Problème proposé par Dominique Chesneau
Zig a une curieuse méthode pour construire ou mesurer un angle xÔy quand il a oublié son rapporteur et sa calculatrice . Il place les points A et P sur [Ox) et [Oy) tels que OA = OP = 9 cm et le point S dans le demi plan de frontière (OA) ne contenant pas le point P de façon à ce que AÔS=90° et OS = 15 cm . Il trace ensuite le point d’intersection M des droites (OA) et (PS) et prétend donner la mesure de l’angle xÔy en degré en mesurant le segment AM en millimètres .
Ce n’est bien sûr qu’une approximation mais l’erreur est-elle importante ?
Si θ est la mesure en radiants de l’angle AOP, la mesure de AM en mm est AM=OA-OM=90-450*cosθ/(5+3sinθ)
Soit si t=tan(θ/2), AM=180t(5t+3)/(5t2+6t+5)
Soit f(t)=180*θ/π=360*arctan(t)/π la mesure de l’angle θ en degrés, et F(t) une
approximation de f par une fraction rationnelle F du second ordre. Si l’on s’impose les conditions F(t)+F(1/t)=180, F(0)=0, F(1)=90 (que vérifie également f), on trouve une forme F(t)=180*t(ut+v)/(ut2+2vt+u). De plus, la valeur v/u=3/5 donne à peu près la coïncidence pour t=1/2 (F=53,5.. pour f=53,1...), et c’est approximativement l’écart maximal entre la valeur réelle et son astucieuse estimation.
