Quand son immeuble disposait d’un seul ascenseur, Zig avait constaté que pour se rendre de son bureau à la salle de réunion du dernier étage, à l’exclusion des cas où l’ascenseur était sur son palier, la proportion des cages d’ascenseur qui s’arrêtaient à son étage en provenance des étages inférieurs était une constante p < 1/2.
Après rénovation de l’immeuble, il y a désormais trois ascenseurs qui fonctionnent
indépendamment les uns des autres tandis que le bureau de Zig est installé trois étages plus bas qu’auparavant. Zig constate que pour aller dans la salle de réunion du dernier étage, toujours en excluant les cas où un ascenseur au moins est sur son palier, la proportion des cages d’ascenseur qui s’arrêtent les premières à son étage en provenance des étages inférieurs est toujours la même constante p.
Déterminer le nombre d’étages de l’immeuble et l’étage où se trouve maintenant le bureau de Zig.
Pour les plus courageux : que deviendrait la proportion des cages d’ascenseur en provenance des étages inférieurs à celui du bureau de Zig si l’on décidait de construire de nouveaux ascenseurs fonctionnant toujours indépendamment les uns des autres ?
Nota : on suppose pour simplifier qu’avant ou après rénovation de l’immeuble, un ascenseur appelé par Zig se trouve à un point quelconque de son parcours entre le rez de chaussée et le dernier étage.C’est l’ascenseur le plus proche (au-dessus ou au-dessous) qui vient prendre Zig et s'il y en a plusieurs à cette même plus courte distance, le choix entre eux est dû au hasard.
Avec un seul ascenseur, s’il y a N étages (plus le rez-de chaussée) et que le bureau de Zig est à l’étage x, la proportion de ceux qui arrivent d’en dessous est égale au nombre d’étages inférieurs divisés par le nombre total d’étages excepté celui du bureau : p=x/N.
Avec n ascenseurs, il y a Nn situations initiales possibles (puisque l’on exclut les cas où un ascenseur est déjà à l’étage du bureau de Zig). Si le bureau de Zig est maintenant à l’étage y, il y a (N-2y)n situations dans lesquelles tous les
ascenseurs sont au dessus de l’étage 2y : dans ces cas, l’ascenseur ne peut arriver du dessous.
Pour chacun des autres cas, il existe un cas correspondant, dans lequel le ou les ascenseurs les plus proches de l’étage du bureau de Zig sont dans une position symétrique par rapport à celui-ci, donc produisant une arrivée dans le sens opposé : la proportion d’ascenseurs montants est donc : (1-(1-2y/N)n )/2 . Elle croît avec n, tout en restant inférieure à 1/2.
Dans le cas n=3, nous avons 1-(1-2y/N)3 =2x/N, avec x=y+3
(1-2y/N)3=1-2x/N ou 6y-12y 2/N+8y3/N2 =2(y+3), (2y-3)N 2-6Ny2+4y3=0, équation du second degré en N, ayant des solutions entières si
d2= 9y4-4y 3(2y-3)=(y+12)y3 =y 2((y+6) 2-36) est un carré parfait ; ou s’il existe z tel que z2-(y+6)2=36, z+y+6=18 et z-y-6=2, donc z=10, y=4, d’où N=16, x=7.
L’immeuble a 16 étages, et le bureau de Zig est initialement situé au 7ème.
