D2917. 5 points align´ es
Soient l’ellipse Γde foyersF etF0, etP un point courant surΓ
On trace les droites P F, P F0 et leurs perpendiculaires en F et F0. Ces derni`eres se coupent enQ.
La droite sym´etrique deF F0par rapport `aP F coupeΓenU et U0; la droite sym´etrique de F F0 par rapport `a P F0 coupe Γ en V et V0 (U0 et V0 plus proches deP surΓ queU et V).
U F U0 et V F0V0 se coupent en R. Les tangentes `a Γ en U et V se coupent enS; celles enU0 etV0 se coupent enT.
1/ Montrer queP,Q, R,S etT sont align´es.
2/RP est la bissectrice des droitesRU U0/RV V0et des tangentes issues deR.
3/U V etU0V0passent par le pˆole deRP.
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QueRU U0 et RV V0 passent ou non par les foyers, les points P, R, S et T sont align´es sur la polaire de W =U V ∩U0V0, ce qui r´epond `a la question 3.
Par construction,P est le centre du cercle inscrit dansRF F0etQle centre du cercle exinscrit dans l’angleRb du mˆeme triangle : ils sont donc align´es.
Enfin, RP bissectrice des tangentes issues de R r´esulte directement du 1er th´eor`eme de Poncelet.
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