E531 : une année 2008 tout en couleurs
On demande la couleur de 2008 dans les deux cas suivants :
* Chacun des entiers naturels est colorié en rouge ou en jaune sachant que 8 est le plus petit entier de couleur jaune. La somme et le produit de deux entiers coloriés avec des couleurs différentes sont respectivement de couleurs rouge et jaune.
* Tous les entiers relatifs ( Z ) sont coloriés en bleu ou vert ou noir et chacun d’eux a une seule couleur. La somme de deux nombres verts égaux entre eux ou non est un nombre bleu et la somme de deux nombres bleus égaux entre eux ou non est un nombre vert. L’opposé d’un nombre vert est un nombre bleu et réciproquement l’opposé d’un nombre bleu est un nombre vert. L’entier 1009 est vert et l’entier 1492 est noir.
Pour les plus courageux : donner la couleur d’un entier N quelconque dans chacun des deux cas précédents (N entier naturel dans le 1 er cas, N entier relatif dans le 2 ème cas)
Premier cas : puisque les entiers de 1 à 7 sont rouges et que 8 est jaune, les produits 2*8, …, 7*8 sont jaunes, et les sommes 8+1, …, 8+7, 2*8+1,…, 7*8+7 sont rouges.
Qu’en est-il de 8*8 ? Si 8*8 était rouge, on aboutirait à une contradiction : en effet, 8*8+8=8(8+1) serait à la fois rouge et jaune selon qu’on le considère comme une somme ou un produit. Donc 8*8 est jaune, il en est de même pour tout nombre de la forme 8i avec i>0, tandis que les nombres de la forme 8i+j avec 0<j<8 sont rouges.
En particulier 2008=8*251 est jaune.
Second cas : un nombre étant l’opposé de son opposé, on voit immédiatement, par l’absurde, que l’opposé d’un noir est noir. Soit n le plus petit entier positif coloré, noté C (non noir : bleu ou vert) 2n est de la couleur inverse I, 4n=2n+2n est C, 5n=4n+n est I, et puisque 4n=3n+n et 5n=3n+2n, 3n ne peut être ni C ni I, donc noir N. En continuant, on voit que 3pn est N, (3p+1)n est C et (3p+2)n est I, pour p>0.
Supposons qu’il existe des entiers positifs C ou I non multiples de k ; soit m le plus petit d’entre eux, supérieur à n ; si m est I, m-n est C, positif et inférieur à m d’où
contradiction ; si m est C, 2n est I, et l’un des nombres 2n-m ou m-2n est positif et inférieur à m d’où contradiction. Les entiers non multiples de n sont donc tous noirs.
Nous savons de plus que 1009 est vert ; or 1009 est premier, et il n’y a que deux
possibilités : si 1 était coloré, 1009 étant de la forme 3p+1, 1 serait vert, mais alors 1492 qui est aussi de la forme 3p+1 serait également vert. Donc 1009 est le plus petit entier positif non noir, et 2008, qui n’est pas multiple de 1009 est noir. Les nombres positifs de la forme (3k+1)1009 sont verts, ceux de la forme (3k+2)1009 sont bleus, les opposés de la couleur opposée, et les autres noirs.
