Propositions Exercice 1 :
Deux candidats A et B se présentent à un concours. Les probabilités respectives de réussir le concours sont de 70% et 80%. Les résultats des deux candidats sont indépendants.
1 – Calculer la probabilité que les deux candidats réussissent.
2 – Calculer qu’aucun des deux candidats ne réussisse.
3 – Calculer la probabilité qu’un et un seul candidat réussisse.
4 – Calculer la probabilité qu’au moins un candidat réussisse.
Exercice 2 :
Dans un jeu, on lance un dé à six faces. Soit n le numéro obtenu. Si n est impair, on gagne n fois dix dirhams, si n est pair on perd dix dirhams. Soit X le gain obtenu.
1 – Donner la loi de probabilité de X.
2 – Quelle est la probabilité de gagner plus de vingt dirhams ? 3 – Calculer le gain moyen.
Exercice 3
Une société d’assurance a lancé une compagne de souscription à ses services auprès de 200 hommes qui constituent des clients potentiels. Les compagnes réalisées dans le passé ont montré qu’une personne contactée a une chance de 60% de souscrire. La société dépense 100 dh pour chaque personne contactée et réalise une commission de 200 dh pour chaque nouveau client qui souscrit à ses services.
1 –Quelle est la probabilité que la société ait plus de 110 clients parmi les hommes contactés ? 2 – Calculer la probabilité d’avoir entre 110 et 130 clients.
3 – Déterminer le nombre de clients hommes que la société peut dépasser avec une probabilité de 95%.
4 – Quel est la probabilité que l’entreprise réalise un bénéfice ?
5 – La même compagne est réalisée auprès de 100 femmes avec une probabilité de souscrire de 40%. Quelle est la probabilité que l’entreprise ait au moins 180 clients pour les deux compagnes ?
Correction : Exercice 1 :
Soient les événements : A : « A réussit le concours » et B : « B réussit le concours ».
P(A) = 0,7 ; P(B) = 0,8.
1 – La probabilité que les deux candidats réussissent : P(A B) Ո P(A B) = P(A).P(B/A) = P(A).P(B) = 0,7.0,8 = 0,56Ո __ __
2 – La probabilité qu’aucun des deux candidats ne réussisse. P(A B) Ո __ __ __ __ __ __ __
P(A B) = P(A).P(B/A) = P(A).P(B) = [1 – P(A)].[1 – P(B)] = 0,3.0.2 = 0,06Ո 3 – La probabilité qu’un et un seul candidat réussisse :
__ __ __ __ __ __
P[(A B) (A B)] = P(A B) + P(A B) = P(A).P(B) + P(A).P(B)Ո Ս Ո Ո Ո = 0,7. 0,2 + 0,3.0,8 = 0,38
4 – La probabilité qu’au moins un candidat réussisse :
__ __ __ __
P[(A B) (A B) (A B)]= P(A B) + P(A B) + P(A B) Ո Ս Ո Ս Ո Ո Ո Ո
= 0,7.0,8 + 0,7. 0,2 + 0,3.0,8 = 0,94 Exercice 2 :
Soit X la variable aléatoire représentant le gain obtenu : 1 – Les valeurs possibles de X sont : {-10, 10, 30, 50}.
La loi de probabilité de X :
X -10 10 30 50 ∑pi
Pi 3/6 1/6 1/6 1/6 1
2 – La probabilité de gagner plus de vingt dirhams : P(X>20) P(X>20) = P(X=30) + P(X=50) = 2/6
3 – Le gain moyen : E(X) = ∑xip(X=xi)
E(X) = -10.3/6 + 10.1/6 + 30.1/6 + 50.1/6 = 60/6 = 10 Exercice 3 :
Soit X : « Le nombre de souscris à l’assurance ».
La variable X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,6.
X → B(200 ;0,6).
1 – Probabilité que la société ait plus de 110 clients :
La loi binomiale de la variable X peut être approximée par une loi normale : X→N(np,
√
npq ). N(120,6,93)P(X>110) = 1 - P(X<110) = 1 – P(T<(110-120)/6,93) = 1 – P(T<-1,44) = 1 – (1 –P(X<1,44) = = 1 – (1 – 0,9251) = 0,9251.
2 – La probabilité d’avoir entre 110 et 130 clients :
P(110<X<130) = P[((110-120)/6,93)<X<((130-120)/6,93)]
= P(-1,44<X<1,44) = P(X<1,44) – P(X<-1,44) = P(X<1,44) – (1 – P(X<1,44)
= 0,9251 – 1 + 0,9251 = 0,8502
3 – Le nombre de clients hommes que la société peut dépasser avec une probabilité de 95%.
P(X>x) = 0,95
P(T>(x-120)/6,93) = 0,95 P(T<(x-120)/6,93) = 0,05
P(T< -(x-120)/6,93) = 1 – 0,05 = 0,95 Lecture de la table : -(x-120)/6,93 = 1,65
x = 108
4 – La probabilité que l’entreprise réalise un bénéfice :
L’entreprise reçoit 200 dh pour chaque nouveau client qui souscrit à ses services, et dépense pour 100 dh pour chaque personne contactée :
Le gain sera : 200X – 100.200 = 200X – 20000
La probabilité que le gain soit positif : P(200X – 20000>0) P(200X – 20000>0) = P(200X > 20000) = P(X > 100) P(X > 100) = 1 – P(X < 100) = 1 – P(T<(100-120/6,93)
= 1 – P(T < -2,87) = 1 – (1 – P(T <2,87) = P(T < 2,87) = 0,9979.
5 – Soit Y : « Le nombre de femmes qui souscrivent à l’assurance ».
La variable Y suit une loi binomiale : Y → B(100 ; 0,4)
La loi de Y peut être approximée par une loi normale : Y →N(40 ; 4,9) Soit Z : « Le nombre total de souscris à l’assurance »
Z = X + Y
Z suit une loi normale.
E(Z) = E(X+Y)= E(X)+E(Y) = 120 + 100 = 220
V(Z) = V(X+Y) = V(X) + V(Y) = 48,02 + 24,01 = 72,03 σ(Z) = 8,49
P(Z>180) = 1 – P(Z<180)
= 1 – P(T<(180-220)/8,49)
= 1 – P(T<-4,71)
= 1 – 1 + P(T<4,71) = 1
