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IU T SRC1 TD révisions Calculs, pourcentages

TD1 de mathématiques - Révisions.

Emilie, qui fait beaucoup de photographies avec son appareil numérique, décide de classer ses nombreuses images dans des albums numériques. IL va falloir retoucher certaines images, réduire les unes et agrandir les autres... L'occasion pour elle et pour nous de réviser certains fondamentaux des mathématiques.

Calculs, fractions, pourcentages

Exercice 1

Attention au vocabulaire : Si un prix passe de 100 euros à 70 euros :

• Le prix nal vaut 70% du prix initial,

• Le prix a été réduit de 30%.

1. Un des paysages est trop grand pour l'album, Emi- lie décide de multiplier ses dimensions (13 cm par 18 cm) par ³₄. Quelles seront les nouvelles dimensions de l'image ? Quelle était l'ancienne surface, en cm², de l'image et quelle est sa nouvelle surface ? De quel pourcentage a-t-on réduit la surface de la photo ? 2. L'image est toujours trop grande, elle décide donc

de multiplier encore les dimensions par ³₄. Par quel facteur ont été multipliées, au total, les dimensions

originales de l'image ? De quel pourcentage a-t-on réduit la surface de la photo originale ?

3. Sans poser de calcul, dites de quel pourcentage sera réduit une photo dont on multiplie les dimensions par ³₅.

4. Combien de fois au moins faut-il diviser les dimen- sions d'une image par 2 pour que sa surface soit ré- duite de plus de 99% ?

Exercice 2

• Une image numérique est composée d'un ensemble de petits carrés, appelés pixels (picture ele- ments) ; pour une image en noir et blanc, on associe à chaque pixel une valeur comprise entre 0 (noir) et 255 (blanc). L'image ci-contre représente une image4×4(4 pixels sur 4 pixels).

• Si une image a une résolution de 300 dpi (dots per inch), cela signie que l'on peut mettre 300 pixels dans un pouce, autrement dit 1200 pixels correspondent environ à 10cm.

1. Emilie est en train de retoucher une image512×512, prise à une résolution de 300 dpi. Quelles sont ses dimensions, en centimètres, à10⁻² près ?

2. Emilie veut désormais disposer des photos1024×512 et 512×1024(résolution 300 dpi) sur une page qui fait 2¹²×2¹¹ pixels. Combien peut-elle mettre de photos au maximum sur cette page ? Dessinez trois congurations possibles.

Quelques exercices techniques sur les puissances et fractions

Simpliez puis calculez les expressions suivantes : 1. ₃²2 −₂³3

2. ²³₂^×45 ²

3. ^2×2₂⁻²³

4. ^222×34×3₂^−2×2−1

5. ²³⁺³₂3²⁻¹

6. ^√8+₅^√√₂¹² 7. ²⁺

√ 3 2−√

3−7 2

Révisions sur les équations/systèmes d'équations/inéquations

1. Emilie veut placer dans l'album une image dont le périmètre vaut 50cm et la surface 150cm². Quelles dimensions doit avoir cette image ?

2. Résoudre les systèmes d'équations : (a)







2x−y−z = 3

x+y+z = 6

x−y+z = −4

(b)







2x+y+z = 3 2x+y+z = 2.95

x−y+z = −4

Fonctions

Nous les révisons au travers de matlab, que nous allons à l'occasion apprendre à prendre en main.

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Prise en main de matlab

• Aide : lancez matlab ; taper help, puis, par exemple, help cos.

• Calcul :

taper 3*16-8^2 puis entrée. Combien vaut3×16−8²?

Tapez x=5+1/2, puis tapez x=5+1/2; puis x. A votre avis, à quoi sert le point-virgule sous matlab ?

• vecteurs :

Tapez t=1:1:6, puis t=1:1:7, puis t=1:0.5:7. En faisant d'autres essais éventuellement, expliquez à quoi correspondent chacun des trois chires.

Ecrivez 2*t, t-2*t et observez ce qui se passe.

t*t et t^2 donnent une erreur, car matlab essaye de faire un produit de matrice, notion qui sera vue en deuxième année ; si l'on veut multiplier terme à terme il faut mettre un . devant l'opérateur de multiplication ou la puissance : essayez t.*t, t.^2 et observez.

On peut aussi dénir un vecteur valeur par valeur de la sorte : t=[1,-1,2,0,9.8].

• opérateurs logiques : matlab interprétera l'expression t >3 comme une question : les éléments de t sont-ils plus grand strictement que 3 ? Le chire 1 représente une réponse positive, 0 une réponse négative. Faites le test sur le vecteur t précédent. Essayer de trouver une astuce pour obtenir un vecteur u identique à t, mais avec des 0 à la place des valeurs négatives.

• fonctions : En entrée de la fonction x7→x², pour prendre un exemple, on peut mettre une innité de valeurs (de−∞à +∞). matlab ne peut évidemment pas gérer une innité de valeurs : il se restreindra à un ensemble ni de valeurs pour calculer et représenter la fonction, rangé dans un vecteur. Par exemple, si l'on dénit le vecteur t=-4:1:4, puis que l'on demande à matlab de calculer t^2, il évaluera la fonction carré pour des valeurs entières allant de -4 à 4. Pour représenter graphiquement la fonction, on utilise la commande plot.

Ex : plot(t,t.^2). Complétez, à l'aide de matlab, la che suivante qui rappelle les propriétés principales des fonctions usuelles.

Tracez sur le même graphe (en tapant hold on pour que tout s'ache sur la même fenêtre ; hold off pour annuler ; clf pour réinitialiser toutes les fenêtres graphiques) les fonctionsx7→x,x7→x²,x7→x³ etx7→expx (la fonction exponentielle s'appelle exp en matlab) pourxallant de -4 à 4. Peut-on conclure que la fonction cube croît plus vite en l'inni que la fonction exponentielle ? Recommencez votre tracé pourxcompris entre -6 et 6.

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Propriétés principales des fonctions usuelles

fonction carré et fonction racine

Propriétés def :x7→x² Propriétés de g:x7→√

x

f :x7→x² est dénie sur. . . g:x7→√

xest dénie sur. . . . f :x7→x² est. . . et. . . g:x7→√

xest. . . et. . . . de. . . .sur. . . de. . . .sur. . . .

C'est donc une bijection de. . . sur. . . .. C'est donc une bijection de. . . .sur. . . .. Elle est décroissante et continue sur]− ∞; 0].

x −∞ 0 +∞

f(x)

x 0 +∞

g(x)

courbe représentativeCf def (pour x∈[−4; 4]) courbe représentativeCf def (pourx∈[0; 16])

fonction exponentielle et fonction logarithme

Propriétés def :x7→expx Propriétés de g:x7→lnx

f :x7→expxest dénie sur. . . g:x7→lnxest dénie sur. . . . f :x7→expxest. . . .et . . . g:x7→lnxest. . . .et . . . . de. . . .sur. . . de. . . .sur. . . .

C'est donc une bijection de. . . sur. . . .. C'est donc une bijection de. . . .sur. . . ..

x −∞ 0 +∞

f(x)

x 0 +∞

g(x)

courbe représentativeCf def (pour x∈[−4; 4]) courbe représentativeCf def (pourx∈]0; 16])

∀a∈IR,∀b∈IR, e^a+b=. . . .

∀a∈IR,∀b∈IR, e^ab=. . . .

∀a∈IR, e^−a =. . . .

∀a∈IR^∗+,∀b∈IR^∗+, ln(ab) =. . . .

∀a∈IR^∗+,∀b∈IR^∗+, ln(^a_b) =. . . .

∀a∈IR^∗+,∀b∈IR, ln(a^b) =. . . .