G153. Changement de décor
Quand son immeuble disposait d’un seul ascenseur, Zig avait constaté que pour se rendre de son bureau à la salle de réunion du dernier étage, à l’exclusion des cas où l’ascenseur était sur son palier, la proportion des cages d’ascenseur qui s’arrêtaient à son étage en provenance des étages inférieurs était une constante p < 1/2.
Après rénovation de l’immeuble, il y a désormais trois ascenseurs qui fonctionnent indépendamment les uns des autres tandis que le bureau de Zig est installé trois étages plus bas qu’auparavant. Zig constate que pour aller dans la salle de réunion du dernier étage, toujours en excluant les cas où un ascenseur au moins est sur son palier, la proportion des cages d’ascenseur qui s’arrêtent les
premières à son étage en provenance des étages inférieurs est toujours la même constante p.
Déterminer le nombre d’étages de l’immeuble et l’étage où se trouve maintenant le bureau de Zig.
Pour les plus courageux : que deviendrait la proportion des cages d’ascenseur en provenance des étages inférieurs à celui du bureau de Zig si l’on décidait de construire de nouveaux ascenseurs fonctionnant toujours indépendamment les uns des autres ?
Nota : on suppose pour simplifier qu’avant ou après rénovation de l’immeuble, un ascenseur appelé par Zig se trouve à un point quelconque de son parcours entre le rez de chaussée et le dernier étage.C’est l’ascenseur
le plus proche (au-dessus ou au-dessous) qui vient prendre Zig et s'il y en a plusieurs à cette même plus courte distance, le choix entre eux est dû au hasard.
La réponse est : 16 étages, Zig se trouvant actuellement au 4ème étage. En augmentant encore le nombre d’ascenseurs, la probabilité tendrait vers en suivant la formule , avec le nombre d’ascenseurs.
Solution proposée par David Amar
Soit le nombre d’étages, et la position actuelle de Zig. Un ascenseur peut donc se trouver à positions différentes (de à ). Or, on élimine les cas où l’ascenseur est à l’étage , ce qui fait qu’il reste positions possibles pour un ascenseur donné.
La probabilité initiale vaut , donc
Soit un entier compris entre et . La probabilité pour qu’un ascenseur se situe en dessous de l’étage est de , et la probabilité pour qu’il se situe au-dessus de l’étage est . Le cas où ne nous concerne pas car .
La probabilité est donc la probabilité qu’un ascenseur se trouve plus loin de l’étage qu’un autre qui serait situé à l’étage .
Calculons donc les probabilités pour différents cas :
Cas où un ascenseur donné se situe à l’étage et les deux autres plus éloignés.
N’importe quel ascenseur peut se trouver à cet étage, donc on multipliera cette probabilité par 3.
Cas où deux ascenseurs donnés se situent à situe à l’étage et le troisième plus éloigné.
N’importe quelle paire d’ascenseurs peut se trouver à cet étage, donc on multipliera cette probabilité par 3.
Cas où un ascenseur donné se situe à situe à l’étage , un second à l’étage et le troisième plus éloigné.
N’importe quel ascenseur peut se trouver à et n’importe lequel des deux autres peut se trouver à ; par contre l’ascenseur du bas ne viendra alors qu’une fois sur deux. On multipliera cette probabilité par .
Cas où les trois ascenseurs se situent à l’étage .
Cas où deux ascenseurs donnés se situent à l’étage , et le troisième à l’étage . N’importe quel ascenseur peut se trouver à l’étage , mais la probabilité pour que ce soit un de ceux du bas qui vienne est de . On multipliera donc cette probabilité par
Cas où deux ascenseurs donnés se situent à l’étage , et le troisième à l’étage . N’importe quel ascenseur peut se trouver à l’étage , mais la probabilité pour que ce soit celui du bas qui vienne est de . On multipliera donc cette probabilité par
Total: la probabilité pour qu’un ascenseur situé à l’étage vienne est
Calculons alors la probabilité totale
On va maintenant résoudre On a
On remarque que est multiple de , on pose et on a alors :
Comme et sont premiers entre eux et que 3 est premier, deux cas sont possibles :
soit , mais dans ce cas
soit , dans ce cas et
L’immeuble comporte donc 16 étages, et Zig se situe au 4ème.
Tentons le cas général. On considérera toujours étages, avec les bureaux à l’étage , et de plus qu’il y a ascenseurs.
La probabilité d’avoir ascenseurs à une distance de l’étage et tous les autres plus loin est
Soit le nombre d’ascenseurs parmi ces qui se trouvent à l’étage , soit possibilités. La probabilité dans un tel cas pour que l’ascenseur qui arrive vienne du bas est . On a
Du coup, si d’entre eux se situent aux étages ou , et les autres plus loin ; la probabilité pour que l’ascenseur vienne du bas est .
Faisons alors une double somme sur et sur : pour un immeuble à étages, des bureaux à l’étage et ascenseurs disponibles, la probabilité pour que l’ascenseur vienne du bas est :
Si on considère maintenant le cas , on peut considérer le problème et l’immeuble « à l’envers », c’est-à-dire un ascenseur qui viendrait du haut à étages du sommet, soit l’étage , avec exactement le même raisonnement et le même résultat en remplaçant par . La
probabilité qu’il vienne du bas vaut alors :
La formule générale est donc : pour un immeuble avec étages, et des bureaux à l’étage , avec ascenseurs, la probabilité qu’un ascenseur arrive du bas est :
Pour , on retrouve bien
.
Pour et variable, on a .
Pour , on a ; pour ; pour ; … en somme tend vers
