G109. Faire durer le plaisir ou non
Zig dispose de 20 € en euros et joue à la roulette. Celle-ci dispose de cases numérotées de 0 à 36 alternativement rouges et noires, à l'exception du zéro qui est vert.
Zig a deux options :
1) il joue son va-tout en une seule partie et mise 20 € sur une chance simple, «Rouge» par exemple, avec un gain de 20 € si la boule va dans une case rouge, sinon la mise est perdue.
Zig s’arrête de jouer et rentre chez lui soit avec 40 € soit les poches vides,
2) il joue plusieurs parties et à chacune d’elles il mise 1 € toujours sur une chance simple : son gain est de 1 € si la boule va dans une bonne case, sinon la mise est perdue. Il continue de jouer jusqu’à obtenir 40 € ou bien jusqu’à sa ruine.
Quelle option maximise sa probabilité de rentrer à la maison avec 40 € en poche?
Solution proposée par Paul Voyer 1)
En une seule partie, la probabilité de rentrer avec 40€ est de 18/37 = 0.486 2)
A chaque partie, Zig gagne 1 euro avec une probabilité de 18/37 ou perd 1 euro avec une probabilité de 19/37.
L'atteinte de 0 ou 40 à partir de 20 se fait en 20 parties "significatives", c'est-à-dire en négligeant les paires de parties gain/perte et perte/gain, qui se compensent.
En jouant 1 € à la fois, la probabilité de rentrer avec 40€ est de 0.253 19
18 18
20 20
20
Ce résultat peut être vérifié et confirmé par simulation sur tableur.
