• Aucun résultat trouvé

Logique pour les mathématiques et l’informatique (Logique II)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Logique pour les mathématiques et l’informatique (Logique II)"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Logique pour les mathématiques et l’informatique (Logique II)

Code 31HU08MI, 6 ECTS, Semestre S6

Responsable : Paul Rozière

Prérequis :Calcul propositionnel (Logique I) Évaluation :Contrôle continu et examen final Mentions concernées :L3 Mathématiques et Informatique

Horaires hebdomadaires :2 h CM + 3 h TD

Objectifs

Introduction à la méthode axiomatique, à la théorie des ensembles, et au calcul des prédicats du premier ordre pour les mathématiques et l’informatique.

Programme 1 Axiomatisation

— Exemples d’axiomatisation : ordre, bon ordre, entiers naturels, . . . ;

— axiomatisation des entiers naturels : axiomes de Peano (au « second ordre »), récurrence et définition par récurrence (théorème de Dedekind).

2 Calcul des prédicats du premier ordre

— Premier ordre et ordre supérieur ;

— signature et structure, langage de la logique du premier ordre égalitaire, satisfaction ;

— mise sous forme prénexe, forme de Skolem ;

— complétude de la réfutation par résolution en calcul propositionnel (rappel) et compacité du calcul propositionnel dans le cas dénombrable ; théorème de Herbrand ; compacité en calcul des prédicats (aperçus) ;

— unification et résolution, complétude de la réfutation par résolution en calcul des prédicats.

3 Théorie des ensembles

— Axiomes de Zermelo, et opérations ensemblistes usuelles ;

— construction des entiers de von Neumann ;

— cardinalité : cardinalité finie et principe des tiroirs de Dirichlet ;

— relation d’équipotence, théorème de Cantor-Bernstein ;

— axiome du choix, versions faibles et conséquences pour la cardinalité dénombrable ;

— lemme de Zorn, comparabilité cardinale.

UFR de mathématiques

Fiche d’UE 31HU08MI (Licence)

page 1/1 2014–2018

Références

Documents relatifs

Dans l’autre, on fait un ultraproduit sur toutes les parties finies de T en choisissant pour chaque partie un modèle de la partie finie qui ne soit pas un modèle de T tout entier

Montrer qu’une théorie T est finiment axiomatisable ssi la classe des L-structures M qui ne sont pas des modèles de T est stable par ultraproduit.. Solution de

Ainsi, supposer que si...alors est l’équivalent linguistique de l’implication matérielle, c’est admettre que les énoncés comportant si...alors ne peuvent être faux que

On peut se restreindre au théorème dit de Tychonoff dénombrable dès lors que X est dénombrable, avec l'avantage de ne pas utiliser l'axiome du

D’après le théorème 5.9, il existe une formule sous forme canonique φ 1 formée uniquement de connecteurs K, J, et psi ¨ alors ¨ sinon ¨q, de parenthèses, et de

Définition 6.1 (Famille génératrice) Une famille de connecteurs logiques 1 est génératrice si pour toute formule du calcul propositionnel, il existe une formule

Définition 6.1 (Famille génératrice) Une famille de connecteurs logiques 1 est génératrice si pour toute formule du calcul propositionnel, il existe une formule

Nous allons montrer que la présentation et l’étude élémentaires du calcul proposition- nel intuitionniste peuvent être réalisées de manière très simple en utilisant les ouverts