 : F →F, x7→ x−x₀ : celle-ci est donc bijective. Compte tenu de la remarque 1.3, ceci prouve (2).

Afin de donner plus d’exemples, et afin de r´epondre `a une question naturelle pos´ee en cours : « Pour v´erifier qu’un E donn´e est un espace affine, comment trouver l’application φ? Nous sera-t-elle donn´ee ?», donnons une autre d´efinition, ´equivalente, de la notion d’espace affine.

Commen¸cons par la d´efinition suivante :

D´efinition 1.5 (Action d’un groupe ab´elien sur un ensemble) Soit E un groupe ab´elien (i.e. commutatif).

(1) On dit que E agit `a droite sur un ensemble X si l’on s’est donn´e une application X ×E → X, (x, u) 7→ x+u, v´erifiant les deux propri´et´es suivantes : (a) x+ 0 = x, (b) (x+u) +v =x+ (u+v), pour tout x∈X,u, v ∈E.

(2) On dit que l’action esttransitive s’il existex₀ ∈X tel que x₀+E ={x₀+v |v ∈E}

soit ´egal `a E tout entier. C’est alors le cas pour n’importe quel x fix´e : en effet, on a x = x<sub>0</sub> +u pour un certain u, donc x+E contient x<sub>0</sub> = x−u donc aussi x<sub>0</sub> +E, d’o`u x+E =X.

(3) On dit que l’action est simplement transitive s’il existe x₀ ∈X tel que l’application θ_x0 :E →X,v 7→x₀+vsoit bijective. C’est alors le cas pour n’importe quelxfix´e : en effet, il existeu∈E(unique) tel quex=x₀+u, d’o`uθ<sub>x</sub>(v) = (x<sub>0</sub>+u)+v =x<sub>0</sub>+(u+v) = θ<sub>x0</sub>(u+v) pour toutv ∈E. Donc θx est la compos´ee de l’application E →E,v 7→u+v et de θx0. La premi`ere application est bijective (sa r´eciproque ´etant w 7→ w−u) et par hypoth`ese θx0

est bijective, donc θ_x l’est aussi.

Remarque 1.6. — SoitEun groupe ab´elien agissant `a droite sur un ensembleXet soitF un sous-groupe deE. Alors on peut«restreindre»l’action `a F, i.e. consid´erer l’applicationX×F →X, (x, u)7→x+u: elle v´erifie ´evidemment les propri´et´es voulues. De plus, si l’action de E est simplement transitive, alors pour toutx∈X l’applicationθ_x^F :F →X,u7→x+uestinjective.

Proposition 1.7. — Soient E un k-espace vectoriel et E un ensemble non vide. Alors E est un espace affine de direction E si et seulement si E est muni d’une action simplement transitive de E (ce dernier ´etant consid´er´e juste comme groupe ab´elien).

D´emonstration. — Supposons que (E, E) soit un espace affine au sens de la d´efinition 1.1.

Alors, pour tout A ∈ E et u, v ∈ E, A +u d´esigne l’unique point B tel que −→

AB = u (en particulier A+ 0 = A), et B +v d´esigne l’unique point C tel que −−→

BC = v. D’autre part, on a C = A+−→

AC et d’apr`es la relation de Chasles on a −→

AC = u+v. On a donc (A+u) +v =B +v = C = A+ (u+v) et ceci, joint `a l’´egalit´e A+ 0 = A, montre que

l’application E ×E →E, (A, u)7→A+u, d´efinit une action `a droite deE sur E et d’apr`es l’axiome (2) de 1.1, cette action est simplement transitive.

R´eciproquement, supposons donn´ee une telle action (A, u) 7→ A +u. Alors l’axiome (2) de 1.1 est v´erifi´e et il ne reste qu’`a v´erifier la relation de Chasles. Soit A, B, C ∈ E et soient u, v les ´el´ements de E (uniques) tels que B = A +u et C = B + v. Alors C = (A+u) +v =A+ (u+v) et donc −→

AC =u+v =−→

AB+−−→ BC.

D´efinition 1.8. — Soit E un espace affine de direction E. Soit A₀ ∈ E et soit F un sous-espace vectoriel (en abr´eg´e, sev) de E. On pose

F =A₀+F ={A₀+u|u∈F}.

Alors F est un espace affine de direction F. On dira que c’est un sous-espace affine (en abr´eg´e, sea) de E. (Ceci g´en´eralise l’exemple 1.4 (b).)

D´emonstration. — ⁽¹⁾Par hypoth`ese,E est muni d’une action `a droite deE, donc a fortiori de F, d’apr`es la remarque 1.6. Cette action laisse stable F, donc induit une action de F sur F, donn´ee par (A, u) 7→ A+u. Comme l’application θ_A0 : E → E, v 7→ A₀ +v est bijective, alors l’application θ^F_A

0 : F → F, u 7→ A₀ +u est injective, et elle est surjective d’apr`es la d´efinition de F = A₀ +F. Donc θ_A^F₀ est bijective. Ceci prouve que F est un espace affine de direction F.

Exemples 1.9 (suite). — (c) Consid´erons une matrice A ∈ M_p,n(k), un vecteur fix´e Y ∈ k^p et le syst`eme lin´eaire d’inconnue X ∈ k<sup>n</sup> donn´e par AX = Y (c’est un syst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnues, avec second membreY). Si l’ensembleS des solutions de ce syst`eme est non vide, alorsS est un espace affine de direction le sous-espace vectoriel Ker(A) de kⁿ (= l’ensemble des solutions du syst`eme homog`ene AX = 0). En effet, si X₀ est une solution arbitraire, on sait que S =X0+ Ker(A).

(d) Soient A ∈ Mn(R) et t 7→ Y(t) une fonction R → Rⁿ de classe C^∞. Consid´erons l’´equation diff´erentielle lin´eaire : (∗) X⁰(t)−AX(t) = Y(t) et l’´equation homog`ene associ´ee U⁰(t)−AU(t) = 0.

D’apr`es la th´eorie des ´equations diff´erentielles lin´eaires, l’ensembleF des solutions de l’´equation homog`ene est un sous-R-espace vectoriel (de dimensionn) de l’espace vectorielE des applicationsR→Rⁿ de classe C^∞, et l’ensemble F des solutions de (∗) est non vide et si l’on fixe (arbitrairement) un ´el´ementX0∈F alors l’applicationF =X0+F. DoncF est un espace affine de directionF.

(e) Plus g´en´eralement, soientE, V desk-espaces vectoriels,f :E→V une application lin´eaire etv un

´

el´ement deV appartenant `a Im(f). Alors

F =f⁻¹(v) ={x∈E|f(x) =v}

est un espace affine de directionF = Ker(f). En effet, F est non vide par hypoth`ese, puisquev∈Im(f).

Si x, y ∈ F, alors f(x) = v = f(y) donc f(y−x) = 0 i.e.y −x ∈ Ker(f) = F. Donc l’application φ :F ×F → F, (x, y) 7→y−xest bien d´efinie et v´erifie la relation de Chasles (c’est clair !). De plus, pour x∈F fix´e, l’application φx:F →F, y 7→y−xest une bijection dont la bijection r´eciproque est l’applicationF →F,u7→u+x. Noter que les exemples (c) et (d) sont descas particuliers de ceci : dans (c), on prend pourf l’application lin´eaireRⁿ→R^p d´efinie parX7→AX, et l’hypoth`ese que le syst`eme a des solutions ´equivaut `a dire que Y ∈Im(f) = Im(A). Dans (d), on prendE=V = leR-espace vectoriel des fonctionsX :R→R<sup>n</sup> de classeC<sup>∞</sup>et f l’endomorphisme deE d´efini parf(X) =X<sup>0</sup>−AX. D’apr`es la th´eorie des ´equations diff´erentielles, pour toutY ∈E l’ensemble desX tels quef(X) =Y est non vide ; c’est donc un espace affine de direction Ker(f) = l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene.

(f) Autre formulation de (c), o`u l’on voit (enfin !) apparaˆıtre la g´eom´etrie : soient f₁, . . . , f_p des formes lin´eaires sur kⁿ etc₁, . . . , c_p ∈k. On suppose que le sous-ensemble

F ={x= (x₁, . . . , x_n)∈kⁿ |f₁(x) = c₁, . . . , f_p(x) = c_p}

(1)On pourrait reprendre, en la g´en´eralisant, la d´emonstration de 1.4 (b), mais il est plus int´eressant d’utiliser la nouvelle d´efinition en termes d’actions.

estnon vide. Alors c’est un espace affine de direction le sous-espace vectoriel dekⁿsuivant : F ={x= (x₁, . . . , x_n)∈kⁿ|f₁(x) = 0, . . . , f_p(x) = 0}=

p

\

i=1

Ker(f_i).

En effet, si pour i= 1, . . . , p on ´ecrit f_i(x) =a_i1x₁+· · ·+a_inx_n et qu’on forme la matrice A = (a_ij)i=1,...,p

j=1,...,n

alors F n’est autre que l’ensemble des solutions X =



 x₁

... x_n



 du syst`eme

AX =



 c₁

... c_p



.

(g) En particulier, prenons k = R et f la forme lin´eaire sur R² d´efinie par f(x1, x2) = x1+x2. Alors

D ={(x₁, x₂)∈R² |x₁+x₂ = 1}

est une droite affine de direction la droite vectorielle Dd’´equationx₁+x₂ = 0 ; celle-ci est engendr´ee, par exemple, par le vecteur u= (1,−1) et l’on aD = (0,1) +Ru= (0,1) +Ru:

(0,0) (1,0) (0,1)

@

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@

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@

@

@

@@

D

2. Approche « historique» de la droite et du plan affines r´eels

Dans toute cette section, le corps de base est le corps R des r´eels. Historiquement, les notions de droite affine, de plan affine et d’espace affine ont ´et´e introduites dans l’Antiquit´e grecque, sur des bases axiomatiques sugg´er´ees par l’observation physique du monde dans lequel nous vivons. On peut donc dire que la notion d’espace affine r´eel (de dimension 2 ou 3) est l’objet premier de la g´eom´etrie, `a partir duquel a ´et´e distill´ee (apr`es l’introduction des coordonn´ees par Descartes en 1637) la notion d’espace vectoriel.

Celle-ci, plus maniable, est maintenant prise comme point de d´epart de sorte qu’on d´efinit maintenant un espace affine E comme un«espace principal homog`ene»sous l’action d’un espace vectoriel E (ce sont les d´efinitions ´equivalentes 1.1 et 1.7). Au prime abord, cette d´efinition peut sembler r´ebarbative, aussi allons-nous reprendre le processus qui conduit de la notion intuitive de droite ou de plan affine sur R `a celle de R-espace vectoriel de dimension 1 ou 2.

La pr´esentation«intuitive» donn´ee en cours le 9/9 n’´etant pas tout-`a-fait satisfaisante, on compl´etera cette section ult´erieurement.

3. Applications affines

D´efinition 3.1. — Soient (E, E) et (E⁰, E⁰) deux espaces affines. Une application f : E → E⁰ est affine s’il existe une application lin´eaire φ : E → E⁰ telle que, pour tout A, B ∈E on ait :

(∗) −−−−−−→

f(A)f(B) =φ(−→

AB) ce qui s’´ecrit aussi : f(B) = f(A) +φ(−→

AB).

Remarques 3.2. — (1) Si elle existe, φ est enti`erement d´etermin´ee par cette condition : en effet, si on fixe A₀ ∈ E alors pour tout u ∈ E, posant A_u = A₀ +u, on doit avoir φ(u) = −−−−−−−−→

f(A₀)f(A_u).

(2) Pour montrer qu’une applicationf est affine, il suffit de v´erifier la condition (∗) pour un A₀ fix´e (et B arbitraire). En effet, supposons que pour un certainA₀ fix´e, l’application φ:E →E⁰ d´efinie par φ(−−→

A₀B) =−−−−−−−→

f(A₀)f(B) soit lin´eaire. Alors, pour toutA, B on a :

−−−−−−→

f(A)f(B) =−−−−−−−→

f(A0)f(B)−−−−−−−−→

f(A0)f(A) (d’apr`es la relation de Chasles dans E⁰)

=φ(−−→

A₀B)−φ(−→

AB) (par d´efinition deφ)

=φ(−−→

A₀B−−→

AB) (d’apr`es l’hypoth`ese que φ est lin´eaire)

=φ(−→

AB) (d’apr`es la relation de Chasles dans E).

Proposition 3.3. — Soient (E, E), (E⁰, E⁰), (E⁰⁰, E⁰⁰) trois espaces affines, f : E → E⁰ etg :E⁰ →E⁰⁰ des applications affines. Alors l’applicationg◦f est affine, de partie lin´eaire

−−→g◦f =−→g ◦−→ f.

D´emonstration. — Soient A, B ∈ E, posons A⁰ = f(A) et A⁰⁰ = g(A⁰) = (g ◦f)(A) et d´efinissons de mˆeme B⁰ et B⁰⁰. On a :

−−−→A⁰⁰B⁰⁰ =−→g(−−→

A⁰B⁰) (car g est affine)

=−→g −→ f (−→

AB)

(car f est affine)

= (−→g ◦−→ f)(−→

AB).

Ceci prouve que g◦f est affine, de partie lin´eaire ´egale `a−→g ◦−→ f. Donnons ci-dessous des exemples d’applications affines E →E.

D´efinition 3.4 (Translations). — Pour tout u ∈ E, on note tu la « translation de vecteuru», d´efinie partu(A) =A+u pour tout A∈E. PosantA⁰ =tu(A) et B⁰ =tu(B), on a −−→

AA⁰ =u=−−→

BB⁰ et donc :

−−→A⁰B⁰ =−−→

A⁰A+−→

AB+−−→

BB⁰ =−u+−→

AB+u=−→

AB.

Ceci prouve que tu est affine, de partie vectorielle idE, l’application identique de E. Par ailleurs, on notera que la translation de vecteur nult0 est id_E, l’application identique de E.

Exercice 3.5. — R´eciproquement, montrer que si f :E →E est affine et v´erifie−→

f = idE alorsf =tu

pour un certainu∈E.

Proposition 3.6. — Pour tout u, v ∈ E, on a t_v◦t_u =t_u+v =t_u◦t_v . Par cons´equent, l’ensembleT des translations forme un groupe commutatif (isomorphe `aE) : l’´el´ement neutre est t₀ = id_E et l’inverse de t_u est t−u.

D´emonstration. — Soit A ∈ E, posons B = t_u(A) et C = t_v(B) = (t_v ◦ t_u)(A). Alors

−→AC = −→

AB+−−→

BC = u+v d’o`u l’´egalit´e tu+v(A) = C = (tv ◦ tu)(A). Ceci prouve que tv ◦tu =tu+v, et comme u+v =v+u, ceci ´egale aussi tu◦tv. Il est clair que t0 = id_E est

´

el´ement neutre, et l’´egalit´et_u◦t_−u =t₀ montre quet_−u est l’inverse de t_u (ce qui est aussi

´

evident g´eom´etriquement).

L’applicationE→T,u7→t_u est donc un morphisme de groupes, surjectif par d´efinition. Il est injectif car sit_u = id_E alorsu=−→

AA=−→

0 . Donc c’est un isomorphisme deE, consid´er´e comme groupe ab´elien, sur le groupe des translations.

D´efinition 3.7 (Homoth´eties). — Soit λ∈k^×=k− {0}. PourAfix´e dans E, on note h=h(A, λ) l’application qui `a toutM deE associe l’unique pointM⁰ tel que−−→

AM⁰ =λ−−→

AM. Remarquons que :

a) Pour M =A, on a−−→

AA⁰ =−→

0 d’o`uh(A) = A, doncA est un point fixe deh.

b) Pour tout M, on a donc : −−−→

A⁰M⁰ = −−→

AM⁰ = λ−−→

AM. Ceci montre que h est affine, de partie lin´eaire l’homoth´etie vectorielleh_λ =λid_E (d´efinie parh_λ(u) =λupour toutu∈E).

c) Si λ= 1 alors h est l’application identique id_E deE.

d) Si λ 6= 1 alors A est l’unique point fixe de h. En effet si M = h(M) alors −−→

AM =

−−−−→

Ah(M) = λ−−→

AM d’o`u (1−λ)−−→

AM = −→

0 et si λ 6= 1 ceci entraˆıne −−→

AM = −→

0 d’o`u M = A.

Donc, si λ6= 1, on dira que h(A, λ) est «l’homoth´etie de rapport λ et de centre A».

e) On voit facilement que h(A, λ)◦h(A, µ) = h(A, λµ) donc les homoth´eties de centre A forment un groupe isomorphe au groupe multiplicatif k^×.

Proposition 3.8. — Soit h : E → E une application affine telle que −→

h = λid_E avec λ6= 1. Alors h poss`ede un unique point fixe A, et si λ6= 0 alors h=h(A, λ).

D´emonstration. — Fixons un pointO ∈E. Alors, un pointA∈E arbitraire v´erifieh(A) = A si et seulement si l’on a −−−−→

Oh(A) =−→

OA. Or on a

−−−−→

Oh(A) =−−−−→

Oh(O) +−−−−−−→

h(O)h(A) =−−−−→

Oh(O) +−→ h(−→

OA) = −−−−→

Oh(O) +λ−→

OA donc on voit queh(A) = A´equivaut `a (1−λ)−→

OA=−−−−→

Oh(O) et comme λ6= 1 ceci d´etermine A de fa¸con unique, i.e. on a −→

OA= (1−λ)⁻¹−−−−→

Oh(O).

Alors, pour tout M ∈ E, on a −−−−→

Ah(M) = −−−−−−−→

h(A)h(M) = λ−−→

AM donc, si λ 6= 0 alors h est bien l’homoth´etie h(A, λ) de centre A et de rapport λ. (Si λ= 0 alors −−−−→

Ah(M) =−→ 0 donc h(M) =A pour toutM i.e.hest l’application«constante» qui envoie toutM surA).

Exercice 3.9. — Soient A, B ∈E et λ, µ∈k^×. Montrer que : h(A, λ)◦h(B, µ) =

(une translation (`a d´eterminer), si λµ= 1,

h(C, λµ)pour un point C `a d´eterminer, si λµ6= 1.

En utilisant le r´esultat de l’exercice pr´ec´edent, on peut d´emontrer le

Th´eor`eme 3.10. — (a) L’ensemble G des translations et des homoth´eties forme un groupe (non commutatif ), appel´e le groupes des homoth´eties et translations.

(b) Pour tout A ∈ E, λ ∈ k^× et u ∈ E on a : h(A, λ)◦t_u◦h(A, λ)⁻¹ =t_λu. Par cons´equent, le groupe T des translations est un sous-groupe distingu´e de G.⁽²⁾

(2)Un sous-groupe H d’un groupe G est distingu´e si pour tout h∈ H et toutg ∈ G, on a ghg⁻¹ ∈ H. Ceci s’´ecrit aussi : pour tout g ∈ G, on a gHg⁻¹ ⊂ H. (Appliquant ceci `a g<sup>−1</sup> on a aussig<sup>−1</sup>Hg ⊂ H d’o`u H=g(g⁻¹Hg)g⁻¹⊂gHg⁻¹, donc la condition s’´ecrit aussi : pour toutg∈G, on agHg⁻¹=H.)

Avant d’introduire les projections et sym´etries, d´emontrons la proposition suivante.

Proposition 3.11. — Soient (E, E) un espace affine, P, Q∈E, F, G deux sev deE. On consid`ere les deux sous-espaces affines F =P +F et G =Q+G.

a) Si F ∩G est non vide, c’est un sous-espace affine de directionF ∩G.

b) Ceci est le cas ssi −→

P Q appartient au sev F +G.

c) Par cons´equent, si F ⊕G=E alors F ∩G est un singleton {I}.

D´emonstration. — (a) Supposons queF ∩G contienne un pointR. Pour un pointM ∈E arbitraire, on a les ´equivalences : M ∈ F ∩G ⇔ (M ∈ F et M ∈ G) ⇔ (−−→

RM ∈ F et

−−→RM ∈G)⇔−−→

RM ∈F ∩G⇔M ∈R+ (F ∩G). Ceci montre que F ∩G =R+ (F ∩G).

(b) F ∩G est non vide ssi il existeu∈F etv ∈G tels que P +u=R=Q+v, ce qui

´

equivaut `aQ=P+u−v ou encore `a−→

P Q=u−v. Ceci ´equivaut `a dire que−→

P Qappartient au sous-espace vectorielF +G={u+w|u∈F, w ∈G}={u−v |u∈F, v ∈G}.

(c) Supposons que F +G=E. Alors −→

P Q appartient `a F +G donc, d’apr`es (b) et (a), F ∩G est un sous-espace affineR+ (F ∩G) de direction (F ∩G). Si de plus F et Gsont en somme directe, c.-`a-d. siF ∩G={0} alorsF ∩G est le singleton {R}. (Noter ceci : pour tout pointI∈E, le sous-espace affine de direction{0} passant parI est le singleton{I}.)

D´efinitions 3.12 (Projections et sym´etries). — Soient (E, E) un espace affine, F,G deux sous-espaces affines de directions respectives F et G. On suppose que F⊕G=E, de sorte queF∩G est un singleton{I}. Pour toutM ∈E, le vecteur−−→

IM ∈E s’´ecrit donc de fa¸con unique −−→

IM = u+v, avec u ∈ F et v ∈ G, donc il existe d’uniques points M_F ∈F et M_G ∈G tels que : −−→

IM =−−−→

IM_F +−−→

IM_G.

(1) L’applicationp:M 7→M_F s’appelle la«projection sur F parall`element `a G » (voir la figure plus bas). C’est une application affine, de partie lin´eaire la projection π de E sur F parall`element `a G.

(2) Notons s(M) l’unique point de E tel que −−−−→

Is(M) = −−−→

IM_F −−−→

IM_G, ce qui ´equivaut `a

−−−−−→

M s(M) =−2−−→

IM_G. Alors l’application s : M 7→ s(M) s’appelle la «sym´etrie par rapport

`

a F parall`element `a G » (voir la figure plus bas). C’est une application affine, de partie lin´eaire la sym´etrie σ par rapport `a F parall`element `aG.

En effet, on a p(I) = I et l’´egalit´e −−−−−−→

p(I)p(M) = −−−−→

Ip(M) = −−−→

IM_F = π(−−→

IM) montre que p est lin´eaire, de partie vectorielle π. De mˆeme, s(I) = I et l’´egalit´e −−−−−−→

s(I)s(M) = −−−−→

Is(M) =

−−−→IM_F −−−→

IM_G =σ(−−→

IM) montre que s est lin´eaire, de partie vectorielleσ.

I F

G

M_G M

M_F =p(M)

s(M) M_G⁰

−−→IM_G⁰ =−−−→

IM_G

Projection surF et sym´etrie par rapport `aF, parall`element `a G.