D292-Les distances manquantes.
Un décagone ayant un centre de symétrie est inscrit dans un cercle.
On mesure en centimètres les distances d’un point M de l’espace à sept sommets du décagone.
Ces distances, arrondies à l’entier le plus proche sont, par valeurs croissantes : 17, 83, 120, 178, 203, 305, 327.
Calculer à 1 cm près les distances de M aux trois autres sommets du décagone.
* * * * * * * * * * Solution proposée par Michel Lafond
Ces distances sont égales à 257, 275, 317 cm à 1 cm près.
Démonstration.
On sait [Figure 1 ci-dessous] que si AB est un diamètre d’un cercle de centre O et de rayon R, alors, si K est un point du plan tel que KO = on a
En effet :
Si on prend les coordonnées suivantes :
alors
Si K est la projection de M sur le plan du décagone, on a d’après ce qui précède : (1)
Or le décagone ayant un centre de symétrie, ses sommets A, B, C, D, E, F, G, H, I, J sont diamétralement opposés deux à deux et on peut supposer que AB, CD, EF, GH, IJ sont des diamètres du cercle circonscrit.
Notons a = MA b = MB c = MC d = MD e = ME f = MF g = MG h = MH i = MI j=MJ les 10 distances.
Aux 7 distances connues approximativement, sont associés 7 sommets.
Compte tenu de la symétrie, deux cas sont possibles pour ces 7 sommets :
A C E G I A C E G I
B D F H J B D F H J
Dans le premier cas, 6 des sommets sont des extrémités de diamètres, dans le second cas, 4 des sommets seulement sont des extrémités de diamètres. Dans tous les cas, parmi les 7 points, au moins 4 sont des extrémités de deux diamètres et on supposera que ce sont A, B, C, D.
K
A O B
R R
Figure 1
M
K
A
B O k
R
Figure 2
On a d’après (1) (2)
Or après arrondis à l’entier le plus proche.
Si on a par exemple cela signifie que Dans ce cas, implique ou Effectuons un tel encadrement pour les paires de :
On a ainsi intervalles dont au moins deux contiennent la constante w (d’après (2))
Or un rapide coup d’œil montre que deux intervalles seulement (en grisé ci-dessus) ont une intersection non vide, ce sont [106874,5 ; 107562,5] et [107000,5 ; 107850,5]
w appartient à ces deux intervalles, donc à leur intersection : [107000,5 ; 107562,5] (3)
w n’appartient à aucun des 19 autres intervalles, donc on est dans le cas ci-dessous (Voir plus haut les deux cas)
Par conséquent on peut prendre pour les distances associées aux sommets grisés ci-dessus :
(ligne 6 du tableau précédent) (ligne 14 du tableau précédent) pour les trois autres distances mesurées.
Mais on a aussi d’après (2) (4)
(5) (3) et (5) donnent :
D’où on tire soit pour la huitième distance f = 317 cm à 1 cm près.
x y
17 83 7078,5 7278,5
17 120 14552,5 14826,5
17 178 31778,5 32168,5
17 203 41278,5 41718,5
17 305 92992,5 93636,5
17 327 106874,5 107562,5
83 120 21086,5 21492,5
83 178 38312,5 38834,5
83 203 47812,5 48384,5
83 305 99526,5 100302,5
83 327 113408,5 114228,5
120 178 45786,5 46382,5
120 203 55286,5 55932,5
120 305 107000,5 107850,5
120 327 120882,5 121776,5
178 203 72512,5 73274,5
178 305 124226,5 125192,5
178 327 138108,5 139118,5
203 305 133726,5 134742,5
203 327 147608,5 148668,5
305 327 199322,5 200586,5
A C E G I B D F H J
(6) (3) et (6) donnent :
D’où on tire soit pour la neuvième distance h = 275 cm à 1 cm près.
(7) (3) et (7) donnent :
D’où on tire soit pour la dixième distance j = 257 cm à 1 cm près.
Remarques :
Le problème a été construit en prenant R = 155 et M (21 ; 171 ; 0) donc
puis en en faisant varier un peu au hasard cinq diamètres du cercle, déterminant 10 distances à M, jusqu’à ce que pour 7 de ces distances, il y ait exactement deux intervalles d’intersection non vide contenant w et un encadrement suffisamment fin pour les trois autres distances.
Une figure correspondant à l’énoncé est :
On a et les distances avant arrondi sont :
M
A C
G
J
F
B
D
H I E
83
203
275
305
327 317
257 178
120 17
